精品解析：浙江嘉兴市平湖市当湖高级中学2025-2026学年第二学期高一年级3月阶段性测试数学试题

2025学年第二学期高一年级3月阶段性测试数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数z为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，化简得：， 分子分母同乘得：， 又因为，所以：. 2. 在中，，，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理计算可得. 【详解】由题意知中，，，， 故，即， 由于，故，又，则或. 故选：D 3. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 详解】由题意，， 所以在上的投影向量为， 故选：A． 4. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案. 【详解】解：因为在中，满足， 由正弦定理知，代入上式得， 又由余弦定理可得，因为是三角形的内角，所以， 所以为钝角三角形， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】在中，因为，可得 在中，因为，可得 在中，因为 由余弦定理得 即，可得 解得或（舍去），即塔的高度为30米. 故选：C. 6. 平面上、、三点不共线，设，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的面积公式可知，结合数量积公式可选出正确答案. 【详解】解：由三角形的面积公式知 . 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量的数量积. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，为边上的中线，，且，则的面积为( ) A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根据正弦定理边化角即可求出B，利用余弦定理可得a、c的一个方程，再利用三角形中线向量定理即可得第2个关于a、c的方程，联立两个方程求出ac，根据三角形面积公式即可求解三角形面积． 【详解】∵， 由正弦定理得：， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵B是三角形内角，∴， 由余弦定理得：， 又， ∴，即， 解得， ∴， 故选：C． 8. 已知锐角的面积为，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为锐角三角形，得到，利用三角形面积公式以及正弦定理化简可得：，由，求出的范围，从而得到结果. 【详解】设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，， 因为在锐角中，，则， ，则， 由正弦定理可得：，则， 所以，即 因为，所以 所以， 因为，则，则，即， 所以，所以，即， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）． A. B. z在复平面内对应的点位于第二象限 C. 的虚部为 D. z是方程的根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数乘方运算化简复数，再根据复数的模长、几何意义、复数的运算及复数与方程的根逐项判断关系即可. 【详解】因为，所以，A正确； z在复平面内对应的点为，位于第一象限，B错误； ，虚部为，C正确； 由得，即， 所以z是方程的根，D正确. 故选：ACD． 10. 已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且，，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解，，所以选项A错误；再利用公式求出选项BCD正确. 【详解】解：由题E为AB中点，则， 以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，， 设，∥， 所以，解得， 即O是CE中点，，所以选项B正确； ，所以选项C正确； 因为，，所以选项A错误； ，， 在方向上的投影向量为，所以选项D正确. 故选：BCD 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（ ） A 三个内角A，B，C满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与AC交于D，则的长为 D. 若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用正弦定理得出三边关系，结合余弦定理可判定；对B，由三角形面积公式计算可得三边长，从而判定；对C，利用三角形面积公式结合已知条件求解；对D，设，利用正弦定理表示出，由数量积定义求出，利用正弦函数性质求解最值. 【详解】对于A，由，得， 设， 由余弦定理，，又，所以， 则，故A正确； 对于B，由，解得， 所以，则其周长为，故B正确； 对于C，由， 所以，解得，故C错误； 对于D，当E在优弧AC上时，设，，则， 在中，， 由正弦定理，， ， 因为，所以， 当，即时，，即取得最大值； 又当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当E在劣弧AC上时，若相同时，此时小于E在优弧AC上； 综上，的最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴， 过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接、， 由题意可知，，， 则、、、， 所以，，，故. 故答案为：. 13. 若，则的最大值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，由题设可得，由复数的几何意义求解最值即可. 【详解】设， 则， 得， 表示以为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离， 所以. 故答案为：6. 14. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边得，再利用三角形重心性质及向量数量积的运算律计算得即可得解. 【详解】在中，， 则，由正弦定理得， 由G为的重心，，得， 即，则， 即，因此，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角的对边分别为，，，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求出，由求出，结合，求出； （2）由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 ，由正弦定理得：， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知：，又因为，， 由余弦定理得： 解得：， 所以面积为. 16. 已知点，，，． （1）若，，求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先，写出相应向量的坐标形式，然后，根据共线的条件进行求解. （2）写出相应向量的坐标形式，结合向量的模的计算公式转化为求二次函数最小值. 【小问1详解】 因，， ，则，， 由，可得，解得. 【小问2详解】 因为，，则， 所以， 则， 所以当时，. 17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）点为线段的中点，且，，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求出角的大小； （2）利用中点向量公式和余弦定理求解即可． 【小问1详解】 由得， 所以， 因为是锐角，所以； 【小问2详解】 点是的中点，且， ，平方得， 即， 由余弦定理：， 即， 联立解得： 的值为1． 18. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设， （1）当时，求四边形的周长； （2）用表示四边形的面积，并求其面积的最大值； （3）求的最大值，并指出此时的值． 【答案】（1） （2），最大值为 （3）最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得解； （2）利用余弦定理表示出，再由面积公式转化为的三角函数，用三角函数最值来解即可； （3）依题意即求的最大值，利用正弦定理表示出，即可求出，从而求出，再由余弦定理表示出，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理得， 所以，于是四边形OACB的周长为． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形的面积 ， 即， 当，即时，四边形的面积取得最大值为， 所以当满足时，四边形的面积最大，最大值为． 【小问3详解】 因为， 所以要求的最大值，即求的最大值， 因为， 在中由正弦定理得， 即， 所以， 所以 ， 由余弦定理得 ， 因为，所以当时，取得最大值. 所以的最大值为，此时. 19. 在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、可得，再由求出，利用向量平行四边形法则解得，得为的外心，再由正弦定理对称答案； （2）由向量的数量积公式可得，求出的范围可得的范围，从而求出最小值； （3）取的中点，由向量的加法运算可得，，再由平面向量数量积的定义可得，代入、得、，联立两式求出，再由正弦定理、基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以； 【小问2详解】 因为，所以，且， ， 因为，解得， 则，则，所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 如图所示：取的中点，连接，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，② 联立①②可得， 所以，， 又因为， 因为，所以，可得， 可得，当且仅当等号成立， 令，， 函数，令， ， 因为，所以， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以． 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”；二是利用余弦定理实现“角化边”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一年级3月阶段性测试数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数z（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则角大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 6. 平面上、、三点不共线，设，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，为边上的中线，，且，则的面积为( ) A. 2 B. C. D. 8. 已知锐角的面积为，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）． A. B. z在复平面内对应的点位于第二象限 C. 的虚部为 D. z是方程的根 10. 已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且，，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（ ） A. 三个内角A，B，C满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与AC交于D，则的长为 D. 若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________. 13. 若，则的最大值为________． 14. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角的对边分别为，，，且. （1）求角A大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知点，，，． （1）若，，求的值； （2）求的最小值． 17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）点为线段中点，且，，求的值． 18. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设， （1）当时，求四边形的周长； （2）用表示四边形的面积，并求其面积的最大值； （3）求的最大值，并指出此时的值． 19. 在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $