2025-2026学年苏科版八年级数学下册第五周周练滚动练习

2025--2026学年第二学期初二数学（2024版）第五周滚动练习 一．选择题（共8小题） 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC 第1题第3题 2．下列命题中，①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④菱形的每一条对角线平分一组对角．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值是（　　） A．24 B．12 C．6 D．10 4．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E、点F分别在边BC、DC上，∠EAF＝45°，连接EF，连接BD分别交AE、AF于点G、点H．下列结论：①EF＝BE+DF； ②GH＝BG+HD；③BE；④△EFC的面积的最大值为3﹣2．其中所有正确结论的序号是（　　）A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 第4题第9题第10题 5．若方程（m﹣1）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≠1 C．m＞0 D．m≠0 6．方程x（x﹣2）＝0的根是（　　） A．x＝2； B．x＝﹣2； C．x1＝﹣2，x2＝0； D．x1＝2，x2＝0 7．若x＝4是一元二次方程x2﹣5x+c＝2的一个根，则c的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．问题探究：求代数式最小值．可对变形为， 当，即x2＝1时，取最小值2．类比迁移：代数式最小值（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二．填空题（共8小题） 9．如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 10．☆如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①∠DCF∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF． 11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，将△DCE沿着CE翻折，得到△D′CE，延长BD′交CE的延长线于点H，则EH＝　 　 ． 第11题第12题 12．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为10，AB＝3，则AD的长是 　 　 ． 13．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BO＝3，CO＝4，直线EF⊥AB交两对边于E、F，则EF的长为 　 　 ． 第13题 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+6a＝0的一个解为x＝2，则a的值为　 　 ． 15．如果关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0的两根为1和，那么多项式2x2+mx+1可分解为　 　 ． 16．已知x＝m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的根，则24﹣4m+m2的值为　 　 ． 三．解答题（共11小题） 17．已知关于x的方程（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）＝0． （1）k为何值时，此方程是一元一次方程？求这个一元一次方程的根； （2）k为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 18．解方程：（1）x2﹣5＝0； （2）x2+10x﹣7＝0． （3）（x﹣1）2﹣9＝0； （4）x2﹣4x﹣3＝0． 19．关于x的方程x2﹣mx﹣5＝0有一个根是﹣1，求另一个根及m的值． 20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣3）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣3）2＝0，∴n＝3，m＝3． （1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x和y的值． （2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，判断△ABC的形状． 21．如图是一个运算框架图，A，B，C表示某一实数，运算过程是A+1＝B，B×（﹣x）＝C，A﹣1＝C． （1）若A表示的数为（x+1），列出方程并解该方程； （2）若A表示的数为2x，请说明该方程根的情况． 22．我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，AF∥CD， （1）探究∠A与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，若AB＝DE，则AF与CD相等吗？请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AC、CE、AE，则△ACE与平行六边形ABCDEF的面积之比是 　 　 ． 23．已知：线段AB＝6，点C为AB上一动点（不与A，B重合），分别以AC，BC为边，在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接DE． （1）如图1，若BC＝2，CF为AD边上的高， ①求DF的长； ②求证：四边形DECF为矩形； （2）只用无刻度的直尺，在图2中作出DE的中点M，不写作法，保留作图痕迹； （3）在（2）的条件下，当CM的长取最小值时，DM的长为 　 　 （直接写出结果）． 24．（1）解方程x2+2x+1＝4； （2）一位农民计划用36m长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为18m），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为130m2，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 25．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足：a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是 　 　 ； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 26．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 27．（10分）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝45°， ∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠EAG＝∠EAF＝45°，∴△AEF≌△AEG（SAS）， 作△AEG的外接圆⊙O，连接OA，OG，OE，过点O作OH⊥EG于点H， 设 OA＝OE＝OG＝r，∵∠EAG＝45°，∴∠EOG＝90°， ∴△OEG是等腰直角三角形，∴OH＝GHr， ∵AO+OH≥AB，∴rr≥1，∴r≥2，∴GEr≥22， ∵S△AEF＝S△AEGGE•AB1，∴S△AEF的最小值为1， ∴△EFC的面积的最大值为3﹣2．故④正确，故选：C． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．【解答】解：∵方程（m﹣1）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣1≠0．解得：m≠1，故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义 6．【解答】解：由题知，x（x﹣2）＝0，则x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝2，x2＝0．故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 7．【解答】解：把x＝4代入一元二次方程x2﹣5x+c＝2得16﹣20+c＝2，解得c＝6．选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元一次方程． 8．【解答】解：∵（x）2+4≥4，∴当x0，x2＝2时，最小值4．选：B． 【点评】本题考查了分式，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 二．填空题（共16小题） 9．【解答】16； 10．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF＝FD， ∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF， ∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF∠BCD，故①正确； 延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF， ∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DMF中，，∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°， ∵FM＝EF，∴FC＝FM，故②正确； ③∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC 故S△BEC＝2S△CEF错误，即③错误； ④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x， ∴∠EFC＝180°﹣2x，∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x， ∵∠AEF＝90°﹣x，∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确．故答案为：①②④． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键． 11．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝4， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵点E是边AD的中点，∴DE＝AE2， 在Rt△CDE中，， ∵将△DCE沿着CE翻折，得到△D′CE，∴∠DCE＝∠D′CE， ∠D＝∠CD′E＝90°，CD＝CD′＝4，DE＝D′E＝2，∴CD′＝BC， 如图，过点D′作D′F⊥CH于点F，过点C作CG⊥BH于点G， 则∠D′CG＝∠BCG， ∴∠HCG＝∠D′CE+∠D′CG45°， ∴∠H＝45°，∴△D′FH为等腰直角三角形，HF＝D′F， ∵S△D′CE，∴，∴HF＝D′F， 在Rt△D′EF中，， ∴EH＝HF﹣EF．故答案为：． 【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据题意推理论证得到∠H＝45°是解题关键． 第11题 12．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BC＝AD， ∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵△ABE的周长为10，∴AB+AE+BE＝10， ∴3+BC＝10，∴BC＝7，∴AD＝BC＝7．故答案为：7． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键． 13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BO＝3，CO＝4， ∴AC⊥BD，DO＝BO＝3，AO＝CO＝4（菱形的对角线互相平分并且垂直）， ∴，AC＝8，BD＝6， ∵，∴，∴，故答案为：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 14．【解答】解：将x＝2代入原方程得：22﹣2a+6a＝0，解得：a＝﹣1， ∴a的值为﹣1．故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 15．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0的两根为1和， ∴2x2+mx+1＝2（x﹣1）（x）＝（x﹣1）（2x﹣1），故答案为：（x﹣1）（2x﹣1） 【点评】此题考查了解一元二次方程，以及分解因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣4m+1＝0，整理得m2﹣4m＝﹣1， ∴24﹣4m+m2＝（m2﹣4m）+24＝﹣1+24＝23． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共26小题） 17．【解答】解：（1）①由题意，得：2k+1＝0，解得k，（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）＝0是一元一次方程，解为x；②2+k＝1，且2k+1﹣4k≠0，解得k＝﹣1，（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）＝0是一元一次方程，解为x；③当k+2＝0时，解得：k＝﹣2，（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）＝0是一元一次方程，解为x；综上所述，k或﹣2时，x．k＝﹣1时，x； （2）由题意，得：2+k＝2且2k+1≠0，解得k＝0， 当k＝0时，（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）＝0是一元二次方程，x2﹣1＝0． 这个一元二次方程的二次项系数是1、一次项系数是0、常数项﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 18．【解答】解：（1）原方程移项可得：x2＝5，，∴，； （2）原方程移项可得：x2+10x＝7，x2+10x+25＝7+25，（x+5）2＝32， ，，∴，． （3）原方程移项可得：（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，∴x1＝4，x2＝﹣2； （4）原方程移项可得：x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝7，∴（x﹣2）2＝7， ∴，∴，∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 19．【解答】解：由条件可得（﹣1）2﹣m×（﹣1）﹣5＝0， 解得m＝4，∴x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴另一根是x＝5，m＝4． 【点评】本题考查根据一元二次方程的根求参数的值，准确的计算是解决本题的关键． 20．【解答】解：（1）由条件可得（x2+4xy+4y2）+（y2+6y+9）＝0， ∴（x+2y）2+（y+3）2＝0，∴（x+2y）2＝0，（y+3）2＝0， ∴x＝﹣2y，y+3＝0，∴x＝6，y＝﹣3； （2）由条件可得2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ac，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）2＝0， ∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形． 【点评】本题考查了整式的加减运算，配方法的应用，偶次方的非负性，掌握整式的加减运算法则，配方法，偶次方的非负性是解题的关键． 21．【解答】解：（1）根据题意可得：（A+1）（﹣x）＝A﹣1， ∴[（x+1）+1]（﹣x）＝（x+1）﹣1，化简得到方程：﹣x2﹣2x＝x，解得x1＝0，x2＝﹣3． （2）由条件可知（2x+1）（﹣x）＝2x﹣1，展开整理：2x2+3x﹣1＝0， ∵Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴该方程有两个不相等的实数根． 【点评】考查解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键． 22．【解答】解：（1）∠A＝∠D， 证明：连接AD，如图1，∵CD∥AF，AB∥DE，∴∠DAF＝∠CDA，∠DAB＝∠EDA， ∴∠DAF+∠DAB＝∠CDA+∠EDA，∴∠BAF＝∠CDE； （2）AF＝CD，理由如下： 如图2，延长FA、CB交于点M，延长FE、CD交于点N，∵CD∥AF，CB∥FE， ∴四边形MFNC为平行四边形，∠F+∠N＝180°，∠F+∠M＝180°， ∴MF＝CN，∠M＝∠N，由（1）得，∠BAF＝∠CDE，∴∠MAB＝∠NDE ∵∠M＝∠N，∠MAB＝∠NDE，AB＝ED，∴△ABM≌△DEN（AAS）， ∴AM＝DN，∴AF＝CD； （3）∵△ABM≌△DEN，∴AM＝DN，BM＝EN，∴AF＝CD，BC＝EF， 如图3，过点E作CD的平行线，过点C作DE的平行线，两条线交于点Q，连接AQ， ∴四边形CDEQ是平行四边形，∴CQ＝DE， ∵AB＝DE，AB∥DE，∴CQ＝AB，CQ∥AB，∴四边形ABCQ是平行四边形，∴AQ＝BC， ∵BC＝EF，BC∥EF，∴AQ＝EF，AQ∥EF，∴四边形AQEF是平行四边形， ∴S△ACQ＝平行四边形ABCQ的面积的，S△ECQ＝平行四边形CDEQ的面积的， S△AEQ平行四边形AQEF的面积的，∴S△ACQ+S△ECQ+S△AEQ＝S△ACE＝平行六边形ABCDEF的面积的，∴△ACE与平行六边形ABCDEF的面积之比是1：2．故答案为：1：2． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键， 第22题第23题 23．【解答】（1）①解：如图1，∵AB＝6，BC＝2，∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2＝4， ∵△ACD是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CF为AD边上的高，∴AF＝DFAC＝2； ②证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，BC＝2， ∴∠DAC＝∠BCE＝60°，CE＝2，∴AD∥CE， ∵DF＝2，∴CE＝DF，∴四边形CEDF是平行四边形， ∵CF为AD边上的高，∴∠CFD＝90°，∴四边形CEDF是矩形； （2）如图2，点M即为所求； （3）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠DAB＝∠ECB＝∠ACD＝∠ABE＝60°， ∴DG∥CE，EG∥CD，∴四边形CDGE是平行四边形，∴CMCG，DMDE， 当CM最小时，CG最小，当且仅当GC⊥AB时，CG最小， ∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABG是等边三角形，CG⊥AB， ∴AG＝AB＝6，AC＝BCAB＝3，∴AD＝BE＝DG＝EG＝3， ∴DEAB＝3，∴DMDE，故答案为：． 【点评】四边形综合题，考查等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等，熟练掌握平行四边形的判定和性质等是解题关键． 24．【解答】解：（1）x2+2x+1＝4，（x+1）＝±2，x1＝1，x2＝﹣3； （2）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（36﹣2x）m，依题意列一元二次方程得：x（36﹣2x）＝130，整理得：x2﹣18x+65＝0，解得：x1＝13，x2＝5． 当x＝5时，36﹣2x＝26＞18，不合题意，舍去，当x1＝13时，36﹣2x＝10＜18符合题意． 答：长方形菜园的长是10m，宽是13m． 【点评】本题考查解一元二次方程的应用，解一元二次方程，关键是根据题意找到关系式． 25．【解答】解：（1）一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”． 理由如下： 当x＝1时，4x2﹣11x+7＝0，则x＝1为方程的解， ∴一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”； （2）∵ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，∴a﹣3+c＝0， 把x＝2代入ax2﹣3x+c＝0得4a﹣6+c＝0，解得a＝1，c＝2， ∴这个“黄金方程”为x2﹣3x+2＝0；故答案为：x2﹣3x+2＝0； （3）∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，∴3﹣m+n＝0，即n＝m﹣3， ∵m是此方程的一个根，∴3m2﹣m2+n＝0，即2m2+m﹣3＝0， 解得m1，m2＝1，即m的值为或1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 26．【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，依题意得：y＝（40﹣x）（20+2x） ＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800， 当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），解得x1＝10，x2＝20， ∵要尽快减少库存，∴x＝20，答：每件衬衫应降价20元； （2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y的最大值为1250， 答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键． 27、（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，∴；， ∴，，， ∵，，∴，∴，故①②正确； 根据正方形的性质，得，∵，∴，， ∴，∴，故③正确； ∵，，∴，根据勾股定理得到， 故，故④正确． 故答案为：①②③④． （2）解：连接，延长交于点G，如图2， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，，∴ ∵，∴，∴， ∵，∴直线是线段的垂直平分线，∴， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $