专题03 特殊平行四边形 压轴题Ⅲ（九大题型）-2025-2026学年 苏科版八年级数学下册期中期末专项练

专题03 特殊平行四边形 压轴题Ⅲ（九大题型） 题型1：坐标应用—存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 2．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为． (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合，求的长； (3)在②的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D，F，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，，且，P为上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)求过点P的反比例函数解析式； (3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2：坐标应用—面积问题 4．如图，平面直角坐标系中，点，点，连接，将沿直线翻折，点B落在第二象限内的点C处． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点为线段上一点，点为延长线上一点，，连接交于点，求证：； (3)如图，在（2）条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的面积． 题型3：坐标应用—旋转问题 5．在平面直角坐标系中，矩形过原点，且、，的平分线交于点． (1)如图1，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． ①当为何值时，的面积等于1； ②当为何值时，为直角三角形； (2)如图2，点，连接、，将绕点逆时针旋转，两边、与轴、轴分别交于点、，若为等腰三角形，请直接写出的坐标______． 题型4：坐标应用—新定义题 6．在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点P关于直线l：的对称点在矩形的内部或边上，则称点P为矩形关于直线l的“关联点”．若点P关于直线l：的对称点恰好在矩形的边上，则称点P为矩形关于直线l的“强关联点”． (1)如图1，已知点，，． ①在点，，，中，是矩形关于直线l：的“关联点”的是______； ②若点是矩形关于直线l：的“关联点”，点E于直线l：的对称点为点F，且是等腰三角形．在图2中画出所有符合条件的； ③在②的条件下，若等腰三角形以为底，则t的值为______； (2)已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个矩形关于直线l：的“强关联点”，直接写出a的取值范围． 题型5：坐标应用—综合应用 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，点E，F和G分别在和的延长线上，点E的坐标为． (1)若点F的坐标为，请直接写出的长； (2)如图(1)，H是正方形外一点．．求证； (3)如图(2)，若，且，请直接用含n的式子表示的长． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 9．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 题型6：动点问题 10．如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 11． 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 12．如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）． (1)四边形 ______（填“能”或“不能”）是正方形；该图形面积用t表示为______； (2)若M、N分别是、的中点，连接，问：当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型7：平行或垂直问题 13．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为___________，的长为___________； (2)连结，若将的面积分为两部分，求的值； (3)若为等腰三角形，求的值； (4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 14．如图①，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动，设点的运动时间为秒（）． (1)当点和点重合时，线段的长为________； (2)当点在上运动时，用含有的代数式表示的长； (3)当点在上运动且点不与点重合时，将沿直线翻折，得到，如图②． ①当落在上时，求的值． ②当与矩形的边垂直或平行时，直接写出的值． 题型8：最值问题 15．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足； (1)求点A的坐标； (2)取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值． 16．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 题型9：情景探究题 综合实践活动 17．【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 18．【问题情境】矩形的折叠 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以折纸活动是一种有效的学习方式．活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）小刚将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，证明四边形是正方形； 【操作探究】 （2）小红将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠（如图③），使点A、D分别落在上的G、H处，E，F分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点G、H分别落在点与点处，恰好点B在边上，与相交于点O，且，又已知，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，小明将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．E、F分别在边上，，将矩形纸片沿着折叠，点M、D分别落到点与点处．点E从点N单向运动到点M的过程中，若边与边交于点P． 填空：的最大值为________；点P运动的路径长为________． 19．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．若点P的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊平行四边形 压轴题Ⅲ（九大题型） 题型1：坐标应用—存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将 绕点O顺时针旋转 得 （点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线 的解析式； (2)点E为线段 上一点，过点E作 轴交直线 于点F，作 轴交直线 于点G，当 时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段 的中点，点N为直线 上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为 或 或 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出 和 的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线 的解析式； （2）设 ，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出 的表达式，最后根据 列出方程求出a的值，即可进行解答； （3）根据题意进行分类讨论：① 为矩形的边时；② 为矩形的对角线时． 【详解】（1）解：把 代入 得： ， 把 代入 得： ，解得： ， ∴ ， ∴ ， ∵ 绕点O顺时针旋转 得 ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的函数解析式为 ， 把 代入得： ，解得： ， ∴直线 的函数解析式为 ． （2）∵ ， ∴ ， ∵点E在线段 上， ∴设 EMBED Equation.DSMT4 ， ∵ 轴， 轴， ∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为 ， 把 代入 得： ； 把 代入 得： ，解得： ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 解得： ． ∴ ． （3）①当 为矩形的边时， 过点M作 ，交直线 于点 ，过点O作 ，交直线 于点N，过点N作 交 于点P，过点 作 交 于点 ， 根据作图可得：四边形 和四边形 都是矩形， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 绕点O顺时针旋转 得 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵点M为线段 的中点， ， ∴ ， ，即点N为 中点， ∵ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， 把点 代入得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ ， ∴设直线 的解析式为 ， 把 代入得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 联立直线 和直线 的解析式为： ，解得： ， ∴ ， ②当 为矩形的对角线时， 过点M作 轴于点P，过点M作 轴于点N， ∵ ， ， ∴ 轴， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点C和点N重合， ∴ ， 综上：点N的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质． 2．将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系中， 分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为 ． (1)如图①，将矩形纸片 折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段 ，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在 边上，将矩形纸片 沿线段 折叠，使得点B与点 重合，求 的长； (3)在②的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D，F，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由矩形和折叠的性质，结合勾股定理即可求解． （2）如图，过点F作 轴于点H．可得 ， ，由折叠知，四边形 与四边形 全等，可得 ， ， ．设 ，则 ．求解 ．设 ，可得 ，进一步求解即可； （3）由题意可求出 的长，再分类讨论①当线段 为边，且点P在y轴右侧时；②当线段 为边，且点P在y轴左侧时；③当 为对角线时，结合菱形的性质，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ． ∵点B坐标为 ， ∴ ． 由折叠可知， ． ∴在 ， ． ∴点D的坐标为 ． （2）解：如图，过点F作 轴于点H．四边形 是矩形 ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵点 ， ∴ ． 由折叠知，四边形 与四边形 全等， ∴ ， ， ． 设 ，则 ． 在 中， ，即 ． 解得： ． ∴ ． 设 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ， ∴ ． （3）解：由（2）得 ， ， ∴ ． ①如图，当线段 为边，且点P在y轴右侧时． 由题意结合菱形的性质可知 ，且 轴， ∵ ， ∴此时P点与A点或B点重合． 而 ， ， ∴ ， ， ∴有一个 与 重合， ∴ 或 ． ②如图，当线段 为边，且点P在y轴左侧时． 结合（2）得： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴Q点坐标为 ． ③如图，当 为对角线时，可知此时线段 与线段 互相垂直平分． ∵ ， ， ， 设 ， ∴ ， 解得： ， 故Q点坐标为 ． 综上，满足条件的点 或 或 或 ． 【点睛】本题为四边形综合题．考查折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，线段垂直平分线的性质以及一次函数等知识，综合性强，为困难题．作出辅助线，并学会利用数形结合的思想和分类讨论的思想解题是关键． 3．如图，直角三角形 在平面直角坐标系中，直角边 在y轴上， 的长分别是一元二次方程 的两个根， ，且 ，P为 上一点，且 ． (1)求点A的坐标； (2)求过点P的反比例函数解析式； (3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在． ， ， 【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解； （2）根据 求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可． 【详解】（1） ， ， ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． （2）∵ ， ∴ ． ∴点P的坐标为 ． 设过点P的反比例函数解析式为 ．将点 代入，得 ． ∴过点P的反比例函数解析式为 ． （3）存在． 如图1，当 为正方形 的对角线时， 过点M作 交 的延长线于点E，过点C作 交直线 于点F． ∵四边形 是正方形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ， ∴ ． 设 ，则 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （舍去）， ∴ ， ∴ ． ∵把 先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得 ， ∴把 先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得 ； 如图2，当 为正方形 的边时， 过点N作 于点H， ∵四边形 是正方形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 如图3，当 为正方形 的边时， 由图2可知， ， ∵把 先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得 ， ∴把 先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得 ； 综上可知，点N的坐标为： ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键． 题型2：坐标应用—面积问题 4．如图，平面直角坐标系中，点 ，点 ，连接 ，将 沿直线翻折，点B落在第二象限内的点C处． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点 为线段 上一点，点 为 延长线上一点， ，连接 交于点 ，求证： ； (3)如图 ，在（2）条件下，连接 并延长到点 ，连接 ，若 ， ，求 的面积． 【答案】(1)点C的坐标为 ； (2)见解析 (3)10 【分析】（ ）由点A和点B的坐标可得 ， ，由折叠性质可知 ， ，所以四边形 是菱形，则有 ，从而得出点 的坐标； （ ）过 作 ，交 于点 ，则有 ， ，由（ ）得四边形 是菱形， ，则 ，根据等角对等边得 ，然后证明 ，根据全等三角形的性质即可求证； （ ）由四边形 是菱形得 ， ，设 ， ， ， ，所以 ， ， ，证明 ，所以 ，过点 作 于点 ，设 ， ，则 ， ，求得 ， ， ， ， ，则 ，过 作 于点 ，证明 ，所以 ， ，利用 ，得出 ，证明 ，过 作 于点 ，则 ，则可得 ，最后利用 的面积为 即可求解． 【详解】（1）解：∵点 ，点 ， ∴ ， ， ∴ ， 由折叠的性质可知 ， ， ∴ ， ∴四边形 是菱形， ∴ ， ∴点 的横坐标为 ，纵坐标为8， ∴点 的坐标为 ； （2）证明：如图，过点 作 ，交 于点 ， ∴ ， ， 由（ ）得，四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； （3）解：如图3所示， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∴ ； 设 ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ，6 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 如图3所示，过点 作 于点 ， ∵ ， ∴可设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 由勾股定理可得 ， ∴ ，解得 或 （不符合题意，舍去）， ∴ ， ， ， ， ∴ ， 如图3所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过 作 轴于点 ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由折叠的性质可得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 题型3：坐标应用—旋转问题 5．在平面直角坐标系 中，矩形 过原点 ，且 、 ， 的平分线交 于点 ． (1)如图1，点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间为 秒． ①当 为何值时， 的面积等于1； ②当 为何值时， 为直角三角形； (2)如图2，点 ，连接 、 ，将 绕点 逆时针旋转，两边 、 与 轴、 轴分别交于点 、 ，若 为等腰三角形，请直接写出 的坐标______． 【答案】(1)① 秒；② 或 或 (2) ， ， 或 【分析】（1）利用矩形 的顶点坐标和 的角平分线，确定 ， 为直线 ；再结合 、 的运动速度与方向，得到动点坐标 、 ． ①以 为底、 点横坐标为高， ，列方程 求解 ． ②先通过勾股定理表示出 、 、 ，再对直角顶点分类讨论(排除 为直角的情况，仅讨论 和 ，分别代入勾股定理方程，求解并舍去不符合题意的解． （2）先通过 证明 ，得出 为等腰直角三角形；再由旋转性质得 ，进而证明 ，得到 ．随后对 为等腰三角形分三类讨论： ①当 时，在 中用勾股定理列方程求 ，结合 算出 ，得到 坐标； ②当 时，先由勾股定理算出 ，得 ，再分 在 上和 延长线两种情况求 ； ③当 时，利用 得 ，算出 ，结合 在 轴负半轴得 ，最终汇总所有符合条件的 坐标． 【详解】（1）解：∵四边形 为矩形， ， ， ∴ 点坐标为 ． ∵ 平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ，即 ，易得直线 方程为 ． ①∵点 从 出发以每秒 个单位长度的速度沿射线 移动，设 ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ，点 的坐标为 ． ∵点 从 出发以每秒2个单位长度的速度沿 轴正方向移动， ∴ ， ∴ ，解得 ， 即当 为1秒时， 的面积等于1， ②已知 ， ， ， 由勾股定理得： ， ， ． 要使 为直角三角形，显然只有 或 ， 当 时，有 ， 即 ， 整理得： ，解得 (舍去)， ， ∴ ； 当 时，有 ， 即 ， 整理得： ，解得： ． 综上，当 或 或 时， 为直角三角形． （2）解：∵点 的坐标为 ， ∴ ， ， 又 ， ， ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 为等腰直角三角形． ∵将 绕点 逆时针旋转，两边 、 与 轴、 轴分别交于点 、 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ， 可证 ， ∴ ， ①如图1，当 时， 设 ，则 ， ， 在 中， ， ∴ ，解得 ， ∴ ， ， ∴ 点的坐标为 ； ②如图2，图3，当 时， 在 中， ， ， 由勾股定理得 ， ∴ ， 如图2，当 在 上时， ， 点坐标为 ； 如图3，当 在 的延长线上时， ， 点坐标为 ； ③如图4，当 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在 轴负半轴， ∴ ， ∴ 点的坐标为 ． 综上所述，满足条件的 点坐标为 ， ， 或 ． 题型4：坐标应用—新定义题 6．在平面直角坐标系 中，已知矩形 ．给出如下定义：若点P关于直线l： 的对称点在矩形 的内部或边上，则称点P为矩形 关于直线l的“关联点”．若点P关于直线l： 的对称点恰好在矩形 的边上，则称点P为矩形 关于直线l的“强关联点”． (1)如图1，已知点 ， ， ． ①在点 ， ， ， 中，是矩形 关于直线l： 的“关联点”的是______； ②若点 是矩形 关于直线l： 的“关联点”，点E于直线l： 的对称点为点F，且 是等腰三角形．在图2中画出所有符合条件的 ； ③在②的条件下，若等腰三角形 以 为底，则t的值为______； (2)已知点 ， ， ， ．若矩形 的边上有且只有2个矩形 关于直线l： 的“强关联点”，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)① ， ；②画图见解析；③ ． (2)a的取值范围为： 且 【分析】（1）①先画图，再结合新定义可得答案．②结合 在矩形 的内部（包含边界）， 是等腰三角形，分三种情况画图即可．③结合等腰三角形 以 为底，如图，当 时，可得 在 的垂直平分线上，再进一步求解即可． （2）由矩形 的边上有且只有2个矩形 关于直线l： 的“强关联点”，可得矩形 关于直线l： 的对称点有2个点落在矩形 的边上，进一步分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①如图，点 ， ， ， 关于直线 的对称点的坐标分别为： ， ， ， ， ∴在点 ， ， ， 中，是矩形 关于直线l： 的“关联点”的是 ， ． ②∵点 是矩形 关于直线l： 的“关联点”，点E于直线l： 的对称点为点F， ∴ 在矩形 的内部（包含边界）， ∵ 是等腰三角形， ∴三种情况如图所示： ③∵等腰三角形 以 为底， 如图，当 时， 在 的垂直平分线上， ∴此时 ；而 ， ∴ ． （2）解：∵矩形 的边上有且只有2个矩形 关于直线l： 的“强关联点”， ∴矩形 关于直线l： 的对称点有2个点落在矩形 的边上， 如图，当直线l： 过 时， ∴ ， 解得： ， 如图，当直线l： 过 时， ∴ ， 解得： ， 此时： ， 如图，当直线l： 过 时， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 综上：矩形 的边上有且只有2个矩形 关于直线l： 的“强关联点”，a的取值范围为： 且 ． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 题型5：坐标应用—综合应用 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A在x轴上，点E，F和G分别在 和 的延长线上，点E的坐标为 ． (1)若点F的坐标为 ，请直接写出 的长； (2)如图(1)，H是正方形 外一点． ．求证 ； (3)如图(2)，若 ，且 ，请直接用含n的式子表示 的长． 【答案】(1)EF的长为 (2)证明见解析 (3)AG的长为 【分析】（1）过点 作 于点 ，利用勾股定理即可求解； （2）作 于 ，在 上截取 ，连接 ，先证出四边形 是矩形，再由 得 ，从而 ，再由 ，可得 ，于是有 ，利用全等三角形的性质即可得证； （3）过点 作 ， ，垂足为 、 ，在 上取 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，则四边形 与四边形 都是矩形，从而 ， ， ， ， ，进而证明 得 ， ，再证 ，得 ，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点 作 于点 ， ∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ∴ ， ， ∴ ， （2）证明：作 于 ，在 上截取 ，连接 ，则 ， ，    ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ； （3）解：过点 作 ， ，垂足为 、 ，在 上取 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，则四边形 与四边形 都是矩形，    ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为 ，连接 和 ，点P为线段 上从左向右运动的点，以 为边作菱形 ，其中点E落在x轴上． (1)则 的长为_____， 的度数为_____ ； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形 为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形 的顶点F恰好在边 上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形 外，请写出菱形 的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点 作 于 ，证明 是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明 ，即可得到答案； （3）过点 作 于 ，延长 、 交于点 ，证明 ，然后求出 ，即可得到答案； （4）过点 作 轴于 ，延长 ，交直线 于 ，连接 、 ，交于点 ，结合菱形的性质和勾股定理，得到点 的坐标为 ；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点 作 于 ，如图： 由题意，点 、 、 、 坐标分别为 ， ， ， ， ， ∴ ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：存在；理由如下： 四边形 为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ； （3）解：如图，过点 作 于 ，延长 、 交于点 ，则四边形 是矩形，此时 ； ∵四边形 为菱形， ∴ ， ， 又 ， ， ， ， ， 又∵ ， ， ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ； （4）解：如图，过点 作 轴于 ，延长 ，交直线 于 ，连接 、 ，交于点 ， 由（3）可知， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ， 的中点 的坐标为 ； 点 在直线 上运动，点 在直线 上运动，且横坐标的值随 的增大而增大； 当点 在原点时，即 ，此时 为 ； 当点 在最右端时，即 的值最大，此时点 恰好在 上，即 ； ， ， 点 为 ； 点 的最左端坐标为 ，最右端的坐标为 ； 点 的运动路径长为： ． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 9．如图1，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形， ，点E是 延长线上一点，M是线段 上一动点（不包括O、B）作 ，交 的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证： ； (2)如图2，若 ，在 上找一点P，使四边形 是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接 交 于F，连接 ，下列两个结论： ① 的长为定值； ② 平分 ，其中只有一个正确，选择并证明． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) (3)“ 平分 ”正确，证明见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在 上取点P，使得 ，证明 即可； （2）过点N分别作 轴于点H， 于点Q，连接 ，先证明 ，得到 ，然后证明 ，得到 ，再计算 的长即可； （3）延长 到点A，使得 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，得到 ，进一步推得 ，然后过点M作 于点P，即可逐步证明 ． 【详解】（1）①解： ， ， 四边形 是正方形， ， 点C的坐标是 ； ②证明：在 上取点P，使得 ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作 轴于点H， 于点Q，连接 ， 由（1）知 ， 又 四边形 是正方形 ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 点P的坐标为 ； （3）解： 平分 成立． 证明如下：如图，延长 到点A，使得 ，连接 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 过点M作 于点P， ， ， ， ， 由（1）知 ， 又 ， ， 即 平分 ． 【点睛】本题中，3个小题均运用了添加辅助线，构造全等三角形，这是本类题常用的解题方法． 题型6：动点问题 10．如图，正方形 中， ，点 从点 出发，以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿射线 运动，连接 、 和 ，设运动时间为 ． (1)当 时，如图①所示，则 ______ ； (2)若 ，则 ______ ； (3)连接 ，与 和 分别交于点 ， ，如图②所示： ①若 ，求 的长和此时的 值； ②求证：点 是 的中点． 【答案】(1) (2) (3)① ； ；②见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到 ， ，再根据勾股定理求解即可； （2）根据 ，得到 ， ，再根据勾股定理即可求解； （3）①根据正方形的性质得到 ， ，根据勾股定理得到 ，推出 ，得到 ，求得 ，最后根据勾股定理求出 ；②过 作 交 于 ，根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 四边形 是正方形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 解得 （负值已舍去）； （3）①解： 四边形 是正方形， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ； ②证明：过 作 交 于 ， 则 ， ， ∵ ， 是等腰直角三角形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 点 是 的中点． 【点睛】综合应用正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11． 在矩形 中 ， ，G、H分别是 、 中点，E、F是对角线 上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中 ． (1)当 时，请判断四边形 的形状，并说明理由； (2)若四边形 为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形 为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析 (2) 或 (3) 【分析】（1）先证得 ，得 ， ，然后根据“等角的补角相等”即可证明； （2）先证得四边形 是矩形，再根据四边形 为矩形，可得 ，再利用勾股定理即可求解； （3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得 ，四边形 为菱形，则 ，设 ，则 ，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形 是平行四边形． 理由如下： 由题意得： ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∵G，H分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：①当 时，连接 ，如图， 由（1）得 ， ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， 当四边形 是矩形时， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②当 时，连接 ，如图， 当四边形 是矩形时， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 综上，四边形 为矩形时 或 ． （3）解：连接 ， ， ，设 与 交于 ，如图， ∵四边形 为菱形， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为菱形， ∴ ， 设 ，则 ， 由勾股定理可得： ，即： ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时，四边形 为菱形． 【点睛】熟练掌握矩形的对角线相等的性质，菱形的对角线互相垂直的性质，分类讨论，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 12．如图，点 为矩形 的对称中心， ， ，点 、 、 分别在边 、 、 上．点 从点 出发向点 运动，速度为 ，点 从点 出发向点 运动，速度为 ，点 从点 出发向点 运动，速度为 ．当点 到达点 （即点 与点 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中， 关于直线 的对称图形是 ，设点 、 、 运动的时间为 （单位：s）． (1)四边形 ______（填“能”或“不能”）是正方形；该图形面积用t表示为______； (2)若M、N分别是 、 的中点，连接 ，问：当t为何值时，四边形 是平行四边形？ (3)是否存在实数t，使得点 与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不能， (2) ； (3) ． 【分析】（1）由题意得 ，则四边形 不能是正方形，再结合矩形的性质以及轴对称的性质进行分析，即可作答．； （2）连接 ，证明四边形 是矩形，求得 ，推出当 时，四边形 是平行四边形，据此求解即可； （3）由对称的性质知 是线段 的垂直平分线，当点 与点 重合时， ，利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ∵ ， ∴四边形 不能是正方形， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ 关于直线 的对称图形是 ， 则四边形 ， 故答案为：不能； （2）解： 连接 ， ∵矩形 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵ 、 分别是 、 的中点， ∴ ， ， ∴ ， 当 时，四边形 是平行四边形， 此时 ，即 ， 解得 ； （3）解：存在实数 ，使得点 与点 重合， 连接 交 于点 ，连接 ， ， ∵矩形 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 关于直线 的对称图形是 ， ∴ 是线段 的垂直平分线， ∴ ， 当点 与点 重合时， ， 在 中， ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得 ． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型7：平行或垂直问题 13．如图，四边形 中， ,点 在边 上，四边形 为平行四边形， ，动点 从点 出发，沿 以每秒3个单位长度的速度向终点 运动，设点 的运动时间为 秒． (1) 的长为___________， 的长为___________； (2)连结 ，若 将 的面积分为 两部分，求 的值； (3)若 为等腰三角形，求 的值； (4)在点 运动过程中，作点 关于直线 的对称点 ，当直线 与边 或边 平行或共线时，直接写出 的值． 【答案】(1)13，20 (2)5或 (3) 或 或 (4)5或 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据 得出答案． （2）先表示出 , ，再分两种情况可得 或 ，然后得出两个方程，求出解即可； （3）作 ，连接 ，根据平行四边形的性质得 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据 为等腰三角形，分 三种情况，分别列出方程求出解即可； （4）当 共线时，则 ，根据 可得 ，即可求出 ；当 时，连接 ，先根据“边边边”证明 ，再说明 ，进而得出 ，即可得出四边形 是菱形，然后根据边长相等可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形 为平行四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：13，20； （2）解：如图所示， 由题意，得 , ∵ ， ∴ ． ∵ 将 的面积分为 两部分， 即 或 ，且 等高， ∴ 或 ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 解得 或 ， ∴t的值为5或 ； （3）解：如图，过点E作 ，连接 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ． ∵ , ∴ ． 由（1）知 由（2）知 ， ∴ ． ∵ 为等腰三角形， ∴分 三种情况： 当 时，则 ， 解得 ； 当 时， ∴ 即 则 ， 解得 ； 当 时， ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ，即 ， 解得 ． 综上所述，当 为等腰三角形，t的值为 或 或 ； （4）解：∵点B，C，D在同一条直线上，点M与点D关于直线 对称， ∴如图所示，当 共线时，则 ， 同理（3）可得 ， ∴ ， ∴ ； 如图，当 时，连接 ， 由对称的性质得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴点M在 上，即四边形 是平行四边形． ∵ ， ∴四边形 是菱形， ∴ ，即 ， 解得 ． 综上所述，当直线 与边 或边 平行或共线时，t的值为5或 ． 【点睛】运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 14．如图①，在矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ，动点 从点 出发，沿折线 以每秒2个单位长度的速度运动．作 ， 交边 或边 于点 ，连接 ，当点 与点 重合时，点 停止运动，设点 的运动时间为 秒（ ）． (1)当点 和点 重合时，线段 的长为________； (2)当点 在 上运动时，用含有 的代数式表示 的长； (3)当点 在 上运动且点 不与点 重合时，将 沿直线 翻折，得到 ，如图②． ①当 落在 上时，求 的值． ②当 与矩形 的边垂直或平行时，直接写出 的值． 【答案】(1) (2) (3)① ；②4或7 【分析】（1）由点P与点B重合，得 ， ，再结合矩形性质和勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况：当点P在 上运动，即 时，当点P在 上运动，即 时，分别表示出 的长； （3）①分两种情况：当点P在 上运动时，当点P在 上运动时，分别求出t的值即可； ②分两种情况：当 时，当 时，分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：如图①，点P与点B重合， 则 ， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ； （2）解：当点P在 上运动，即 时， 由题意得： ， ∴ ； 当点P在 上运动，即 时， 由题意得： ， ∴ ； 综上， ； （3）解：①分以下两种情况讨论： 当点P在 上运动时，如图②，过点Q作 于F， 则 ， ∵将 沿直线 翻折，得到 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 解得： ； 当点P在 上运动时，如图③，过点P作 于G，连接 ， 则 ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 同理可得：四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴此时点 不可能落在 上； 综上，t的值为 ； ②分以下两种情况讨论： 当 时，如图④， 则 ， 由翻折得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ； 当 时，如图⑤， 则 ， ∴ ， 解得： ； 综上，t的值为4或7． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质等，分类讨论，数形结合是解题的关键． 题型8：最值问题 15．如图1，将矩形 放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若 满足 ； (1)求点A的坐标； (2)取 中点 ，连接 ， 与 关于 所在直线对称，连接 并延长， 交x轴于点P． ①求 的长； ②如图2，点D位于线段 上，且 ．点E为平面内一动点，满足 ， 连 ．请你求出线段 长度的最大值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）由 可得 ， ，即可求解； （2）①证明 ，得到 ，可得 ，即可求解； ②取 的中点 ，连接 ， ．当点 、 、 三点共线时， 的长度最大，进而求解． 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 ． ∴ ， ， 解得 ， ， 点 的坐标为 ； （2）解：① 与 关于 所在直线对称， ， ， ， 如图，连接 ，    ， ， ， 设 ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 点 为 的中点， ； EMBED Equation.DSMT4 ②取 的中点 ，连接 ， ．    ，点 是 的中点， ． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点 的坐标为 ， ， ， 当点 、 、 三点共线时， 的长度最大， 则 的最大值为 ， 的最大值为 ． 【点睛】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质及勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键； 16．（1）如图1，正方形 中，E、F分别是 、 上的动点，且 ， 与 交于点G，直接写出 与 的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在 上截取 的平分线交 于点N，连接 ，如图2，求证： ． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形 的边长为2，点E，F分别是边 ， 上的两个动点，且满足 ，连接 ， ，则 的最小值为 ． ②如图4，在正方形 中，M为 上一点，且 ，E、F分别为 、 上的动点，且 ，若 ，求 的最小值． 【答案】（1） ， ；（2）问题1：见解析；问题2：① ；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明 即可得到答案； （2）问题1：如图，过 作 ，与 交于点 ，由正方形 的性质结合已知条件证明 ， 是等腰直角三角形，从而可得结论； 问题2：①连接 ，由（1）可知 ， ，延长 至 ，使得 ，连接 ，则 垂直平分 ，得 ，则 ，当 在 上时取等号，再根据勾股定理即可求解； ②设 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点 到定点 ， 距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）在正方形 中， ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ，则 ， ∴ ， 故答案为： ， ； （2）问题1：如图，过 作 ，与 交于点 ，    四边形 是正方形，则 ， 由（1）得： ， ， ， ，则 是 的垂直平分线， ，则 ， 平分 ， ， ， ，则 ， ， ； 问题2：①在正方形 中， ， 连接 ，由（1）可知 ， ， 延长 至 ，使得 ，连接 ，则 垂直平分 ， ∴ ，    则 ，当 在 上时取等号， ∵ ，则 ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ， 故答案为： ； ②如图，    作 于 ， ∵ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点 到定点 ， 的距离之和最小， 如图，    作J的对称点 ，连接 ， 则 与x轴的交点是H点，此时 最小， 作 轴于T， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 题型9：情景探究题 综合实践活动 17．【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【任务二】如图1，四边形 是“垂等四边形”， ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形 ． （1）求证： ； （2）求证：四边形 为正方形． 【任务三】如图2，在矩形 中， ，将 沿对角线 翻折至 ，点 在 上，且满足 ，点 为 中点，求证：四边形 是“垂等四边形”． 【答案】任务一：D；任务二：（1）见解析；（2）见解析； 【分析】任务一：根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线的性质分析即可； 任务二：（1）由 ，得到 ，再由直角三角形斜边中线得到 ，则 ，再由角的和差证明即可； （2）由三角形中位线得到 ，由直角三角形斜边中线得到 ，结合“垂等四边形”得 ，故 ，即可证明为菱形，由三角形中位线得到 ，那么 ，而 ，则 ，由 ，得到 ； 任务三：连接 ，分别交 于点 ，先根据三角形的中位线定理证明四边形 是平行四边形，则 ，根据 得到 ，设 ，则 ，由于点 为 中点，则 ，故 ，即可证明． 【详解】任务一： 解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意； B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意； C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意； D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意， 故选：D； 任务二： （1）如图， 证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， 为 中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ； （2）∵四边形 是“垂等四边形”， ∴ ， ∵点 ， 分别是 ， 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵由上已证 ， ∴ ， ∵平行四边形 ， ∴四边形 是菱形， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是正方形； 任务三：连接 ，分别交 于点 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∵折叠， ∴ ， ， ， ， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∵ ， 设 ，则 ， ∵点 为 中点， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是“垂等四边形”． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，折叠的性质，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 18．【问题情境】矩形的折叠 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以折纸活动是一种有效的学习方式．活动课上，同学们选取相同矩形纸片 进行操作，其中 ． 【初步操作】 （1）小刚将图①中的矩形纸片 沿过点A的直线折叠，使点D落在 上的点E处，折痕为 ，然后把纸片展平得到图②，证明四边形 是正方形； 【操作探究】 （2）小红将矩形纸片 先沿着与 平行的虚线折叠（如图③），使点A、D分别落在 上的G、H处，E，F分别在边 上，将矩形纸片 沿着 折叠，点G、H分别落在点 与点 处，恰好点B在边 上， 与 相交于点O，且 ，又已知 ，求线段 的长； 【深入研究】 （3）如图④，小明将矩形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，得折痕 ，沿着折痕 剪开．E、F分别在边 上， ，将矩形纸片 沿着 折叠，点M、D分别落到点 与点 处．点E从点N单向运动到点M的过程中，若边 与边 交于点P． 填空： 的最大值为________；点P运动的路径长为________． 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）8； 【分析】（1）由矩形的性质得到 ，由折叠的性质得到 ， ，则可证明 是等腰直角三角形，得到 ，据此可证明结论； （2）先证明四边形 是矩形，得到 ， ，则 ；可证明 ，得到 ， ，则 ， ；由折叠的性质可得 ， ，则 ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，解方程即可得到答案 （3）如图3-1所示，可证明 ，得到 ，则 ，故当 时， 有最小值，即此时 有最大值，可证明此时四边形 是矩形，则 ，即 ；如图3-2所示，当点E与点N重合时，同理可得 ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，解方程可得 ；如图3-3所示，当点P恰好与点 重合时，由折叠的性质可得 ，则 ，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形 是矩形， ∴ ， 由折叠的性质可得 ， ， ∴四边形 是矩形， 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴四边形 是正方形； （2）∵四边形 是矩形， ∴ ， 由折叠的性质可得 ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ； 由折叠的性质可得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； 由折叠的性质可得 ， ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； （3）如图3-1所示，由折叠的性质可得 ， ， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 最小时， 有最大值， ∴当 时， 有最小值，即此时 有最大值， ∴此时四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ； 如图3-2所示，当点E与点N重合时，同理可得 ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； 如图3-3所示，当点P恰好与点 重合时， 由折叠的性质可得 ， ∴ ， ∴点P运动的路径长为 ． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等待，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 19．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为 的正方形 对折，使点D与点B重合，得到折痕 ．打开后，再将正方形 折叠，使点D落在边 上的点P处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点Q．打开铺平，连接 ．若点P的位置恰好使得 ． ① ； ②求 的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是 上任意一点，求 的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为 的菱形草坪 ，其中 ．现打算在草坪中修建步道 和 ，使得点M在 上，点N在 上，且 ．请问：步道 所围成的 （步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）① ；② （2） （3）存在，最小值为 【分析】（1）①由 可得 ，由折叠可知： ，可得 ，由三角形外角性质即可求出 ，②由 是 垂直平分线可得 ，进而可得 ，由折叠性质求出 ，由此即可证明 ，即可得 ； （2）过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，证明 即可得 ，从而证明 ，由等腰三角形性质即可得出 ， （3）过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，同理（2）可得 是以 为底，顶角为 等腰三角形，当 最小时三角形面积最小，利用 直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ， 由折叠可知： ， ∴ ， ∵ ∴ ②由折叠可知： ， ， ， ∴ ， 如图1，连接 ， ∵ ， ，即 是 垂直平分线， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）如图2；过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∴ （3）存在，过程如下： 如图3；过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ ， ∵在菱形 中， 是 的角平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 过点 作 ，垂足为 ，设 ， 则 ， ， ∵ ，即 ∴ ∴ ， ∴当 最小时， 面积最小， ∴当 时， 面积最小， 如图4： ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ 最小值为 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $