特训03 特殊平行四边形 压轴题Ⅱ—动态几何（十大题型，理论技法的应用）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训03 特殊平行四边形 压轴题Ⅱ—动态几何（十大题型） 目录： 题型1：以图形中的一边作旋转图形 题型2：旋转问题 题型3：翻折问题 题型4：对称问题 题型5：旋转+翻折问题 题型6：动点问题—双动点问题 题型7：动点问题—最值问题 题型8：动点问题—根据条件求值或证恒等式 题型9：动点问题—定值问题 题型10：动点问题—类定值问题（寻求某种数量关系） 题型1：以图形中的一边作旋转图形 1．如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． (1)①填空： ， ； ②当时． 求证：，； (2)如图2，当时，连接，若，求的长； (3)如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 【答案】(1)①，，②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①证明是等边三角形，，，，再进一步解答即可；②由等边三角形，是等边三角形，证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）由（1）得：，，，，求解，可得，结合（2）同理可得：， ，同理：，再进一步可得答案； （3）由（1）同理可得：，求解，同理：，而，，再进一步利用勾股定理可得答案； 【解析】（1）解：①在菱形中，，， ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （2）解：由（1）得：，，，， ∵， ∴， ∴， 结合（2）同理可得：， ∴， 同理：， ∴； （3）解：由（1）同理可得：， ∵，， ∴， 同理：，而，， ∴，； 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的性质，化为最简二次根式，熟练的利用类比的方法解题是关键. 2．四边形是正方形，且，，点是直线上的一点，连接，以为一边作正方形（、、、四个点按照逆时针方向排序），连接，，直线与直线交于点． (1)如图1，当点在线段上时，探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上，且时，连接，直接写出的长度； (3)若，则点到的距离为_______． 【答案】(1)，；理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，可得，，再利用角度之间的互余关系即可证明结论； （2）同（1）可知，，，，则，过点作，，连接，进而可知，则平分，则为等腰直角三角形，得，结合正方形的性质，结合勾股定理可得，再根据等面积法求得即可求解； （3）分两种情况：点E在点A左侧或右侧，由正方形的性质证明，过点作于点，过点作于点，由勾股定理求出，的长，即为的长，证明，可得，由勾股定理列出方程，可求的长，即可得点到的距离． 【解析】（1）解：，，理由如下： ∵四边形、是正方形， ∴，，，， 则，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：； （2）同（1）可知，，，， 则， 过点作，，连接， ∵，， ∴，则平分， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 在正方形中，，，则， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， 当点E在线段上时，如图，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ∴，， ， ∵， ， ， ，， ， ∵，， ， ， ，， ， ， 点到的距离； 当点E在点A右侧时，如图，过点F作于点N，过点C作于点M， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F到的距离， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 3．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)的面积为或． 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【解析】（1）解：如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ，， ， ， ， 即； 故答案为：，； （2）解：（1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ∵， ． （1）中的结论：，仍然成立； （3）解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ∵， ， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ， 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来． 题型2：旋转问题 4．如图1，点E是正方形边上一点，点G是延长线上一点，四边形是正方形，连接，点M是线段的中点，连接并延长与边交于点H，连接． (1)猜想和的数量关系和位置关系，直接写出结论，不必说明理由； (2)将图1中的正方形绕点B按顺时针方向旋转． ①如图2，当点E恰好落在边的延长线上，连接，点M是的中点，连接，，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； ②若，，在旋转过程中，当A，E，F三点在一条直线上时，请直接写出MF的长． 【答案】(1)， (2)①成立，见解析；②或 【分析】（1）证明，得出，，证明，根据，得出是等腰直角三角形，再根据，即可证明结论； （2）①延长交的延长线于H，证明，得出，，证明，根据，得出是等腰直角三角形，再根据，即可证明结论； ②分两种情况进行讨论：当点E在线段上时，当点F在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【解析】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，； （2）解：①仍然成立，理由如下： 如图2，延长交的延长线于H， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，； ②如图，当点E在线段上时，过点F作，交的延长线于点N，过点D作，交于点P，交的延长线于点H，延长交于点Q，连接， ∵四边形和是正方形， ∴，，，， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当点F在上时，过点M作于P， 同理可求，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述： 或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 5．如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且． (1)写出之间的数量关系； (2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论； (3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）如图，连接，利用菱形的性质可得和为等边三角形，进而可得，由直角三角形的性质可得，，即可得到； （）．如图，连接，证明得到，即可求证； （）如图，连接，同理（）可证，得到，即可得到； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】（1）解：如图，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∵于，于， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， 同理可证， ∴， ∴， 即． 题型3：翻折问题 6．如图1，矩形中，，，点P在边上，且不与点B､C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值； ③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；；②12；③，见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明； （2）①由矩形的性质及平行线的性质即可证明结论；设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可； ②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可； ③过点作，交于点M，证明，再由即可得到． 【解析】（1）证明：如图，在矩形中，， 即， ∴． ∵点P是的中点， ∴． 在与中，， ∴． （2）①证明：如图，在矩形中，， ∴． 由折叠可知， ∴． ∴． 在矩形中，， ∵点P是的中点， ∴． 由折叠可知，． 设，则． ∴． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 即． ②解：如图，由折叠可知，． ∴． 连接，在中，， ∴， 则，当点恰好位于对角线上时，取最小值． ∴， ∴． ③解：与的数量关系是． 理由是：如图，由折叠可知． 过点作，交于点M， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴点H是中点． ∵，即， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点G为中点，点H是中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的判定，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明． 7．已知，将沿对角线翻折得到，连接线段． (1)如图1，求证：； (2)连接线段与直线相交于点O， ①如图2，当为锐角时，时，试求线段的长度； ②若，当为等腰三角形时，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10或 【分析】（1）设交于点P，根据平行四边形的性质得出,证明，得出，，得出，求出，，求出，即可得出答案； （2）①过点A作于点H，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，求出，； ②由翻折的性质得出：，分两种情况：当时， 当时， 分别画出图形，求出结果即可． 【解析】（1）证明：设交于点P， ∵四边形为平行四边形， , ， 由翻折可得： 在和中，， ， ， 同理得：， ∴， 在中，， 在中，， , ， ∴； （2）①解：过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ， ， 由翻折的性质得： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ∴在中，； ②解：由翻折的性质得：， 为等腰三角形， ∴有以下两种情况： 当时，过点A作于点H，如图所示： 由①可知：四边形为矩形， , 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 当时，过点B作于M，如图所示： 由①可知：，四边形为矩形， ， 设,则， , 在中，由勾股定理得：, 在中，由勾股定理得： , , 解得：， ； 综上所述：的长为：10或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，注意进行分类讨论． 8．【操作】如图①，矩形纸片中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 【答案】操作：；探究：①证明见解析；② 【分析】操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：①由矩形的性质可得，，则，由折叠可知，，于是得，可得，即可证明；②过点作于点，则，，，易得，于是可得，由即可求解； 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】操作：证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴, 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：①证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：过点作于点，如图，则， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 9．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原． （1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)． ①当点P与点A重合时，∠DEF=　　　　°，当点E与点A重合时，∠DEF=　　　　°． ②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长． （2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度． （3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值． 【答案】（1）①90，45；②；（2） 0.6；（3）1． 【分析】（1）①当点与点重合时，是的中垂线，可得结论；当点与点重合时，如图2，则平分； ②如图3中，证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得为菱形，当时，设菱形的边长为，根据勾股定理列方程得：，求出的值即可； （2）连接，由折叠性质可证，设．根据全等性质用x表示出线段关系，再由中可列方程求解； （3）如图，当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，所以． 【解析】解：（1）①当点与点重合时， 是的中垂线， ， 当点与点重合时， 此时， 故答案为：90，45． ②如图2中，设与交于点，由折叠知垂直平分． ，， 矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 当时，设菱形边长为，则， 在中，， ， 菱形的周长． （2）如图3中，连接，设． 由折叠知，，， ，， ， ， ，， 在中， 解得． ． （3）如图中，连接，，． ，， ，此时的最小值， ， ， 当与重合时，的值最小，由折叠得：， 由勾股定理得：， ， 当，，共线时，有最小值， ， 则的最小值是1． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想． 题型4：对称问题 10．如图1，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，若，，，求的面积； (3)如图3，连接，作关于直线对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，，恰好有，垂足为G，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)52 (3) 【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，，，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图2，过点A作于点G，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案； （3）如图3，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得出，再利用等腰三角形性质可得出答案． 【解析】（1）证明：如图1，∵四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， 即， 四边形为平行四边形； （2）解：如图2，过点A作于点G， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形，，， 由（1）得：，， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 的面积为； （3）解：如图3，过点E作交于点M，过点F作于点T，连接交的延长线于点N， 由（1）知， 四边形是平行四边形， 由（1）知， 四边形是菱形，，， 又关于直线对称的，其中点的对应点分别为点，， ，，， 由（1）知四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 、是等腰直角三角形， 垂直平分， 即， 又，， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又，， ， ， 又是等腰直角三角形， ， 故的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 题型5：旋转+翻折问题 11．如图，在矩形中，，对角线相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交于点，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点． (1)如图1，探究出与的数量关系为____________； (2)如图2，连接交于点． ①证明：； ②当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)4或1 【分析】（1）由矩形的性质可得出，由折叠的性质可得出，进而可得出． （2）①由矩形的性质可得出， 由折叠可知，等量代换可得出，由对顶角相等可知，由三角形内角和定理可得出，由（1）知：，等量代换可知． ②在上截取，连接，由矩形的性质以及折叠的性质得出，由①得，证明和 是等边三角形，由等边三角形的性质可得出，再证明，进一步结合全等三角形的性质可得出． （3）分两种情况求解，①当点在右上方时和当点在左上方时，画出图形分别求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形沿直线折叠得到四边形， ∴， ∴． （2）证明：①四边形是矩形， ． 又， ， ． 由折叠可知． ． 又， ， 由（1）知：． ． 证明：②在上截取，连接， 四边形折叠得到四边形， ， ， ∴， ， ， ， 由①得． 等边三角形． ． 是等边三角形， ． ， ， ， ． ， ． ． （3）解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ， 在中，． 设，则， ． ． 解得． ． ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ． ． 解得． ． 综上，的长为4或1． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠的综合问题，全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 题型6：动点问题—双动点问题 12．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值． (2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________． ③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________． 【答案】(1)或 (2)①7；②；③ 【分析】（1）连接交于点，根据矩形的性质，得到 ，分点在点上方和点在点下方两种情况进行讨论，即可求出的值； （2）①连接交于点，结合菱形的性质和矩形的性质证明，从而证出直线是线段的垂直平分线，设，则，在中，利用勾股定理求出的值，求出的值，即可求解的值；②连接、，根据题意求出四边形的面积，证明四边形是平行四边形，推出，求出，再根据即可求出的值；③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小，根据勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：连接交于点，如图所示 ∵四边形是矩形，， ∴ ∵、分别是、中点 ∴， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 当点在点上方时， 当点在点下方时， ∵速度均为每秒2个单位长度 ∴ 的值为或 （2）解：①连接、，交于点，如图所示 ∵四边形为菱形 ∴，，， ∵， ∴ ∵矩形 ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴直线是线段的垂直平分线 ∴ 设，则 在中， ∴，解得： ∴ ∴的值为7 ②连接、，如图所示 ∵四边形的面积是矩形面积的 ∴四边形的面积为： ∵是的垂直平分线 ∴， 由①可得：， 由题意可得：， ∴ ∴ 同理可得： ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 由题意可得： ∵ ∴，解得： ∴当四边形的面积是矩形面积的，则的值是， 故答案是：； ③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，如图所示 由②可得：四边形是平行四边形 ∴四边形周长 ∵对称 ∴ ∴ 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小 ∵ ∴ ∵= ∴四边形周长最小值为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、最值等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的性质，在解题中灵活运用． 题型7：动点问题—最值问题 13．如图所示四边形的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分． (1)证明：四边形是菱形； (2)如图1，过四边形的顶点C作，且，线段CF交OD于点E，交AD于点H，交BA的延长线于点F，求证：； (3)如图2，在四边形ABCD中，若，的面积为，点P是直线AD上一动点，连接BP．点M在线段AB的左侧，为等边三角形，连接AM，当线段AM最短时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论； （2）在上截取，过点作交于点，连接、，先证明，得，再证明，得到，然后利用，即，即可得出结论； （3）在中，设，过点A作于E，利用三角形的面积公式求出，以为边在下方作等边，连接，证明，得到，则当于点P时，最短，即最短，再在上取点使，设，则，，所以，根据，即可求解． 【解析】（1）解： ，， 四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 四边形是菱形； （2）解：在上截取，过点作交于点，连接、， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是菱形 ∴，，，， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， ∵， ， ， ∵四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ 在与中，，，， ， ， 在中，， ， ，即， ； （3）解：在中，设，过点A作于E， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为边在下方作等边，连接， ∴， ， ，而，， ， ， 当于点P时，最短，即最短， 在中，，，在上取点使， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， ，解得， 即此时的值． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短．此题属四边形综合题目，正确作出辅助线构造特殊三角形是解题的关键． 14．在学习四边形的性质时，小明对特殊四边形的对角线与四条边的关系进行了探究． (1)填空：如图，已知矩形，则______； 如图，已知菱形，则______． (2)在（）的基础上，小明猜想：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图，已知平行四边形，并尝试作了的高和的高，请你证明小明的猜想． (3)解决问题：如图，在矩形中，，，点是的中点，点在矩形内部，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)；； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）利用矩形的性质即可勾股定理即可求解；利用菱形的性质及勾股定理即可求解； （）证明，得到，，在和中，利用勾股定理可得，，进而可得到，即可求证； （）如图，以点为圆心，为半径画圆，取的中点，连接，交圆于点，此时，取最小值，即最小，根据矩形的性质求出，，可得到，即可求解； 本题考查了矩形、菱形、平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握矩形、菱形、平行四边形的性质是解题的关键． 【解析】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：； 设相交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ， ∴ ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：如图，以点为圆心，为半径画圆，取的中点，连接，交圆于点， 此时，取最小值，即最小， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵，点为， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型8：动点问题—根据条件求值或证恒等式 15．如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结． (1)若平行四边形是菱形，，试求出的度数； (2)若于，，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）过点作于设，则，，而，再建立方程求解即可； （3）连接，证明，可得，，证明，再证明可得，，证明．可得，可得，从而可得结论． 【解析】（1）解：在菱形中，． ， ， ； （2）解：过点作于，    在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ． 解得：， ； （3）证明：连接   ，， ． ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，．   ， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 16．如图1，在菱形中，E 是边上的点，是等腰三角形，，（）． (1)如图2，当时，连接交于点P， ①直接写出的度数； ②求证：． (2)如图1，当时，若，求的值． 【答案】(1)①②证明见解析 (2) 【分析】（1）①在上截取，连接，证明，再结合菱形性质得出结论；②作交于点N，证明四边形是平行四边形，根据性质得出，再根据勾股定理得出结论； （2）延长使，连接，过F作交延长线于点N，先证求出，设，则，利用勾股定理求出，计算得出结论； 【解析】（1）解：①在上截取，连接， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ； ②作交于点N， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ； （2）解：延长使，连接，过F作交延长线于点N， ， ， ， ， ， 解得， 设，则， ， ， 由勾股定理，得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形是的判定与性质，全等三角形判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质及添加辅助线解决问题是解题关键． 题型9：动点问题—定值问题 17．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②是，1 【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，由E是中点，可得，即，，，然后求解作答即可； （2）①如图2，连接，由（1）可知，是等边三角形， 证明，进而可得；②如图3，连接，由菱形，，可得，证明，则，同理，，，根据，求解作答即可． 【解析】（1）解：如图1，连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E是中点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图2，连接， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴； ②解：如图3，连接， ∵菱形， ∴，， 由①可知，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴的值为定值，且定值为1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．如图1，正方形的边长为1，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、． 　　 (1)①求证：； ②连接、、，直接写出四边形的面积S的取值范围． (2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，求的度数． (3)如图3，当垂足在正方形的对角线上时，作，垂足为，点在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律． 【答案】(1)①见解析；②四边形的面积S的取值范围为 (2) (3)不变， 【分析】（1）①过点B作于点F．由正方形的性质结合所作辅助线可得出四边形MBFN为平行四边形，即得出MN=BF，，从而得出，进而可证明．即可利用“ASA”证明，得出AE=BF，从而证明AE=MN；②由，可得出，再根据，即得出，从而得出； （2）连接AF，过点F作，分别交AD，BC于点H，I．由所作辅助线即可得出，．由BD是正方形ABCD的对角线，可得出，即证明是等腰直角三角形，得出HD=HF，AH=FI．再根据线段垂直平分线的判定和性质得出AF=FE．即可利用“HL”证明，得出，从而可求出，即可求出； （3）过点P作于点Q，于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作，交BD于点K．由所作辅助线结合题意易求出，即可利用“ASA”证明，得出，从而得出，进而可证明，即可利用“SAS”证明，得出，即说明F，B，C三点共线．由平行线的性质和等腰三角形的性质可证明出DH=HK．又可证明(ASA)，得出BP=PK，从而得出． 【解析】（1）①证明：由正方形的性质可知，，． 如图，过点B作于点F． ∴四边形MBFN为平行四边形， ∴MN=BF，， ∴． ∵， ∴． ∴在和中， ∴(ASA)， ∴AE=BF， ∴AE=MN； ②∵， ∴， ∵E为边BC上一点（不与点、重合）， ∴． ∵正方形的边长为1， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，连接AF，过点F作，分别交AD，BC于点H，I， ∵四边形ABCD是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形ABIH为矩形， ∴，． ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴HD=HF，AH=FI． ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AF=FE． ∴在Rt和Rt中， ∴(HL)， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）PH的长度不变，理由如下： 过点P作于点Q，于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作，交BD于点K， ∵四边形ABCD是正方形， ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴(ASA)， ∴． 又∵， ∴． ∵PF=PN，， ∴AF=AN， ∴， ∴， ∴． 又∵AB=AD， ∴(SAS)， ∴， ∴， ∴F，B，C三点共线． ∵， ∴，， ∴DN=KN． 又∵， ∴DH=HK． ∵， ∴． 又∵，PN=PF， ∴(ASA)， ∴BP=PK， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，困难题型．正确的作出辅助线是解题关键． 题型10：动点问题—类定值问题（寻求某种数量关系） 19．在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧： (1)如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB，CD于点M，N． 此时，①∠AEB与∠AMN有什么数量关系？（直接写出即可） ②AE与MN之间又有什么数量关系？并说明理由； (2)如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF＝FG，请利用图2做出证明． (3)如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB，CD于点M，N，请你继续探究线段BF与FG之间的数量关系．并证明你的结论． 【答案】(1)①，②，证明见解析 (2)BF= FG，证明见解析 (3)BF= FG，证明见解析 【分析】（1）①②作辅助线，构建平行四边形PMND，再证明，即可得出结论； （2）连接AG、EG、CG，构建全等三角形和直角三角形，证明AG=EG=CG，再根据四边形的内角和定理得∠AGE=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=AE，FG=AE，则BF=GF； （3）过点M作MH⊥CD于H，证明可得AE=MN；连接AG、EG、CG，构建全等三角形和直角三角形，证明AG=EG=CG，再根据平行线的性质得∠AGE=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=AE，FG=AE，则BF=GF． 【解析】（1）解：①，② 理由如下：在图1中，过点D作PDMN交AB于P，则∠APD=∠AMN， ∵正方形ABCD， ∴ AB=AD，ABDC，∠DAB =∠B=90°， ∴四边形PMND是平行四边形，PD=MN． ∵∠B=90°， ∴∠BAE＋∠BEA= 90°， ∵MN⊥AE于F， ∴∠BAE＋∠AMN = 90°， ∴∠BEA=∠AMN=∠APD， 又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°， ∴， ∴AE=PD=MN．，∠APD=∠AMN， ∴， （2）解：BF=FG 理由如下： 在图2中连接AG、EG、CG， 由正方形的轴对称性得ABG△CBG， ∴AG = CG，∠GAB=∠GCB， ∵ MN⊥AE于F，F为AE中点， ∴AG=EG， ∴EG=CG， ∴∠GEC=∠GCE， ∴∠GAB=∠GEC， 由图可知∠GEB＋∠GEC=180°， ∴∠GEB＋∠GAB =180°， 又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE= 90°， ∴∠AGE = 90°， 在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点， ∴BF=AE，FG=AE， ∴BF= FG； （3）解：BF= FG，理由如下： 过点M作MH⊥CD于H， ∴∠MHD=∠ADC=∠DAB= 90°， ∴四边形ADHM是矩形， ∴AD=MH=AB，∠AMH= 90°， ∴∠AMF+∠HMN= 90°， ∵∠AMF+∠BAE= 90°， ∴∠BAE=∠HMN， ∴， ∴AE=MN； 连接AG、EG、CG， 由正方形的轴对称性得ABG ≌ △CBG， ∴AG = CG，∠GAB=∠GCB， ∵ MN⊥AE于F，F为AE中点， ∴ AG = EG， ∴ EG = CG， ∴∠GEC=∠GCE， ∴∠GAB=∠GEC， ∵∠GAD+∠BAG=90°， ∴∠GEC+∠GAD=90°， ∵ADBC， ∴∠DAE＋∠AEB =180°， ∴∠GAE+∠AEG=90°， ∴ ∠AGE = 90°， 在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点， ∴BF=AE，FG=AE， ∴BF= FG． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形、平行四边形的性质与判定，在有中点和直角三角形的前提下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 特殊平行四边形 压轴题Ⅱ—动态几何（十大题型） 目录： 题型1：以图形中的一边作旋转图形 题型2：旋转问题 题型3：翻折问题 题型4：对称问题 题型5：旋转+翻折问题 题型6：动点问题—双动点问题 题型7：动点问题—最值问题 题型8：动点问题—根据条件求值或证恒等式 题型9：动点问题—定值问题 题型10：动点问题—类定值问题（寻求某种数量关系） 题型1：以图形中的一边作旋转图形 1．如图1，在菱形中，，对角线，交于点O，P是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，， （）． (1)①填空： ， ； ②当时． 求证：，； (2)如图2，当时，连接，若，求的长； (3)如图3，当时，连接，若，直接写出的长． 2．四边形是正方形，且，，点是直线上的一点，连接，以为一边作正方形（、、、四个点按照逆时针方向排序），连接，，直线与直线交于点． (1)如图1，当点在线段上时，探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上，且时，连接，直接写出的长度； (3)若，则点到的距离为_______． 3．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积． 题型2：旋转问题 4．如图1，点E是正方形边上一点，点G是延长线上一点，四边形是正方形，连接，点M是线段的中点，连接并延长与边交于点H，连接． (1)猜想和的数量关系和位置关系，直接写出结论，不必说明理由； (2)将图1中的正方形绕点B按顺时针方向旋转． ①如图2，当点E恰好落在边的延长线上，连接，点M是的中点，连接，，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； ②若，，在旋转过程中，当A，E，F三点在一条直线上时，请直接写出MF的长． 5．如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且． (1)写出之间的数量关系； (2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论； (3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系． 题型3：翻折问题 6．如图1，矩形中，，，点P在边上，且不与点B､C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值； ③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 7．已知，将沿对角线翻折得到，连接线段． (1)如图1，求证：； (2)连接线段与直线相交于点O， ①如图2，当为锐角时，时，试求线段的长度； ②若，当为等腰三角形时，求线段的长度． 8．【操作】如图①，矩形纸片中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 9．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原． （1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)． ①当点P与点A重合时，∠DEF=　　　　°，当点E与点A重合时，∠DEF=　　　　°． ②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长． （2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度． （3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值． 题型4：对称问题 10．如图1，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，若，，，求的面积； (3)如图3，连接，作关于直线对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，，恰好有，垂足为G，若，求的长． 题型5：旋转+翻折问题 11．如图，在矩形中，，对角线相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交于点，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点． (1)如图1，探究出与的数量关系为____________； (2)如图2，连接交于点． ①证明：； ②当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 题型6：动点问题—双动点问题 12．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值． (2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________． ③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________． 题型7：动点问题—最值问题 13．如图所示四边形的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分． (1)证明：四边形是菱形； (2)如图1，过四边形的顶点C作，且，线段CF交OD于点E，交AD于点H，交BA的延长线于点F，求证：； (3)如图2，在四边形ABCD中，若，的面积为，点P是直线AD上一动点，连接BP．点M在线段AB的左侧，为等边三角形，连接AM，当线段AM最短时，求的值． 14．在学习四边形的性质时，小明对特殊四边形的对角线与四条边的关系进行了探究． (1)填空：如图，已知矩形，则______； 如图，已知菱形，则______． (2)在（）的基础上，小明猜想：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图，已知平行四边形，并尝试作了的高和的高，请你证明小明的猜想． (3)解决问题：如图，在矩形中，，，点是的中点，点在矩形内部，且，请直接写出的最小值． 题型8：动点问题—根据条件求值或证恒等式 15．如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结． (1)若平行四边形是菱形，，试求出的度数； (2)若于，，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，求证：． 16．如图1，在菱形中，E 是边上的点，是等腰三角形，，（）． (1)如图2，当时，连接交于点P， ①直接写出的度数； ②求证：． (2)如图1，当时，若，求的值． 题型9：动点问题—定值问题 17．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 18．如图1，正方形的边长为1，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、． 　　 (1)①求证：； ②连接、、，直接写出四边形的面积S的取值范围． (2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，求的度数． (3)如图3，当垂足在正方形的对角线上时，作，垂足为，点在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律． 题型10：动点问题—类定值问题（寻求某种数量关系） 19．在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧： (1)如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB，CD于点M，N． 此时，①∠AEB与∠AMN有什么数量关系？（直接写出即可） ②AE与MN之间又有什么数量关系？并说明理由； (2)如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF＝FG，请利用图2做出证明． (3)如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB，CD于点M，N，请你继续探究线段BF与FG之间的数量关系．并证明你的结论． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$