3 专题3 微点突破6 数列的递推关系（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破6　数列的递推关系　▶ 对应学生用书P48 【考情分析】　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解，体现了化归思想在数列中的应用. 重点1　利用an与Sn的关系 (1)(2025·广东肇庆二模)已知数列的前n项和为Sn，满足Sn＝n2＋3n＋2，则下列判断正确的是(　　 ) A.数列为等差数列 B.a5＝11 C.数列存在最大值 D.数列存在最大值 解析：选D.由Sn＝n2＋3n＋2可知，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋3(n－1)＋2， 因为an＝所以an＝ 故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误； 将n＝5代入的通项公式可得a5＝2×5＋2＝12，故B错误； 由Sn＝n2＋3n＋2知，数列为递增数列，Sn不存在最大值，故C错误； 由＝知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确. (2)(2025·湖南长沙二模)已知数列的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，都有3Sn＝an＋64.若Tn是数列的前n项积，则Tn的最大值为(　　 ) A.29 B.214 C.215 D.216 解析：选C.当n＝1时，a1＝32， 当n≥2时，3Sn＝an＋64，3Sn－1＝an－1＋64， 两式相减得3an＝an－an－1，即2an＝－an－1，又a1＝32≠0，故＝－， 所以数列是以32为首项，－为公比的等比数列， 通项公式为an＝32·， 因为Tn是数列的前n项积， 所以Tn＝a1a2a3…an＝32n·＝·＝·， 当n＝5或n＝6时，有最大值15，所以当n＝5时，Tn有最大值215. [规律方法]　1.已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化. (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 对点练1.(1)(2025·湖南常德一模)已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，且an＋1＝a1＋a2＋…＋an，则(　　 ) A.a2＝2 B.a4＝8 C.S2＝3 D.S5＝16 解析：选D.由an＋1＝a1＋a2＋…＋an＝Sn， 当n＝1时，a2＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an， 所以an＋1＝2an， 所以数列从第二项开始是以a2＝1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝Sn＝ 所以a2＝1，a4＝4，S2＝2，S5＝16. (2)(2025·山东淄博一模)已知数列的前n项和为Sn(Sn≠0)，满足an＋Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝1，则S100＝　　　　　. 解析：由an＋Sn－1Sn＝0可得Sn－Sn－1＋Sn－1Sn＝0， 又Sn≠0，则－＋1＝0，即－＝1， 当n＝1时，S1＝a1＝1，所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列， 则＝1＋(n－1)×1＝n，则＝100，所以S100＝. 答案： 重点2　构造辅助数列 (1)(多选)已知数列，下列结论正确的是(　　 ) A.若a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n∈N*，且n≥2)，则an＝ B.若a1＝1，an＝an－1，n≥2，n∈N，则an＝ C.若a1＝2，且an+1＝，则an＝ D.若a1＝2，an+1＝3an＋2n－1，n∈N*，则an＝3n－2n－1 解析：选ABD.A项，当n≥2时，an＝an－1＋3n－2，即an－an－1＝3n－2，而a1＝1，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝＝，a1＝1满足上式，所以所求通项公式为an＝，故A正确； B项，因为an＝an－1，n≥2，n∈N，则an＝··…···a1＝1×××…××＝，当n＝1时，符合题意，故数列的通项公式为an＝，故B正确； C项，由an+1＝，可得＝，即－＝， 又a1＝2，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)，即＝，所以an＝，故C不正确； D项，由a1＝2，an+1＝3an＋2n－1，n∈N*，可得an+1＋2n＝3，所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以an＋2n－1＝3n，则an＝3n－2n－1，n∈N*，故D正确. (2)(2025·福建漳州模拟)已知数列，满足：an－bn+1＋3bn＋n＝0，bn－an+1＋3an＋2n－1＝0，若a1＝2，b1＝1，则bn＝　　　　. 解析：由题意可得an＋3bn＋n＝bn+1，bn＋3an＋2n－1＝an+1， 则an+1＋bn+1＋n＋1＝4，an+1－bn+1＋n＋1＝2， 又a1＋b1＋1＝4，a1－b1＋1＝2， 则数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 数列是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以an＋bn＋n＝4n　①，an－bn＋n＝2n　②， ①②联立得2bn＝4n－2n，所以bn＝22n－1－2n－1. 答案：22n－1－2n－1 [规律方法]　(1)形如an+1－an＝f(n)的数列，利用累加法求an. (2)形如＝f(n)的数列，利用累积法求an. (3)形如an+1＝(p，q≠0)的数列，取倒数构造等差数列求通项. (4)若数列{an}满足an+1＝pan＋q(p≠0，1；q≠0)，构造an+1＋λ＝p(an＋λ). (5)若数列{an}满足an+1＝pan＋f(n)(p≠0，1)，构造an+1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]. 对点练2.(1)(多选)已知数列，下列结论正确的有(　　 ) A.若a1＝2，an+1＝an＋n＋1，则a20＝211 B.若Sn＝3n＋，则数列是等比数列 C.若a1＝1，an+1＝3an＋2，则a4＝53 D.若a1＝1，an+1＝，则a5＝ 解析：选AC.由an+1＝an＋n＋1得an＋1－an＝n＋1，∴a20＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a20－a19)＝2＋2＋3＋4＋…＋20＝2＋＝211，选项A正确. 由Sn＝3n＋得a1＝3＋＝，a2＝S2－S1＝－＝6，a3＝S3－S2＝－＝18，∵≠a1a3，∴数列不是等比数列，选项B错误. 由an+1＝3an＋2得an+1＋1＝3，且a1＋1＝2，∴数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴a4＋1＝2×33，∴a4＝53，选项C正确. 由an+1＝得＝＝＋，即－＝， ∴数列是以＝1为首项，以为公差的等差数列， ∴＝1＋×＝3，∴a5＝，选项D错误. (2)在数列中，a1＝4，an+1＝3an－2，则an＝　　　　　. 解析：因为an+1＝3an－2，所以an+1－1＝3·，所以＝3， 所以数列是一个等比数列，所以an－1＝·3n－1＝3n，所以an＝3n＋1. 答案：3n＋1 (3)(2025·安徽安庆二模)数列满足a1＝1，an+1＝＋2an，则使得＞2 025的最小正整数n的值为　　　　. 解析：因为an+1＝＋2an，所以an+1＋1＝，则ln＝2ln， 又a1＋1＝2，所以数列{ln}为以ln 2为首项，2为公比的等比数列， 所以ln＝2n－1ln 2，所以an＝－1，则使得＝＞2 025， 计算得n最小正整数值为6. 答案：6 学科网（北京）股份有限公司 $