精品解析：黑龙江大庆市让胡路区大庆第一中学2025-2026学年九年级下学期数学阶段试卷(黄金2)

大庆一中初四数学周测试卷（黄金2） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在0，1，，中最小的实数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：B． 2. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年11月10日，该片累计票房已突破3017000000元．其中数据3017000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3017000000用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转能够和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除的计算法则，逐一判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 5. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则从左面看该几何体得到的平面图形是（       ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同角度看几何体，解题的关键是理解几何体的特征．根据从不同角度看几何体即可判定． 【详解】解：从左面看分三层两列，从上至下依次是一个，一个，两个小正方形，从左到右依次是三个，一个小正方形， 即从左面看该几何体得到的平面图形是： 故选：B． 6. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象．由点关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，从而排除选项A． 【详解】解：由在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由在同一个函数图象上，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故选项A不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 7. 下列说法中，正确的有（ ） ①的算术平方根是2；②一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等；③一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形；④平分弦的直径垂直于弦；⑤等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合；⑥的系数为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根定义，全等三角形判定，多边形内角和与外角和性质，垂径定理，等腰三角形性质，单项式系数定义，逐一判断每个说法，统计正确说法个数得到答案． 【详解】解：①∵，2的算术平方根是，∴①错误； ②当相等的边是一个三角形的直角边，另一个三角形的斜边时，两个直角三角形不全等，∴②错误； ③∵任意多边形外角和为，由题意得该多边形内角和为，设多边形边数为，根据多边形内角和公式得，解得，∴③正确； ④∵当被平分的弦本身是直径时，平分弦的直径不一定垂直于该弦，∴④错误； ⑤∵等腰三角形只有顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合，并非所有角平分线，中线，高线都重合，∴⑤错误； ⑥∵单项式的系数是单项式中的数字因数，是常数，∴的系数为，∴⑥正确； 综上，正确的说法共2个． 8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到的位置，连接，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．连接，延长交于点；证明，得到；求出、的长，即可解决问题 【详解】解：如图，连接，延长交于点． 由题意得：，， 为等边三角形， ，； 在与中， ， ， ， ，且； ∵， ∴， ，， ， 由勾股定理可求：， ， 故选：B． 9. 如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了30度角的性质，三角函数． 先求出，判断出运动时间为时，P在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当点P在上运动时，作交于D，作交于E， 当时，， ∵， ∴， ∵当，时， ∴， ∴， ∵ ∴点先到达点， 由图像可知，， ， ， 当时，，， 此时， 如图，作交于F， ∵ ∴， ∴的值是， 故选：B． 10. 如图，二次函数（）的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程（）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式（）的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ∴关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，如图所示： 由图象可得，， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是，故⑤错误 故正确的有①②④，共3个． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 分解因式：=______. 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解即可解答. 【详解】解：利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解可得， ， 故答案为 【点睛】本题考查了利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键. 13. 已知不等式6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】首先解出一元一次不等式的解集，再确定出x的值，再把x的值代入方程即可得到关于k的方程，再解方程即可算出k的值． 【详解】解：6x+1＞5x﹣2， 解得：x＞﹣3， ∵x是不等式5x﹣2＜6x+1的最小整数解， ∴x＝﹣2， 把x＝﹣2代入方程2x﹣kx＝4﹣2k中得：2×（﹣2）﹣（﹣2）×k＝4﹣2k， 解得：k＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出x的值． 14. 为助力家校协同育人，某校开展家庭教育指导咨询大集活动．现场需从3名学生志愿者（2名男生，1名女生）里随机抽2人负责家长签到引导工作，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法列出所有等可能的抽取结果，统计满足条件的结果数，代入概率公式即可求解． 【详解】解：记2名男生分别为男、男，记1名女生为女． 从3名学生志愿者中随机抽取2人，所有等可能的结果为（男1，男2），（男1，女），（男2，女），共种等可能性结果． 其中恰好为1名男生和1名女生的结果有种． 抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据公式计算即可求解 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为， 故答案为：． 16. 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图8中有________个棋子． 【答案】61 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况.根据题意得出第个图形中棋子数为，据此可得． 【详解】解：图1中棋子有（个）， 图2中棋子有（个）， 图3中棋子有（个）， ……， 一般地，第个图形中棋子数为， 图8中棋子有（个）． 故答案为：61． 17. 如图，已知中，，，点P为直线上的动点，连接并延长，使，连接并延长，使，以、为边作，连接，则的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】过点A作于点H，过点C作于点N，利用等积法求出，即可得到与之间的距离；设的延长线与的延长线相交于点M，与相交于点，设，证明得到，则，再证明，得到，可设得到，则，求出则点是上的定点，点是上的动点，则当取得最小值时，最小，进一步求出即可． 【详解】解：过点A作于点H，过点C作于点N，如图 在中，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴ 设的延长线与的延长线相交于点M，与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设, ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 由可设 ∴， ∴， ∴ 由可设 ∴ ∴解得 ∴ ∴点是上的定点，点是上的动点， ∵ ∴当取得最小值时，最小， 根据垂线段最短可知，当时，取得最小值为与之间的距离， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 18. 定义：若一个函数图象上存在横坐标、纵坐标积为的点，则称该函数为“积函数”，该点称为“积点”．例如“积1函数”，其“积1点”为，．下列说法正确的序号为______． ①函数是“积4点”是； ②关于的函数的两个“积点”的横坐标分别是，，若，则的值是； ③若关于的函数的图象上有两个“积点”，则的取值范围是； ④若时，关于的函数的图象上有一个“积点”，则的取值范围是或． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①直接根据“积点”的定义判断即可；②设满足题意的“积点”的坐标为，根据“积点”的定义，可得 ，从而得到，是方程的两实数根，再利用一元二次方程根与系数的关系判断即可；③设满足题意“积点”的坐标为，根据“积点”的定义，可得，再利用一元二次方程根的判别式判断即可；④设满足题意“积点”的坐标为，根据“积点”的定义，可得，从而得到可以看成函数与在时有交点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：①∵， ∴函数是“积4点”是或，故①错误； ②设满足题意的“积点”的坐标为， ∴， 即， ∵关于的函数的两个“积点”的横坐标分别是，， ∴，是方程的两实数根， ∴，，且， ∴， ∵， ∴， 解得：或3， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴，故②正确； ③设满足题意“积点”的坐标为， ∴， 即， ∴， 当时，，仅有一个解，不符合题意， ∴若关于的函数的图象上有两个“积点”，则的取值范围是，故③正确； ④设满足题意“积点”的坐标为， ∴，即， ∴， ∵时，关于的函数的图象上有一个“积点”， ∴可以看成函数与在时有交点， 如图， ∴的取值范围是或，故④正确． 故答案为：②③④ 【点睛】本题需要逐一验证四个选项是否符合’积m函数'的定义．关键是根据定义建立方程，分析方程解的个数与参数的关系，并结合二次方程判别式、韦达定理及函数值域进判断． 三、解答题（共10小题，满分66分） 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】先利用负整数次幂、特殊角的三角函数值、零次幂化简，然后利用合并同类二次根式即可解答． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则化简，然后把代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【答案】购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际问题；设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元，利用“用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍”作为等量关系建立方程求解即可. 【详解】解：设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元 去分母得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴ 答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元. 22. 智能测量是一款非常有创意且实用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为多少米？（结果保留1位小数，参考数据，，，） 【答案】的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，将解直角三角形与实际问题结合，构造出适当的直角三角形是解题的关键． 过点作交于点，在中，求出、的长，在中，求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ， 解得， ∴在中，由勾股定理得， 故的高度为． 23. 阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．蓝天中学为了解八年级学生本学期的课外阅读情况，随机抽查部分学生对其课外阅读量（本）进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图示信息，解答下列问题： （1）被抽查学生的人数是______人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中m的值是______，课外阅读量的众数是______本； （3）若规定：本学期阅读3本以上（含3本）课外书籍者为完成目标，据此估计该校1500名学生中能完成此目标的有多少人？ 【答案】（1）50，补全条形统计图如下； （2），课外阅读量的众数是3本 （3）估计该校1500名学生中能完成此目标的有1080人 【解析】 【分析】（1）由阅读量为2本的人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他阅读数量的人数求得3本的人数，即可补全条形统计图； （2）用阅读3本的人数除以总人数可得m的值，根据各组人数即可确定众数； （3）用总人数乘以样本中阅读数量为3、4、5本人数所占的比例即可得． 【小问1详解】 解：， 被抽查学生的人数是50人， 阅读量为的人数为； 【小问2详解】 解：阅读量为所占的比例为，， 课外阅读量为的人数最多，故课外阅读量的众数是3本； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校1500名学生中能完成此目标的有1080人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 如图，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由（1）可知四边形是矩形． ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵ ∴ 25. “五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件 （2） （3）A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件； 【小问2详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ∴当时，w取得最大值10000， ∴当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； （3）点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，函数和几何图形的结合，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上函数的性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴，交于点N，联立解析式求出交点坐标，然后根据三角形面积公式列出方程求解，最后根据勾股定理求线段长度即可； （3）根据一次函数和反比例函数的图象和性质，结合几何图形的性质，证明全等三角形得出相等的边，求出点的坐标，求出相关函数的解析式，然后分两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点， ， ∴， 又过点， ， ∴，代入得， ， ∴； 【小问2详解】 解：作轴，交于点N， 设， ， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ， 解得：，（舍）， ∴由勾股定理得； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由，可得，， ， 又 ， 又， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， 又∵，根据的内角和为得： ， 过点O作， ∴，则点Q，D落在直线上， 过点A作轴于点E，轴于点F， ，， 又， ， ， ∴， 又， ∴， ， 假设直线的解析式为，将和代入解析式得， 解得， ， 联立解析式， ， 解得或（舍去） ， 当时，， ∴， 又，，，根据轴对称得， ， 同理，利用待定系数法可得， ， 联立解析式得， ， 解得或（舍去）， ， ，． 