精品解析：广东省河源市龙川县第一中学2025-2026学年高三上学期10月期中数学试题

2025-2026学年高三数学10月份月考试卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，，且，则 的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数是函数 的导函数，，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且则一定有（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为奇函数 B. C. 函数的值域为 D. 当时， 10. 设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上为减函数 C. 为奇函数 D. 方程有且仅有6个实数解 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上的最小值为 B. 的图象与 轴有3个公共点 C. 的图象关于点对称 D. 的图象过点的切线有3条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是偶函数，则 的取值为______． 13. 已知函数，则在点处的切线方程为_____. 14. 已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则 的取值范围是____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的对称中心及对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 16. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若， ，求c． 17. 已知函数； （1）若 ，求函数的单调区间； （2）当 时，求函数在上的最大值． 18. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产 台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量 台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数． （1）若 ，求的单调区间； （2）当时，，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三数学10月份月考试卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合 后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，解不等式即可求解. 【详解】由题意可知函数的定义域为，， 令，得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由，即，解得， 因为真包含于，所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：A 4. 已知 ，，且，则 的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 5. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系得出则，再应用诱导公式计算求解. 【详解】已知，且，则， 则， 则. 故选:C. 7. 设函数是函数的导函数，，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用题设中的不等式中的信息构造函数，再用函数单调性求解而得. 【详解】依题意，令函数，则，且， 所以是 上的增函数，，解得． 故选：A 【点睛】由条件构造函数的常用两类问题：已知，可构造函数； 已知，可构造函数. 8. 已知且则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，构造函数，利用在上的单调性比较大小可得答案. 【详解】因为 所以， 所以 ， 令，则， 当时，，故在上单调递增， 因为所以， 则 所以，即，故A正确；故B错误； 因为，所以， 因为 ，所以不确定，故CD错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用在上的单调性比较大小可得答案. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为奇函数 B. C. 函数的值域为 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可. 【详解】设幂函数为 将代入解析式得，故，所以， 定义域为， 因为，故函数为奇函数，故A正确； 函数，故B错误； 显然的值域为，故C错误； 当时，， 即满足，故D正确 故选：AD 10. 设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上为减函数 C. 为奇函数 D. 方程有且仅有6个实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知得到、，进而有，再利用对称性、周期性判断A、B、C，结合区间解析式及对称性和周期性化为函数与的大致图象，数形结合确定零点个数判断D. 【详解】由，则函数为奇函数， 即函数的图象关于点成中心对称，得， 由，则函数为偶函数， 即函数的图象关于直线 成轴对称，得， 两式相加可得，则，即， A，，故A正确； B，由周期性知，函数在区间与上图象相同， 由函数的图象关于点成中心对称， 则函数在区间与上的单调性相同，， 当时，， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误； C，由，则函数为奇函数，故C正确； D，由题意，作图如下： 则函数与有且仅有个交点， 所以有且仅有6个实数解，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上的最小值为 B. 的图象与 轴有3个公共点 C. 的图象关于点对称 D. 的图象过点的切线有3条 【答案】ABD 【解析】 【分析】将原函数的导函数求出，即为：，由导函数的正负判断原函数的单调性，然后即可判断出函数在上的最值，将原函数的极大值与极小值求出，即可画出函数图象，判断出函数与 轴的交点个数，对于C选项，只需判断出即能说明的图象关于点对称，D选项需求过点的切线方程，注意区分过某点的切线方程和在某点的切线方程. 【详解】因为，所以， 所以当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， A选项中，当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， ， 所以在上的最小值为，A正确； 因为在，上单调递增，在上单调递减， ， ， 且当时，，时，， 如图所示： 所以的图象与 轴有3个公共点，B正确； 若的图象关于对称，则有， 因为， 所以C错误； 因为，设的切点为， 所以， 所以在切点处的切线方程为：， 当切线过时，即：， 整理得：， 设， 则 所以时， 或， 当时，，单调递减， 当时，或，单调递增， 所以， 所以的图象如图所示： 所以由图象知有三个零点，所以有三个根， 所以的图象过点的切线有3条，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是偶函数，则 的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，代入解出即可. 【详解】由题意有，即， 所以，所以， 解得，解得， 故答案为：. 13. 已知函数，则在点处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出，再利用导数的几何意义可求切线方程. 【详解】，故， 故且， ，， 故切线方程为：，化简得. 故答案为：. 14. 已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则 的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】设,由题意得，令，则，所以函数是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，有恒成立，运用配方法求出函数在上的最大值即可． 【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立, 不妨设，所以，即， 令，则， 所以函数在单调递增， 则恒成立，所以恒成立， 又函数，当 时，等号成立， 所以， 所以实数 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，本题采用参变分离法，将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的对称中心及对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）对称中心为，对称轴方程为：； （2）最大值为，最小值为0． 【解析】 【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可． （2）当时，，可得，即可得出函数的最值． 【小问1详解】 ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． 【小问2详解】 当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． 16. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若， ，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简，即可得解； （2）利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即，化简得， 又，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 又，由（1）可得， 所以，又 ，所以． 17. 已知函数； （1）若 ，求函数的单调区间； （2）当 时，求函数在上的最大值． 【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为. （2） 当时，， 当时，. 【解析】 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【小问1详解】 函数定义域为， 当 时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为 ，单调减区间为. 【小问2详解】 ， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 18. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产 台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量 台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【小问1详解】 当时，； 当时，， ． 【小问2详解】 若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 19. 已知函数． （1）若 ，求的单调区间； （2）当时，，求 的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令，根据导数求得最小值后可得，即可求得的单调区间； （2）求导，要使当时，成立，则，再分，，三种情况，结合导数证明即可. 【小问1详解】 当 时，的定义域为， ，显然， 令，， 则，令，则 ， 当时，，所以在区间上单调递减； 当时，，所以在区间上单调递增， 所以，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 由，， 则，因为， 所以要使当时，，则必须满足，即． 下面证明：． 当时，， 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以，即当时，； 而当时，令，， 则，故在上单调递增， （ⅰ）当时，，， 所以存在，使得， 又在上单调递增， 所以当时， 即在上单调递减，所以； （ⅱ）当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $