精品解析：广西贵港市2025-2026学年高一下学期期末学科素养检测（二）数学试题

2026年春季期期末学科素养检测（二） 高一年级 数学 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知：集合，， 所以 2. 已知，，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义及复数模的计算公式，求解即可. 【详解】由，得 ， 因此. 3. 某市某月天的空气质量指数如下：则这组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知数据升序排列为：，样本量为， 第百分位数的位置为：， 为整数时，第百分位数取第和第项数据的平均值， 第百分位数为：． 4. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平行四边形的面积，再根据直接求解. 【详解】因为四边形是平行四边形，且，， 所以平行四边形面积 根据直观图与原图面积关系， 所以. 故选： 5. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 6. 在边长为1的等边三角形中，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义式可求答案. 【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以. 7. 已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 与异面，，则不存在，使得 C. ，则 D. ，则 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，因为，如下图， 若分别为面、面、面，且为， 显然面，则，故A正确； 对于B，如下图，为直线，为直线，为直线， 取的中点，连接， 所以四边形为，存在，使得，故B错误； 对于C，若，则相交、平行、异面，所以C错误； 对于D，若，则，所以D错误. 故选：A. 8. 掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出满足两枚骰子出现的点数不一样的基本事件个数，再求出两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件个数，利用古典概型求解. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子各一次，共有个基本事件， 去掉点数一样的基本事件， 得到两枚骰子出现的点数不一样的基本事件还有个， 其中两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件有，共6个， 由古典概型可得. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数（），则（ ） A. 当z为实数时， B. 当z为纯虚数时， C. 当z的实部与虚部相等时， D. z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断. 【详解】对于A，复数是实数，则，A正确； 对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确； 对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误； 对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解， 因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确. 故选：ABD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件两两互斥，则成立. B. 若事件两两独立，则成立. C. 若事件相互独立，则与也相互独立. D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C正确； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：ACD. 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；将目标式子转换为三角函数即可判断 D． 【详解】对于A，由题意得 ，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，故B正确； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得， 设， 所以， 当时，的最大值为5，故C错误； 对于D，由题意得， 可得， 因为，所以 ， ， 因为， 所以当时，取得最大值，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知球的体积为，则该球的半径为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用球的体积公式即可求得. 【详解】设该球的半径为r，则，解得：r=3. 故答案为：3. 13. 甲､乙两人独立地解同一道题，甲､乙解对此题的概率分别是，，那么两人都解错的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设甲、乙解对题分别为事件A，，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】设甲、乙解对题分别为事件A，，则事件两人都解错可表示为 则，可得, 所以事件两人都解错的概率是. 14. 在正四棱柱中，，点是棱的中点，平面截正四棱柱所得截面的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设平面交于点，可知平面截正四棱柱所得截面为平面，推导出点为的中点，计算得知四边形是边长为的菱形，并求出菱形的对角线长，由此可求得该截面的面积． 【详解】 在正四棱柱中， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可证， 所以四边形是平行四边形， 在中，，， 同理， 截面是边长为的菱形， ，， 所以截面面积． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数，其中．已知的最小正周期为，且． （1）求的解析式及的对称轴； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期求出，根据求出，即可得到的解析式，令即可求出的对称轴. （2）根据求得，结合正弦函数图象即可求出答案. 【小问1详解】 因为的最小正周期为， 所以，解得， 又因为，即，且， 所以， 所以的解析式为， 令，解得， 所以的对称轴为. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 因为在区间上的值域为， 所以，解得， 所以的取值范围. 16. 某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如下的频率分布直方图. （1）求的值，并计算完成年度任务的人数； （2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数； （3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率. 【答案】（1） ，完成年度任务的人数为. （2）第1组应抽取的人数为， 第2组应抽取的人数为， 第3组应抽取的人数为， 第4组应抽取的人数为， 第5组应抽取的人数为； （3）. 【解析】 【详解】分析：(1)先根据所有小长方形面积和为1得a,(2)根据分层抽样确定比例，根据比例确定抽样人数，（3）先利用枚举法确定总事件数，再确定2名销售员在同一组的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 详解：（1）∵ ， ∴ ， 完成年度任务的人数为. （2）第1组应抽取的人数为， 第2组应抽取的人数为， 第3组应抽取的人数为， 第4组应抽取的人数为， 第5组应抽取的人数为； （3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为，，；第5组有3人，记这3人分别为，，； 从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件. 获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个， 故所求概率为. 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边化角以及三角形三角的关系可得，从而得到角的大小； （2）由余弦定理和基本不等式即可求出的范围，再根据三角形的面积公式求出面积的范围. 【小问1详解】 由题意得，由正弦定理得， 又因为，则有， 由于，则有，而，所以在中，. 【小问2详解】 由（1）得，，根据余弦定理有， 代入得，即，当且仅当时取等号， 所以，因此面积的最大值为. 18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，结合正方形的性质，根据三角形的中位线的性质得，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的性质定理得，再根据等腰三角形的性质得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）由平面知直线在平面的射影为，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，根据勾股定理分别求得，然后在直角三角形中，求得，即可得解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由题意可得平面，又平面， 所以，又为的中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知平面，所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以，所以， 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以，即直线与平面所成角为. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）若向量，求实数的值； （2）若点在边上，且，求的值； （3）若，，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）先线性组合构造的坐标，再利用两向量平行的坐标交叉相乘差为列方程求解； （2）由点在上，得点的参数向量形式表示坐标，写出，借助垂直向量点积为求出参数，回代得到点横纵坐标； （3）结合题干给出的点算出，利用与垂直时点积为建立方程解出. 【小问1详解】  ，，，则， 由得，解得. 【小问2详解】 点在上，设，即，则， 即，，则，， 由得，解得 所以，. 【小问3详解】 ，，，得， 又，则， 由得，即，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期期末学科素养检测（二） 高一年级 数学 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 某市某月天的空气质量指数如下：则这组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 5. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在边长为1的等边三角形中，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 与异面，，则不存在，使得 C. ，则 D. ，则 8. 掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数（），则（ ） A. 当z为实数时， B. 当z为纯虚数时， C. 当z的实部与虚部相等时， D. z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件两两互斥，则成立. B. 若事件两两独立，则成立. C. 若事件相互独立，则与也相互独立. D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知球的体积为，则该球的半径为___________. 13. 甲､乙两人独立地解同一道题，甲､乙解对此题的概率分别是，，那么两人都解错的概率是__________. 14. 在正四棱柱中，，点是棱的中点，平面截正四棱柱所得截面的面积为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数，其中．已知的最小正周期为，且． （1）求的解析式及的对称轴； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围 16. 某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如下的频率分布直方图. （1）求的值，并计算完成年度任务的人数； （2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数； （3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）若向量，求实数的值； （2）若点在边上，且，求的值； （3）若，，且，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $