浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

当湖高级中学2023学年第二学期阶段性测试 高一数学试题卷 2024.5 一．单选题：（每题5分） 1．某射击运动员7次的训练成绩分别为:86，88，90，89，88， 87，85，则这7次成绩 的第80百分位数为 A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 2．一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为 A. 32 B. C. D. 3．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则 A．， B．， C．， D．， 4．已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．右图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是 A. B. C. D. 不确定 6．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则 A． B． C． D． 7．在边长为2的正方形中，是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则到平面的距离为 A. 1 B. C. D. 2 8．如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为 A. B. C. D. 二．多选题：(每题6分） 9．学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是 A. 平均来说乙班比甲班防守技术好 B. 乙班比甲班防守技术更稳定 C. 乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差 D. 甲班很少不失球 10．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则 A. 圆台的体积为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台母线与底面所成角 D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4 11．如图，在四边形中，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是    A．始终有 B．当平面平面时，平面 C．当平面平面时，直线与平面成角 D．当平面平面时，三棱锥外接球表面积为 三．填空题：（每题5分） 12．常言道：国以民为本，民以食为天．食品安全问题是人类生存的第一需要．学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生______人． 13．四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是______. 14．在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，M是侧面内一点，若平面DEF，则线段长度的取值范围是________． 四．解答题：（本题共5小题，共77分．） 15．如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，，若将图中阴影部分绕直线AB旋转360°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积． 16． 已知在正方体中，M、E、F、N分别是 、、、的中点.求证： (1)E、F、D、B四点共面 (2)平面平面. 17． 我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 18．如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，. (1)证明：. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 19． 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，O是的中点． （1）求证：平面平面； （2）点M在棱上，满足，且三棱锥的体积为，求的值及二面角的正切值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5月阶段测试答案 1. 某射击运动员7次的训练成绩分别为:86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 2. 一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ） A. 32 B. C. D. 3．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则 A．， B．， C．， D．， 4. 已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 6．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 解：因为，因此平均数不变，即， 设其他48个数据依次为， 因此， ， ，所以， 7. 在边长为2的正方形中，是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 解：由折叠不变可知，三棱锥中，，两两相互垂直， 所以， 的三边长分别为，，，所以， 因为，设到平面的距离为， 所以，解得， 8.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ） A. B. C. D. 解：如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 9. 学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（ ） A. 平均来说乙班比甲班防守技术好 B. 乙班比甲班防守技术更稳定 C. 乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差 D. 甲班很少不失球 解：对于A，从平均数角度考虑是对的，甲班每场比赛平均失球数大于乙班每场比赛平均失球数，故A正确； 对于B，从标准差角度考虑是错的，甲失球个数的标准差小，防守技术更稳定；故B错误； 对于C，乙失球个数的标准差大，防守中的表现不稳定，故C正确； 对于D，从平均数和标准差角度考虑是对的，故D正确. 10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台母线与底面所成角 D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4 解：对于A：圆台的高为， 则圆台的体积，A正确； 对于B：根据圆台的侧面积公式，可得侧面积为．故B错误； 对于C：过A作交底面于F，而底面，故底面， ∴即为母线与底面所成角． 在等腰梯形中，，∴， ∵为锐角，∴．故C正确； 对于D：设圆台侧面展开图上底面圆周对应的扇形半径为，下底面圆周对应的扇形半径为， 设扇形圆心角为，则，则， 由于，则， 即圆台的侧面展开图为半圆环，如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE， 由题意可得：．由为中点，∴， ∴．故D错误． 11．如图，在四边形中，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（    ）    A．始终有 B．当平面平面时，平面 C．当平面平面时，直线与平面成角 D．当平面平面时，三棱锥外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】利用反证法证明即可判断A；根据面面垂直的性质与线面垂直的判定定理和性质可得，结合线面垂直的判定定理即可判断B；由选项B可知平面，确定线面角即可判断C；由选项BC知，如图，确定球心和半径，结合球的表面积公式计算即可判断D. 【详解】A：若假设，由， 得，又，所以， 即，又平面， 所以平面，又平面， 所以，与矛盾，故A错误； B：在四边形中，由已知可得：. 因为平面平面，又平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面，可得平面，故B正确； C：由选项B知，由平面，则为直线与平面所成的角是，故C正确； D：当平面平面时，由B、C选项知，平面，平面， 平面，平面，所以， 所以取的中点，有， 即为三棱锥外接球的球心，且半径， 所以三棱锥外接球表面积，故D正确. 故选：BCD.    12. 常言道：国以民为本，民以食为天．食品安全问题是人类生存的第一需要．学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生______人． 解：由题意可知，高三年级抽取了人， 故该高中共有学生：人. 13. 四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是45______ 14. 在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，M是侧面内一点，若平面DEF，则线段长度的取值范围是（ ） 解： 如图所示，分别取的中点，连接, 因为为所在棱的中点， 所以,所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 因为 所以四边形为平行四边形， 所以又平面，平面， 所以平面； 又因为,且平面,平面, 所以平面平面， 因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 在中，由余弦定理得， 所以为钝角，所以当在线段运动时，最短为，最长为， 所以线段长度的取值范围是. 15. 如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，，若将图中阴影部分绕直线AB旋转360°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积． 16.已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证： (1)E、F、D、B四点共面 (2)平面平面. 17.我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 解：（1）由频率分布直方图，可得 ， 解得. （2）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为 ， 由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 . (3) 前6组的频率之和为 ， 而前5组的频率之和为 ， 由 ，解得， 因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准. 17．如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，. (1)证明：. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，将转换为线面平面，通过线面垂直的判断定理证明即可； （2）先通过线面证明平面，并求出，，直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为为的中点，所以 又，所以， 因为，所以， 所以四点共面， 因为 且都在面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）因为平面，面，所以. 又，由，即， 因为， 所以，则 由题设知，因为，且都在内， 所以平面，面，所以，且 设到平面的距离为， 由，且都在面内，故面， 因为，平面，平面，所以平面， 综上， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，O是的中点． （1）求证：平面平面； （2）点M在棱上，满足，且三棱锥的体积为，求的值及二面角的正切值． 解：（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为, 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 因为， 所以，所以, 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， 取靠近点的四等份点，连接，则∥， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为, 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$