精品解析：2026年湖南省张家界市桑植县一模数学试题

2026年学科素养综合能力提升（中考总复习） 数学（一） 建议时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 湘超比赛正在如火如荼举行，如果某城市足球队胜三场记作分，那么该队败2场应记作（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】C 【解析】 【分析】若胜场用“”表示，那么负场就用“”表示，据此可得答案． 【详解】解：如果某城市足球队胜三场记作分，那么该队败2场应记作分． 2. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ） A. 出现点数为6的概率是 B. 出现点数为0是随机事件 C. 出现点数为奇数是必然事件 D. 出现点数为奇数是不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率计算公式，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断各选项即可． 【详解】解：掷质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数共有6种等可能的结果，而点数为6的结果只有1种， ∴出现点数为6的概率为，A选项正确，符合题意； ∵骰子的点数为1到6，不存在点数0， ∴出现点数为0是不可能事件，B选项错误； ∵向上一面的点数可能为奇数，也可能为偶数， ∴出现点数为奇数是随机事件，既不是必然事件，也不是不可能事件，因此C、D选项错误； 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同类项的概念，分别计算各选项即可得到结果． 【详解】解： A．，，∴A不符合要求； B．根据幂的乘方法则，，，∴B不符合要求； C．与不是同类项，无法合并，∴C不符合要求； D．根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，符合要求． 4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A. 圆 B. 正方形 C. 等边三角形 D. 菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； B、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确； D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 5. 长沙素有“工程机械之都”之美名，某著名机械企业2025年半年度报告显示，公司上半年实现营业收入248.55亿元，248.55亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：248.55亿用科学记数法表示为． 6. 如图，的直径，弦 于E，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，易知，由垂径定理得，由勾股定理得 ，所以． 【详解】解：连接， 是的直径，弦 于E，， ， 在 ， ，，， ， ． 7. 如图，在四边形中，对角线 和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、 ，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、，可能是等腰梯形，不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意 8. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定， 根据尺规作图的过程可知 ， ，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知 ， ，， ∴ ∴的依据是 ． 故选：B． 9. 如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心， 为半径的弧，已知，则的长是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到为等边三角形，得到圆心角，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 为等边三角形， ∴， 的长． 10. 如图，已知 ，， ，，点E为所在直线上的动点．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接， ，．给出下列结论：① ；② 最小值是2；③最小值为；④的最大值是，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质 得到是等腰直角三角形，可知 ；根据“垂线段最短”可知 的最小值为2；当点E和点A重合时，，可知存在比小的值；当E，D，C三点不共线时，根据三角形三边关系，，当E在的延长线上时，． 【详解】解：由旋转的性质得，，，因此是等腰直角三角形，故 ，①正确， 由题意， ，根据“垂线段最短”，当点E与点B重合时，，即 的最小值为2，②正确． 当点E和点A重合时，由勾股定理得，，③错误． 当E，D，C三点不共线时，根据三角形三边关系，，当E在的延长线上时，，④正确； 综上正确的有①②④． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：__________． 【答案】3. 【解析】 【分析】直接逆用二次根式的乘法公式进行化简即可； 【详解】解：原式==3. 故答案为 3. 【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质以及二次根式的乘法． 12. 为了解某市80000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为_________． 【答案】2000 【解析】 【分析】抽查的2000名学生的体重是样本，样本容量是2000． 【详解】解：∵本次调查中抽查的样本是2000名学生的体重， ∴样本容量为2000． 13. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是___________． 【答案】##540度 【解析】 【分析】直接根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】这个五边形的内角和是， 故答案为． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键．n变形的内角和为：． 14. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出 的度数，再由平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴． 15. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解． 16. 我们定义“正整数迭代生成体系”如下：对于任意正整数 ，构造“迭代数列”，生成规则为： （1）初始项； （2）当时，若前一项为奇数时，则，若前一项为偶数时，则； （3）当数列中首次出现数字时，停止迭代．称迭代停止前的所有项（含初始项，不含数字）构成“前置序列”，前置序列的项数记为，前置序列中所有项的和记为． 根据上述定义，下列说法正确的是_________． ①当时，；②当时，；③存在正整数 ，使得；④对于任意正整数 ，必为奇数． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】对于①②，按照题干的规则进行计算，可得当 时，前置序列为，，，，，则，，故①正确，②错误；对于③④，当时，前置序列为，，，则，，故③正确，④错误． 【详解】解：对于①②：当时，（奇数）（偶数）（偶数）（偶数）（偶数）（停止迭代），前置序列为，，，，，共项， ∴，，故①正确，②错误； 对于③：当时， （停止迭代）．前置序列为，，，共 项， ∴，因此存在这样的正整数 ，故③正确； 对于④：由③可知，当时，前置序列为，，， ∴是偶数，与必为奇数矛盾，故④错误； 综上所述，正确的结论为①③． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是正确的化简．先利用完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 19. 如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作 于点G． （1）求证： ； （2）若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，． ， ， ． 又， ． 在中，， ． 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形得到，再由互余关系得到，再由垂直得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解．连接，，求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：正方形的边长为6，，， ． 连接， ∴． ， ， 解得． 由（1）得 ， ． 20. 湖南乡村振兴项目中，种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元，某农场计划种植水稻和蔬菜共300亩，总投入不超过80万元． （1）求种植每亩水稻和蔬菜分别需要投入多少元？ （2）若水稻每亩利润为800元，蔬菜每亩利润为1200元，求该农场最多可获得多少利润？ 【答案】（1）水稻每亩需要投入2000元，蔬菜每亩需要投入3000元 （2）该农场最多可获得320000元利润 【解析】 【分析】（1）设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩，根据题意建立一元一次不等式求出 的取值范围，然后建立利润 关于 的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元， 由题意得 解得 答：水稻每亩需要投入2000元，蔬菜每亩需要投入3000元； 【小问2详解】 解：设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩， 由题意得： 解得． 利润 ， W随m增大而增大，当时， （元）． 答：该农场最多可获得320000元利润． 21. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩 （1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中__________； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级； （4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人? 【答案】（1）200，16； （2）补全频率分布直方图如图所示： （3）；（4）940人 【解析】 【分析】（1）B等级人数40人÷B等级的百分比为20%， 利用抽查人数-其它各组人数即可； （2） C等级200×25%=50人，m=16即可补全频率分布直方图： （3）根据中位数定义即可求即； （4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数占抽样的百分比47%乘以学生总数即可． 【详解】解：（1）B等级人数40人，由扇形图可知B等级的百分比为20%， ∴本次调查一共随机抽取了40÷20%=200名学生的成绩，C等级200×25%=50人 ∴m=200-40-50-70-24=16 故答案为：200，16； （2） C等级200×25%=50人，m=16, 图略； （3）频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查200个数据，根据中位数定义中位数位于第100，101两位置上成绩的平均数，16+40=56100，16+40+50=106101, ∴中位数在等级内； 故答案为：C （4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数为：70+24=94人，占抽样的百分比为94÷200×100%=47%， 全校共有2000名学生，成绩优秀的学生有（人）． 答：全校2000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人． 【点睛】本题考查频率分布直方图和扇形图获取信息，样本容量，补画频率分布直方图，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数目等知识，熟练掌握上述知识是关键． 22. 如图①是长沙市标志性建筑大楼，其设计灵感来自湖南张家界的奇峰异石，裙楼部分体现水的元素，彰显湖湘文化特色，双子塔楼远望如同并肩而立的山峰，顶部有精美的雕塑作品，是游客们打卡的热门景点．如图②是某学习小组测量楼高的数据，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点，且，在点D处测得后，向前走了到达点F处，测得 ，其中（测角仪的高度），求大楼的高度（结果精确到 ）．（参考数据：，） 【答案】大楼的高度约为 【解析】 【分析】设，易得，，得到，求解出，再由即可求出大楼的高度． 【详解】解：设， ， ． ， ． ，解得． ． 答：大楼的高度约为． 23. 定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且 ，则称该函数为“湖湘对偶函数”． （1）判断函数 是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； （2）若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； （3）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当 的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】（1） 函数 不是“湖湘对偶函数”，理由： “湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且 ． 联立方程组 解得 此时，不满足 ． 故函数 不是“湖湘对偶函数”． （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且 ，得到方程组，求解即可判断； （2）由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组，化简得，继续化简得，再代入， 整理为，再由 求解即可； （3）点的“对偶点”为，代入，求出函数解析式为，然后求出，，，则 ，则，那么．设，则，得，求出，再代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组 化简得． 因为 ，两边除以，化简得 代入， 整理为， 因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解， 故判别式， 所以； 【小问3详解】 解：点的“对偶点”为，代入， 得，解得 ， 故函数解析式为． 令，得， 解得或． 故，， 所以 ． 令，得 ，故， 故， 由题意得． 设，则，得． 当时，，，无实根． 当时，，即， 解得， 所以点P的坐标为或． 24. 如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，相交于点F，G是上一点，交 于点H，且 ， ． （1）请直接写出与 ，的数量关系：_________； （2）求证： ； （3）若， ，，求 的周长． 【答案】（1） （2） 证明： ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． ． ， ． ， ， ， ， ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用 得，结合同弧所对圆周角 ，再根据三角形外角性质 ，完成证明 ． （2）先证 得 ，再通过角的等量代换证 ，推出，从而得 ． （3）利用（2）结论将 周长转化为，通过相似三角形 及、勾股定理求出的长，即 周长为 ． 【小问1详解】 解： ， ， ． ， ， ． ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接并延长交于点M，如图， ， ， ， ， ． 设 ，则 ， ， ． ， 设 ，则 ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 由（2）知 ， ， 周长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年学科素养综合能力提升（中考总复习） 数学（一） 建议时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 湘超比赛正在如火如荼举行，如果某城市足球队胜三场记作 分，那么该队败2场应记作（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 2. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ） A. 出现点数为6的概率是 B. 出现点数为0是随机事件 C. 出现点数为奇数是必然事件 D. 出现点数为奇数是不可能事件 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A. 圆 B. 正方形 C. 等边三角形 D. 菱形 5. 长沙素有“工程机械之都”之美名，某著名机械企业2025年半年度报告显示，公司上半年实现营业收入248.55亿元，248.55亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的直径，弦 于E，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，为半径的弧，已知，则的长是（） A. B. C. D. 10. 如图，已知 ，， ，，点E为所在直线上的动点．将线段 绕点D逆时针旋转得到线段，连接， ，．给出下列结论：① ；② 最小值是2；③最小值为；④的最大值是，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：__________． 12. 为了解某市80000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为_________． 13. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是___________． 14. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是_________． 15. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ___． 16. 我们定义“正整数迭代生成体系”如下：对于任意正整数，构造“迭代数列”，生成规则为： （1）初始项； （2）当时，若前一项为奇数时，则，若前一项为偶数时，则； （3）当数列中首次出现数字时，停止迭代．称迭代停止前的所有项（含初始项，不含数字）构成“前置序列”，前置序列的项数记为，前置序列中所有项的和记为． 根据上述定义，下列说法正确的是_________． ①当时，；②当时，；③存在正整数，使得；④对于任意正整数，必为奇数． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作 于点G． （1）求证： ； （2）若正方形的边长为6，，求的长． 20. 湖南乡村振兴项目中，种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元，某农场计划种植水稻和蔬菜共300亩，总投入不超过80万元． （1）求种植每亩水稻和蔬菜分别需要投入多少元？ （2）若水稻每亩利润为800元，蔬菜每亩利润为1200元，求该农场最多可获得多少利润？ 21. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩 （1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中__________； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级； （4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人? 22. 如图①是长沙市标志性建筑大楼，其设计灵感来自湖南张家界的奇峰异石，裙楼部分体现水的元素，彰显湖湘文化特色，双子塔楼远望如同并肩而立的山峰，顶部有精美的雕塑作品，是游客们打卡的热门景点．如图②是某学习小组测量楼高的数据，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点，且，在点D处测得后，向前走了到达点F处，测得 ，其中（测角仪的高度），求大楼的高度（结果精确到 ）．（参考数据：，） 23. 定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且 ，则称该函数为“湖湘对偶函数”． （1）判断函数 是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； （2）若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； （3）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当 的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 24. 如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，相交于点F，G是上一点，交于点H，且， ． （1）请直接写出 与 ，的数量关系：_________； （2）求证： ； （3）若， ，，求 的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $