第8章 整式乘法 素养基础测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（苏科版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式运算的核心知识，包括幂的运算、乘法公式、代数式化简及几何应用，通过基础题、综合题、实际应用题的梯度设计，将知识点从单一运算到综合应用串联，构建完整的知识网络。 其亮点在于融入新定义运算、几何面积探究等创新题型，如通过“十字型框架”日历问题培养数学抽象与模型意识，结合不同难度标注实现分层教学。这种设计既提升学生运算能力与推理意识，又帮助教师精准把握学情，高效推进单元复习。

第8章　素养基础测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(每小题3分,共24分.每小题只有一个选项是符合 题意的) 1. (★☆☆)小沈同学在计算2a3b·3a时,他的第一步如下: 2a3b·3a=(2×3)·(a3·a)·b 则小沈这一步作法的依据是 ( ) A. 乘法的交换律和结合律　　 B. 等式的基本性质1 C. 等式的基本性质2　　　     D. 分配律     A     解析　小沈将系数、同底数幂、单独字母分别相乘,依据是 乘法的交换律和结合律.故选A. 初中同步培优卷 2. (2024河北中考,★☆☆)下列运算正确的是 ( ) A. a7-a3=a4　　　     B. 3a2·2a2=6a2 C. (-2a)3=-8a3　　　    D. a4÷a4=a     C     解析    A.a7与-a3不是同类项,不能合并,故A不符合题意; B.3a2·2a2=6a4,故B不符合题意; C.(-2a)3=-8a3,故C符合题意; D.a4÷a4=1,故D不符合题意.故选C. 初中同步培优卷 3. (2025江苏徐州泉山月考,★☆☆)在下列各式中,应填入“(- y)”的是 ( ) A. -y3·_______=-y　　　     B. -2y3·_______=2y4 C. (-2y)3·_______=-8y4　　　     D. (-y)12·_______=-3y13     B     解析　-y3·y-2=-y,故A不符合题意; -2y3·(-y)=2y4,故B符合题意; (-2y)3·y=-8y4,故C不符合题意; (-y)12·(-3y)=-3y13,故D不符合题意.故选B. 初中同步培优卷 4. (2025江苏泰州靖江外国语学校月考,★☆☆)下列各整式乘 法中,能用平方差公式计算的是 ( ) A. (m+n)(n-m)　　　     B. (m+n)(-m-n) C. (m-n)(n-m)　　　     D. (m+n)(n+m)     A     初中同步培优卷 解析    (m+n)(n-m)=n2-m2,能用平方差公式计算,故A符合题意; (m+n)(-m-n)=-(m+n)2,不能用平方差公式计算,故B不符合题意; (m-n)(n-m)=-(m-n)2,不能用平方差公式计算,故C不符合题意; (m+n)(n+m)=(m+n)2,不能用平方差公式计算,故D不符合题意. 故选A. 初中同步培优卷 5. (2025江苏宿迁宿豫三校联考,★☆☆)若长方形相邻两条边 的长分别为2n和3n-1,则此长方形的面积为 ( ) A. 6n2-1　　　     B. 6n2-2n　　　     C. 10n-2　　　     D. 5n2-2n     B     解析　由题意得长方形面积为2n(3n-1)=6n2-2n.故选B. 初中同步培优卷 6. (2025江苏常州期末,★☆☆)下列运算中正确的是 ( ) A. a(a+1)=a2+1　　　     B. a(a-1)=a2-a C. (a+1)(a-1)=a2+1　　　     D. (a+1)2=a2+1     B 解析    a(a+1)=a2+a,故A不符合题意; a(a-1)=a2-a,故B符合题意; (a+1)(a-1)=a2-1,故C不符合题意; (a+1)2=a2+2a+1,故D不符合题意.故选B. 初中同步培优卷 7. (2025江苏连云港海州期末,★☆☆)如图,小正方形ABCD和 大正方形CEFG相邻,B,C,G三点在同一条直线上,C,D,E三点 在同一条直线上,连接AE,DG,EG.若阴影部分的面积为8,则大 正方形的面积与小正方形的面积的差为 ( )   A. 12　　　    B. 14　　　    C. 16　　　    D. 18     C     初中同步培优卷 解析　设大正方形的边长是a,小正方形的边长是b,则DE=a-b, 所以阴影部分的面积为 ×(a-b)×b+ ×(a-b)×a=8, 等式两边同时乘2,得ab-b2+a2-ab=16, 化简,得a2-b2=16, 即大正方形的面积与小正方形的面积的差为16.故选C. 初中同步培优卷 8. 【新考向·新定义题】(★★☆)定义一种新运算:a△b=ab+a +b,例如:(-2)△5=(-2)×5-2+5=-7,下面关于这种运算的四个结 论:①3△(-4)=-10;②若2△x=(-3)△(-4),则x=1;③该运算满足交 换律,即a△b=b△a;④该运算满足结合律,即a△(b+c)=a△b+a △c.其中正确的有 ( ) A. 1个　　　    B. 2个　　　    C. 3个　　　    D. 4个     B     初中同步培优卷 解析　①3△(-4)=3×(-4)+3-4=-13,①不正确; ②若2△x=(-3)△(-4),则2x+2+x=12-3-4,即3x+2=5,解得x=1,② 正确; ③a△b=ab+a+b,b△a=ab+b+a,故a△b=b△a,③正确; ④a△(b+c)=ab+ac+a+b+c,a△b+a△c=ab+a+b+ac+a+c=ab+ac +2a+b+c,故a△(b+c)≠a△b+a△c,④不正确. 综上,②③正确.故选B. 初中同步培优卷 二、填空题(每小题3分,共24分) 9. (2025江苏徐州树人初级中学月考,★☆☆)计算: a·6ab= ____________. 3a2b     解析     a·6ab= ×6×a2b=3a2b. 初中同步培优卷 10. (★☆☆)计算(2×103)×(6×106)的结果是___________(结果 用科学记数法表示).     1.2×1010     解析    (2×103)×(6×106) =(2×6)×(103×106) =12×109 =1.2×1010. 初中同步培优卷 11. (2025江苏泰州期末,★☆☆)若(x-5)(x+3)=x2+mx+n,则mn= __________.         30     解析　因为(x-5)(x+3)=x2+3x-5x-15=x2-2x-15=x2+mx+n,所以m= -2,n=-15,所以mn=30. 初中同步培优卷 12. (2025江苏泰州月考,★☆☆)计算:(a+b-c)(a+b+c)=__________ __________. c2+2ab         a2+b2- 解析    (a+b-c)(a+b+c)=[(a+b)-c][(a+b)+c)]=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+ 2ab. 初中同步培优卷 13. (2025江苏南京秦淮期末,★☆☆)若2a2-2a-5=0,则(3-a)(a+ 2)的值为_________. 解析　因为2a2-2a-5=0,所以a2-a= , 所以原式=-a2+a+6=-(a2-a)+6=- +6= . 初中同步培优卷 14. (2025江苏宿迁宿城期末,★★☆)若x-y=4,xy=5,则x2+y2= ________. 26     解析　因为(x-y)2=x2+y2-2xy, 所以x2+y2=(x-y)2+2xy=42+2×5=26. 初中同步培优卷 15. (2025江苏无锡江阴一中月考,★★☆)若(x+1)(x2-5ax+a)的 运算结果中不含x2项,则a的值为_________. 解析　原式=x3-5ax2+ax+x2-5ax+a =x3+(1-5a)x2-4ax+a, 因为运算结果中不含x2项,所以1-5a=0,解得a= . 初中同步培优卷 16. (2025江苏盐城盐都月考,★★★)若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28 +1)·(216+1)+1,则A-2 025的末位数字是_________.     1     解析    A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)+1 =(28-1)(28+1)(216+1)+1 =(216-1)(216+1)+1 =232, 初中同步培优卷 因为21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,……, 所以末位数字以2,4,8,6为一组循环出现, 因为32÷4=8,所以232的末位数字为6, 所以A-2 025的末位数字为1. 初中同步培优卷 三、解答题(共72分) 17. (★☆☆)(8分)计算或化简求值: (1)(-x2y)3·(-2xy2)4·3y. (2) ·(-2x)2. (3)(2025河南中考)(x+1)2-x(x+2). (4)(2025浙江中考)x(5-x)+x2+3,其中x=2. 初中同步培优卷 解析    (1)(-x2y)3·(-2xy2)4·3y =-x6y3·16x4y8·3y =-48x10y12. (2) ·(-2x)2 = ·4x2 =2x4-12x3y+3x2y2. 初中同步培优卷 (3)(x+1)2-x(x+2) =x2+2x+1-(x2+2x) =x2+2x+1-x2-2x =1. (4)x(5-x)+x2+3 =5x-x2+x2+3 =5x+3, 当x=2时,原式=5×2+3=13. 初中同步培优卷 18. (2025江苏连云港赣榆实验中学月考,★☆☆)(6分)利用简 便方法(公式)计算: (1)2 023×2 025-2 0242. (2)1992. 初中同步培优卷 解析    (1)原式=(2 024-1)×(2 024+1)-2 0242 =2 0242-1-2 0242 =-1. (2)1992=(200-1)2 =2002-2×200×1+12 =40 000-400+1 =39 601. 初中同步培优卷 19. (2025江苏苏州吴江实验初级中学教育集团月考,★☆☆)(8分) 如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,规 划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像. (1)求绿化的面积是多少平方米.(用代数式表示) (2)求当a=3,b=2时的绿化面积. 初中同步培优卷 解析    (1)(3a+b)(2a+b)-(a+b)2 =6a2+3ab+2ab+b2-a2-2ab-b2 =5a2+3ab. 答:绿化的面积是(5a2+3ab)平方米. (2)当a=3,b=2时,原式=5×32+3×3×2=45+18=63. 答:绿化的面积是63平方米. 初中同步培优卷 20. 【新考向·新定义题】(2025浙江台州临海期末节选,★★☆) (8分)数学探究. 探究主题:月历中的数学 计算 发现 用如图①所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数(如图②中的阴影部分),将A,B,C,D位置上的数按逆时针方向依次两两相乘一次,再把它们的积相加,所得的和叫作这个“十”字型框架的“美好数”.尝试计算图②中“十”字型框架的“美好数”:5×11+11×19+19×13+13×5=　　　       初中同步培优卷 猜想 说理 移动“十”字型框架,多次尝试可以发现,每个“美好数”都与E位置上的数有关.用含A,B,C,D,E的数学式子表示你发现的规律,并说明理由 解析　计算发现:576. 猜想说理:A·B+B·C+C·D+D·A=4E2. 理由:设E位置上的数为x,则A,B,C,D位置上的数分别为x-7,x-1, x+7,x+1, 则(x-7)(x-1)+(x-1)(x+7)+(x+7)(x+1)+(x+1)(x-7)=x2-8x+7+x2+6x- 7+x2+8x+7+x2-6x-7=4x2, 所以每个“美好数”都是中间位置E上的数的平方的4倍,即 规律为A·B+B·C+C·D+D·A=4E2. 初中同步培优卷 21. (2025江苏连云港赣榆实验中学月考,★★☆)(10分)有些 大数问题可以用字母表示数,从而转化成整式问题来解决.请 先阅读下面的解题过程,再解答下面的问题. 例:若x=6 789×6 786,y=6 788×6 787,试比较x,y的大小. 解:设a=6 788, 则x=(a+1)(a-2)=a2-a-2,y=a(a-1)=a2-a. 所以x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2<0,所以x<y. 问题:若x=2 024×2 028-2 025×2 027,y=2 025×2 029-2 026× 2 028,试比较x,y的大小. 初中同步培优卷 解析　设a=2 024, 则x=a(a+4)-(a+1)(a+3) =a2+4a-(a2+3a+a+3) =a2+4a-a2-3a-a-3 =-3, y=(a+1)(a+5)-(a+2)(a+4) =(a2+5a+a+5)-(a2+4a+2a+8) =a2+5a+a+5-a2-4a-2a-8 =-3, 所以x=y. 初中同步培优卷 22. (★★☆)(10分)如图,已知长方形纸片甲和正方形纸片乙 的周长相同,面积分别为S甲和S乙,其中纸片甲的相邻两边的长 分别为(m-a)和(m-b)(m>a,m>b,且a≠b). (1)求正方形纸片乙的边长. (2)分别表示出长方形纸片甲和正方形纸片乙的面积. (3)小丽同学发现甲、乙两纸片的面积之差与m的取值无关, 请判断小丽同学的发现是否正确,并通过计算说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)因为C甲=2[(m-a)+(m-b)] =2(m-a+m-b) =2(2m-a-b) =4m-2a-2b, 所以C乙=C甲=4m-2a-2b, 设正方形纸片乙的边长为x,则4x=4m-2a-2b, 所以x=m- , 即正方形纸片乙的边长为m- . 初中同步培优卷 (2)S甲=(m-a)(m-b)=m2-bm-am+ab, S乙=  =m2-(a+b)m+  =m2-am-bm+ + + . (3)小丽同学的发现是正确的. 理由:S甲-S乙=(m2-bm-am+ab)-  初中同步培优卷 = - - . 因为S甲-S乙的计算结果中不含有字母m,所以甲、乙两纸片的 面积之差与m的取值无关. 初中同步培优卷 23. (2025陕西西安月考,★★☆)(10分)2024年9月25日8时44 分,中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域,成功发射1 枚携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹,导弹准确落入预定海 域.某校的一个数学兴趣小组看到新闻后,产生了浓厚的兴趣, 参加了学校的科技节比赛,制作了航天火箭模型,为了向全校 同学宣传自己的作品,该小组用KT板制作了如图所示的宣传 板模型,它是由一个三角形、两个梯形组成,已知KT板模型的 尺寸如图所示. (1)用含a,b的代数式表示KT板模型的总面积(结果需化简).     初中同步培优卷 (2)若a+b=8,ab= ,求KT板模型的总面积.   初中同步培优卷 解析    (1) b·a+ (b+3b)· b+ (b+6a-2b)·a = ab+3b2+3a2- ab =3a2+3b2. 答:KT板模型的总面积为3a2+3b2. (2)因为a2+b2=(a+b)2-2ab=82-2× =64-25=39, 所以3a2+3b2=3(a2+b2)=3×39=117. 答:KT板模型的总面积为117. 初中同步培优卷 24. 【新考向·类比探究题】(2025江苏苏州吴江实验初级中 学教育集团月考,★★★)(12分)【知识生成】一般情况下,通 过用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个 恒等式.如图①,在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小 正方形,把余下的部分剪开拼成一个长方形,如图②所示.图① 中阴影部分的面积可表示为a2-b2,图②中阴影部分的面积可 表示为(a+b)(a-b),因为两个图中的阴影部分的面积是相同的, 所以可得到恒等式a2-b2=(a+b)(a-b). 初中同步培优卷 【类比探究】 (1)用两种不同的方法表示图③中阴影部分的面积,可得到一 个关于a2+b2,(a+b)2,ab的恒等式:____________. 【实践运用】 (2)根据(1)中所得的关系式,若a+b=8,ab=4,则a2+b2=_______. 【拓展迁移】 (3)若x满足(9-x)(x-4)=2,求(9-x)2+(x-4)2的值. 【灵活应用】 (4)如图④,某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE= 初中同步培优卷 DE,BE=CE.该校计划在△AED和△BEC区域内种花,在△CDE 和△ABE区域内种草,经测量,种花区域的面积和为35,AC=11, 求种草区域的面积和.   初中同步培优卷 解析    (1)题图③中,阴影部分的面积等于两个正方形的面积 和,即a2+b2, 同时,大正方形的边长为(a+b),因此面积为(a+b)2,两个空白矩 形的面积和为2ab,因此阴影部分的面积为(a+b)2-2ab, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab, 故答案为a2+b2=(a+b)2-2ab. (2)因为a+b=8,ab=4, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=82-2×4=56. 故答案为56. 初中同步培优卷 (3)因为(9-x)+(x-4)=5,(9-x)(x-4)=2, 所以(9-x)2+(x-4)2=[(9-x)+(x-4)]2-2(9-x)(x-4)=52-2×2=21. (4)设AE=DE=p,BE=CE=q,因为AC⊥BD, 所以S△ADE= p2,S△CDE= pq,S△ABE= pq,S△BCE= q2, 因为种花区域的面积和为35, 所以S△ADE+S△BCE= p2+ q2=35, 所以p2+q2=70, 因为p+q=AE+CE=AC=11, 初中同步培优卷 所以种草区域的面积和为S△CDE+S△ABE = pq+ pq =pq =  =  =25.5. 初中同步培优卷 $