精品解析：广东河源市龙川县第一中学2025-2026学年高三数学3月份质量检测试卷

龙川一中2025-2026学年高三数学3月份质量检测 一、本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知直线和直线，若，则（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不存在 3. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 3.5 D. 2.5 4. 粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（ ） A. 估计被调查者中约有15人吸烟 B. 估计约有15人对问题2的回答为“是” C. 估计该地区约有3%的中学生吸烟 D. 估计该地区约有1.5%的中学生吸烟 10. 已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. C. 直线平行于轴 D. 的面积的最大值为 11. 已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 13. 的展开式的常数项是_____(用数字作答)． 14. 如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式和前n项和； （2）设，求数列的前n项和公式． 16. 如图，空间几何体中，和平面所成角为，直线平面，且和是全等的等腰三角形． （1）求证：平面； （2）若，平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数,且恒成立. （1）求实数； （2）证明：当时，． 18. 湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. （1）求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； （2）若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； （3）经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2025-2026学年高三数学3月份质量检测 一、本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知直线和直线，若，则（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可. 【详解】因为，所以，解得 时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去. 时，两直线不重合，满足题意. 故选：C 3. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 3.5 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出对应的物理成绩的预测值，再根据残差的定义计算即可. 【详解】将代入得， 则样本点的残差为. 故选：D 4. 粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正四棱锥底面正方形的边长为，正四棱锥的斜高为，根据条件得，即可求解. 【详解】如图，设正四棱锥底面正方形的边长为，正四棱锥的斜高为，则正四棱锥的高为， 由题知，即，所以， 解得或（舍） 故选：C. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 6. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 7. 已知，部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出，根据求出的值，图象经过确定的值，求出函数的解析式，然后求出即可． 【详解】由图可知，所以，所以， 因为函数过所以，因，故， 又图象经过，所以，所以，所以， 则. 故选：D. 8. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式画出的草图，将问题化为的图像与直线和，共有6个交点，数形结合有的图像与直线有2个交点，从而得解. 【详解】画出函数的图像如图所示， 函数有6个零点， 等价于有6个解， 即或共有6个解， 等价于的图像与直线和直线，共有6个交点， 由图得的图像与直线有4个交点， 所以的图像与直线有2个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（ ） A. 估计被调查者中约有15人吸烟 B. 估计约有15人对问题2的回答为“是” C. 估计该地区约有3%的中学生吸烟 D. 估计该地区约有1.5%的中学生吸烟 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解. 【详解】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为， 回答问题2且回答的“是”的人数为， 从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为， 估计被调查者中吸烟的人数为. 故选：BC． 10. 已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. C. 直线平行于轴 D. 的面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】设过的直线为，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，设点坐标为，推导出，即可判断C，由面积公式，再构造函数，利用导数求出面积最小值，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设过的直线为， 将其与抛物线联立可得，消去整理得， 所以，， 对于A：，当且仅当时取等号，即的最小值是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：设点坐标为，则， 因为，故，故直线平行于轴，故C正确； 对于D：， 设函数，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，即的面积的最小值为，故D错误， 故选：AC． 11. 已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD. 【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为， 若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误； 因为为偶函数，所以，即， 则，又，所以， 所以，即，所以， 故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确； 对两边同时求导，得， 所以导函数的周期为8，所以，故C正确； 由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 【答案】58 【解析】 【分析】根据投影向量的定义进行计算即可. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，所以， 故答案为：58 13. 的展开式的常数项是_____(用数字作答)． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式通项得，再令即可解出. 【详解】设展开式的通项为， 令，解得，，为所求常数项． 故答案为：. 14. 如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设扇形所在圆的半径为，可得，求得，且，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得，和，所以， 设扇形所在圆的半径为，可得，且垂直于水平面， 在直角中，可得， 所以，且， 在中，可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式和前n项和； （2）设，求数列的前n项和公式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法即可求出结果. 【小问1详解】 公差不为零的等差数列中，，又成等比数列， 所以，即， 解得， 则， . 【小问2详解】 由（1）可知，， 可得数列的前项和 . 16. 如图，空间几何体中，和平面所成角为，直线平面，且和是全等的等腰三角形． （1）求证：平面； （2）若，平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，利用面面垂直证明平面，再通过线线平行推出线面平行； （2）先证明四边形为矩形，依题意建系，写出相关点和向量的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，计算即得． 【小问1详解】 过点作于点，连接， ∵与面所成角为， ∴平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 由（1）知，故四点共面， 而平面，平面， ∴， 又∵平面，平面， ∴， ∴在平面中，，即为平行四边形，， ∴平面，而平面， ∴， ∵和为全等的等腰三角形， ∴，∴为的中点， 以为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设， ∴， ∴， 取平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数,且恒成立. （1）求实数； （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求得，验证可得时，恒成立； （2）由（1）可知，可得，可得，构造函数，求导可证，进而可证不等式成立. 【小问1详解】 ∵，∴恒成立， ∴，所以， ∵，∴，∴， 当时，， ∴时，，单调递减，时，，单调递增， ∴，∴恒成立， 所以． 【小问2详解】 由（1）知对任意实数有，令（）， 则，即，故， 要证明，即证明， 由，可得， 因此只需证明当时，即可. 令函数， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以当时，， 即当时，． 18. 湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. （1）求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； （2）若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； （3）经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）由概率乘法公式进行求解； （2）由条件概率公式求解； （3）记三幅作品成为成品的事件分别为，则，由可取，求出对应的概率，列出分布列即可求解数学期望． 【小问1详解】 记三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件， 则． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 记三幅作品成为成品的事件分别为， 则， 由可取， 则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】（1），，（答案不唯一）； （2）是，理由:若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. （3）证明：若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 【解析】 【分析】（1）先根据渐近线方程得出，再取切点为即可根据条件求出； （2）分直线斜率不存在，和斜率存在两种情况讨论，设直线方程，联立方程组，求，进而利用的面积为，即可发现直线与曲线相切； （3）切点为容易求出，切点不为时，先根据直线与曲线相切得出，再将直线与联立得出韦达定理，进而求出、，即可求出，进而得出为定值. 【小问1详解】 由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $