精品解析：宁夏中卫市第一中学2025-2026学年高二上学期第4次过程性质量检测数学试题

中卫市第一中学2025-2026学年度第一学期第4次过程性质量检测 高二数学 一、单选题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 4. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 5. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C D. 8. 已知边长为2等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. (多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（ ） A 公差d＝－4 B. a2＝7 C. 数列{an}为递增数列 D. a3＋a4＋a5＝84 10. 已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 线段的中点到x轴的距离为2 11. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 12. 已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为12 C. 面积的最大值为4 D. 的取值范围是 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知成等差数列，则x的值是____________． 14. 已知数列满足，，则________． 15. 抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则______. 16. 已知数列满足，则____________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列的通项公式为． （1）计算的值； （2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 18. 已知抛物线上的点到焦点F的距离为6． （1）求抛物线C的方程； （2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程． 19. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 20. 已知数列的前项和为 （1）求的最小值，并求此时的值： （2）求出的通项公式 21. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 22. 阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为. （1）求椭圆标准方程； （2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2025-2026学年度第一学期第4次过程性质量检测 高二数学 一、单选题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 2. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 3. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 4. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得. 【详解】双曲线中，，且焦点在x轴上， 所以渐近线方程为，即， 由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等， 不妨求点到的距离，得. 故选：B 5. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值. 【详解】由椭圆，可得， 所以，所以椭圆的离心率， 又，所以双曲线的离心率为， 又双曲线，所以， 所以，解得. 故选：B. 6. 设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 7. 已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 8. 已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最小距离，代入三角形面积公式计算. 【详解】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，， 设，因为，所以，得， 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最小距离为：，所以面积的最小值为. 故选：A 二、多选题（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. (多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（ ） A. 公差d＝－4 B. a2＝7 C. 数列{an}为递增数列 D. a3＋a4＋a5＝84 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可． 【详解】解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7． ∵a1＝3，∴d＝4．∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15． ∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45． 故选：BC 10. 已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 线段的中点到x轴的距离为2 【答案】AC 【解析】 【分析】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然， 设，可得， 对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于C中，由，可得， 由抛物线定义，可得， 则，所以C正确； 对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误. 故选：AC. 11. 已知数列前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的前项和公式，利用，求出数列的通项公式，结合等差数列的定义和性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，， 当时，也满足上式，所以数列的通项公式为， 所以， 所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误； 因为，所以当时，；当时，， 所以有最小值或，故C正确； 因为，所以， 所以，所以数列是等差数列，故D错误. 故选：AC. 12. 已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为12 C. 面积的最大值为4 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判定A正确；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B正确；根据，结合椭圆的性质，可判定C错误；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确. 【详解】对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆， 可得，则， 则可得，解得，，所以A正确； 对于B，由A得椭圆的方程为，可得， 又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B正确； 对于 C，由面积为，因为， 所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值， 可得面积的最大值为，所以C错误； 对于D，设点的坐标为，其中，则，所以， 因，可得， 则， 因为，可得，即取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知成等差数列，则x的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 14. 已知数列满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由得数列是以2为公差，首项为1的等差数列，进而求解. 【详解】由题意有：，所以数列是以2为公差，首项为1的等差数列， 所以， 故答案为：. 15. 抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦半径公式，确定点的横坐标，再求点的纵坐标，可得的面积. 【详解】如图： 不妨设点在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为. 则，又，所以，所以. 所以. 故答案为： 16. 已知数列满足，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的周期性可得数列满足，再由累加法利用等差数列前和可得结果. 【详解】由余弦函数性质可知数列是以为周期的周期数列， 易知，，，， 则，且，可得； 由累加法可得 ； 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据三角函数的周期性可得数列中的周期或类周期规律，再利用等差数列和等比数列性质，利用累加法或累乘法即可求得结果. 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列的通项公式为． （1）计算的值； （2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是数列的第10项． 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【小问1详解】 数列中，，， 所以. 【小问2详解】 若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 18. 已知抛物线上的点到焦点F的距离为6． （1）求抛物线C方程； （2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. （2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程． 【小问1详解】 由题设，抛物线准线方程为， ∴抛物线定义知：，可得， ∴. 【小问2详解】 由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， 有，整理得，则，又P是线段的中点， ∴，即，故. 19. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法来证明线线垂直，即可证明线面垂直； (2)利用空间向量法来求两平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，即，， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 20. 已知数列的前项和为 （1）求的最小值，并求此时的值： （2）求出的通项公式 【答案】（1）最小值为，此时或8； （2） 【解析】 【分析】（1）利用前n项和的函数性质求最值，并确定对应的值； （2）应用的关系求通项公式. 【小问1详解】 由，， 故或时，取最小值为； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 显然不满足上式，故. 21. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. 【小问2详解】 设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 22. 阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）；（2）直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）设直线，，进而写出为，两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标. 【详解】（1）椭圆的面积等于，， ，椭圆的焦距为，， ， 椭圆方程为 （2）设直线，，则，，三点共线，得 ， 直线与椭圆交于两点,,，， 由，得，， ，代入中， ，， 当，直线方程为，则重合，不符合题意； 当时，直线,所以直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $