第8章 整式乘法 习题课件 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

第8章 整式乘法专题 特训四　乘法公式的几何背景 类型一　完全平方公式与图形面积 1. 如图,分别以长方形ABCD的BC,CD为边向外作正方形BEFC和正方形DCGH,延长EF,HG交于点I. 若正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为13,长方形ABCD的面积为6,则正方形AEIH的周长为(　B　) A. 22 B. 20 C. 19 D. 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 2. 两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示的方式放置,如果a-b=4,涂色部分的面积是60,那么ab的值为(　A　) A. 44 B. 46 C. 50 D. 53 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 3. 如图,正方形ABCD的边长为x,其中AI=5,JC=3,两个涂色部分都是正方形且面积和为60,则长方形FJDI的面积为(　A　) A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 4. (2025·盐城亭湖期中)如图,D是线段AE上一点,以AD,DE为边向两边作正方形,面积分别是S1和S2.已知AE=8,两个正方形的面积之和S1+S2=36,则△CDE的面积为 　7　.  7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 5. 现有甲、乙两张正方形纸片,将它们并列放置后得到如图①所示的图形,且H为AE的中点,连接DH,FH. 将乙纸片放到甲纸片的内部得到如图②所示的图形.已知甲、乙两张正方形纸片的边长之和为10,图②中涂色部分的面积为8,则图①中涂色部分的面积为 　29　.  29　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 6. 数与形是一家,即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化.请结合乘法公式和几何图形,解答下列问题: (1) 如图①,四个完全相同的小长方形拼成大正方形ABCD,已知每个小长方形的面积为4,大正方形ABCD的边长为5,则小正方形EFGH的面积为 　9　.  9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 (2) 如图②,在长方形ABCD中,E,G分别为AB,BC上的点,AE=5,AD=7,且BE=CG=x,分别以AB,BG为边长在长方形ABCD外侧作正方形AKHB和正方形BMNG,已知长方形ABGP的面积为22,求涂色部分的面积. 解:(2) 设AP=BG=a,AB=b.所以S涂色=BG2+AB2=a2+b2.因为AE=5,AD=7,且BE=CG=x,所以AP=a=7-x,AB=b=5+x.所以a+b=7-x+5+x=12.所以(a+b)2=122.所以a2+b2+2ab=144.因为长方形ABGP的面积为22,所以AP·AB=ab=22.所以a2+b2+2×22=144.所以a2+b2=100.所以S涂色=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 (3) 若x满足9(x+5)2+(3x-2)2=625,求3(x+5)(3x-2)的值. 解:(3) 因为9(x+5)2+(3x-2)2=625,所以[3(x+5)]2+(3x-2)2=625.设a=3(x+5),b=3x-2.所以a2+b2=625,a-b=3(x+5)-(3x-2)=17,3(x+5)(3x-2)=ab.所以(a-b)2=172.所以a2+b2-2ab=289.所以625-2ab=289.所以ab=168.所以3(x+5)(3x-2)=ab=168. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 类型二　平方差公式与图形面积 7. (2025·盐城盐都期中)如图,小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻,B,C,G三点在同一条直线上,C,D,E三点在同一条直线上,连接AE,DG,EG. 若涂色部分的面积为8,则大正方形的面积与小正方形的面积之差为(　C　) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 8. 有一个正方形,若先把一组对边加长4cm,再把另一组对边减少4cm,这时得到的长方形的面积与原正方形的边长减少2cm后的正方形的面积相等,则原正方形的面积是 　25cm2　.  25cm2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 9. (2025·南京玄武期中)如图①,两个正方形ABCD,EFGH的边长分别是a,b(a>b),将这两个正方形分别按不同的方式摆放,回答下列问题: (1) 如图②,将两个正方形叠合摆放,点E与点B重合,点F,H分别在BC,AB上,并将不重叠的涂色部分沿虚线GI剪开,重新拼接后,得到一个长方形AHFC,用两种不同的方法表示涂色部分的面积,可以验证等式(　C　) A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a-b)2=a2-2ab+b2C. (a+b)(a-b)=a2-b2D. (a-b)2=a2-b2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 (2) 将两个正方形按如图③所示的方式摆放,点E与点C重合,点H在CD上,连接BH,若这两个正方形的边长之和为14,面积之和为100,求涂色部分的面积. 解:(2) 因为a+b=14,所以(a+b)2=142,即a2+2ab+b2=196.因为a2+b2=100,所以100+2ab=196.所以ab=48.所以S涂色= ab=24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 (3) 将两个正方形按如图④所示的方式摆放,点H与点C重合,点E,G分别在DC,BC的延长线上,若这两个正方形的边长之和为14,涂色部分的面积为45,求这两个正方形的面积之差. 解:(3) 连接AC. 因为S涂色=45= ab+ ab,所以ab=45.因为a+b=14,所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=142-4×45=16.因为a>b,所以a-b=4.所以a2-b2=(a+b)(a-b)=14×4=56. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 $ 第8章 整式乘法 8.4　乘法公式 第1课时　完全平方公式 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. (2025·盐城盐都段考)有下列运算:① (3x+y)2=9x2+y2;② (a-2b)2=a2-4b2;③ (-x-y)2=x2+2xy+y2;④ =x2-2x+ .其中,运算错误的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. (2025·遂宁)下列运算中,正确的是(　C　) A. 2x2-3x2=x2 B. (-2x)3=-6x3 C. x2·x3=x5 D. (x+1)2=x2+1 3. 若(m+2)2=64,则(m+1)(m+3)= 　63　.　  4. (1) 若(2a-5)2=4a2-10ka+25,则k= 　2　.　  C C 63　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若(3a+b)2=9a2+ka+49,则k= 　42或-42　.　  42或-42　 返回目录 5. 计算: (1) (x+1)2-x(x+2). 解:1. (2) (3x-2y)2-(3x+2y)2. 解:-24xy. (3) (2a-3b)2-(3a-2b)2. 解:-5a2+5b2. (4) 4(x-2)2+3(x+2)2-(7x2+30). 解:-4x-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. 若(a+b)2-(a-b)2=4,则一定成立的是(　B　) A. a是b的相反数 B. a是b的倒数 C. a是-b的相反数 D. a是-b的倒数 7. 若|x+y-5|+(xy-3)2=0,则x2+y2的值为(　A　) A. 19 B. 31 C. 27 D. 23 8. 不论x,y取何值,代数式x2+y2+2x-4y+7的值(　A　) A. 总不小于2 B. 总不小于7 C. 可为任何正数 D. 可能为负数 B A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. (1) 已知a+b=4,ab=3,则a2+b2= 　10　,(a-b)2= 　4　.  (2) 已知a2+b2=5,a-b=3,则ab的值为 　-2　.  (3) 如图,长方形的长为m,宽为n,它的周长为12,面积为8,则(m-n)2的值为 　4　.  10. 若关于x的二次三项式x2+2(m-3)x+1为完全平方式,则m的值为 　4或2　.  10　 4　 -2　 4　 4或2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 新考法·新定义题 将a,b,c,d这4个数排成两行两列,每边各加一条竖直线,记为 ,定义 =ad-bc,等式右侧为通常的混合运算.如果 =6,那么x= 　4　.  4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 (a+b)1=a+b 展开式中各项系数之和为1+1 (a+b)2=a2+2ab+b2 展开式中各项系数之和为1+2+1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中各项系数之和为1+3+3+1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 展开式中各项系数之和为1+4+6+4+1 根据上述规律,(a+b)7的展开式中各项系数之和是 　128　.  128　 12. 我国宋代数学家杨辉发现了(a+b)n(n=1,2,3,…)的展开式中各项系数的规律如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 已知2x2+x-1=0,求代数式(2x+1)2-2(x-3)的值. 解:原式=4x2+4x+1-2x+6=4x2+2x+7.因为2x2+x-1=0,所以2x2+x=1.所以4x2+2x=2(2x2+x)=2.所以原式=2+7=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 整体思想 已知(x-2025)2+(x-2021)2=34,则(x-2023)2的值是(　C　) A. 5 B. 9 C. 13 D. 17 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 新考法·项目式学习 通过用不同的方法表示同一个图形的面积,可以探求相应的等式.如图①,四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形,直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a<b),斜边的长为c. (1) 图①中涂色部分的面积可用两种方法分别表示为 　c2-2ab　, 　(b-a)2　.  (2) 由(1)可知,a,b,c之间的数量关系是 　a2+b2=c2　(化为最简形式).  (3) 若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6和8,则其斜边的长为 　10　.  c2-2ab　 (b-a)2　 a2+b2=c2　 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 (4) 通过用不同的方法表示同一个几何体的体积,也可以探求相应的等式.棱长为a+b的正方体被分割成如图②所示的8块. ① 用不同的方法计算这个正方体的体积,就可以得到一个等式,这个等式可以为 　(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　(化为最简形式).  ② 已知a+b=3,ab=1,利用上面的规律求a3+b3的值. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　 解:因为a+b=3,ab=1,(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b),所以33=a3+b3+3×1×3.所以a3+b3=18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $ 第8章 整式乘法 8.1　单项式乘单项式 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. (2025·陕西)计算2a2·ab的结果为(　D　) A. 4a2b B. 4a3b C. 2a2b D. 2a3b 2. (2025·盐城东台期中)下列式子中,运算正确的是(　C　) A. 3a2+2a2=5a4 B. 3a2-2a2=1 C. 3a2·2a2=6a4 D. (2a2)3=6a6 3. 计算:(1) ax2·a2x= 　a3x3　.  (2) (-3x3y)·(-x4)·(-y3)= 　-3x7y4　.  D C a3x3　 -3x7y4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 填空:(1) (-2xy2)·(　 　-4x2z　　)=8x3y2z.  (2) (　 　-xy　　)·(x2y)2=-x5y3.  -4x2z -xy 返回目录 5. 计算: (1) (-2x3y2)3·5yz2-4x4y3z2·(-4x5y4). 解:原式=-24x9y7z2. (2) (-2a2)2-3a4+2a·(-3a3). 解:原式=-5a4. (3) 3a3·a4·a-(a2)4+(2a4)2. 解:原式=6a8. (4) (-ab2)3+ab2·(ab)2·(-2b)2. 解:原式=3a3b6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 6. 已知单项式3x2y3与-2xy2的积为mx3yn,则m,n的值分别为(　B　) A. -6,6 B. -6,5 C. 1,6 D. 1,5 7. 化简(-2a2)3·3a的结果是(　C　) A. -6a6 B. 6a7 C. -24a7 D. 24a7 8. 若(5×103)×(20×10m)×(4×102)=4×109,则m的值为(　A　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知-2xmy2与4x2yn-1的积和-x4y3是同类项,则mn的值为 　4　.  10. 如果(mx3)·(2xk)=-8x18,那么m= 　-4　,k= 　15　.  B C A 4　 -4　 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 11. 光的速度约为3×105km/s,太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光,需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107s计算,则这颗恒星到地球的距离约是 　3.6×1013　km.  12. 计算: (1) (ab)3·a2·(4a2b3)2. 解:原式=a3b3·a2·16a4b6=16a9b9. (2) (-2a2b3)4+(-a8)·(2b4)3. 解:原式=16a8b12+(-a8)·8b12=16a8b12-8a8b12=8a8b12. 3.6×1013　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 计算: (1) (-3a3)3·a3+(4a)4·a8. 解:原式=-27a9·a3+256a4·a8=-27a12+256a12=229a12. (2) (3a2)2·(-a)3÷a-(-2a3)2. 解:原式=-9a7÷a-4a6=-9a6-4a6=-13a6. (3) (a3)5÷(a2)3-(-2a4)2·a. 解:原式=a15÷a6-4a8·a=a9-4a9=-3a9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14. 小明家的房间结构如图所示(单位:米).若小明的爸爸打算把卧室以外的部分都铺上地砖,则至少需要多少平方米的地砖?如果每平方米地砖的价格是n元,那么购买地砖至少需要多少元? (第14题) 解:因为2x·4y+x·(4y-2y)+(4x-2x-x)·y=8xy+2xy+xy=11xy(平方米),所以至少需要11xy平方米的地砖,购买地砖至少需要11xy·n=11xyn(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 新考法·新定义题 形如 的式子称为二阶行列式,它的运算法则可以表示为 =ad-bc,如 =(-2)×(-5)-3×(-1)=13.按照上述法则,计算: . 解:原式=(-2ab)·(-ab)2-5ab2·a2b=-2ab·a2b2-5a3b3=-2a3b3-5a3b3=-7a3b3. 16. 当x3n=2,y2n=3时,求(x2n)3+(yn)6-(x2y)3n·2yn的值. 解:原式=x6n+y6n-x6ny3n·2yn=x6n+y6n-2x6ny4n=(x3n)2+(y2n)3-2·(x3n)2·(y2n)2. 当x3n=2,y2n=3时,原式=22+33-2×22×32=4+27-2×4×9=-41. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $ 第8章 整式乘法 第8章整合拔尖 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 考点一 单项式与单项式、多项式相乘 典例1　先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2. 解:原式=-20a2+9a.当a=-2时,原式=-20×(-2)2+9×(-2)=-98. [变式]先化简,再求值:5x2·3x+2x2(4-5x)-5(2x2+x3),其中x=-5. 解:原式=-2x2.当x=-5时,原式=-2×(-5)2=-50. 返回目录 考点二 多项式乘多项式 典例2　如图,某高铁站广场前有一块长为(2a+b)米、宽为(a+b)米的长方形空地,计划在中间留两个长方形喷泉池(图中涂色部分),两个长方形喷泉池之间及周边留有宽度为b米的人行通道. (1) 求该长方形空地的面积(用含a,b的代数式表示). 解:(1) 由题意,得(a+b)(2a+b)=(2a2+3ab+b2)平方米.所以该长方形空地的面积为(2a2+3ab+b2)平方米. (典例2图) 返回目录 (2) 求这两个长方形喷泉池的总面积(用含a,b的代数式表示). 解:(2) 由题意,得(a+b-2b)(2a+b-3b)=(a-b)·(2a-2b)=(2a2-4ab+2b2)平方米.所以这两个长方形喷泉池的总面积为(2a2-4ab+2b2)平方米. (3) 当a=200,b=100时,求这两个长方形喷泉池的总面积. 　　 解:(3) 当a=200,b=100时,2a2-4ab+2b2=2×2002-4×200×100+2×1002=20000.所以这两个长方形喷泉池的总面积为20000平方米. (典例2图) 返回目录 [变式]甲、乙两个长方形的长、宽如图所示(m为正整数),其面积分别为S1,S2. (1) 请用含m的代数式分别表示S1,S2. 解:(1) S1=(m+7)(m+1)=m2+8m+7;S2=(m+4)(m+2)=m2+6m+8. (2) 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和,设该正方形的面积为S3,则S3与2(S1+S2)的差是否为常数?若是常数,请求出这个常数;若不是常数,请说明理由. 解:(2) 是常数.设该正方形的边长为a.根据题意,得4a=2(m+7+m+1)+2(m+4+m+2).所以a=2m+7.所以S3=(2m+7)2.所以S3-2(S1+S2)=(2m+7)2-2(m2+8m+7+m2+6m+8)=4m2+28m+49-4m2-28m-30=19.所以S3与2(S1+S2)的差是常数,为19. 返回目录 考点三 乘法公式与几何图形 典例3　通常,用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式.如图,将一个边长为a+b的正方形分割成四个部分(两个正方形和两个长方形). (1) 根据图中条件,用两种方法表示该图形的总面积,可得如下公式: 　(a+b)2=a2+2ab+b2　.  (a+b)2=a2+2ab+b2　 (典例3图) 返回目录 (2) 如果a,b(a>b>0)满足a2+b2=70,ab=15,求a+b的值. 解:(2) 由(1),可得(a+b)2=a2+2ab+b2.当a2+b2=70,ab=15时,(a+b)2=70+2×15=100.又因为a>b>0,所以a+b=10. (3) 已知(x+9)2+(x-1)2=124,求(x+9)·(x-1)的值. 解:(3) 设x+9=a,x-1=b,则(x+9)2+(x-1)2=a2+b2=124.所以a-b=(x+9)-(x-1)=10.因为(a-b)2=a2+b2-2ab,a-b=10,a2+b2=124,所以100=124-2ab.所以ab=12.所以(x+9)(x-1)=ab=12. (典例3图) 返回目录 [变式]如图①,小长方形的长和宽分别为a和b,将四个这样的小长方形按如图②所示的方式摆放. (1) 如图②,四边形EFGH为正方形,其边长为 　a-b　.  (2) 能用图②中的图形面积关系来验证的等式为 　(a+b)2=(a-b)2+4ab　.  (3) 若x-y=3,xy=4,求x+y的值. 解:由(2),可得(x+y)2=(x-y)2+4xy.因为x-y=3,xy=4,所以(x+y)2=32+4×4=25.所以x+y=5或x+y=-5. a-b　 (a+b)2=(a-b)2+4ab　 返回目录 考点四 整式的混合运算与化简求值 典例4　已知4x2+x-5=0,求代数式(x-1)2-(3x+2)(3x-2)的值. 解:原式=-8x2-2x+5.因为4x2+x-5=0,所以4x2+x=5.所以原式=-2(4x2+x)+5=-2×5+5=-5. [变式]先化简,再求值:(3x+2)(3x-2)-5x(x+1)-(x-1)2,其中x2-x-3=0. 解:原式=3x2-3x-5.因为x2-x-3=0,所以x2-x=3.所以原式=3(x2-x)-5=3×3-5=4. 返回目录 考点五 代数推理问题 典例5　小林和小明在信息技术课上设计了一个游戏程序:如图,开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4.每按一次屏幕,小林的屏幕上的数就会加上a2,同时小明的屏幕上的数就会减去2a,且均显示化简后的结果.按一次后及两次后屏幕上显示的结果如下表: (典例5图) 返回目录 同　学 开始的数 按一次后 按两次后 小林 9 9+a2 9+2a2 小明 4 4-2a 4-4a (1) 从开始起按三次后,小林的屏幕上显示的结果为 　9+3a2　,小明的屏幕上显示的结果为 　4-6a　.  9+3a2　 4-6a　 返回目录 (2) 几轮游戏之后,小林对小明说:“我发现,不管a的值是多少,从开始起按四次后,我们两个人的屏幕上显示的结果的和不可能是负数.”请判断他的说法是否正确,并说明理由. 解:小林的说法正确.理由:由题意,可得开始起按四次后,小林的屏幕上显示的结果为9+4a2,小明的屏幕上显示的结果为4-8a.所以9+4a2+4-8a=4(a2-2a+1-1)+13=4(a-1)2-4+13=4(a-1)2+9.因为4(a-1)2≥0,所以4(a-1)2+9≥9.所以小林的说法正确. 返回目录 [变式]特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同,个位数字相加为10,那么能立刻说出这两个两位数的乘积.如果这两个两位数分别写作AB和AC(即十位数字为A,个位数字分别为B,C,B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个四位数,前两位数字是A和(A+1)的乘积,后两位数字就是B和C的乘积.如47×43=2021,61×69=4209. (1) 请你直接写出84×86的结果. 解:(1) 7224. 返回目录 (2) 已知两个两位数满足上述条件,其中一个两位数的十位数字为m,个位数字为n,则另一个两位数的个位数字为 　10-n　;用含m,n的等式表示以上两位数相乘的规律: 　(10m+n)·[10m+(10-n)]=100m(m+1)+n(10-n)　.  (3) 请用所学知识证明(2)中的规律. 解:(3) 因为(10m+n)[10m+(10-n)]=(10m+n)·(10m-n+10)=100m2-10mn+100m+10mn-n2+10n=100m2+100m+10n-n2,100m(m+1)+n(10-n)=100m2+100m+10n-n2,所以(10m+n)[10m+(10-n)]=100m(m+1)+n(10-n). 10-n　 (10m+n)·[10m+(10-n)]=100m(m+1)+n(10-n)　 返回目录 1. 若x-y+3=0,则x(x-4y)+y(2x+y)的值为(　A　) A. 9 B. -9 C. 3 D. -3 2. 若M=(x-2)(x-5),N=(x-2)(x-6),则M与N的大小关系为(　D　) A. M=N B. M>N C. M<N D. 无法确定 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. 将4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形,图中空白部分的面积为S1,涂色部分的面积为S2.若S1=2S2,则a,b满足(　D　) A. 2a=5b B. 2a=3b C. a=3b D. a=2b (第3题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. 已知ab=a+b+2024,则(a-1)(b-1)的值为 　2025　.  5. 已知(x+a)(2x-1)=2x2+3x+b(其中a,b是常数),则a= 　2　,b= 　-2　.  6. 计算:20252-4050×2023+20232= 　4　.  7. 若代数式(x-2)(x-k)(x-4)的化简结果为x3+ax2+bx+8,则a+b= 　-3　.  8. (1) 先化简,再求值:(a+2)(a+3)-a(a+4),其中a=6. 解:原式=a+6.当a=6时,原式=6+6=12. (2) 已知x2-2x-1=0,求代数式2(x+1)(x-1)-(x+1)2的值. 解:原式=x2-2x-3.因为x2-2x-1=0,所以x2-2x=1.所以原式=1-3=-2. 2025　 2　 -2　 4　 -3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 某同学在计算3×(4+1)×(42+1)时,把3写成4-1后,发现可以连续运用平方差公式计算: 3×(4+1)×(42+1)=(4-1)×(4+1)×(42+1)=(42-1)×(42+1)=162-1=255. 请借鉴该同学的方法,计算: × × × + . 解:原式=2× × × × × + =2× × × × + =2× × × + =2× × + =2× + =2- + =2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 阅读材料: 若x满足(8-x)(x-3)=4,求(8-x)2+(x-3)2的值. 解:设8-x=a,x-3=b,则ab=(8-x)(x-3)=4,a+b=8-x+(x-3)=5. 所以(8-x)2+(x-3)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. 解决下列问题: (1) 若x满足(4-x)(x-2)=1,则(4-x)2+(x-2)2的值为 　2　.  (第10题) 2　 (2) 若(n-2022)2+(2025-n)2=5,求(n-2022)(2025-n)的值. 解:(2) 设n-2022=a,2025-n=b.由题意,得a+b=n-2022+2025-n=3,a2+b2=(n-2022)2+(2025-n)2=5.所以2ab=(a+b)2-(a2+b2)=32-5=4.所以ab=2.所以(n-2022)(2025-n)的值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 (3) 如图,正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点,且AE=1,CF=3,长方形EMFD的面积是24,分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH. 求涂色部分的面积. 解:(3) 因为正方形ABCD的边长为x,AE=1,CF=3,四边形EMFD是长方形,所以DE=MF=x-1,ME=DF=x-3.设x-1=a,x-3=b,则a-b=x-1-(x-3)=2.因为长方形EMFD的面积是24,所以MF·ME=24.所以(x-1)(x-3)=24.所以ab=24.所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=22+4×24=4+96=100.因为a+b>0,所以a+b=10.所以涂色部分的面积=正方形MFRN的面积-正方形GFDH的面积=MF2-DF2=(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)=10×2=20. (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $ 第8章 整式乘法 专题特训三　整体思想在整式化简中的应用 类型一　运用整体思想求值 1. 已知a= x-20,b= x-18,c= x-16,求式子a2+b2+c2-ab-ac-bc的值. 解:因为a= x-20,b= x-18,c= x-16,所以a-b=-2,b-c=-2,c-a=4.所以a2+b2+c2-ab-ac-bc= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= ×[(-2)2+(-2)2+42]= ×24=12. 1 2 3 4 5 6 返回目录 2. 已知m-n=10,mn=24,求: (1) (3+m)(3-n)的值. 解:(1) 因为m-n=10,mn=24,所以(3+m)(3-n)=9-3n+3m-mn=9+3(m-n)-mn=9+3×10-24=15. (2) m2-3mn+n2的值. 解:(2) m2-3mn+n2=m2-2mn+n2-mn=(m-n)2-mn=102-24=76. 3. 先化简,再求值:(2a-1)2-4(a+2b)(a-2b),其中a-4b2+2=0. 解:原式=4a2-4a+1-4(a2-4b2)=4a2-4a+1-4a2+16b2=-4a+1+16b2.因为a-4b2+2=0,所以-a+4b2=2.所以原式=4(-a+4b2)+1=4×2+1=9. 1 2 3 4 5 6 返回目录 类型二　运用整体思想比较整式的大小 4. 已知a1,a2,a3,…,a2025是彼此互不相等的负数,且M=(a1+a2+…+a2024)(a2+a3+…+a2025),N=(a1+a2+…+a2025)·(a2+a3+…+a2024),比较M与N的大小. 解:设a2+a3+…+a2024=m,则M=(a1+m)(m+a2025)=a1m+m2+a2025m+a1a2025,N=(a1+m+a2025)m=a1m+m2+a2025m.所以M-N=a1m+m2+a2025m+a1a2025-(a1m+m2+a2025m)=a1a2025.因为a1,a2,a3,…,a2025是彼此互不相等的负数,所以a1a2025>0.所以M-N>0,即M>N. 1 2 3 4 5 6 返回目录 类型三　运用整体思想简便运算 5. 计算:3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562. 解:设3.456=a,则2.456=a-1,5.456=a+2,1.456=a-2.所以原式=a(a-1)(a+2)-a3-(a-2)2=a3+a2-2a-a3-a2+4a-4=2a-4.因为a=3.456,所以原式=2×3.456-4=2.912. 1 2 3 4 5 6 返回目录 类型四　运用整体思想解决生活实际问题 6. 新考法·项目式学习 (1) 如图①,用等式表示图中图形的面积的运算为 　(a+b)2=a2+2ab+b2　.　  (2) 如图②,用等式表示图中涂色部分图形的面积和为 　a2+b2=(a+b)2-2ab　.  (3) 根据图②所得的等式,若a+b=10,ab=5,则a2+b2= 　90　.  (4) 若x满足(11-x)(x-8)=2,求(11-x)2+(x-8)2的值. (a+b)2=a2+2ab+b2　 a2+b2=(a+b)2-2ab　 90　 解:(4) (11-x)2+(x-8)2=[(11-x)+(x-8)]2-2(11-x)(x-8)=32-2×2=5. 1 2 3 4 5 6 返回目录 (5) 如图③,某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE. 该校计划在△AED和△BEC区域内种花,在△CDE和△ABE的区域内种草.经测量,种花区域的面积和为 平方米,AC=7米,求出种草区域的面积和. (5) 因为AC⊥BD,AE=DE,BE=CE,所以S△ADE= AE2,S△BEC= CE2.因为种花区域的面积和为 平方米,所以AE2+CE2=25平方米.因为AC=7米,所以AE+CE=7米.因为2AE·CE=(AE+CE)2-(AE2+CE2)=72-25=24(平方米),所以AE·CE=12平方米.所以AE·BE=DE·CE=12平方米.所以种草区域的面积和= (AE·BE+DE·CE)=12平方米. 1 2 3 4 5 6 返回目录 $ 第8章 整式乘法专题 特训二　巧用乘法公式 类型一　巧用乘法公式求代数式的值 1. 已知(a+b)2=12,ab=2,则(a-b)2的值为(　C　) A. 8 B. 20 C. 4 D. 16 2. 设 a=x-2022,b=x-2024,c=x-2023.若 a2+b2=16,则 c2的值是(　C　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知(x+y)2=12,(x-y)2=4,则x2+3xy+y2的值为 　14　.  C C 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 (1) a+b的值. 解:(1) 因为a2+ab=15,b2+ab=10,所以a2+ab-(b2+ab)=15-10,即a2-b2=5.所以(a+b)(a-b)=5.又因为a-b=1,所以a+b=5. (2) a2+b2的值. 解:(2) 因为a-b=1,a+b=5,所以a2+b2= [(a+b)2+(a-b)2]= ×(25+1)=13. 4. 已知a2+ab=15,b2+ab=10,a-b=1,求: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 类型二　巧用乘法公式进行简便计算 5. 简便计算:99×101×10001. 解:原式=[(100-1)×(100+1)]×(10000+1)=(1002-1)×(10000+1)=(10000-1)×(10000+1)=100002-1=99999999. 6. 易错题 化简:6×(7+1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)×(716+1)+1. 解:原式=(7-1)×(7+1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)×(716+1)+1=(72-1)×(72+1)×(74+1)×(78+1)×(716+1)+1=(74-1)×(74+1)×(78+1)×(716+1)+1=(78-1)×(78+1)×(716+1)+1=(716-1)×(716+1)+1=732-1+1=732. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 类型三　巧用乘法公式解决实际问题 7. 两个两位数的十位上的数字相同,一个数的个位上的数字是6,另一个数的个位上的数字是4,它们的平方差是220,求这两个两位数. 解:设这两个两位数的十位上的数字是x,则这两个两位数分别表示为10x+6,10x+4.所以(10x+6)2-(10x+4)2=220.所以(20x+10)×2=220,解得x=5.所以这两个两位数分别是56,54. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 类型四　巧用乘法公式解决整除问题 8. 当n为自然数时,(3n+1)(3n-1)-(3-n)·(3+n)的值能被10整除吗?请说明理由. 解:能被10整除.理由:原式=(3n)2-1-(32-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10=10(n2-1).因为n为自然数,所以10(n2-1)能被10整除.所以(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值能被10整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 类型五　巧用乘法公式解决推理求值问题 9. 整体思想 若x,y,z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,则下列式子中,一定成立的是(　D　) A. x+y+z=0 B. x+y-2z=0 C. y+z-2x=0 D. z+x-2y=0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 已知两个不相等的有理数m,n满足m2+n2=40. (1) 若m+n=-4,求mn的值. 解:(1) 因为m+n=-4,所以(m+n)2=16,即m2+2mn+n2=16.因为m2+n2=40,所以40+2mn=16.所以mn=-12. (2) 若m2-6m=k,n2-6n=k,求m+n和k的值. 解:(2) 因为m2-6m=k,n2-6n=k,所以m2-6m+n2-6n=2k.所以m2+n2-6(m+n)=2k.因为m2+n2=40,所以40-6(m+n)=2k.所以k=20-3(m+n).因为m2-6m=k,n2-6n=k,所以m2-6m-n2+6n=(m+n)(m-n)-6(m-n)=(m-n)(m+n-6)=0.因为m,n不相等,所以m+n-6=0,即m+n=6.所以k=20-3×6=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $ 第8章 整式乘法 8.4　乘法公式 第2课时　平方差公式 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列各式中,运用乘法公式计算正确的是(　C　) A. (y+x)(y-x)=x2-y2 B. (2x-y)(2y-x)=y2-4x2 C. (2a-1)2=4a2-4a+1 D. (3-x)2=9-x2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 2. 下列各式中,能用平方差公式计算的是(　A　) A. (-a+b)(-a-b) B. (a+b)(a+b) C. (-a-b)(a+b) D. (a-b)(2a+b) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 3. 计算: (1) (-3m-4n)(-3m+4n)= 　9m2-16n2　.  (2) (-a-5)(-a+5)= 　a2-25　.  (3) (7b-a)(a+7b)= 　49b2-a2　.  (4) (-4x-y)(4x-y)= 　y2-16x2　.  4. 填空: (1) (a+7)(　 　a-7　　)=a2-49.  (2) (5a-3b)(　 　5a+3b　　)=25a2-9b2.  9m2-16n2　 a2-25　 49b2-a2　 y2-16x2　 a-7 5a+3b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 5. 计算: (1) (a+2)(a-2)-(a-3)2. 解:6a-13. (2) (x-y)(x+y)(x2+y2). 解:x4-y4. (3) (4x+1)(-4x-1)-(2x-3)(2x+3). 解:-20x2-8x+8. (4) (3x-y+2)(3x+y-2). 解:9x2-y2+4y-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 6. 计算20242-2023×2025的结果是(　A　) A. 1 B. -1 C. 0 D. 2×20242-1 7. 若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,则称这个正整数为“好数”.下列正整数中,能称为“好数”的是(　D　) A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 8. 小刚把(2022x+2021)2展开后得到ax2+bx+c,把(2021x+2020)2展开后得到mx2+nx+q,则a-m的值为(　C　) A. 1 B. -1 C. 4043 D. -4043 A D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 9. 观察:(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x2+x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1.根据此规律,当(x-1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=0时,代数式x2025-2的值为(　D　) A. 1 B. 0 C. 0或-2 D. -1或-3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 10. (1) 若a-b=3,则代数式a2-b2-6b= 　9　.  (2) 若(m+2022)2=10,则(m+2021)·(m+2023)= 　9　.  (3) 正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm,它们的面积相差960cm2,则这两个正方形的边长之和为 　40　cm.  11. 新考向·学科内综合 如图,大正方形ABCD与小正方形DEFG的面积之差是64,则涂色部分的面积是 　32　.  9　 9　 40　 32　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 12. 若m2-n2=5,则(m+n)2(m-n)2的值是 　25　.  13. 已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7,ab=2,则(a+b)2= 　8　.  14. 先化简,再求值: (1) (a+2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a(b-a),其中a=-1,b=2. 解:原式=6ab.当a=-1,b=2时,原式=6×(-1)×2=-12. (2) (x-3)(x+3)(x2+9)-(9-x2)2,其中x=2. 解:原式=18x2-162.当x=2时,原式=18×4-162=-90. (3) (x+3)(x-3)+x(x-2),其中x2-x-1=0. 解:原式=2x2-2x-9=2(x2-x)-9.因为x2-x-1=0,所以x2-x=1.所以原式=2×1-9=-7. 25　 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 15. 某中学校园正在进行绿地改造,将原有的一块正方形绿地每边都增加3米,则它的面积增加了63平方米,问:原绿地的边长为多少?原绿地的面积为多少? 解:设原绿地的边长为x米,则改造后绿地的边长为(x+3)米.根据题意,得(x+3)2-x2=63,解得x=9.所以9×9=81(平方米).所以原绿地的边长为9米,原绿地的面积为81平方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 16. 新考法·探究题 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为“智慧数”,如3=22-12,7=42-32,16=52-32,3,7,16都是“智慧数”.在正整数中,从1开始,第2022个“智慧数”是 　2699　.  2699　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 (1) 92-62的结果是3的多少倍? 解:(1) 因为92-62=45,45÷3=15,所以92-62的结果是3的15倍. (2) 设偶数为2n(n为整数),试说明:比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 解:(2) 由题意,得偶数为2n,比偶数大3的数为2n+3,所以(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3).因为4n+3为整数,所以3(4n+3)能被3整除.所以比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. (3) 比任意一个整数大3的数与此整数的平方差除以6后的余数为多少呢?请说明理由. 解:(3) 余数为3.理由:设这个整数为m,比m大3的数为m+3.因为(m+3)2-m2=(m+3+m)(m+3-m)=6m+9=6(m+1)+3,所以余数为3. 17. 比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 $ 第8章 整式乘法 8.4　乘法公式 第3课时　乘法公式的综合应用 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列乘法公式的应用中,正确的是(　B　) A. (2x-3)2=4x2-9 B. (2x+3)(2x-3)=4x2-9 C. (2x-3)(3-2x)=4x2-9 D. (2x-3)(3x-2)=4x2-9 2. 计算(a+b-c)(a-b-c)的结果是(　D　) A. a2+b2-c2 B. a2-2ab+b2-c2 C. a2-b2+c2 D. a2-2ac+c2-b2 3. 已知(a+b)2=10,(a-b)2=6,则ab= 　1　.  B D 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4. 若两个正方形的周长之和为80cm,它们的面积之差为40cm2,则这两个正方形的边长之差为 　2cm　.  5. 计算: 2cm　 (1) (a-b)2(a+b)2. 解:a4-2a2b2+b4. (2) (2a+3b)2(2a-3b)2. 解:16a4-72a2b2+81b4. (3) (2a-3)(4a2+9)(2a+3). 解:16a4-81. (4) [(x-y)2+(x+y)2](x2-y2). 解:2x4-2y4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. 下列计算正确的是(　D　) A. (x+2y)(x-2y)=x2-2y2 B. (-x+y)(x-y)=x2-y2 C. (2x-y)(x+2y)=2x2-2y2 D. (-x-2y)(-x+2y)=x2-4y2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. 设a,b是有理数,定义新运算:a*b=(a-b)2,等式右侧为通常的混合运算.有下列结论:① a*b=b*a;② (a*b)2=a2*b2;③ (-a)*b=a*(-b);④ a*(b+c)=a*b+a*c.其中,正确的是(　A　) A. ①③ B. ①② C. ①③④ D. ①②③④ 8. 整体思想 若a2+4a=5,则代数式2a(a+2)-(a+1)(a-1)的值为(　D　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. 某工厂原来生产一种边长为a厘米的正方形地砖,现将地砖一组对边的长增加3厘米,另一组对边的长减少3厘米,改成生产长方形地砖.若地砖的材料成本为每平方厘米b元,则每块长方形地砖的材料成本与每块正方形地砖的材料成本相比,减少了 　9b　元.  10. 有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得图①,将A,B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①和图②中涂色部分的面积分别为1和12,则图②中新的正方形的面积为 　25　.  9b　 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 已知x+y+z=1,x2+y2-3z2+4z=7,则xy-z(x+y)的值为 　-3　.  12. 先化简,再求值: (1) (2024·长沙)2m-m(m-2)+(m+3)(m-3),其中m= . 解:原式=4m-9.当m= 时,原式=4× -9=1. (2) [(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1. 解:原式=2a+b.当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3. -3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 设a>b>0,a2+b2= ab,求 的值. 解:因为a2+b2= ab,所以 = = =4.所以 =±2.因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0.所以 =2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 小亮在做“先化简,再求值:(2x+k)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16,其中x=6”一题时,错将x=6看成了x=-6,但结果却和正确答案一样.由此可知k的值是(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 新情境·现实生活 在月历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律. (1) 图②是某月的月历,用如图①所示的“Z”字形框架任意框住月历中的5个数,将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减,例如:5×19-4×20= 　15　,2×16-1×17= 　15　.不难发现,结果都等于 　15　.  (2) 设“Z”字形框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算说明(1)中的规律成立. 15　 15　 15　 (3) 如图③,在某月历中,用正方形方框框住9个数(涂色部分).如果最小的数和最大的数的乘积为105,那么中间位置上的数a= 　13　.  13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 解:(2) 因为“Z”字形框架中位置C上的数为x,所以位置A,B,D,E上的数依次为x-8,x-7,x+7,x+8.由题意,得(x-7)(x+7)-(x-8)·(x+8)=(x2-49)-(x2-64)=x2-49-x2+64=15.所以(1)中的规律成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $ 第8章 整式乘法 8.3　多项式乘多项式 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 公园里有一个长方形花坛,长为3x,宽为x,现在要把花坛四周均向外扩展y,则这个花坛扩展后的面积为(　D　) A. (3x+2y)·x B. (x+2y)·3x C. 3xy2 D. (3x+2y)(x+2y) 2. 下列各式中,计算结果是x2+7x-18的为(　D　) A. (x-1)(x+18) B. (x+2)(x+9) C. (x-3)(x+6) D. (x-2)(x+9) 3. 若(2x-3)(5-2x)=ax2+bx+c,则a+b+c= 　-3　.  D D -3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 4. 如图,某学校要在长方形操场上铺设塑胶地垫(地垫无缝拼接,不可剪裁).现有正方形地垫A,B和长方形地垫C若干张.已知操场的长、宽分别为12a+8b和8a+6b,则需要用到地垫B的张数为 　48　.  48　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 5. 计算: (1) (3a-1)(a+1)+(2a+3)(2a-7). 解:原式=7a2-6a-22. (2) (-7x2-8y2)(-x2+3y2). 解:原式=7x4-13x2y2-24y4. (3) (3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y). 解:原式=10xy-15x2-y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 6. 有下列四个整式:① x2+5x;② x(x+3)+6;③ (x+3)(x+2)-2x;④ 3(x+2)+x2.其中,能表示如图所示的涂色部分的面积的是(　C　) A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ②③ (第6题) 7. 若(2x-m)(x+1)的计算结果中不含x的一次项,则m的值为(　A　) A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 8. (2025·泰州海陵期中)若(x-n)(x-2)=x2+5x+m,则常数m,n的值分别为(　D　) A. -14,7 B. 14,-7 C. 14,7 D. -14,-7 9. 已知一个长为a、宽为b的长方形,它的周长为18,面积为17,则(a+1)(b+1)的值为 　27　.　  10. 已知x2+y2=22,xy=7,则(2x-y)(x-2y)的值为 　9　.  D 27　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (1) (x+3)(x-1)-x(x-2)+1. 解:原式=4x-2. (2) (x2-1)(x+1)-(x2-2)(x-4). 解:原式=5x2+x-9. 11. 计算: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 12. 已知梯形的上底长为(5a+2b)cm,下底长为(4a+3b)cm,高为(2a+b)cm,求梯形的面积. 解:梯形的面积为 [(5a+2b)+(4a+3b)](2a+b)= (9a+5b)·(2a+b)= (18a2+9ab+10ab+5b2)=（9a2+ ab+ b2）cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 一个长方形的长为2xcm,宽比长少4cm,将长方形的长和宽都增加3cm. (1) 求增加后长方形的面积. 解:(1) 增加后长方形的面积是(2x+3)(2x-4+3)=(2x+3)×(2x-1)=4x2-2x+6x-3=(4x2+4x-3)cm2. (2) 若x=2,求长方形增加的面积. 解:(2) 长方形增加的面积是4x2+4x-3-2x(2x-4)=4x2+4x-3-4x2+8x=(12x-3)cm2.当x=2时,12x-3=21.所以长方形增加的面积是21cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14. 若关于x的多项式2x+a与x2-bx-2的乘积展开式中没有x的二次项,且常数项为10,求a+b的值. 解:(2x+a)(x2-bx-2)=2x3-2bx2-4x+ax2-abx-2a=2x3+(a-2b)x2-(4+ab)x-2a.因为乘积展开式中没有x的二次项,且常数项为10,所以a-2b=0,-2a=10.所以a=-5,b=-2.5.所以a+b=-5+(-2.5)=-7.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. (2025·无锡锡山期中)如图,在数学兴趣活动中,小吴将两根长度相同的铁丝,分别做成甲、乙两个长方形,面积分别为S1,S2,则S1-S2的值是 　3　.  3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 16. 新考法·项目式学习 七年级学习代数式求值时,遇到这样一类题“已知代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关,求a的值”,通常的解题方法:把x,y看作字母,a看作系数合并同类项,因为代数式的值与x的取值无关,所以含x项的系数为0.因为原式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,解得a=-3. (1) 若关于x的多项式(2x-3)m+2m2-3x的值与x的取值无关,求m的值. 解:(1) (2x-3)m+2m2-3x=2mx-3m+2m2-3x=(2m-3)x+2m2-3m,因为其值与x的取值无关,所以2m-3=0,解得m= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (2) 已知A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y),B=-x2+xy-1,且3A+6B的值与x的取值无关,求y的值. 解:(2) 因为A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y),B=-x2+xy-1,所以3A+6B=3[(2x+1)(x-1)-x(1-3y)]+6(-x2+xy-1)=3(2x2-2x+x-1-x+3xy)-6x2+6xy-6=6x2-6x+3x-3-3x+9xy-6x2+6xy-6=15xy-6x-9=3(5y-2)x-9.因为3A+6B的值与x的取值无关,所以3(5y-2)=0,解得y= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (3) 7个如图①所示的长为a、宽为b的小长方形,按照如图②的方式不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中涂色部分),设右上角的面积为S1,左下角的面积为S2.当AB的长变化时,S1-S2的值始终保持不变,求a与b的等量关系. 解:(3) 设AB=x,则S1=a(x-3b),S2=2b(x-2a).所以S1-S2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab.因为当AB的长变化时,S1-S2的值始终保持不变,所以S1-S2的值与x的取值无关.所以a-2b=0.所以a=2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $ 第8章 整式乘法 8.2　单项式乘多项式 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 有下列各式:① 2a3(3a2-2ab2);② -(2a3)2·(b2-3a);③ 3a(2a4-a2b4);④ -a4(4b2-6a).其中,结果相等的两个是(　C　) A. ①和② B. ②和③ C. ①和④ D. ③和④ 2. 小明在做作业的时候,不小心把墨汁滴到了作业本上,■×2ab=4a2b+2ab3,■即为被墨汁弄污的部分,那么被墨汁遮住的一项是(　A　) A. (2a+b2) B. (a+2b) C. (3ab+2b2) D. (2ab+b2) C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 3. 通过计算如图所示的几何图形的面积,可得到的代数恒等式为 　2a(a+b)=2a2+2ab　.  4. (1) 若一个长方体的长、宽、高分别为3x-4,2x,x,则它的体积为 　6x3-8x2　.  (2) 若单项式M,N满足2x(M+3x)=6x2y3+N,则M= 　3xy3　,N= 　6x2　.  2a(a+b)=2a2+2ab　 6x3-8x2　 3xy3　 6x2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 5. 计算: (1) 3xy·2y+x(2x-y2). 解:原式=6xy2+2x2-xy2=2x2+5xy2. (2) 2x(x+y)-3y(x+1). 解:原式=2x2+2xy-3xy-3y=2x2-xy-3y. (3) (2x2)3-3x4(x2-x). 解:原式=8x6-3x6+3x5=5x6+3x5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 6. 若关于x,y的多项式(x2-mx+3)x-x2(4mx2+3x+5)的结果中不含x2项,则m的值为(　D　) A. 1 B. 0 C. -1 D. -5 7. 已知m-2n=1,则2n(m+1)-m(1+2n)+3的值为(　B　) A. 4 B. 2 C. -4 D. -2 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 8. (2025·泰州兴化期中)如图,正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为a,b,连接EC,GC,涂色部分的面积为10.当a,b的值发生变化时,下列代数式的值不变的是(　C　) A. a2+b2 B. ab C. b(a-b) D. a2-b2 (第8题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 9. (1) 若a2b=2,则代数式2ab(a-2)+4ab的值为 　4　.  (2) 已知2m-3n=-5,则代数式m(n-4)-n(m-6)的值为 　10　.  10. 七年级(1)班准备对长为4a2+2ab、宽为b的长方形劳动实践基地进行改造,改造前后面积不变.若改造成宽为2a的长方形基地,则改造后基地的长为 　2ab+b2　.  11. 如果a-b=6,ab=2023,那么b2+6b+6= 　2029　.  4　 10　 2ab+b2　 2029　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (1) x+2x(x+1)-3x(2x-5). 解:原式=x+2x2+2x-6x2+15x=-4x2+18x. (2) (3xy)3· +3x(x2y2)2-xy4·(-x4-3). 解:原式=27x3y3· +3x·x4y4+x5y4+3xy4=-18x5y4+3x5y4+x5y4+3xy4=-14x5y4+3xy4. 12. 计算: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 某同学计算一个多项式乘-3x2时,因抄错符号,算成了加上-3x2,得到的结果是x2-2x+1. (1) 求这个多项式. 解:(1) 这个多项式为x2-2x+1-(-3x2)=x2-2x+1+3x2=4x2-2x+1. (2) 正确的计算结果为多少? 解:(2) 正确的计算结果为(4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x4+6x3-3x2. 14. 已知x2-2=y,求x(x-3y)+y(3x-1)-2的值. 解:因为x2-2=y,所以x2-y=2.所以原式=x2-3xy+3xy-y-2=x2-y-2=2-2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 已知(m-x)·(-x)+n(x+m)=x2+5x-6对任意x的值都成立,求m(n-1)+n(m+1)的值. 解:因为(m-x)·(-x)+n(x+m)=-mx+x2+nx+mn=x2+(n-m)x+mn=x2+5x-6对任意x的值都成立,所以n-m=5,mn=-6.所以m(n-1)+n(m+1)=mn-m+mn+n=2mn+n-m=2×(-6)+5=-7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 16. ★先阅读材料,再解决问题: 材料1:有一个三位数a,若十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字之和,则称这个三位数a为“正态数”.例如:a=264,因为2+4=6,所以264是“正态数”. 材料2:若一个数b是两个连续正整数n与n+1的积,即b=n(n+1),则称这个数b为“邻积数”.例如:b=30,因为5×6=30,所以30是“邻积数”. (1) 最大的“正态数”是 　990　;90 　是　“邻积数”(填“是”或“不是”).  990　 是　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (2) 求既是“正态数”又是“邻积数”的数. 解:设一个“正态数”的个位上的数字为x,百位上的数字为y,则这个“正态数”可表示为100y+10(x+y)+x.因为100y+10(x+y)+x=100y+10x+10y+x=110y+11x=11(x+10y),所以当x+10y=12或x+10y=10或x+10y=42或x+10y=46时,这个“正态数”就是“邻积数”.因为x是非负整数,y是正整数,且x<10,y<10,所以当 时,x+10y=12,对应的“正态数”是132;当 时,x+10y=10,对应的“正态数”是110;当 时,x+10y=42,对应的“正 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 态数”是462;当 时,x+10y=46,此时“正态数”不存在.综上所述,既是“正态数”又是“邻积数”的数是132,110,462. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $