精品解析：安徽省滁州市定远育才学校2025-2026学年八年级下学期3月质检数学试卷

定远育才学校2025-2026学年八年级（下）3月质检 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 一切实数 4. 将代数式配方成形式为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 若一元二次方程的两根是，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 或1 B. 或6 C. 6 D. 1 9. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 10. 我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 12. 若实数x、y满足，，则的值为_____． 13. 若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则m=________． 14. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中较大的数，如：． （1）方程的解为_______； （2）方程的解为_______． 四、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知，，求的值． 18. 文字解答题 （1）若，都是实数且，求的平方根； （2）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 19. 一家水果店以每千克元的价格购进某种水果若干，然后以每千克元的价格出售，每天可售出，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低元，每天可多售出． （1）若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是多少千克用含的代数式表示 （2）销售这种水果要想每天盈利元，且保证每天至少售出，那么水果店需将每千克的售价降低多少元 20. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； （3）若的值为负整数，求实数的整数值． 21. 如图，在中，点P从A点开始沿边向点C以的速度运动，在C点停止，点Q从C点开始沿方向向点B以的速度移动，在点B停止． （1）如果点分别从同时出发，经几秒钟，使； （2）如果P从点A先出发，点Q再从C点出发，经过几秒后． 22. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程的根，求这个三角形的周长． 23. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ①________； ②化简． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年八年级（下）3月质检 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A．是最简二次根式，符合题意， B．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意， C．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意， D．被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不符合题意； B．与是同类二次根式，符合题意； C．与不是同类二次根式，不符合题意； D．与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 一切实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义分母不等于0，二次根式有意义被开方数为非负数，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得，且， 解得：且， 故选：C． 4. 将代数式配方成形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据配方法可以解答本题． 【详解】解：由题意得： 故选C. 【点睛】本题考查配方法的应用，解题关键在于把二次项的系数提取出来之后进行配方即可. 5. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是熟练掌握根与系数的关系．利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选：C． 6. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 7. 若一元二次方程的两根是，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用求根公式求出两根，判断两根的符号关系，逐一判断选项即可． 【详解】解：将原方程整理得， ∵，，， ∴， ∴两个根一个为，一个为，两根异号， A项：，故A错误； B项：题目未规定的大小，若为正根，则，故B错误； C项：两根异号，则，故C错误； D项：两根异号，异号两数相除商为负，则，故D正确． 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 或1 B. 或6 C. 6 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 9. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为这个隐含条件． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：或， 又， 或． 故选：D． 10. 我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果． 【详解】把方程看作关于的一元二次方程， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义，则， 所以． 12. 若实数x、y满足，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，根据被开方数大于等于0得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，进而求出y的值，再求出z的值即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则m=________． 【答案】2 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）,特别要注意a≠0的条件． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则 |一定是二次项． 所以得到 ， 解得m=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+2≠0这一条件． 14. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中较大的数，如：． （1）方程的解为_______； （2）方程的解为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法求解是关键． （1）由题意，因式分解法解方程即可； （2）分与两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 解得：； 故答案为：； （2）当时，即时，， ∴，即， 解得：； 当时，即时，， ∴，即， 解得：； 不符合题意，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 四、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、平方根、立方根、整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2），； 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把化为一般式，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， 则， ∴，； 17. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 先将分式通分，再把字母的值代入相应的式子运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 18. 文字解答题 （1）若，都是实数且，求的平方根； （2）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查实数与数轴，算术平方根的化简，绝对值的化简，立方根，平方根的定义． （1）根据二次根式的性质求出的值，再代入，结合平方根的定义即可解答； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，再分别化简计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意：，解得， ∴， ∴， ∴的平方根为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ∴，，， ． 19. 一家水果店以每千克元的价格购进某种水果若干，然后以每千克元的价格出售，每天可售出，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低元，每天可多售出． （1）若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是多少千克用含的代数式表示 （2）销售这种水果要想每天盈利元，且保证每天至少售出，那么水果店需将每千克的售价降低多少元 【答案】（1） （2）水果店需将每千克的售价降低元 【解析】 【分析】（1）先根据单价降低与销量增加的对应关系，算出每降低元的销量增量，再结合降价元，用原销量加增量得到总销量的代数式； （2）先根据总盈利等于每千克利润乘销售量列出一元二次方程，求解后再结合销量不低于的限制，筛选出符合条件的降价金额． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得，； 当时，每天的销售量为，，不满足要求，舍去； 当时，每天的销售量为，，满足要求． 答：水果店需将每千克的售价降低元． 20. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； （3）若的值为负整数，求实数的整数值． 【答案】（1）且 （2） 不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； （3）实数的整数值为或或或 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于，联立两个条件求出的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再对已知等式进行移项变形，将两根之和与两根之积代入求解，最后结合（1）的范围判断该是否符合题意，从而确定是否存在； （3）先将代数式展开并代入两根之和与两根之积化简得到关于的分式，再根据结果为负整数的条件，分析得出分母为的正约数，进而求出对应的整数． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 21. 如图，在中，点P从A点开始沿边向点C以的速度运动，在C点停止，点Q从C点开始沿方向向点B以的速度移动，在点B停止． （1）如果点分别从同时出发，经几秒钟，使； （2）如果P从点A先出发，点Q再从C点出发，经过几秒后． 【答案】（1）2秒或4秒（2）4秒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．涉及几何图形动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 本题可设P出发后，符合已知条件： 在（1）中，，；进而可列出方程，求出答案． 在(2)中，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：（1）当同时出发，设时，， 由题意得： ， ∴，解得． 经2秒点P到离A点处，点Q离C点处， 经4秒点P到离A点处，点Q点C点处，经验证，它们都符合要求． （2）设P出发时， 则Q运动的时间为秒，由题意得： ， ∴， 解得：（秒） 因此经4秒点P离A点，点Q离C点，符合题意． 22. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程的根，求这个三角形的周长． 【答案】（1）；（2）14. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程x2-2（a+1）x+a2+3=0的两实数根得到△≥0，求出a的取值范围，结合（x1-1）（x2-1）=10，利用根与系数的关系即可求出a的值； （2）分类讨论：当6是等腰三角形的腰长，当6是底边长，利用等腰三角形的性质求出a的值，进而求出等腰三角形的腰长或底边长，求出三角形的周长． 【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴，即， 解得：． ∵，，， ∴， 即． 解得，． ∵， ∴． （2）由题意可知，若等腰三角形的底边为6， 那么方程的两个根相等， ∴，即， 解得：． ∴方程为，解得． 因为不能构成三角形，故舍去． 若等腰三角形的腰长为6，那么方程的一个根为6， ∴把代入方程，得， 解得：或． 当时，方程为， 解得：，． ∴此三角形的周长为：； 当时，方程为， 解得：，． 因为不能构成三角形，故舍去． 综上可知，三角形的周长为14． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、跟的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的性质，注意分类讨论，此题难度一般． 23. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ①________； ②化简． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化． （1）把代数式整理可得：原式，再把代入整理后的代数式计算求值； （2）①把的分子、分母同时乘以，可得结果为； ②把算式中各部分分别进行分母有理化，可得：原式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：①解： ； ②解：． . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $