北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题

石景山区2026年高三统一练习 数学试卷答案及评分参考 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)A (2)C (3)B (4)C (5)C (6)B (7)D (8)A (9)D (10)B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)5,-80 (12)x=-4 (13)1 (14)[0,11 :(答案不唯一)(15)①④ 三、解答题（共6小题，共85分) (16)(共13分) 解：（I)fw)=V3sin2x-cos2x=2sin(2.x-), 6 所以f)的最小正周期为T=2=元. 2 函数y=snx的单调递增区间为[2kx-子2x+1k∈石)， 由2m-5≤2x-≤2版+5keZ,得m-≤x≤a+写k∈D 6 6 所以)的单调递嘴区间为[红-石+孕keZ 【6分】 (IⅡ)因为f(40=2,所以2sin(2A-)=2,sin(2A-=1, 6 6 因为Ae0,动，所以24名受4号 -3 因为AD为∠A的平分线，所以∠CAD=∠BAD= 6, 根据S△ACD+SAABD=S△ACB, 有4CAD-sm∠CaD+号B-D-sm∠BD-4 Csin∠C4, 即写3xD×2x0写3xx9,解得06 【13 22 高三数学参考答案及评分参考第1页（共10页） 分】 (17)(共14分) 解：(I)在三棱锥A-BCD中， 因为E,F分别是AC,AD中点，所以EF∥CD 因为CDt平面GEF,且EFc平面GEF,所以CD∥平面GEF. 因为平面GEF∩平面BCD=HG,所以CD∥HG. 因为G是BD中点， 所以H是BC中点. 【6分】 (IⅡ)选条件①：平面ABD⊥平面BCD. 连结AG, 因为△ABD为等边三角形，G是BD中点， 所以AG⊥BD 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 又AGc平面ABD, 所以AG⊥平面BCD 因为HGc平面BCD,所以AG⊥HG. 因为BD2+CD2=BC2,所以CD⊥BD. 所以HG⊥BD 如图建立空间直角坐标系G-z, 则G0,0,0,A0,0,V3),C1,l0,D0,1,0),F(0,5,7 ,H(50,0) 所以ac-0l-.Gf-0时5.ad-o0 设平面GEF的法向量为m=(x,y,z), 则 高三数学参考答案及评分参考第2页（共10页） m.GF=0, 220, m.GH=0, 1 x=0. 令y=√3，则z=-1.于是m=(0,V3,-1) 设直线AC与平面GEF所成角为a,则 sina =cos<m,C=m4C15 【14分】 1m∥Ac15 选条件②：AC=V5. 因为AC2=CD2+AD2, 所以CD⊥AD 因为BD2+CD2=BC2, 所以CD⊥BD. 又因为AD∩BD=D, 所以CD⊥平面ABD 因为AGc平面ABD,所以CD⊥AG 因为CD∥HG,所以AG⊥HG,HG⊥BD. 因为△ABD为等边三角形，G是BD中点， 所以AG⊥BD, 以下同条件①如图建立空间直角坐标系G-z. 高三数学参考答案及评分参考第3页（共10页） (18)(共13分) 解：(I)根据题中数据，在100名研究对象中，肺活量等级为3且长跑成绩达标的 人数为6，肺活量等级为3且长跑成绩不达标的人数为8，因此肺活量等 级为3的总人数为6+8=14.因此，从100名研究对象中随机选取1人，此 人肺活量等级为3的概率为14=7 【3 10050 分】 (Ⅱ)设事件A为“从该校高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取一 人长跑成绩达标”，事件B为“从该校高三年级男生中肺活量等级为2的 学生中随机选取一人长跑成绩达标” 根据四中数据。代0台计为名，P()估行为-{ 155 根据题意，随机变量X的所有可能值为0,1,2,3，且 P(X=0)=P(AAB)=(P(A)2P(B); P(X =1)=P(AAB+AAB+AAB)=C,P(A)P(A)P(B)+(P(A))'P(B): P(X=2)=P(AAB+AAB+AAB)=C,P(A)P(A)P(B)+(P(A))'P(B); P(X=3)=P(AAB)=(P(A)2P(B). 质以，PX=0时为PX=力计为 16 PX=2)估计为2引；PX=3)估计为9 40 0 所以，EX估计为0x+1x5 2x2 3x917 8010 【11分】 20 16 40 ()N=3.5. 【13分】 高三数学参考答案及评分参考第4页（共10页） (19)(共15分) 解：(I)根据题意，f'(x)=e-2ax-1,f'(0)=e°-2a×0-1=0, f(0)=e°-2a×0-0=1, 所以，所求切线方程为y=1. 【4分】 (IⅡ)f'(x)=e-2ax-1,令g(x)=e-2ax-1,g'(x)=e-2a, ①当a≤0时，g'(x)>0,g(x)在(-0，+oo)上单调递增，又g(0)=0, 所以当x∈(-0,0)时，g(x)<0,当x∈(0，+o)时，g(x)>0. 所以f(x)的单调增区间为(0，+o),单调减区间为(-0,0)，不符合题 意； ②当a>0时，令g'(x)=e-2a=0,解得x=ln2a, 所以，当x∈(-o,ln2a)时，g'(x)<0;当x∈(ln2a,+o)时，g'(x)>0 所以，g(x)在(-o,ln2a)上单调递减，在(n2a,+oo)上单调递增. 所以，当x=ln2a时，g(x)有最小值g(In2a)=2a-2aln2a-1, 所以，当f(x)在R上单调递增时，有g(ln2a)=2a-2aln2a-1≥0， 令ha)=2a-2aln2a-1,ha)=-21n2a=0,得a=2 所以ae0,2时，ha>0:a∈+o)时，ha<0 所以h(a)在(0，)上单调递增，在（兮，+∞）上单调递减 所以hM知)≤3=0，所以ao)=0,即a=号 高三数学参考答案及评分参考第5页（共10页） 综上所运的值为号 【9分】 ()法1：由已知可得当x∈(0，+o)时， ①当a≤号时，由（Ⅱ）知gx)=e-2a≥e-1>0; 所以g(x)在(0，+0)单调递增，所以f'(x)=g(x)>g(0)=0, 所以f(x)在(0，+∞)单调递增， 所以x>0,f(x)>f(0)=1,不合题意： ②当a时，n2a>0, 因为g(x)在(-o,ln2a)上单调递减，g(0)=0 所以当x∈(0，ln2a)时，g(x)<0 所以f(x)在(0，ln2a)上单调递减，又f(0)=1 所以存在x,∈(0，+o),f(x)<1成立 综上所述a的取值范围是（号+∞） 【15分】 (IⅢ)法2：由已知可得当x∈(0，+0)时， 0当a≤时，f)=e-2-1≥e--1 设u(x)=e-x-1(x>0),则u'(x)=e-1>0, 所以u(x)在(0，+oo)单调递增， u(x)>u(0)=0,f'(x)>0; 所以，f(x)在(0，+o)上单调递增， 所以x>0,f(x)>f(0)=1,不合题意； ②当a>号时，1n2a>0, 因为g(x)在(-oo,ln2a)上单调递减，g(0)=0 所以当x∈(0，ln2a)时，g(x)<0 所以f(x)在(0，ln2a)上单调递减，又f(0)=1 高三数学参考答案及评分参考第6页（共10页） 所以存在x∈(0，+o),f(x)<1成立. 综上所述a的取值范围是（兮，+o) 【15分】 (20)(共15分) a=2 解：(1)由已知可得e=:-5，解得0=1，=5。 a 2 c2=a2-b2 故箱商C的方程为行+产-1 【5分】 (IⅡ)①由己知得B(2,0). 设P(x,y),则x2+4y2=4, 所以kP=,kp=, x+21 x1-2 所以直线AP的方程为y=上x+2), x,+2 所以直线BP的方程为y=当，(x-2) x-2 令xs10 得w=3+2 16y1 ，yw=3x-2) 国为哑写时-” 3'3(x+2) 所以BWBN=16+64=16+64=0, 99(x2-4)9-36y1 所以BM⊥BN: 【10分】 ②当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=c+m. 高三数学参考答案及评分参考第7页（共10页） +y=1 由{4 y=kx+m 化简得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,其判别式△>0 -8km 设Q(x2),可得x+名=4k2+ 4m2-4 ,xx2=4k2+1 由BM⊥BN,得BP⊥BQ,即BP.BQ=O 因为BP=(x-2,y),B0=(x2-2,2), 所以(x1-2)x2-2)+yy2=0, 化简得xx2-2(x+2)+4+2=0 因为=a+m,+m）=x西+m(G+)+m=m4 4k2+1' 所0器4 -=0, 化简得12k2+16km+5m2=0, (6k+5m)(2k+m)=0, m=-6k或m=-2k. 所以直线PD的方程为y=x-令或y=k-2)(会) 所以直线PQ过定点(，0) 6 当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x=。,满足题意 综上所述直线P0恒过定点（白0） 【15分】 高三数学参考答案及评分参考第8页（共10页） (21)(共15分) 解：(I)因为∈L,2,4,所以{1,2,4}不具有性质P; 因为23.6写23.6e2.3,所以2.36具有性质P 6 S={(2,3),(3,2)},T={(6,2),(6,3)} 【4分】 (Ⅱ)解法1：因为对于任意的a∈A,总有上王A, a 所以1EA,从而{(a,a)}T(i=1,2,…,k) a 因为a∈A,b∈A,,∈A, 6 所以当i≠j时，(a,0)eT和(a,a)∈T(亿，j=1,2,,k)至多有一个成立. 所以集合7中的元素个数最多为C?=k-), 2 即n≤k-) 【9分】 2 法2：首先，由A中元素构成的有序数对(a,a)共有2个 因为对于任意的a∈A,总有上EA,所以1EA. 所以{(a,a)}eT(i=1,2,…,k). 又因为a∈A,b∈A,2∈A，所以当(a,0)eT时， 高三数学参考答案及评分参考第9页（共10页） (a1,a)ET(i,j=1,2,…,k). 所以集合7中的元素个数最多为k:-)=k-) 2 2 即nsk-) 【9分】 2 (Ⅲ)m=n,证明如下： ①设(a,b)∈T,则a∈A,b∈A,a∈A. 设c=分则a=ic,故ehee dbee, 从而(b,c)eS,即对(a,b)∈T,总3c使(b,c)∈S, 从而n≤m. ②设(p,q)∈S,则p∈A,9∈A,pq∈A. 设r=p9,则g=二，故r∈A,p∈A,上∈A, 0 从而(r,p)∈T,即对(p,q)∈S,总3r使(r,p)∈T, 从而m≤n. 由①②可知m=n. 【15分】 (以上解答题，若用其它方法，请酌情给分) 高三数学参考答案及评分参考第10页（共10页) 石景山区2026年高三统一练习 数 学 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）已知，则 （A） （B） （C） （D） （3）下列函数中，是偶函数又在上单调递减的是 （A） （B） （C） （D） （4）设为单位向量，且，则 （A） （B） （C） （D） （5）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是 （A） （B） （C） （D） （6）直线与圆相交于两点，则 （A） （B） （C） （D） （7）数列为各项均为正数的等比数列，为正整数，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）已知，点在曲线上，则的面积 （A）有最大值，无最小值 （B）无最大值，有最小值 （C）有最大值，有最小值 （D）无最大值，无最小值 （9）设，则 （A） （B） （C） （D） （10）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身；将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”．现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）若的展开式的二项式系数和为，则_______，的系数为_______． （12）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为_______． （13）已知，则_______． （14）设函数当时，的值域为_______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是_______． （15）已知为数列的前项和，记，且满足．给出下列四个结论： ①的第项小于； ②为等比数列； ③为递减数列； ④当时，存在． 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在中，，若的平分线交于，求的长. （17）（本小题14分） 如图，在三棱锥中，为等边三角形，分别是的中点．，与平面交于点． （Ⅰ）求证：是的中点； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件 ①：平面平面； 条件 ②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． （18）（本小题13分） 为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值(单位：)划分为如下个等级： 肺活量(单位：) 小于 及以上 等级 肺活量等级 频数 合计 某校为研究高三年级男生米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级,整理得到如下统计图与统计表. 长跑成绩达标组 长跑成绩未达标组 （Ⅰ）从名研究对象中随机选取人，求此人肺活量等级为的概率； （Ⅱ）用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立．从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，肺活量等级为的学生中随机选取人，设这人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望； （Ⅲ）研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标： 选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标． 从名研究对象中随机选取人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标．写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）． （19）（本小题15分） 已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数是上的单调递增函数，求的值； （Ⅲ）若存在，使得成立，求的取值范围． （20）（本小题15分） 已知椭圆的左顶点为，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）为椭圆的右顶点，为椭圆上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点，直线与椭圆的另一个交点为. 求证：①；②直线恒过定点. （21）（本小题15分） 已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合： ， 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． （Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：； （Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 高三数学试卷第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $