专题02 特殊平行四边形 压轴题Ⅱ（十大题型）-2025-2026学年 苏科版八年级数学下册期中期末专项练

专题02 特殊平行四边形 压轴题Ⅱ（十大题型） 题型1：根据已知条件求长度 1．如图，在矩形 中， ， ． (1)如图1，过对角线 中点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ，求证：四边形 为菱形； (2)求图1中线段 的长； (3)如图2，矩形 内有一点 ，连接 ， ，延长 交 于点 ，若 ， ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等内容，利用勾股定理建立方程是本题的解题的关键． （1）先证 可得四边形 是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得证； （2）易得 ，再在 中利用勾股定理建立方程求解即可； （3）易得 ，则 ，据此在 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： 四边形 是矩形， 是 中点， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ； 四边形 是平行四边形 ， 四边形 为菱形； （2）解： 四边形 为菱形， ， 在 中， ， 即 解得 （3）解： ， ， ， ． 又 ， ， ， ． 设 的长为 ，则 的长为 ， 的长为 ， 在 中，由勾股定理得， ， 解得 ，即 的长为 ． 2．在正方形 中，E是边 上一点（点E不与点C，D重合），连接 ． (1)如图1，过点A作 交 于点F．求证： ． (2)如图2，取 的中点M，过点M作 交 于点F，交 于点G． ①求证： ． ②连接 ，若 ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 证明见解析； EMBED Equation.DSMT4 的长为2 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）由正方形的性质可得 ， ，再由 ，利用同角的余角相等判断出 ，即可证明 ； （2） 同（1）的方法判断出 ，即可得出结论；②利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ． （2） 证明：如图，过点 作 于点 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，M是 的中点， ∴ ， 由 可知 ， ∴ ，即 的长为2． 题型2：平移问题 3．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形 中， EMBED Equation.DSMT4 分别是 的中点，点 在 边的延长线上，且 ，连接 ． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了 时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段 与 的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形 中， ，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时 的值； ②将图2中的 从当前位置开始，沿射线 的方向平移得到 （其中点 分别是点 的对应点），点 是平面内的一点，请直接写出以点 为顶点的四边形是菱形时， 平移的距离． 【答案】(1) ，见解析； (2)① ； ② 平移的距离是 或 ． 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质，勾股定理解三角形，平移的性质求解即可，关键是进行分情况分析． （1）根据题意可知 ，由勾股定理得 ，结合 ，即可证得结论； （2）①根据题意得到 ，由勾股定理求得 ，结合 可求得 ，进而求得 ，即可解答； ②分三种情况讨论： ； ； ；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】（1）解： ，理由如下， ∵四边形 是矩形， ， 分别是 的中点， ， 在 中，由勾股定理，得 ， ， ， ∵点G在 边的延长线上， ， ，即 ． （2）解：①∵四边形 是矩形， ， 分别是 的中点， ， 在 中，由勾股定理，得 ， ， ， ， ，点G在 边的延长线上， ， ； ② 平移的距离是 或 ． 如图1，若 ， ∴点 在线段 的垂直平分线上， 由①得 ， ∴ ； 若 ，连接 ，过点 作 于点M，过点 作 的延长线于点N，如图所示： ∴ ， ， 设 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得： ， 此时 ； 如图3，若 ，过点G作 ，过点 作 的延长线于点M， 根据题意得： ， 设 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： （负值舍去）， ∴ ． 题型3：折叠问题 4．【问题原型】 在矩形 中， ．点 为边 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落在点 处）． (1)【问题解决】如图①，当点 落在边 上时，求 的长． (2)【尝试应用】如图②， 与 相交于点F， 与 相交于点 ，且 ，直接写出 的长__________． (3)【拓展提升】如图③，点 为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点 恰好落在直线 上的点 处，直接写出 的长__________． 【答案】(1)4 (2) (3)1或9 【分析】（1）利用矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理求解即可； （2）利用翻折的性质可得： ，设 ，则 ，再证 得 ，则 ，然后在 中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分两种情况：①点Q在线段 上时，证 ，再由勾股定理得 ，则 ；②点Q在 延长线上时，由勾股定理得 ，设 ，则 ，然后在 中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形 中， ， ∴ ， 如图1由翻折的性质得： ， 在 中，由勾股定理得： ． （2）解：如图2，由翻折的性质得： ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得： ，即 ． （3）解：分两种情况： ①点Q在线段 上时，如图3所示： 由翻折的性质得 ， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②点Q在 延长线上时，如图4所示： 由翻折的性质得： ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ，解得： ，即 ． 综上所述， 的长为1或9． 【点睛】灵活利用分类讨论思想和勾股定理构造方程是解题的关键． 5．综合与探究 问题情境：如图菱形 中， ， ，点 为 的中点，点 为边 上的动点，连接 ，将四边形 沿 折叠， 对应边为 ，直线 分别交 ， 于点 ， ． 猜想证明：（1）如图1，当 与 在同一直线上时，猜想 与 的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点 运动过程中，当 于点 时，连接 ，则四边形 为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出 的长度． 【答案】（1） 理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理． （1）根据菱形的性质结合已知条件可得 ，根据折叠的性质得出 ，则 ，根据等角对等边，即可得证； （2）连接 ，证明 是等边三角形，可得 ，根据菱形的性质可得 ，结合 ，即可证明 ，从而得证； （3）先求得 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解 即可求解． 【详解】（1）解： 理由如下： 四边形 是菱形， ， ， 由折叠得： ， ； （2）证明：如图，连接 四边形 是菱形 ， 是等边三角形 为 的中点 于点 四边形 是矩形； （3）解：∵ 为 的中点， ， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴ ，则 ∴ ∴ ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ，则 在 中， 设 ，则 ， 又∵ ∴ 解得： ∴ ． 6．在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形 折叠，使点 的对应点 落在 边上，折痕分别与 ， 交于点 ， ，则折痕 和 的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设 与 交于点 ，连接 交 于点 ，如图2．求证： ； (3)拓展应用 如图3，正方形 的边长为9，点 是 边上的一动点，点 在边 上，且 ．连接 ，将正方形 沿 折叠，使点 ， 分别落在点 ， 处，当点 落在直线 上时，请直接写出线段 的长． 【答案】(1) ， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得 垂直平分 ，证明 即可； （2）连接 ，证明 ，可得 ， ，再证 ，可得 ，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段 上或 延长线上，设 ，由题易得 ， ， ，则 或12，进而分别在 中， ，在 中， ，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作 于点H，设 与 交于点O， 根据折叠的性质可得 垂直平分 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ∵ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 故答案为： ， ； （2）证明：如图，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ． ∴ ． ∵ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴在四边形 中， ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：线段 的长为2或8． 连接 ，设 ， ∵ ， ∴ ， ， 在 中， ， 当点Q落在线段 上时，如图， 此时 ， 在 中， ， 在 中， ， 则 ， 解得 ， ∴ ； 当点Q在 延长线上时，如图， 此时 ， 在 中， ， 在 中， ， 则 ， 解得 ， ∴ ； 综上，线段 的长为2或8． 题型4：旋转问题 7．如图在四边形 中，点E是直线 上一点，将射线 绕点A逆时针旋转 交直线 于点F．    (1)如图①．若四边形 为菱形， ，则 与 之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形 为正方形， ，连接 ，当点E在 的延长线上时，试猜想线段 与 之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形 为正方形， ，连接 ，当 时，请直接写出 的长． 【答案】(1) (2) ，证明见解析 (3) 或10 【分析】（1）如图，连接 ，根据菱形的性质得出 是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明 ，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在 上取点 ，使得 ，连接 ，根据条件证明 ，得出 ，再证明 ，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接 ，    ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． （2）解： ，证明如下：    如图：在 上取点 ，使得 ，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ． （3）解：①如图，当点E在线段 上时，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，    ， ∵四边形 为正方形， ， ， 又 ， ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理可得 ，即 ，解得： ， ∴ ． ②如图，当点E在 延长线上时，取 的中点G，连接 ，    ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得 ，即 ， 解得∶ ． ∴ ． 综上所述， 的长为 或10． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 8．如图，四边形 和四边形 均是正方形，连接 ，点 是 的中点，连接 ． (1)如图①，当点 在 边上时，求证： ； (2)将图①的正方形 绕点 顺时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)若 ， ，连接 ，在正方形 绕点 顺时针旋转的过程中，当 时，请求出 的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3) 或1 【分析】（1）结合正方形的性质证明 ，推出 ，根据直角三角形斜边中线的性质得 ，即可证明 ； （2）延长 至点 ，使 ，连接 ．由三角形中位线的性质得 ，再证 是等腰直角三角形， ，即可得出 ； （3）分两种情况：当点 在 上方，点 在 下方，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，结合（2）中结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图①∵四边形 和四边形 都是正方形， ， ， ， ∵点 分别在 边上， ， ， 即 ， ． ， 又∵点 是 的中点， 是 斜边的中线， ， ． （2）解：成立． 证明：延长 至点 ，使 ，连接 ． ∵点 是 的中点，点 是 的中点， 是 的中位线， ， 是正方形 的对角线， ， 又 ， 是 的垂直平分线． ， 又 ， ， 是等腰直角三角形，且 ， ， 又 ， ， ， ． （3）解：当点 在 上方， 时，如图，作 于点 ， 则 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， ∴由（2）问知 ． 当点 在 下方， ，如图，作 交 的延长线于点 ， ， ， 同理： ， ， ， 在 中， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线，注意分情况讨论是解题的关键． 题型5：对称问题 9．已知点E在正方形 的边 上，点A关于 的对称点 在正方形 内． (1)如图1，连接 ，则 与 的位置关系是__________；若 的延长线经过点D， ，则 的长为__________． (2)如图2，F是 的延长线与 的交点，连接 ． ①求证： ． ②如图3，设 ， 相交于点G，连接 ， ， ．若 ，求证： 是等腰直角三角形． 【答案】(1) ， (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质即可得出 ， ， ，证明 ，得出 ，结合正方形的性质可判断 是等腰直角三角形，求出 ，然后根据勾股定理求出 ，即可求解； （2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出 ，根据等边对等角以及三角形内角和定理可求出 ，即可求解； ②设 ，则 ．根据等边对等角得出 ，根据三角形内角和定理求出 ，由（1）中 ，得出 ，则 ．根据等边对等角得出 ．根据三角形内角和定理求出 ，由角的和差关系求出 ， ，根据 证明 ，得出 ， ．结合①中 求出 ，则 ，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点A、点 关于 对称， ∴ ， ， ， ∵四边形 是正方形， 的延长线经过点D， ∴ ， ， ， 又 ， ∴ ， ∴ ． 又 ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ， ； （2）证明：①由题意知， ， ∴ ， ． ∴ ； ②设 ，则 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ， 又 ， ， ∴ ． ∴ ， ． 由①知 ， ∴ ． 又 ， ∴ 为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 10．如图1，在 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ． (1)求证：四边形 为平行四边形； (2)如图2，连接 ，若 ， ， ，求 的面积； (3)如图3，连接 ，作 关于直线 对称的 ，其中点A，B的对应点分别为点C， ，恰好有 ，垂足为G，若 ，求 的长． 【答案】(1)见详解 (2)52 (3) 【分析】（1）根据平行四边形性质得出： ， ， ，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图2，过点A作 于点G，则 ，再证明四边形 是矩形，推出 ，设 ，则 ，利用勾股定理求得 ，再运用平行四边形面积公式即可求得答案； （3）如图3，过点 作 交于点 ，过点 作 于点 ，连接 交 的延长线于点 ，运用轴对称性质可得出： ， ， ，推出 、 是等腰直角三角形，再证得 是等腰直角三角形，得出 ，运用角平分线性质可得 ，进而得出 ，再利用等腰三角形性质可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， 同理可得： ， ， ， 即 ， 四边形 为平行四边形； （2）解：如图2，过点A作 于点G， 则 ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 由（1）得： ， ， ， 设 ，则 ， ， 在 中， ， ， 解得： ， ， ， 的面积为 ； （3）解：如图3，过点E作 交于点M，过点F作 于点T，连接 交 的延长线于点N， 由（1）知 ， 四边形 是平行四边形， 由（1）知 ， 四边形 是菱形， ， ， 又 关于直线 对称的 ，其中点 的对应点分别为点 ， ， ， ， ， 由（1）知四边形 为平行四边形， ， 又 ， ， ， 、 是等腰直角三角形， 垂直平分 ， 即 ， 又 ， ， ， ， 即 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 又 是等腰直角三角形， ， 故 的长为 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 题型6：新定义题 11．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形 中，E是 的中点，连接 ， ，则折线 叫做菱形 的折中线，折线 的长叫做折中线的长． 已知，在菱形 中， ，E是 的中点，连接 ， ． (1)如图1，已知折中线 将菱形的面积分为了三部分， 、 、 的面积之比为 ； (2)如图2，若 ， ，求折中线 的长； (3)若 ，且折中线 中的 或 与菱形 的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线 的长为 (3) 或 【分析】（1）根据E是菱形的边 的中点，即可解决问题； （2）连接 ，根据题意证得 为等边三角形，利用勾股定理求出 ， ，即可解答； （3）当 时，过点E作 ，交 的延长线于点F，过点B作 于点G，利用勾股定理即可解答；当 时，过点C作 ，过点E作 ，交 的延长线于点G，过点C作 于点H，交 的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形 中， ∵E是 的中点， ∴ ， ∴ 、 、 的面积之比为 ， （2）解：如图，连接 ， 在菱形 中， ， ， ∴ 为等边三角形， ∵点E为 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴折中线 的长为 ； （3）解：由已知得折中线 中的 或 只能与菱形 中较短的对角线相等， 当 时，如图，过点E作 ，交 的延长线于点F，过点B作 于点G， 则四边形 是矩形， 在菱形 中， ，E是 的中点， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∵ ， ， 在 中， ， ∴ ； 当 时，如图，过点C作 ，交 的延长线于点F，过点E作 ，交 的延长线于点G，过点C作 于点H， ∴四边形 是平行四边形，四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴ 是等腰三角形， ∵ ， ∴H是 的中点，即 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上，折中线 的长为 或 ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 12．定义：如果一个多边形内部存在一个点与多边形各个顶点连接而形成若干个三角形，且这些三角形都是等腰三角形，则我们称这个点为这个多边形的妙点． (1)如图，正方形 的对角线 与 相交于点O，判断：点O 正方形 的妙点（是或不是）． (2)如图，等边 的角平分线 ， 相交于点P，问：点P是等边 的妙点吗？请说明理由． (3)如图，在矩形 中， ， ． ①请用无刻度直尺与圆规找出该矩形 中所有的妙点P（保留作图痕迹，并用简单文字说明）；②请直接写出 的最小值．    【答案】(1)是 (2)是，见解析 (3)①见解析，② 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质． （1）根据正方形的性质得到 ，可知 ， ， ， 均为等腰三角形，即点O是正方形 的妙点； （2）连接 ，根据等边三角形三线合一得到 垂直平分 ， 垂直平分 ，根据垂直平分线的性质证明 ，即P为等边三角形的妙点； （3）①以D为圆心，DA为半径画弧，以C为圆心，CB为半径画弧，两弧交于 ，同理做出 ， ， ，连接 、 交于 ； ②根据三角形两边之和大于第三遍推导出 为 的最小值，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形 的对角线 与 相交于点O， ∴ ， 即 ， ， ， 均为等腰三角形， ∴点O是正方形 的妙点． 故答案为：是； （2）解：点P是等边 的妙点，证明如下： 如图，连接 ， ∵等边 的角平分线 ， 相交于点P， ∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ， ∴ ， 即点P是等边 的妙点； （3）解：①：如图，以D为圆心，DA为半径画弧，以C为圆心，CB为半径画弧，两弧交于 ，同理做出 ， ， ，连接 、 交于 ． ， ， ， ， 即为所求； 证明：如图，连接 ， ， ， ，作 交 于 ，则 ， 由作图可知， ， ， 即 ， 是等腰三角形， ∵ ， ∴ ， 即 是等腰三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 是等腰三角形， ∴ 是矩形 的妙点； 同理可证明 ， ， ； ∵矩形 的对角线 与 相交于点 ， ∴ ， 即 ， ， ， 均为等腰三角形， ∴ 是矩形 的妙点； ②由图可知 ， ， 即 ， ， ， 同理， 即 的最小值是 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 的最小值 ． 题型7：最值问题 13．【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形 和正方形 ，连接 ， ．线段 与线段 之间的数量关系是________；直线 与直线 的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于 的角） （2）如图2，当正方形 绕点 旋转时，线段 与线段 之间的数量关系是________；直线 与直线 的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形 与四边形 都为菱形，且 ， ，猜想线段 与 的数量关系及直线 与 的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下， ，在菱形 绕点 旋转过程中，求线段 的最小值． 【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ，直线 与 的夹角度数为 ，理由见解析；（4） 【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ， ，再证明 ，得出 ， ，延长 交 于点 ，求出 ，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得 ， ， ，再证明 ，得出 ， ，延长 交 于点 ，求出 ，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得 ， ， ，证明 ，得出 ， ，延长 交 的延长线于点 ，交 于点 ，结合三角形内角和定理求出 ，即可得出结果； （4）由 ，得出当点 在 上时，线段 取得最小值，连接 ，交 于 ，由菱形的性质可得 ， ， ，求出 ，由勾股定理可得 ，则 ，求出 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形 和四边形 为正方形， ∴ ， ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， 如图，延长 交 于点 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 与直线 的夹角度数为 ； （2）∵四边形 和四边形 为正方形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， 如图，延长 交 于点 ， ， ∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， 即 与直线 的夹角度数为 ； （3）解： ，直线 与 的夹角度数为 ，理由如下： ∵四边形 与四边形 都为菱形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， 如图，延长 交 的延长线于点 ，交 于点 ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴直线 与 的夹角度数为 ； （4）解：∵ ， ∴如图，当点 在 上时，线段 取得最小值， ， 连接 ，交 于 ， ∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴线段 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．如图1，两个正方形 和 共一个直角顶点 ，连接 、 交于点 ，连接 、 、 、 ． (1)当 ， 时， ①作图：请在图1中分别取 、 、 的中点 、 、 （不要求尺规作图），并直接写出 和 的关系： ； ②若 ，求此时 的长； (2)当 ，求 的最小值． 【答案】(1)①作图见解析， ， ；② (2) 【分析】（1）①取中点作图，根据中位线的性质可判断 ．根据正方形的性质容易证明 ，进而可证明 ，因此 ； ②使用勾股定理可得 ，运用正方形的性质和勾股定理计算出 和 ，进而求出 ； （2）分别取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，连接 ， ， ， ， ，根据中位线的性质可得， ．由线段公理可得，当 、 、 三点共线时， 有最小值，最小值为 的长，即 的最小值为 的长．同理①可得， 是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出 即可． 【详解】（1）解：点 、 、 如图所示， ， ，理由如下： ∵点 、 、 分别是 、 、 的中点， ∴ 是 的中位线， 是 的中位线， ∴ ， ， ， ； ∵四边形 和四边形 都是正方形， ∴ ， ， ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ； 故答案为： 且 ； ②由①可知， ， ∴ ， 由勾股定理可得， ， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 和四边形 都是正方形， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 （负值舍去）； （2）解：如图，分别取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，连接 ， ， ， ， ， 同理（1）①可得 是 的中位线， 是 的中位线， 是 的中位线， 是 的中位线， ∴ ， ， ， ， ， ； ∴ ， ∵ ， ∴当 、 、 三点共线时， 有最小值，最小值为 的长，即 有最小值，最小值为 的长， 同理（1）①可得， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴在直角 中， ， ∴ ，即 的最小值为 ． 【点睛】本题是四边形中点问题的综合题，考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型8：定值问题 15．已知菱形 中， ，点E在边 上，作 ，与 相交于点F． 与对角线 分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是 中点时， ______； (2)如图2． ①求证： ； ② 的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②是，1 【分析】（1）如图1，连接 ，证明 是等边三角形，由E是 中点，可得 ，即 ， ， ，然后求解作答即可； （2）①如图2，连接 ，由（1）可知， 是等边三角形， 证明 ，进而可得 ；②如图3，连接 ，由菱形 ， ，可得 ，证明 ，则 ，同理， ， ，根据 ，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，连接 ， ∵菱形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∵E是 中点， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ； （2）①证明：如图2，连接 ， 由（1）可知， 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∵菱形 ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； ②解：如图3，连接 ， ∵菱形 ， ∴ ， ， 由①可知， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 同理， ， ， ∴ ， ∴ 的值为定值，且定值为1． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含 的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含 的直角三角形，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16．如图1，正方形 的边长为1， 为边 上一点（不与点 、 重合），垂直于 的一条直线 分别交 、 、 于点 、 、 ． 　　 (1)①求证： ； ②连接 、 、 ，直接写出四边形 的面积S的取值范围． (2)如图2，若垂足 为 的中点，连接 ，交 于点 ，连接 ，求 的度数． (3)如图3，当垂足 在正方形 的对角线 上时，作 ，垂足为 ，点 在边 上运动过程中， 的长度是否变化？若不变，求出 的长；若变化，说明变化规律． 【答案】(1)①见解析；②四边形 的面积S的取值范围为 (2) (3)不变， 【分析】（1）①过点B作 于点F．由正方形的性质结合所作辅助线可得出四边形MBFN为平行四边形，即得出MN=BF， ，从而得出 ，进而可证明 ．即可利用“ASA”证明 ，得出AE=BF，从而证明AE=MN；②由 ，可得出 ，再根据 ，即得出 ，从而得出 ； （2）连接AF，过点F作 ，分别交AD，BC于点H，I．由所作辅助线即可得出 ， ．由BD是正方形ABCD的对角线，可得出 ，即证明 是等腰直角三角形，得出HD=HF，AH=FI．再根据线段垂直平分线的判定和性质得出AF=FE．即可利用“HL”证明 ，得出 ，从而可求出 ，即可求出 ； （3）过点P作 于点Q， 于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作 ，交BD于点K．由所作辅助线结合题意易求出 ，即可利用“ASA”证明 ，得出 ，从而得出 ，进而可证明 ，即可利用“SAS”证明 ，得出 ，即说明F，B，C三点共线．由平行线的性质和等腰三角形的性质可证明出DH=HK．又可证明 (ASA)，得出BP=PK，从而得出 ． 【详解】（1）①证明：由正方形的性质可知 ， ， ． 如图，过点B作 于点F． ∴四边形MBFN为平行四边形， ∴MN=BF， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴在 和 中 ， ∴ (ASA)， ∴AE=BF， ∴AE=MN； ②∵ ， ∴ ， ∵E为边BC上一点（不与点 、 重合）， ∴ ． ∵正方形 的边长为1， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； （2）如图，连接AF，过点F作 ，分别交AD，BC于点H，I， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴四边形ABIH为矩形， ∴ ， ． ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴HD=HF，AH=FI． ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AF=FE． ∴在Rt 和Rt 中 ， ∴ (HL)， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ； （3）PH的长度不变，理由如下： 过点P作 于点Q， 于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作 ，交BD于点K， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ (ASA)， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵PF=PN， ， ∴AF=AN， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵AB=AD， ∴ (SAS)， ∴ ， ∴ ， ∴F，B，C三点共线． ∵ ， ∴ ， ， ∴DN=KN． 又∵ ， ∴DH=HK． ∵ ， ∴ ． 又∵ ，PN=PF， ∴ (ASA)， ∴BP=PK， ∴ ． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，困难题型．正确的作出辅助线是解题关键． 题型9：证明恒等式 17．在 中， ， ，点D为 上一动点． (1)如图1，点E、点F均是射线 上的点并且满足 ， ，求证： ； (2)在（1）的条件下，求证： ； (3)如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作 于F，连接 ． ① 的度数是______； ②若 为 中 边上的高，求证： ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)① ；②见解析． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导． （1）根据 证明 即可； （2）根据全等三角形的性质和垂直的判定解答即可； （3）①过点A作 的垂线交 于点E，证明 ，得出 ，则 是等腰直角三角形，得出 ； ②过点A作 ，交 的延长线于点G，证明 ，得出 ，则可得出结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在 和 中， ， ； （2）证明： ， ， 由（1）得 ， ， ， 又 ， ， ， ． （3）①解：过点A作 的垂线交 于点E， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为： ； ②证明：过点A作 ，交 的延长线于点G， ， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ． 18．如图，在平行四边形 中， ，点 是 上动点，连结 ． (1)若平行四边形 是菱形， ，试求出 的度数； (2)若 于 ， ， ， ，求 的长； (3)过点 作 交线段 于点 ．过 点作 于 ，交 的高 于点 ．若 ， ，求证： ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）证明 ，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）过点 作 于 设 ，则 ， ，而 ，再建立方程求解即可； （3）连接 ，证明 ，可得 ， ，证明 ，再证明 可得 ， ，证明 ．可得 ，可得 ，从而可得结论． 【详解】（1）解：在菱形 中， ． ， ， ； （2）解：过点 作 于 ，    在 中， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， 在 中， ， ． 解得： ， ； （3）证明：连接    ， ， ． ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又 ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 在 中， ．    ， ， ， 在 和 中， ， ． ， 又 ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 题型10：特殊三角形问题；分类讨论 19．在四边形 中， ，E为射线 上的一点，四边形 为平行四边形． (1)如图1，连接 ， ，若 ，求证：四边形 是矩形； (2)如图2，连接 ， ， ， 交 于点 ．若 ，求 的周长的最小值； (3)如图3，连接 ， ， 交 于点 ．若 ，当 是等腰三角形时，直接写出 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 周长的最小值为 (3) 或 或 【分析】（1）先证明四边形 是菱形得到 ， ，再根据平行四边形的性质推导出 ， ，则四边形 是平行四边形，进而根据矩形的判定可证得结论； （2）过E作 交 延长线于N，过B作 ，交 延长线于H，在 延长线上截取 ，连接 ，则 ，由菱形的性质可求得 ，进而可得当F、B、M共线时取等号， 的周长的最小值为 ；证明四边形 、四边形 是矩形，求得 ， ，最后利用勾股定理求得 即可求解； （3）先根据线段垂直平分线的判定与性质得到 垂直平分 ，则 ， ，设 ，则 ， ，则 ，根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴四边形 是菱形，则 ， ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是矩形； （2）解：过E作 交 延长线于N，过B作 ，交 延长线于H，在 延长线上截取 ，连接 ，如图， 则 垂直平分 ， ∴ ， 由（1）知四边形 是菱形， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ 的周长 ，当F、B、M共线时取等号， ∴ 的周长的最小值为 ， ∵ ， ， ∴四边形 、四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， 在 中， ， ∴ 的周长的最小值为 ； （3）解：∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ， ∵ ，设 ， ∴ ， ，则 ， 根据题意，当 是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段 上且 时， ， ∴ ； 当点E在 延长线上且 时， ∴ ； 当 时， ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ，则 ∴ ， 综上，满足条件的 的值为 或 或 ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、最短距离问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． 20．【问题背景】 在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长 ，宽 的长方形纸片进行折纸探究活动．如图 ，点 是 边上一动点，连接 ，把△ 沿着 翻折得到△ ．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步尝试】 (1)如图 ，射线 交 于 ，判断△ 形状并说明理由； (2)如图 ，若射线 恰好经过点 ，求 的值； 【操作感悟】 (3)对折长方形纸片 ，如图 ， 是折痕．若点 落在 上，请你用无刻度的直尺和圆规，在图 中作出 边上的点 ，并写出线段 与 的数量关系__________；（保留作图痕迹，不写作法） 【思维拓展】 (4)若点 是射线 上一动点， 是 中点，当△ 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长． 【答案】(1)△ 是等腰三角形；理由见解析； (2) ； (3) ； (4) 的长为 或 或 【分析】（1）由题易证 ； （2）易知 ，再求出 ，即可得解； （3）先作 ，再作 垂直平分线即可；延长 交 于点 ，先得点 为 中点，易证△ △ ，即可得解； （4）分三种情况讨论，依次画出图形求解即可． 【详解】（1）△ 是等腰三角形； 理由：由折叠可知 ， 四边形 是长方形， ， ， ， ， △ 是等腰三角形； （2）由（1）可知 ， 由折叠可知 ， ， ， ， 在 △ 中， ， ； （3）解：如图，点 即为所求： ； 延长 交 于点 ，则 ， 为长方形 对折折痕， 点 为 中点，即 ， 在△ 和△ 中， ， △ △ ， ， ， 故答案为： ； （4）解： 为 中点， ， 设 ，则 ， ①当点 在线段 上，且 时， 此时 ， 在 △ 中， ， 即 ， 解得 ， 即 ； ②当点 在线段 上，且 时， 此时点 在 垂直平分线上， 点 此时落在边 上， 则 ； ③当点 在线段 延长线上时，此时只能满足 ， 过 作 于点 ，则 ， ， ， ， △ △ ， ， ， ； 综上， 的长为 或 或 ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊平行四边形 压轴题Ⅱ（十大题型） 题型1：根据已知条件求长度 1．如图，在矩形中，，． (1)如图1，过对角线中点作，分别交，于点，，连接，，求证：四边形为菱形； (2)求图1中线段的长； (3)如图2，矩形内有一点，连接，，延长交于点，若，，求的长． 2．在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F．求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接，若，求的长． 题型2：平移问题 3．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 题型3：折叠问题 4．【问题原型】 在矩形中，．点为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【问题解决】如图①，当点落在边上时，求的长． (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点，且，直接写出的长__________． (3)【拓展提升】如图③，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，直接写出的长__________． 5．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 6．在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 题型4：旋转问题 7．如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 8．如图，四边形和四边形均是正方形，连接，点是的中点，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)将图①的正方形绕点顺时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)若，，连接，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，当时，请求出的长． 题型5：对称问题 9．已知点E在正方形的边上，点A关于的对称点在正方形内． (1)如图1，连接，则与的位置关系是__________；若的延长线经过点D，，则的长为__________． (2)如图2，F是的延长线与的交点，连接． ①求证：． ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，求证：是等腰直角三角形． 10．如图1，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，若，，，求的面积； (3)如图3，连接，作关于直线对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，，恰好有，垂足为G，若，求的长． 题型6：新定义题 11．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 12．定义：如果一个多边形内部存在一个点与多边形各个顶点连接而形成若干个三角形，且这些三角形都是等腰三角形，则我们称这个点为这个多边形的妙点． (1)如图，正方形的对角线与相交于点O，判断：点O 正方形的妙点（是或不是）． (2)如图，等边的角平分线，相交于点P，问：点P是等边的妙点吗？请说明理由． (3)如图，在矩形中，，． ①请用无刻度直尺与圆规找出该矩形中所有的妙点P（保留作图痕迹，并用简单文字说明）；②请直接写出的最小值．    题型7：最值问题 13．【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 14．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 题型8：定值问题 15．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G． (1)如图1，当点E是中点时， ______； (2)如图2． ①求证：； ②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 16．如图1，正方形的边长为1，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、． 　　 (1)①求证：； ②连接、、，直接写出四边形的面积S的取值范围． (2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，求的度数． (3)如图3，当垂足在正方形的对角线上时，作，垂足为，点在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律． 题型9：证明恒等式 17．在中，，，点D为上一动点． (1)如图1，点E、点F均是射线上的点并且满足，，求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接． ①的度数是______； ②若为中边上的高，求证：． 18．如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结． (1)若平行四边形是菱形，，试求出的度数； (2)若于，，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，求证：． 题型10：特殊三角形问题；分类讨论 19．在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 20．【问题背景】 在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长，宽的长方形纸片进行折纸探究活动．如图，点是边上一动点，连接，把△沿着翻折得到△．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步尝试】 (1)如图，射线交于，判断△形状并说明理由； (2)如图，若射线恰好经过点，求的值； 【操作感悟】 (3)对折长方形纸片，如图，是折痕．若点落在上，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中作出边上的点，并写出线段与的数量关系__________；（保留作图痕迹，不写作法） 【思维拓展】 (4)若点是射线上一动点，是中点，当△是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $