第 03 课时数列综合突破讲义-2026届高三数学二轮专题复习

高考数学二轮复习：数列综合 全例题解题过程（参考答案版） 一、等差、等比数列基础（高考高频基础题型） 例1解：由等差数列前项和公式，已知，，代入得： ，解得公差； 由等差数列通项公式，得。 答案： 核心思路：等差、等比数列基本量运算核心——知三求二，直接代入公式求解，步骤简洁，避免冗余。 例2解：设，（为非零常数，满足） ， 备用题1解答 方法一：利用等差数列前项和性质 等差数列中，，， 成等差数列。 由等差中项性质：，代入得： 计算：，解得 方法二：通式法（验证） 设等差数列首项为，公差为，前项和公式 两式相减：，代入得 则 备用题2（2024全国甲卷高考真题）解答 (1) 求通项公式 当时： 当时：， 两式相减： 因此等比数列公比，故，联立的式子： 通项公式：（或写成） (2) 先求：等比数列前项和公式，代入，： 设的前项和为，则： 代入： 核心思路：严格遵循高考真题参考答案规范，分情况讨论公比正负，步骤完整，格式标准，贴合真题评分标准。 二、数列通项公式求解（高考必考题型） 例3已知 ①当时，有 ② 用①②，根据，得： 两边同乘，整理得： 当时，代入①式： 已知，代入得： 当时，； 当时，从第2项起是首项为、公比为的等比数列，通项为： 验证：，因此不满足的通项，需分段表示。 最终通项公式： 例4-1 解：已知数列满足，且，求。 令，则原递推式化为。 由累加法：。 已知，则，故。 代回，得。 解得，结合，取正号，得。答案： 核心思路：构造辅助数列，将非线性递推转化为线性递推，再用累加法求解，步骤严谨，贴合参考答案。 例4-2由 ，利用累乘法求 ： 约分后，分子剩余 ，分母剩余 ，且 ，因此： 利用数列通项与前 项和的关系：，。 当 时：，将 代入 可得 ，两者一致，符合通项； 当 时，代入 与 的表达式计算： 综上，对所有 ，。 例4-3解：已知数列满足，且，求。 构造等比数列：对递推式两边加1，得。 可知是首项为，公比为2的等比数列。 由等比数列通项公式，得，故。 验证：当时，，满足条件。答案： 核心思路：高频必考构造法，严格按照参考答案步骤，构造等比数列，验证首项，确保通项成立。 例4-4解：已知数列满足，且，，求。 分奇偶项构造： ① 当为奇数时，令，递推式化为。 构造，则，即是公比为4的等比数列， 由，得，故，即， 换元得为奇数)。 ② 当为偶数时，令，递推式化为。 构造，则，即是公比为4的等比数列， 由，得，故，即， 换元得为偶数)。综上， 核心思路：分奇偶项构造等比数列，步骤完整，换元规范，最终化简为统一通项，贴合参考答案要求。 例4-5解：已知数列满足，且，，求。 采用特征方程法： 由递推式得特征方程，因式分解得，解得特征根，。 设数列通项为，代入，，得： ，解得，。故。 核心思路：严格遵循特征方程法解题步骤，求特征根、设通项、代入求值，步骤与参考答案完全一致，规范严谨。 例4-6解：取倒数转化：对递推式两边取倒数，得， 整理得（修正构造方式，贴合参考答案）。 令，则，是首项为，公比为的等比数列。 故，即，化简得 答案： 核心思路：取倒数转化为等比数列，构造方式贴合参考答案，化简步骤规范，确保结果一致。 备用题1当时，等式左边为，右边为，因此： 移项得。因为数列是正项数列（），所以，解得。 当时，已知： 用，左边为，右边利用平方差公式，得： 因为，两边同时除以，化简得： 同理，对有： 用，并利用、，得： 左边因式分解： 因为，所以，两边同时除以，得： 由可知，是首项，公差的等差数列。 根据等差数列通项公式： 备用题2解：当时，，解得； 当时，，两式相减得，即； 当时，，验证不满足，分段书写。 综上， 核心思路：与例4-2参考答案完全一致，强化同类题型解题逻辑，确保步骤、答案统一。 三、数列求和（解答题核心题型） 例5（2024全国甲卷，参考答案） 解：(1) 当时，，解得；当时，， 两式相减得，即，化简得。 故是首项为4，公比为-3的等比数列，通项公式为。 (2) 由(1)得。 求前项和。 采用错位相减法： 令， 则， 两式相减得， 解得。 故。 核心思路：严格遵循高考真题参考答案，错位相减步骤完整，计算准确，格式规范，贴合评分标准。 例6解：(i) 已知数列满足，且，求。 由累加法：， 即。 (ii)采用分组并项求和： 核心思路：累加法、并项求和法步骤规范，分组合理，计算准确，与参考答案完全一致。 例7展开左边：整理得： 因此： 两边取倒数： 令，则递推式变为：，即是公差为1的等差数列。 由，得。等差数列通项： (2) 由(1)得，因此： 利用裂项公式： 因为，所以，因此：对任意成立，证毕。 核心思路：先构造等差数列求通项，再通过裂项放缩证明不等式，步骤与参考答案一致，放缩合理，逻辑严谨。 备用题(1) 当 时，首项 ； 当 时，通项 ，代入公式计算：。 验证：当 时，，满足上式，因此等比数列 的通项公式为 ，公比 。进而可得 。 设等差数列 的公差为 ，已知首项 ，且 ，由此可得： ，。 根据题干条件，将 及、 的表达式代入，得： 对等式两边开方，得。结合 的条件（公差 ，否则数列会出现负数项），分情况讨论： 若 ，解得 ，符合题意； 若 ，解得 （舍去，此时数列会出现负数项，与 矛盾）。 因此，等差数列 的通项公式为 。 (2) 首先，根据等差数列前 项和公式，求 的前 项和： 将 、 及上述前 项和代入 ，化简得： 对分式 进行裂项变形（解题关键步骤）：，因此： 四、数列综合应用（拔高难点） 例8① 由：等差数列前项和公式，因此； 通项公式，因此。 得方程：，化简得： ① 由：左边： 右边： 等式化简： ② 将①代入②： 则。 ② 先求：由，得前项和： 因此（）。此时：数列：（公差，首项） 数列：（即，公差，首项） 将两数列所有项从小到大排列，得到： 即是首项为，公差为的等差数列，通项为。 (i) 由，前项和公式： 当时： (ii) 证明：由，得，因此： 利用放缩：（），且。 因此：即，得证。 核心思路：先求等差数列通项，再分析两数列排序规律，求和与放缩步骤贴合参考答案，突破综合难点。 例9解：(1) 由等差数列性质：，解得； 由等差数列前项和公式：，解得。 又，故。 公差，首项。故。 (2)假设存在，由等比数列性质得，即。 取，，则，即，解得。 验证：，，，满足，故存在。 例10 解：(1) 已知，且，则，。 将其代入递推式： 展开化简： 因此得：再求首项：。 由等比数列定义：（常数），且首项非零，故是首项为2，公比为2的等比数列。 (2) 由(1)知是等比数列，故： 用错位相减法求和： 两边同乘： ①②得： 因此：，先计算： 原不等式化为： 分**为奇数和为偶数**两种情况讨论： 情况1：为奇数此时，不等式为：即： 对任意奇数，是单调递增数列（增大时，减小，增大），其最大值在时取得： ，因此。 情况2：为偶数 此时，不等式为： 对任意偶数，是单调递增数列（增大时，减小，增大），其最小值在时取得： ，因此。 综合两种情况，实数的取值范围为： 例11 解：（1）已知，根据数列的递推公式： 当为奇数时，；当为偶数时，。 先计算：。 对，因为偶数，由递推公式得：。 对，因为奇数，由递推公式得：。 将代入上式： 由，可知数列的后项与前项之比为常数2。再求首项：。 由（奇数），得，即。 因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列。 等比数列通项：。 分奇偶讨论： 当为偶数时，设，则。由，得。 当为奇数时，设，则为偶数，。 由递推公式（为奇数）：，变形得： 代入，化简得：。 综上，的通项公式为： （2）已知，先计算和、： ，故。 （奇数项）：。 （奇数项）：。 验证简化： 由，且，。 进一步观察：（此步可辅助裂项）。 裂项变形： 由裂项公式： 因，故，则。 证明：令，易证在上单调递增（）。 故，则，因此： 综上，得证。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学二轮复习：第 03 课时数列综合突破 【核心知识点】 （一）等差、等比数列 1. 高考频点 基本量计算（首项、公差/公比、通项、前n项和） 性质应用（中项性质、下标和性质、前n项和性质） 函数特征（等差数列前n项和为二次函数，等比数列为指数型函数） 2. 核心公式与性质 数列类型 通项公式 前n项和公式 核心性质 等差数列 1. 若，则；2. 成等差数列 等比数列 （） 1. 若，则；2. （非零）成等比数列 3. 能力提升 基本量法：“知三求二”（等差：；等比：），运算精准性是关键 性质灵活用：避免复杂计算，快速求解选填题 函数视角：利用二次函数求等差数列前n项和最值，利用指数函数性质分析等比数列单调性 （二）数列通项公式求解 1. 高考频点 （1）已知求（含与的递推关系） （2）已知递推求通项： 累加法、累乘法（简单递推模型） 构造法（核心难点：型、型） 取倒数法（分式递推：） 2. 能力提升 模型识别：快速判断递推关系类型，匹配对应方法 构造转化：将非等差、等比数列转化为等差或等比数列（转化与化归思想） 检验意识：时的验证是避免出错的关键 （三）数列求和 1. 高考频点 错位相减法（高频：等差×等比型数列）（等差，等比） 分组求和法（等差+等比、分段数列）（为等差或等比） 并项求和法（含型，相邻项合并）或 裂项相消法（高频：等差型、根式型、指数型）； 2. 能力提升 题型适配：明确不同求和方法的适用场景，避免方法误用 运算规范：错位相减法注意符号和项数，裂项相消法确保裂项精准 化简意识：求和后及时化简，为后续不等式证明铺垫 （四）数列综合应用 1. 高考频点 数列与不等式（证明不等式、求参数范围、放缩法） 数列新定义问题（理解新规则，转化为常规数列问题） 数列与函数、导数、解析几何的交叉（较少见，难度高） 数列存在性问题（是否存在特定项、参数满足条件） 2. 核心方法 放缩法：常用放缩模型（；） 存在性问题：假设存在→列方程/不等式→求解验证（注意n为正整数） 新定义问题：紧扣定义，提取关键信息，转化为等差、等比数列或通项求和问题 3. 能力提升 逻辑推理：不等式证明需严谨的放缩逻辑，避免放缩过度或不足 跨模块整合：结合函数单调性、导数最值解决数列范围问题 创新思维：快速理解新定义，灵活转化为已知题型 【典例分析】 模块1：等差、等比数列基础 例1记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 例2已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 备用题：1、已知是等差数列的前项和，若，则 ． 2、（2024·全国甲卷·高考真题，17，12分）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 模块2：数列通项公式求解 例3 记数列的前项和为，已知.求的通项公式； 例4-1、在递增数列{an}中,a1=2,且-=2an+1-2an+n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.  4-2、已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 4-3、 在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an=2an-1+1,则{an}的通项公式为an=　　　　.  4-4、已知数列{an}满足an+2-4an=-3n+2,且a1=3,a2=6,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.  4-5、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1+4an,.则数列{an}的通项公式 4-6、已知数列{an}的首项a1=,且满足an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  备用题 1、设正项数列的前项和为，且满足．求数列的通项公式； 2、记为数列的前n项和，已知，求的通项公式。 模块3：数列求和 例5 [2024·全国甲卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 例6 (1)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n. (i)求数列{an}的通项公式; (ii)记bn=(-1)n(an+n-1),求数列{bn}的前2n-1项和S2n-1. 例7已知数列满足，，。 (1) 求数列的通项公式； (2) 证明：对，。 备用题 已知等差数列满足，，等比数列的前项和为，且，。 (1)求与的通项公式； (2)记，求数列的前项和。 模块4：数列综合应用 例8 已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且S3=a5,a2n=2an+. ①求数列{an}的通项公式. ②将数列{an}与{}的所有项从小到大排列得到数列{bn}. (i)求{bn}的前20项和; (ii)证明:++…+<32. 例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+a6=14,S10=100. (1)求{an}的通项公式. (2)在{an}中是否存在am,ak,ap(m<k<p)成等比数列?若存在,求出一个这样的3项;若不存在,请说明理由. 例10已知数列{an}满足a1=5,an+1-2an=3n(n∈N*),记bn=an-3n. (1)求证:{bn}是等比数列; (2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Sn,若不等式(-1)nλ<Sn+对一切n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围. 例11已知数列{an}满足a1=1,an+1=记bn=a2n. (1)证明数列{bn}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设cn=,Sn为数列{cn}的前n项和,证明:≤Sn<3. 四、课堂总结 1、核心脉络：等差/等比数列是基础→通项求和是核心→综合应用是拔高 2、必拿分点：基本量计算、简单通项（转、累加累乘）、裂项相消与错位相减求和 3、难点突破：构造法求通项、放缩法证明不等式、新定义问题转化 4、易错提醒：运算精准性、n=1的验证、放缩尺度、错位相减项数对齐 学科网（北京）股份有限公司 $