4 专题3 微点突破7 子数列与增减项问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破7　子数列与增减项问题　▶ 对应学生用书P50 【考情分析】　子数列问题(包括数列中的奇偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列. 重点1　奇偶项问题 已知为公差不为零的等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列，的前n项和，S3＝T3，a3a5＝S5. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和Tn. 解：(1)设数列的公差为d，由 则 即解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n. (2)由bn＝可知， 当n为偶数时，Tn＝＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋2＝3(a1＋a3＋…＋an－1)＝＝. 当n为奇数时，Tn＝Tn+1－bn+1＝(n＋1)2－2bn＝·(n＋1)2－2n＝. 综上所述，Tn＝ [规律方法]　(1)数列中的奇偶数项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{}，{a2n－1}的类型. (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把＋看作一项，求出，再求＝－. 对点练1.已知等差数列满足an，an＋1是关于x的方程x2－4nx＋bn＝0的两个根. (1)求a1和a2； (2)求an和bn； (3)设cn＝＋an，求数列的前2n项和S2n. 解：(1)设等差数列的公差为d. 当n＝1时，a1，a2是方程x2－4x＋b1＝0的两根， 由韦达定理得a1＋a2＝2a1＋d＝4，① 当n＝2时，a2，a3是方程x2－8x＋b2＝0的两根，由韦达定理得a2＋a3＝2a1＋3d＝8，② 由①②，解得a1＝1，d＝2，所以a2＝3. (2)由(1)知a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， 则an＋1＝2n＋1，对于方程x2－4nx＋bn＝0， 由韦达定理得anan＋1＝bn，即bn＝(2n－1)(2n＋1). (3)cn＝＋(－1)nan＝＋(－1)n·(2n－1)＝(－1)n·(2n－1)＋－)， 所以S2n＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)2n·(4n－1)＋(1－＋－＋…＋－)＝2n＋(1－)＝2n－＋. 重点2　公共项问题 已知等差数列的前n项和为Sn，且S4＝S5＝－20. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列与的公共项为am，记m由小到大构成数列，求的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列的公差为d，因为S4＝S5＝－20，所以a5＝S5－S4＝0. 因为S5＝5a3＝－20，所以a3＝－4，所以d＝＝2， 所以an＝a5＋d＝2n－10. (2)由题意知bn＝4×4n－1＝4n， 因为am＝2m－10，所以2m－10＝4n，即m＝， 因此cn＝＝＋5， 所以Tn＝＋5＋＋5＋＋5＋…＋＋5＝×＋5n＝×4n＋5n－. [规律方法]　两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项所构成的新数列，一般仍为等比数列. 对点练2.已知等差数列的前n项为Sn，满足a2＝3，S5＝25. (1)求数列的通项公式； (2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间(0，2 023)内的项的个数. 解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d， 则即解得则an＝2n－1. (2)因为Sn＝＝n2，所以表示所有正整数的完全平方数从小到大组成的数列， 而表示全体正奇数从小到大组成的数列，所以表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列， 因为432＜2 023＜452，所以落在区间内的项的个数为22项. 重点3　增减项问题 已知各项均为正数的数列中，a1＝1且满足－2an＋1＝＋2an，数列的前n项和为Sn，满足2Sn＋1＝3bn. (1)求数列，的通项公式； (2)若在bk与bk+1之间依次插入数列中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，…，求数列中前40项的和T40. 解：(1)由题设得＝2， ∵an＋1＋an＞0，则an+1－an＝2，故是首项a1＝1，公差为2的等差数列， ∴an＝2n－1， 当n＝1时，2S1＋1＝3b1得b1＝1， 当n≥2，由2Sn＋1＝3bn　①，2Sn－1＋1＝3bn－1　②， 由①－②整理得bn＝3bn－1，b1＝1≠0，∴bn－1≠0，故＝3， ∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故bn＝3n－1. (2)依题意知新数列中，bk＋1(含bk＋1)前面共有＋＝项， 由≤40，(k∈N*)得k≤7， ∴新数列的前40项中含有数列的前8项b1，b2，…，b8， 含有数列的前32项a1，a2，a3，…，a32； ∴T40＝＋＝4 304. [反思感悟]　解决此类问题的关键是理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可. 对点练3.已知等差数列的前n项和为Sn，数列为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4＋2是b3与b5的等差中项. (1)求数列，的通项公式； (2)从数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设数列的前n项和为Tn，求T60. 解：(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， ∵a1＝2，∴S5＝10＋d＝30，∴d＝2， ∴an＝2＋2(n－1)＝2n， ∵b4＋2是b3与b5的等差中项，∴2＝b3＋b5， 又b2＝2，∴2＝2q＋2q3，解得q＝2，∴bn＝2n－1. (2)∵a60＝120，∴数列前60项中与数列的公共项共有6项，且最大公共项为b7＝26＝64， 又a66＝132，b8＝27＝128， ∴T60＝S67－＝134＋×2－＝4 556－254＝4 302. 学科网（北京）股份有限公司 $