第8章 培优专题4：模型观念—三角尺的拼组与纸片的折叠&培优专题5：学科融合—光线传播中的数学问题-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（青岛版·新教材）

培优专题4：模型观念 1.将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一 起，若ACDE,则∠DAB的度数为() A.5° B.10° C.15° D.20° 2.将一副三角尺在四边形ABCD中按如图所示 的方式摆放，其中CD∥AB,已知∠1=30°，则 ∠2=( A.55° B.60° C.65° D.75° 3.如图，将一张长方形纸条折成如图的形状，已 知∠2=55°，则∠1的度数为 4.[一题多辨](1)如图①，将长方形纸片ABCD 沿BD折叠，得到△BCD,CD与AB交于点 E.若∠1=30°，则∠2的度数为 ① ② (2)如图②，小丽利用一张左、右两边已经破 损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，她将纸 片沿EF折叠后，D,C两点分别落在D',C 的位置，并量得∠EFB=65°，则∠AED'的度 数是 第8章相交线与平行线☑ 三角尺的拼组与纸片的折叠 数 素 5.[几何直观·创新意识]如图，一次数学活动 中，检验两条纸带①②的边线是否平行，小明 和小丽采用两种不同的方法： 小明将纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=50°； 抽 小丽将纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重 合，HF与HE重合. 根据小明、小丽的方法，纸带①的边线 ,纸带②的边线 .（填“平 行”或“不平行”) 6.[创新意识]同学们玩游戏，借助两个三角形 模板画平行线。 棋型 ① ② 应 /75⊙ 识 X45°60 新 120° 识 30 030° ③ ④ 规则1：摆放一副三角尺，画平行线， 小颖是这样做的：如图①，先画一条直线 MN,之后摆放三角尺，得到AB/CD,依据是 小静按图②所示的方式摆放三角尺，也得到 AB/CD,依据是 规则2：请你利用图③中所示的两个三角形模 板摆放后画平行线.在图④中画出你摆放的 两个三角形模板的位置， 做神龙题得好成绩45 ☑同行学案学练测七年级数学下QD 数 培优专题5：学科融合 素 养 1.当光线从空气斜射向水中时，会发生折射.如 图，若人射角∠1=50°，折射角∠2=36°，则 ∠EDF的度数为( ) 象 A.14° B.16° C.18° D.25 不 A 运算 山A D 0 E 何 第1题图 第2题图 直观 2.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB= 35°，在OB边上有一点E,从点E射出一束光 念 线经平面镜反射后（提示：光经平面镜反射 推 理 后，∠ADC=∠ODE),反射光线DC恰好与 OB平行，则∠DEB的度数是( 数 A.709 B.60° C.65° D.110° 3.如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC, 一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反 射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB 所成的锐角α为( ) 识 A.30° B.45° C.60° D.75° 创 新 BM 识 第3题图 第4题图 4.(通辽中考)如图，一束光线AB先后经平面 镜OM,ON反射后，反射光线CD与入射光 线AB平行，当∠ABM=35时，∠DCN的度 数为( ) A.55° B.70° C.60° D.35° 5.(潍坊中考)如图是小亮绘制的潜望镜原理示 意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入 射光线l与反射光线m平行.若人射光线1 6 做神龙题得好成绩 光线传播中的数学问题 与镜面AB的夹角∠1=40°10'，则∠6的度数 为( 6月 4 D A.100°40'B.9980C.99°40'D.99°20 6.如图①，当光线从空气斜射到某种透明的液 体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角 ∠2的度数比为3：2.如图②，在同一平面 上，两条光线同时从空气斜射人这种液体中， 两条入射光线与水平液面的夹角分别为α，B, 在液体中两条折射光线的夹角为Y,则a,B,Y 三者之间的数量关系为( 2 A.3(a+B)=y B号a+p0=12w-7 C.a+B-Y D.a+3+y=180° 7.光在不同介质中的传播速度是不同的，因此 当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于 折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气 中也是平行的.如图，a仍c,两条平行光线 从水中射出，∠1=48°，∠2=158°，则∠3的 度数为8.2平行线及其判定 7.解：CE⊥CF,DG⊥DH,∴.∠ECF=∠GDH=90°. 第1课时平行线基本事实I :∠BCF=∠BDH,.∠BCF-∠ECF=∠BDH- 1.C2.③⑤3.(1)平行(2)相交(3)重合 ∠GDH,即∠DCE=∠BDG,∴.CEDG. 4.解：如图所示，用符号表示为PM∥AB,PN⊥AB. 8.D9.50°10.平行 11.909034同位角相等，两直线平行 12.解：EF∥GH.理由：因为∠2=∠CGM,∠2=∠1，所以 ∠1=∠CGM.又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠CGM +∠4，即∠MEF=∠EGH,所以EF∥GH. 13.解：CM∥DN.理由：，CF平分∠ACM,∴.∠ACM= 2∠1.∠1=72°，.∠ACM=2∠1=144°，.∠BCM= 180°-144°=36°.∠2=36°，.∠2=∠BCM, 5.C6.B7.D ..CM//DN. 8.解：(1)一条.图略.(2)平行.(3)如果两条直线都与第 14.解：因为AE是∠DAC的平分线，所以∠DAC= 三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2∠DAE.因为∠DAC+∠BAC=180°，∠B+∠C+ 9.解：A,B,C三点在同一条直线上.理由如下：因为AB∥ ∠BAC=180°，所以∠DAC=∠B+∠C.因为∠B= EF,AB是经过B点且和直线EF平行的直线.又因为BC ∠C,所以∠DAC=2∠B,所以∠DAE=∠B,所以 ∥EF,BC也是经过B点且和直线EF平行的直线.根据 AE∥BC. “经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”可 第3课时平行线判定定理 知AB,BC是同一条直线，即A,B,C三点在同一条直 1.B2.D3.∠B∠14.B5.C 线上 6.BC//ED AB//DF 7.B 8.DE BC 10.A11.垂直 9.解：OB∥AC,OA∥BC.理由：因为∠1=50°，∠2=50°，所以 12.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面 ∠1=∠2，所以OB∥AC.因为∠2=50°，∠3=130°，所以 13.解：(1)答案不唯一，如正面：AE∥MF;上面：AA'∥BB; ∠2+∠3=180°，所以OA∥BC. 右面：HR∥DD'.(2)EF∥A'B'.理由：，EF∥AB, 10.C11.B12.C13.①③④14.(1)30(2)60 A'B'∥AB,∴.EF∥A'B'(平行于同一条直线的两条直线 15.解：(1)：EA平分∠BEF,EC平分∠DEF,∴.∠2= 平行). 14.解：(1)分类 ∠I=∠BEF,∠3=∠A=7∠DER.:∠BEF+ (2)如图所示，三条直线可以将平面分成四部分或六部分 ∠DEF=180,∠2+∠3=2(ZBEF+∠DEF)= 或七部分 90°，∴.AE⊥EC.(2)AB∥CD.理由：由题意，得∠2 ① ① ② ∠1，∠3=∠4.又，∠1=∠A,∠4=∠C,∴∠A=∠2， ② l2 ③ ④ ∠3=∠C,.ABEF,EF∥CD,∴.ABCD. ③ ⑤ ⑥ 16.解：如图，在∠BCD的内部作∠BCM=25°，在∠CDE的 ④ 内部作∠EDN=10°.∠B=25°，∠E=10°，∠B= 12 ∠BCM,∠E=∠EDN,.AB∥CM,EF∥ND.又 ③/ ② :∠BCD=45°，∠CDE=30°，.∠DCM=20°，∠CDN= /① ④ ③ ② 20°，∴.∠DCM=∠CDN,∴.CMND,∴.ABEF. ① ④ ⑤ ⑥ A B ⑤ ⑥ 1,⑦ C---M N------>D 第2课时 平行线基本事实Ⅱ E 1.A2.B 第4课时平行线判定方法的综合应用 3.(1)AB CD E℉∠1与∠6，∠2与∠5 1.D2.B3.C4.C (2)∠3∠5 AB EF AC AC EF AB 5.90°180°90°12180°ABCD 4.B5.平行同位角相等，两直线平行 6.解：AB∥EF.理由：：CG平分∠DCF,∠FCG=65°， 6.90∠2∠1同角的余角相等同位角相等，两直线 ∠DCF=2∠FCG=130°，.∠BCE=∠DCF=130°. 平行 ∠B=50°，∴.∠B+∠BCE=180°，.AB/EF. ·18·同行学案学练测 7.C 8.ABC 7.解：如图，过点E,F分别作AB的平行线EG,FH,则 9.解：(1)平角定义BCF同位角相等，两直线平行 AB∥EG∥FH∥CD.因为AB∥FH,所以∠ABF= (2)平行理由：，BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE. ∠BFH.因为FH∥CD,所以∠CDF=∠DFH,所以 ∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF十∠ABF.同理可得 .∠ABC=2∠E,∴∠ABE=∠E,∴.ABEF ∠BED=∠DEG+∠BEG=∠CDE+∠ABE.因为 10.解：1：∠2：∠3=2：5，∠2=号∠D0E,∠D0E: ∠ABF= 号∠ABE,∠CDF=号∠CDE,所以∠BFD= ∠3=4：5：∠D0E+∠3=180，∠D0E=180×号 名∠BED,所以∠BED:∠BFD=3:2. =80,∠3=180°×号-100，∠00E=∠3=100 OA平分∠COE,.∠AOC=∠AOE= 2∠COE= 50°，∴.∠AOF=180°-∠AOE=130°，.∠AOF的度数 为130°.(2)平行.理由：由(1)可知∠AOC=∠AOE= 8.解：延长BE交DC的延长线于点M,如图所示.设∠B= 50°.∠1=50°，.∠AOC=∠1，AB/CD x,则∠BEF=2x,∠D=4x,所以∠MEF=180°-2x.因 为AB∥CD,所以∠1=∠B=x.因为EF⊥DF,所以 8.3平行线的性质 ∠F=90°.由四边形内角和为360°，得x+4x十90°+ 第1课时平行线的性质 180°-2x=360°，解得x=30°，所以∠BEF=60°. 1.A2.C3.25°4.C5.1056.C A 7.B8.C9.C10.B E 11.(1)360(2)95(3)27012.14°13.125° 14.解：(1)∠CED=∠GHD,∴.CE∥GF.(2)∠AED+ ∠D=180°.理由：CE∥GF,∠C=∠FGD.又 MI-c :∠C=∠EFG,∴.∠FGD=∠EFG,.AB∥CD, 9.解：(1)∠AEC=∠A十∠C.理由：如图①，作EF∥AB,则 .∠AED+∠D=180°.(3)：∠GHD=∠EHF=80°， ∠1=∠A.因为AB∥CD,所以EF∥CD,所以∠2=∠C, ∠D=30°，∴.∠CGF=180°-∠HGD=∠GHD+∠D= 所以∠AEC=∠A+∠C.(2)∠A+∠EFC+∠C= ∠AEF+180°.理由：如图②，作EN∥AB,FM∥AB.同(1) 110°.又，CE∥GF,.∠C=180°-110°=70°.又AB∥ 可得∠1=∠A,∠2=∠3，∠4+∠C=180°，则∠AEF= CD,.∠AEC=∠C=70°，∴.∠AEM=180°-70°=110°. ∠A+∠3=∠A+∠EFC-∠4=∠A+∠EFC-(180° 第2课时平行线性质与判定的综合应用 ∠C),所以∠A+∠EFC+∠C=∠AEF+180°.(3)∠A十 1.B2.B3.C4.A5.B6.A7.C8.D9.63 ∠F+∠H+∠C=∠E+∠G+∠O 10.①②③11.C12.6013.①④ 14.解：(1)AB∥CD,∴.∠1=∠DCE=28°.CE平分 ∠ACD,∴.∠ACD=2∠DCE=56°..AB∥CD, .∠HAE=∠ACD=56°.(2)CF∥AG.理由：：CE平 分∠ACD,.∠ACE=∠DCE=28°.，CF⊥CE, ① .∠FCE=90°，.∠FCH=∠FCE-∠ACE=90°-28 培优专题4：模型观念—三角尺的拼组 =62.:∠2=62°，∴∠FCH=∠2，.CF∥AG. 与纸片的折叠 15.解：(1)AB/CD.理由：，∠1与∠2互补，.∠1+∠2= 1.C2.D3.110° 4.(1)30°(2)509 180°.又∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,.∠AEF+ 5.不平行平行 ∠CFE=180°，∴.AB∥CD.(2)由(1)知，AB∥CD, 6.规则1：同位角相等，两直线平行（答案不唯一） ∴.∠BEF+∠EFD=180°.又∠BEF与∠EFD的平分 内错角相等，两直线平行 规则2：示例： 线交于点P,:∠PEP+∠BEFP-(∠BEF+∠EFD)= IM 90°，.∠EPF=90°.，GH⊥EG,.∠HGP=90°， 75°459B 60° ..PF//GH. A C 培优专题3：模型观念一平行线中的四大模型 1209 309 1.A 2.70°3.40°4.90°5.29°6.80 培优专题5：学科融合一光线传播中的数学问题 1.A2.A3.B4.A5.C 6.B[解析]如图，过点B,D,F分别作水平线的垂线，则 PC∥DE∥QG,∴.∠BDF=∠BDE+∠FDE=∠DBC+ ∠DPG.由题意，得∠DBC=号∠ABP=号(90-a), ③ ∠DPG-号∠HPQ-号(90-B∴∠BDF=号(90- 第9章二元一次方程组 9.1认识二元一次方程组 。)+号(80-创=号（18o-a-0,即7=120-号a+ 1.A2.CD3.a≠4 B,即号(a+m=120°-y 4.B5.C6.2 7.C8.D H 9./+y=40 10x+8y=370 10.C[解析]设可以装x箱大箱，y箱小箱.根据题意得4x +3y=32,x=8-是又x,y均为自然数 L= 或=2 或= 7.70° =0y=4或y=8x+y=8或9或10，∴所装 章末复习 的箱数最多为10箱. 11.B[解析]设购买笔记本x本，碳素笔y支.根据题意得 1.C2.145°3.60°4.B5.D6.A7.30°8.29.A 10.A11.B 3x十2y=28,y=14-号又：x,y均为正整数。 12.解：：BF⊥AC,HE⊥AC,.BF∥EH,.∠H= /x=2 ∠ABF,∠2=∠FBC.FG∥BC,.∠1=∠ABC. ,∠ABC=∠FBC+∠ABF,∴.∠1=∠2+∠H. =11或 4成二6或{工一8，·共有4种购买一 或 y=8 方案 13.解：(1)∠1+∠DFE=180°，∠1+∠2=180°，.∠2= ∠DFE,∴.AB∥EF,.∠3=∠ADE.DE∥BC, 12.B13.3 ∴∠ADE=∠B,∠3=∠B.(2)DE平分∠ADC, 3x+2y=19 14. 15.-3 ∴∠ADE=∠EDC.:DE∥BC,∴∠ADE=∠EDC= 5x+4y=35 ∠B.:∠2=3∠B,∠2+∠ADE+∠EDC=180°， 16.解：由题意得/m-2-2-1 ,解得m=5. ∴5∠B=180°，.∠B=36.又∠3=∠B,.∠1= (m≠-1 180°-∠DFE=∠3+∠EDC=36°+36°=72. 17.解：将=-1 代入方程组 (3x+2y=m ,得m=-3十4= 14.解：(1)如图①，过点P作PQ∥AB.PQ∥AB,AB∥ (y=2 nx-y=1 CD,.CD∥PQ..∠FPQ=∠DFP=40°.又，PQ∥ 1,-n-2=1,n=-3.所以m2+n2=12+(-3)2=1+9 AB,∠BEP=∠EPQ=30°，∴.∠EPF=∠EPQ+ =10. ∠FPQ=30°+40°=70°.(2)∠PEA=∠PFC+ ∠EPF.理由：如图②，过点P作PN∥AB,则PN∥CD, 18.解：把 |x=2 y=-1 代入方程组，得3×2-2×(-1)=8,5×2 ∴∠PEA=∠NPE.,PN∥CD,∴.∠FPN=∠PFC 一1=9.所以被污染的内容“○”和“△”分别是8和9. ,∠NPE=∠FPN+∠EPF,∴.∠PEA=∠PFC+ 9.2解二元一次方程组 ∠EPR.(3)∠BGP=90+名a.理由：如图@，过点P 第1课时代人消元法 作PM∥AB,则PM∥AB∥CD.同(1)得∠EGP= 1.C2.A3.C4.C5.A ∠BEG+∠GPM.,'∠BEP的平分线和∠EPF的平分线 交于点G,同（②得∠GP=90°+2∠CFP=90°+2a: 6示例：0y=2z+3②xy7.=2 v=-3 8.(1)/12 2=2 y=6 y=1 9.410.2111.312.-23 Q-- 13.A14.B 15.(1)/=2 /x=5 ly=1 16.解：由题意得x=-y,将x=-y代入8-5y=2a 2018,得y=2,将y=2代人③，得x十2=1，解得x= l2x+7y=a-18 |x=-1 得/3y-5y=2a 1-2y+7y=a-18 解特-g所的值为 一1，所以原方程组的解是 (y=2 第3课时选择合适的方法解方程组 17.解：把②代入①，得3x-4=5,解得x=3,把x=3代人 导图1：代人消去y ②，得3一2y=1,解得y=1,原方程组的解为任=3 导图2： y=1 解得 18.解：将方程②变形为9x一6y+2y=19,即3(3x-2y)+ 2x+y=4 变形 =-2x+4 -2 2y=19③，把方程①代入③，得3×5+2y=19, 代 代入 y=2,把y=2代人①，得x=3,∴.原方程组的解 3x-2y=13 x-2-2x+4)=13解得3 为/3 导图3：①×3-②×2 y=2 导图4：示例： 第2课时加减消元法 解得 x=2或x=-2 1.A2.BD3.B x-y=0 变形 x=Y 4.示例：325.y=0 代入 代入 y=2或=-2 Ix-2yl=2 y-21=2 m=2 x=5 4 消去x 6.(1) (2) (n=5 1 化简 得 y=2 y=2 7.78.1 又背得桥们第力程细任-多30仁 y=-3,代入2z 原方程组的解为侵皮仁子 ∫x=2 +my=8,得2X(一3)+（一-）Xm=8,解得m=-兰 82 x=22. x一29 (x=-1 10.解：设白色键的个数为x个，黑色键的个数为y个.由题 3. x=2 4. 11 v=1 意得/+y=88 y=5 (y=4 红y=16,解得/=52 答：白色键的个数为52 y-29 y=36 11 m=- 个，黑色键的个数为36个. 36. x=2 5. 11.B12.513.1 b=11 y=1 14.解：由题意得x十y=0,解方程组亿+y=0 3z-y=8得 7.解：整理方程组，得 5x-7y=230@×7+④×3，得 2x+3y=15③ ,x=2 代入m.x十y=60,得m一n=30.又 29x=174,即x=6.把x=6代入③，得y=1,则方程组的 y=-2 “m,n互为相反数，∴m十n=0,m一n=30 解为 /x=6 m十n=0,解得m y=1 =15,n=-15. &解：由①，得2z+y=6③，将③代人②，得是x+哥×6= 15.解：根据题意得 2x+3=-4解得任1 /3x-y=5 8,解得x=4.把x=4代入③，得2×4+y=6,解得y= y=-2 将 4a-10b=-26 /x=4 -g代 x=1 4a.x+5by=-26 一2.所以原方程组的解为 ax一by=一2，得 y=-2 (a+2b=-2 ,解 得/4 9.解：把方程①和②整体相加，得x十y=4③，分别把③代 6=1· x=-3 人①和②，得x=一3，y=7,所以原方程组的解是 16.解：设A种型号的新能源汽车的单价是x万元/台，B种 y=7· 型号的新能源汽车的单价是y万元/台.根据题意得 10.解：由①-②，得x-3y=-1③，由①十②，得x-y= z+2=9g解 /2x-y=6 得y=36答：A,B两种型号的新能源汽 /x=21 1④，联立③④，解得 y=1所以原方程组的解 x=2 车各自的单价分别为21万元/台和36万元/台. (x=2 是 17.解：②-①，得3x+3y=3,即x+y=1③，①-③× y=1 同行学案学练测·19·