27. 已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点E，的平分线分别交，于点F，G，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是的中点，且，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 证明：如图，连接， 由（1）知：， ， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，由即可得到结论； （2）连接，证明，即可证明结论； （3）取的中点，连接，结合是的中点，得出，从而得，设，则，证明，求出，从而求得，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ， ， 由（2）知：， 设，则， ， ， ， ， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 28. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为，，交y轴于点C． （1）求出抛物线解析式； （2）如图1，过y轴上点D作的垂线，交线段于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标； （3）如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴的垂线交于， 交轴于，得出，根据三角函数求出，设，，求得，，，，其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去； （3）分两种情况讨论：如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解； 【小问1详解】 解：将，代入表达式得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 过点作轴的垂线交于， 交轴于， ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴直线：， 设，， ∴或， ∴或， 解得：，，，， ∴或或或 其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去， ∴点的坐标为或 ； 【小问3详解】 分两种情况讨论： ①如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则四边形为矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 由折叠可知：，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点， 由得： ，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的图象和性质，锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点及分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆一中初四数学周测试卷（黄金2） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在0，1，，中最小的实数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年11月10日，该片累计票房已突破3017000000元．其中数据3017000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则从左面看该几何体得到的平面图形是（       ）     A. B. C. D. 6. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的有（ ） ①的算术平方根是2；②一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等；③一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形；④平分弦的直径垂直于弦；⑤等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合；⑥的系数为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到的位置，连接，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 10. 如图，二次函数（）的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程（）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式（）的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_________． 12. 分解因式：=______. 13. 已知不等式6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝_____． 14. 为助力家校协同育人，某校开展家庭教育指导咨询大集活动．现场需从3名学生志愿者（2名男生，1名女生）里随机抽2人负责家长签到引导工作，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是________． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 16. 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图8中有________个棋子． 17. 如图，已知中，，，点P为直线上的动点，连接并延长，使，连接并延长，使，以、为边作，连接，则的最小值为________． 18. 定义：若一个函数图象上存在横坐标、纵坐标积为的点，则称该函数为“积函数”，该点称为“积点”．例如“积1函数”，其“积1点”为，．下列说法正确的序号为______． ①函数是“积4点”是； ②关于的函数的两个“积点”的横坐标分别是，，若，则的值是； ③若关于的函数的图象上有两个“积点”，则的取值范围是； ④若时，关于的函数的图象上有一个“积点”，则的取值范围是或． 三、解答题（共10小题，满分66分） 19. 计算：； 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 22. 智能测量是一款非常有创意且实用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为多少米？（结果保留1位小数，参考数据，，，） 23. 阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．蓝天中学为了解八年级学生本学期的课外阅读情况，随机抽查部分学生对其课外阅读量（本）进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图示信息，解答下列问题： （1）被抽查学生的人数是______人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中m的值是______，课外阅读量的众数是______本； （3）若规定：本学期阅读3本以上（含3本）课外书籍者为完成目标，据此估计该校1500名学生中能完成此目标的有多少人？ 24. 如图，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 25. “五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； （3）点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 27. 已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点E，的平分线分别交，于点F，G，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是的中点，且，求线段的长． 28. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为，，交y轴于点C． （1）求出抛物线解析式； （2）如图1，过y轴上点D作的垂线，交线段于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标； （3）如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $