第三章概率初步（7知识点+17大题型+过关检测） 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

第三章 概率初步 （7知识点+17大题型+过关检测） 【题型1 事件的分类】 2 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 3 【题型3 求某事件的概率】 5 【题型4 概率的意义理解】 7 【题型5 关于频率与概率关系说法的正误】 8 【题型6 由频率估计概率】 10 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 12 【题型8 列举随机实验的所有可能结果】 14 【题型9 判断实验所得结果是否是等可能的】 16 【题型10 列举法求概率】 17 【题型11 根据概率公式计算概率】 20 【题型12 根据概率作判断】 22 【题型13 已知概率求数量】 25 【题型14 游戏的公平性】 26 【题型15 几何概率】 29 【题型16 概率在转盘抽奖中的应用】 31 【题型17 概率的其他应用】 34 · 理解事件的分类，能正确区分必然事件、不可能事件和随机事件。 · 了解事件发生的可能性有大有小，会比较简单随机事件发生可能性的大小。 · 理解概率的意义，掌握概率的取值范围，知道频率与概率的区别与联系。 · 会判断试验结果是否为等可能结果，能用列举法列出所有可能结果。 · 掌握等可能事件概率的计算公式 P(A)=​，能求简单随机事件的概率。 · 会用频率估计概率，并解决相关实际问题。03 知识•梳理 知识点 1：事件的分类 · 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，概率 P=1（如：标准大气压下，水加热到 100℃沸腾）。 · 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，概率 P=0（如：掷骰子点数为 7）。 · 随机事件（不确定事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率 0<P<1（如：抛硬币正面朝上）。 · 确定性事件：必然事件 + 不可能事件，结果可事先确定。 知识点 2：事件发生的可能性大小 · 必然事件可能性最大，不可能事件可能性最小；随机事件可能性有大有小。 · 比较方法：看事件包含的结果数占总结果数的比例，比例越大，可能性越大。 知识点 3：频率与概率 · 频率：n 次重复试验中，事件 A 发生 m 次，频率 =​（试验值，随试验次数波动）。 · 概率：刻画事件发生可能性大小的数值，记为 P(A)（理论值，固定常数）。 · 频率的稳定性：大量重复试验时，频率会在概率附近摆动，可用频率估计概率。 · 概率取值：P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1。 知识点 4：等可能事件的概率（古典概型） · 等可能试验特征：① 结果有限；② 每个结果出现的可能性相等。 · 概率公式：若试验有 n 种等可能结果，事件 A 包含 m 种，则 P(A)=（m：事件 A 结果数，n：总结果数）。 知识点 5：列举法求概率 · 适用：试验因素少、结果有限时，用列表法或树状图列出所有等可能结果，再计算概率。 知识点 6：几何概率 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点 7：游戏公平性 · 公平：游戏双方获胜的概率相等；不公平：概率不相等。 04 题型•汇总 【题型1 事件的分类】 解题思路：紧扣定义，判断事件是否一定发生、一定不发生、可能发生。 【典例1】．在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（   ） A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】A 【分析】根据盒子中棋子的情况判断事件类型即可． 【详解】解：在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是必然事件． 跟随训练1-1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能是反面向上，故原事件是随机事件，不符合题意； B、车辆随机到达一个路口，不一定遇到红灯，故原事件是随机事件，不符合题意； C、如果，那么或，故原事件是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和是，是必然事件，符合题意； 跟随训练1-2．任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 思路：比较符合条件的结果数量多少。 【典例2】．若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据地球表面人类居住面积占比极小的事实，陨石砸中人的概率极低，则“陨石没有砸中人”的概率极高，属于极大概率事件． 【详解】解：∵地球表面无人居住区域占绝大多数， ∴陨石砸中人的概率极小， ∴事件“陨石没有砸中人”是极大概率事件． 故选C． 跟随训练2-1．不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 跟随训练2-2．在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到___________球的可能性最小． 【答案】白 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 通过比较各种颜色球的数量，数量最少的球被摸到的概率最小，据此计算即可． 【详解】解；布袋中总球数为个， 红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为，蓝球的概率为， 其中白球的概率最小， 因此摸到白球的可能性最小。 故答案为：白． 【题型3 求某事件的概率】 思路：先找总结果数 n，再找符合条件的结果数 m，代入公式。 【典例3】．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 跟随训练3-1．为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率所求情况数与总情况数之比．利用已知数据先求出频率，再估算概率分别判断即可． 【详解】解：A、钉尖着地的频率是：，故此选项正确，不符合题意； B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近，故此选项正确，不符合题意； C、前10次试验结束后，钉尖着地的次数是4次左右，并不一定是4次，故此选项错误，符合题意； D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数是8次左右，不一定是8次，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 跟随训练3-2．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 【题型4 概率的意义理解】 解题思路：概率是理论可能性，不代表试验一定发生该次数 【典例4】．掷次硬币，有一次正面朝上，有次反面朝下，那么，掷第次硬币反面朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单事件概率的计算，每次掷硬币的结果互不影响，前三次投掷结果不影响第四次投掷的概率，只需计算单次掷硬币反面朝上的可能性即可． 【详解】解：∵一枚硬币只有正面、反面两种可能的结果，且每种结果发生的可能性相等． ∴单次掷硬币，反面朝上的概率为． ∵每次掷硬币是相互独立的，前3次的结果不改变第4次的概率． ∴掷第4次硬币反面朝上的可能性是． 跟随训练4-1．下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类与概率的意义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故该选项不符合题意； B、200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意； C、汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故该选项符合题意； D、明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故该选项不符合题意； 故选：C 跟随训练4-2．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验结果．（注：钉尖向上的频率）下面有四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以钉尖向上的概率是0.5； ②当投掷次数是800时，计算机记录“钉尖向上”的次数是492，所以“钉尖向上”的概率是0.615； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中正确的是___________（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图象和概率的定义推断的各个说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，故①②错误；故③正确； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，故④错误． 故答案为：③． 【题型5 关于频率与概率关系说法的正误】 解题思路： 牢记核心区别与联系：① 概率是固定的理论值，频率是波动的试验值；② 大量重复试验时，频率会趋近于概率，但永远不等于概率；③ 试验次数越多，频率越接近概率，试验次数过少，频率与概率偏差可能较大。 【典例5】．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 跟随训练5-1．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 跟随训练5-2．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 【题型6 由频率估计概率】 解题思路： 当试验次数足够多（大量重复试验），事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率估计值，直接用稳定的频率作为概率的估计值即可。 【典例6】．某校九年级生物兴趣小组在学习概率知识后进行麦粒发芽率的试验，结果如表所示： 麦粒粒数 发芽麦粒粒数 发芽麦粒频率 根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识，根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，试验次数越多估计越准确，取稳定频率保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，且试验次数越大，估计越准确， 观察表格数据，随着麦粒粒数增加，发芽频率逐渐稳定在附近，结果保留两位小数，可得任取一粒麦粒发芽的概率约为． 故选：C． 跟随训练6-1．山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为． 故选：C． 跟随训练6-2．某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.5 【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：计算各组投中频率如下： ． ． ． ． ． ． ． 由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为． 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 解题思路： 核心思路：用大量重复试验得到的频率≈概率，再结合“事件发生的数量≈总数量×频率（概率）”，列算式或方程求解未知量（如总数量、事件发生的数量）。 【典例7】．某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是掌握：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定的频率估计概率. 【详解】解：∵在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值. 观察表格可知，随着累计抽测学生数增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在. ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是. 跟随训练7-1．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A、10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B、∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为，故选项正确，不符合题意； C、核桃树叶的长宽比大约为，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D、∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 跟随训练7-2．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 【答案】4800 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率的应用．观察表格可知当抽取件数较大时，合格频率稳定在0.960附近，据此用频率估计合格概率，再计算5000件衬衣中的合格产品数量即可． 【详解】解：由表格数据可知，当抽取件数为1000件和3000件时，合格频率均为0.960，且频率逐渐稳定在0.960附近，因此可估计这批衬衣的合格概率约为0.960． 则出售5000件衬衣时，合格产品约有件． 故答案为：4800． 【题型8 列举随机实验的所有可能结果】 解题思路： 按一定顺序（如从小到大、从左到右）列举，确保不重复、不遗漏；对于两个因素的试验，可采用列表法列举；对于两个及以上因素的试验，可采用树状图法列举。 【典例8】．班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 跟随训练8-1．众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 跟随训练8-2．小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 【答案】(1)种，列表见解析； (2)． 【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可； （）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 所以摸球所有可能的结果共有种； （2）解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种， 所以小明同学获得篮球的概率． 【题型9 判断实验所得结果是否是等可能的】 解题思路： 紧扣等可能试验的两个核心特征，逐一验证：① 试验的所有结果是否为有限个；② 每个结果出现的可能性是否相等（可通过结果数、区域面积等判断），两个条件同时满足，才是等可能结果，否则不是。 【典例9】．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 跟随训练9-1．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 跟随训练9-2．一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【答案】(1)不同意，理由见详解； (2)，； (3)0． 【分析】（1）根据白球和红球的个数即可判断； （2）分别用白球和红球的个数除以球的总个数即可得出答案； （3）摸到黄球是不可能事件，据此可得答案． 【详解】（1）不同意，因为白球的个数比红球的个数多，所以摸到白球的可能性大； （2）摸到白球的概率为，红球的概率为； （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【题型10 列举法求概率】 解题思路 第一步：用列表法或树状图法，不重复、不遗漏地列出所有等可能的试验结果，确定总结果数 n；第二步：找出事件 (A) 包含的结果数 m；第三步：代入概率公式计算。 【典例10】．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法求概率即可． 【详解】解：随机抽取两张共有美丽，美山，美河，丽山，丽河，山河，共6种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果只有1种， ∴． 跟随训练10-1．某班共有35名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人． 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率； (2)在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学、，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算公式，用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率是关键． （1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先列表列举所有等可能结果，再根据概率的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：共有35种等可能结果，其中两个社团都未参加的等可能结果有20种， 所以从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率是； （2）解：列表如下： 共有8种等可能结果，其中未被选中但被选中的等可能结果有3种， 所以未被选中但被选中的概率． 跟随训练10-2．临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）由概率公式求出，即可得出； （2）列举法得出共有6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为， ∴， ∴， ∴； （2）解：把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为、，混入了2个“红酥梨”的记为C，从4箱中随机挑选两箱的情况有、、、、、，共6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有，共2种， ∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为． 【题型11 根据概率公式计算概率】 解题思路： 直接判断试验为等可能试验，确定总结果数 n和事件A包含的结果数m，代入概率公式计算，注意结果需化简，若题目有要求，可化为小数或百分数。 【典例11】．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面 【答案】B 【分析】由表格数据可知，随着实验次数增加，结果的频率逐渐稳定在0.333附近，即该事件的概率约为，分别计算各选项事件的概率，对比即可判断. 【详解】解：由表格数据可得，频率稳定在左右， 该事件的概率约为. 选项中，去掉大小王的扑克牌共52张，红桃有13张，任抽一张为红桃的概率为，不符合题意； 选项中，“石头、剪刀、布”游戏共有3种等可能结果，出“剪刀”是其中1种，概率为，符合题意； 选项中，正六面体骰子共6种等可能点数，向上点数为5的概率为，不符合题意； 选项中，抛硬币出现反面的概率为，不符合题意． 跟随训练11-1．某小区开展地震应急疏散演练，小广所住区域的逃生路线如图所示，他从入口出发前往避险点，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小广到达避难点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H、G、E、F处都是等可能情况，从而得到在四个出口H、G、E、F也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小广最终到达避难点的共有H、G、E、F四个， 所以，小广最终到达避难点的概率为． 跟随训练11-2．如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】(1) (2)十位 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； （2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 【题型12 根据概率作判断】 解题思路： 根据概率的大小判断事件发生的可能性：概率越大，发生的可能性越大；概率越小，发生的可能性越小，但注意：概率大不代表一定发生，概率小不代表一定不发生（随机事件的随机性）。 【典例12】．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 跟随训练12-1．某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（   ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 【答案】B 【分析】本题主要考查频率与概率的关系，掌握频率的计算方法、频率与概率的区别是解题的关键． 频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，概率是事件发生的理论可能性，频率随试验次数增多趋近于概率，但二者不能直接等同，且试验结果具有随机性，据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 抽取次数越多，优质果的频率越接近概率，故A选项错误，不符合题意； B．此次抽取优质果的频率为，故B选项正确，符合题意； C．频率是概率的估计值，不能确定概率一定为，故C选项错误，不符合题意； D．再抽取100次是随机试验，抽到优质果的次数具有随机性，不一定为80次，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 跟随训练12-2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，掌握大量重复试验中频率稳定值可估计概率是解题的关键． 根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率稳定值可估计概率，但单次试验频率不一定等于概率． 【详解】解：①错误，当种子粒数为700时，发芽的频率为；且用频率估计概率需要大量重复试验，单次试验的结果具有偶然性，不能代表一般情况，故该说法错误，不符合题意； ②正确，因为随着试验种子数量的增加，发芽频率在0.9附近摆动，显示出稳定性，可估计概率约为0.9，符合题意； ③错误，频率与概率不一定相等，不符合题意； ④正确，用概率0.9估计，不能发芽的概率约为0.1，1000kg种子中不能发芽的种子约为100kg，符合题意． 故答案为：②④． 【题型13 已知概率求数量】 解题思路 设所求数量为未知数（如事件发生的数量为x，总数量为 n），根据概率公式，列方程求解，注意检验结果是否符合实际意义（数量为非负整数）。 【典例13】．一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】多次重复试验中，频率稳定后可用来估计概率，再结合概率公式计算即可得到黄球的估计个数． 【详解】解：∵多次重复试验后摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率是， ∵盒子中总共有20个乒乓球， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 跟随训练13-1．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（   ） A．10 B．0.3 C．3 D．7 【答案】C 【分析】在大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，用总球数乘稳定的频率即可得到红球个数的估计值． 【详解】解：∵多次试验后摸出红球的频率稳定在0.3左右， ∴可估计摸出红球的概率为0.3， ∵袋子中共有10个球， ∴红球个数约为 （个）， 因此袋子中红球的个数最有可能是3个． 跟随训练13-2．如图是由三个同心圆构成的图形，分为A，B，C三个区域（A，B两区域为圆环，C区域为小圆），其中． (1)写出三个区域的面积： ， ， ． (2)随机往图中扔一粒豆子，估算豆子落在A区域的概率； (3)随机往图中扔240粒豆子，估算大约有多少粒豆子落在B区域． 【答案】(1)，， (2) (3)粒 【分析】（1）根据圆面积公式计算即可； （2）根据面积比估算概率即可； （3）求出概率，估算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ， ； （2）解：； （3）解：， （粒）， 答：大约有多少粒豆子落在B区域80粒． 【题型14 游戏的公平性】 解题思路： 第一步：分别计算游戏双方获胜的概率；第二步：比较双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平；第三步：若游戏不公平，可提出调整方案（使双方获胜概率相等）。 【典例14】．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 跟随训练14-1．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 跟随训练14-2．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 【题型15 几何概率】 解题思路： 第一步：确定试验的总区域（面积、长度或体积）和事件 (A) 对应的目标区域（面积、长度或体积）；第二步：确保两个区域的度量标准一致；第三步：代入几何概率公式 【典例15】．从正方形四个顶点及其中心这五个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查古典概型的概率计算，先求出任取个点的总情况数，再找出满足距离条件的情况数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设正方形的四个顶点为，中心为， 从这个点中任取个点，一共有种不同的取法：， 其中这个点的距离不小于该正方形边长的取法共有种： 所求概率 ． 故选：A． 跟随训练15-1．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的基本概念及几何概型的应用，利用几何概率的计算方法，即指针落在阴影部分的概率等于阴影部分面积除以正八边形总面积，通过分析正八边形被分成的三角形个数以及阴影部分三角形个数来求解． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为4个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：A． 跟随训练15-2．按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比列式求解即可； （2）用蓝色区域的圆心角度数除以度即可； （3）分别求出地板面积和阴影区域的面积，然后用阴影区域的面积除以地板面积即可求出小球最终停留在阴影区域的概率． 【详解】（1）解：设圆的半径为，则正方形的边长为． 根据题意，得， 所以． （2）解：如题图②，指针落在蓝色区域的概率为． 答：指针落在蓝色区域的概率为． （3）解：如题图③，地板面积为， 阴影区域的面积为， 则小球最终停留在阴影区域的概率为． 答：小球最终停留在阴影区域的概率为． 【题型16 概率在转盘抽奖中的应用】 解题思路： 转盘抽奖的概率，本质是几何概率（面积比），若转盘被等分为若干份，可直接用“中奖区域的份数÷总份数”计算概率；若转盘不是等分，需用“中奖区域的面积÷转盘总面积”计算概率。 【典例16】．学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 跟随训练16-1．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 跟随训练16-2．某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 【题型17 概率的其他应用】 无论哪种应用，都需先判断试验是否为等可能事件，再通过列举法确定总结果数和目标结果数，最后代入概率公式计算，避免遗漏或重复结果。 【典例17】．二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 跟随训练17-1．小南观察某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用概率的意义即可求出出遇到绿灯的概率. 【详解】解：∵红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， ∴遇到绿灯的概率是＝， 故选：D． 【点睛】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键. 跟随训练17-2．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 1．下列事件中属于必然事件的是（    ）05 过关•检测 A．打开电视机，正在播放“天宫课堂” B．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】C 【分析】必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，据此进行判断即可. 【详解】解：A、打开电视机，正在播放“天宫课堂”，可能发生也可能不发生，是随机事件； B、对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性，可能发生也可能不发生，是随机事件； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件. 2．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 D．通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 【答案】A 【分析】在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此可判断A、C；根据概率的意义可判断B；根据概率相等判断游戏规则的公平性可判断D． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面可能朝上，也可能朝下，故正面朝上是随机事件，原说法正确，符合题意； B、“明天降雨的概率为”，表示明天降雨的可能性为，不表示明天有半天都在降雨，原说法错误，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，原说法错误，不符合题意； D、通过掷一枚质地均匀的硬币，正面向上和反面向上的概率均为，故确定谁先发球的比赛规则是公平的，原说法错误，不符合题意． 3．下面是四张以我国“四大发明”为主题的纪念卡片，将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同）．若从中随机抽取两张，求抽到的两张纪念卡片恰好是“火药”和“指南针”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：用A，B，C，D分别表示四张纪念卡片，随机抽取两张，共有，共6种等可能的结果，其中抽到的两张纪念卡片恰好是“火药”和“指南针”的结果只有1种， ∴. 4．不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字可能不同外无其他差别．其中，写有“马”的卡片有3张，写有“到”的卡片有1张，写有“成”的卡片有1张，写有“功”的卡片有1张．随机摸出一张写有“马”的卡片的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，根据概率公式：随机事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有可能的总结果数，直接代入数据计算即可． 【详解】解：∵不透明盒子中共有6张卡片，其中写有“马”的卡片有3张， ∴随机摸出一张写有“马”的卡片的概率为 ． 5．2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船历时约3．5小时成功对接空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设从甲、乙、丙三名航天员中选两人进入问天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人被同时选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列举法得到所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从甲、乙、丙三名航天员中选2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共3种， 其中甲、乙两人同时被选中的结果只有1种， ∴所求概率为． 6．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式的应用，关键是熟练应用概率公式解题；先确定总基本款数量和符合“藕粉哪吒”的款数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个， ∴买中“藕粉哪吒”的概率为， 故选：A． 7．家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是__________． 【答案】/0.25 【分析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中他恰好选到离家最近的分会场的结果有1种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小高恰好选到离家最近的分会场的结果有1种， ∴小高恰好选到离家最近的分会场的概率为． 8．不透明的袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为________． 【答案】/ 【详解】解：由概率计算公式可得，摸到绿球的概率为． 9．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据从中任意摸出1个球，摸出白球比黑球的可能性大，可得答案． 【详解】解：∵任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性大， ∴袋中白球数＞黑球数． 故答案为：＞． 10．把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 【答案】 【分析】本题考查了可能性的大小判断，关键在于比较各数字在卡片中出现的次数，次数最多的数字被摸到的可能性最大．由题可知张卡片中，数字出现次，数字出现次，数字出现次，故摸到数字的可能性最大，据此即可解答． 【详解】解：卡片上的数字分别为，，，，，，其中数字出现次，数字出现次，数字出现次，因此数字出现的次数最多，故摸到数字的可能性最大，故答案为：． 11．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮20次，他投中_______次． 【答案】14 【分析】本题考查频率估计概率，根据频率估计概率的原理，从表格数据观察投中频率的稳定性，估计投中概率，再计算投篮20次时的投中次数即可． 【详解】解：由表格数据可知，随着投篮总次数的增加，投中频率在0.695至0.710之间波动，且逐渐稳定在0.700附近，因此估计这名球员投篮一次投中的概率约为0.700， 所以，投篮20次时，投中次数约为， 故答案为：14． 12．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【答案】(1)， (2)估计该市学生作业优秀的概率为 【分析】本题考查频数与频率的关系，用频率估计概率，理解“大量重复试验中，频率会稳定在概率附近”是解题关键． （1）根据“优秀频率优秀数量抽取作业数量”的关系式，代入已知的抽取数量、优秀频率计算；代入已知的优秀数量、抽取数量计算； （2）观察表格，可知当抽取作业数量增大时，优秀频率逐渐稳定在附近，利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”的规律，可得出该市学生作业优秀的概率． 【详解】（1）解：优秀的频率公式为，当，频率为， ， ； 当时，， ． 答：，． （2）解：观察图表可知，当抽取作业的数量逐渐增大时，优秀频率稳定在附近，则可估计该市学生作业优秀的概率为． 答：估计该市学生作业优秀的概率为． 13．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 14．下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 15．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 【答案】(1)①；②有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2)错误，理由见解析 【分析】本题考查了求某事件的频率，由频率估计概率，用频率估计概率的综合应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据表2，列出关于b，c，d的方程组求解，再估算样本中患有慢性支气管炎的频率； ②先求出卡方，再通过比较后得出结论； （2）根据卡方检验是判断关联性的重要工具，但应用时需谨慎区分“相关”与“因果”，并结合实际背景分析可能存在的偏差，由此作答即可． 【详解】（1）①解：由表2可知，， 解得：， 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为：； ②， 所以， 所以有的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； （2）解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系． 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致虚假相关． 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合． 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率初步 （7知识点+17大题型+过关检测） 【题型1 事件的分类】 2 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 3 【题型3 求某事件的概率】 5 【题型4 概率的意义理解】 7 【题型5 关于频率与概率关系说法的正误】 8 【题型6 由频率估计概率】 10 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 12 【题型8 列举随机实验的所有可能结果】 14 【题型9 判断实验所得结果是否是等可能的】 16 【题型10 列举法求概率】 17 【题型11 根据概率公式计算概率】 20 【题型12 根据概率作判断】 22 【题型13 已知概率求数量】 25 【题型14 游戏的公平性】 26 【题型15 几何概率】 29 【题型16 概率在转盘抽奖中的应用】 31 【题型17 概率的其他应用】 34 · 理解事件的分类，能正确区分必然事件、不可能事件和随机事件。 · 了解事件发生的可能性有大有小，会比较简单随机事件发生可能性的大小。 · 理解概率的意义，掌握概率的取值范围，知道频率与概率的区别与联系。 · 会判断试验结果是否为等可能结果，能用列举法列出所有可能结果。 · 掌握等可能事件概率的计算公式 P(A)=​，能求简单随机事件的概率。 · 会用频率估计概率，并解决相关实际问题。03 知识•梳理 知识点 1：事件的分类 · 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，概率 P=1（如：标准大气压下，水加热到 100℃沸腾）。 · 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，概率 P=0（如：掷骰子点数为 7）。 · 随机事件（不确定事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率 0<P<1（如：抛硬币正面朝上）。 · 确定性事件：必然事件 + 不可能事件，结果可事先确定。 知识点 2：事件发生的可能性大小 · 必然事件可能性最大，不可能事件可能性最小；随机事件可能性有大有小。 · 比较方法：看事件包含的结果数占总结果数的比例，比例越大，可能性越大。 知识点 3：频率与概率 · 频率：n 次重复试验中，事件 A 发生 m 次，频率 =​（试验值，随试验次数波动）。 · 概率：刻画事件发生可能性大小的数值，记为 P(A)（理论值，固定常数）。 · 频率的稳定性：大量重复试验时，频率会在概率附近摆动，可用频率估计概率。 · 概率取值：P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1。 知识点 4：等可能事件的概率（古典概型） · 等可能试验特征：① 结果有限；② 每个结果出现的可能性相等。 · 概率公式：若试验有 n 种等可能结果，事件 A 包含 m 种，则 P(A)=（m：事件 A 结果数，n：总结果数）。 知识点 5：列举法求概率 · 适用：试验因素少、结果有限时，用列表法或树状图列出所有等可能结果，再计算概率。 知识点 6：几何概率 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点 7：游戏公平性 · 公平：游戏双方获胜的概率相等；不公平：概率不相等。 04 题型•汇总 【题型1 事件的分类】 解题思路：紧扣定义，判断事件是否一定发生、一定不发生、可能发生。 【典例1】．在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（   ） A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 跟随训练1-1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 跟随训练1-2．任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 思路：比较符合条件的结果数量多少。 【典例2】．若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 跟随训练2-1．不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 跟随训练2-2．在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到___________球的可能性最小． 【题型3 求某事件的概率】 思路：先找总结果数 n，再找符合条件的结果数 m，代入公式。 【典例3】．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 跟随训练3-1．为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 跟随训练3-2．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【题型4 概率的意义理解】 解题思路：概率是理论可能性，不代表试验一定发生该次数 【典例4】．掷次硬币，有一次正面朝上，有次反面朝下，那么，掷第次硬币反面朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 跟随训练4-2．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验结果．（注：钉尖向上的频率）下面有四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以钉尖向上的概率是0.5； ②当投掷次数是800时，计算机记录“钉尖向上”的次数是492，所以“钉尖向上”的概率是0.615； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中正确的是___________（填序号）． 【题型5 关于频率与概率关系说法的正误】 解题思路： 牢记核心区别与联系：① 概率是固定的理论值，频率是波动的试验值；② 大量重复试验时，频率会趋近于概率，但永远不等于概率；③ 试验次数越多，频率越接近概率，试验次数过少，频率与概率偏差可能较大。 【典例5】．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 跟随训练5-1．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 跟随训练5-2．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【题型6 由频率估计概率】 解题思路： 当试验次数足够多（大量重复试验），事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率估计值，直接用稳定的频率作为概率的估计值即可。 【典例6】．某校九年级生物兴趣小组在学习概率知识后进行麦粒发芽率的试验，结果如表所示： 麦粒粒数 发芽麦粒粒数 发芽麦粒频率 根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 解题思路： 核心思路：用大量重复试验得到的频率≈概率，再结合“事件发生的数量≈总数量×频率（概率）”，列算式或方程求解未知量（如总数量、事件发生的数量）。 【典例7】．某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 跟随训练7-1．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 跟随训练7-2．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 【题型8 列举随机实验的所有可能结果】 解题思路： 按一定顺序（如从小到大、从左到右）列举，确保不重复、不遗漏；对于两个因素的试验，可采用列表法列举；对于两个及以上因素的试验，可采用树状图法列举。 【典例8】．班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 跟随训练8-1．众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 跟随训练8-2．小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 【题型9 判断实验所得结果是否是等可能的】 解题思路： 紧扣等可能试验的两个核心特征，逐一验证：① 试验的所有结果是否为有限个；② 每个结果出现的可能性是否相等（可通过结果数、区域面积等判断），两个条件同时满足，才是等可能结果，否则不是。 【典例9】．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 跟随训练9-1．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 跟随训练9-2．一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【题型10 列举法求概率】 解题思路 第一步：用列表法或树状图法，不重复、不遗漏地列出所有等可能的试验结果，确定总结果数 n；第二步：找出事件 (A) 包含的结果数 m；第三步：代入概率公式计算。 【典例10】．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．某班共有35名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人． 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率； (2)在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学、，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率． 跟随训练10-2．临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 【题型11 根据概率公式计算概率】 解题思路： 直接判断试验为等可能试验，确定总结果数n和事件A 包含的结果数m，代入概率公式计算，注意结果需化简，若题目有要求，可化为小数或百分数。 【典例11】．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面 跟随训练11-1．某小区开展地震应急疏散演练，小广所住区域的逃生路线如图所示，他从入口出发前往避险点，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小广到达避难点的概率是（   ） A． B． C． D． 跟随训练11-2．如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【题型12 根据概率作判断】 解题思路： 根据概率的大小判断事件发生的可能性：概率越大，发生的可能性越大；概率越小，发生的可能性越小，但注意：概率大不代表一定发生，概率小不代表一定不发生（随机事件的随机性）。 【典例12】．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 跟随训练12-1．某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（   ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 跟随训练12-2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 【题型13 已知概率求数量】 解题思路 设所求数量为未知数（如事件发生的数量为x，总数量为 n），根据概率公式，列方程求解，注意检验结果是否符合实际意义（数量为非负整数）。 【典例13】．一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 跟随训练13-1．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（   ） A．10 B．0.3 C．3 D．7 跟随训练13-2．如图是由三个同心圆构成的图形，分为A，B，C三个区域（A，B两区域为圆环，C区域为小圆），其中． (1)写出三个区域的面积： ， ， ． (2)随机往图中扔一粒豆子，估算豆子落在A区域的概率； (3)随机往图中扔240粒豆子，估算大约有多少粒豆子落在B区域． 【题型14 游戏的公平性】 解题思路： 第一步：分别计算游戏双方获胜的概率；第二步：比较双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平；第三步：若游戏不公平，可提出调整方案（使双方获胜概率相等）。 【典例14】．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 跟随训练14-1．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 跟随训练14-2．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【题型15 几何概率】 解题思路： 第一步：确定试验的总区域（面积、长度或体积）和事件 (A) 对应的目标区域（面积、长度或体积）；第二步：确保两个区域的度量标准一致；第三步：代入几何概率公式 【典例15】．从正方形四个顶点及其中心这五个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（   ） A． B． C． D． 跟随训练15-1．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 跟随训练15-2．按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【题型16 概率在转盘抽奖中的应用】 解题思路： 转盘抽奖的概率，本质是几何概率（面积比），若转盘被等分为若干份，可直接用“中奖区域的份数÷总份数”计算概率；若转盘不是等分，需用“中奖区域的面积÷转盘总面积”计算概率。 【典例16】．学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 跟随训练16-1．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 跟随训练16-2．某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【题型17 概率的其他应用】 无论哪种应用，都需先判断试验是否为等可能事件，再通过列举法确定总结果数和目标结果数，最后代入概率公式计算，避免遗漏或重复结果。 【典例17】．二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 跟随训练17-1．小南观察某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ） A． B． C． D． 跟随训练17-2．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 1．下列事件中属于必然事件的是（    ）05 过关•检测 A．打开电视机，正在播放“天宫课堂” B．对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 2．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 D．通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 3．下面是四张以我国“四大发明”为主题的纪念卡片，将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同）．若从中随机抽取两张，求抽到的两张纪念卡片恰好是“火药”和“指南针”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字可能不同外无其他差别．其中，写有“马”的卡片有3张，写有“到”的卡片有1张，写有“成”的卡片有1张，写有“功”的卡片有1张．随机摸出一张写有“马”的卡片的概率为（    ） A． B． C． D． 5．2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船历时约3．5小时成功对接空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设从甲、乙、丙三名航天员中选两人进入问天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人被同时选中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是__________． 8．不透明的袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为________． 9．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 11．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮20次，他投中_______次． 12．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 13．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 14．下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 15．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $