2.1 从位移、速度、力到向量 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

2.1 从位移、速度、力到向量 [课时跟踪检测] 1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 (　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 解析:选C　速度、位移是向量,既有大小,又有方向,不能比较大小,路程可以比较大小. 2.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量的方向是任意的 D.单位向量的模都相等 答案:BCD 3.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 (　　) A.60° B.120° C.30° D.150° 解析:选A　平移向量a,b,使它们的起点重合,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°. 4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 (　　) A.不共线 B.长度不相等 C.不都是单位向量 D.不都是零向量 解析:选D　若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量.所以A、B、C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量.故选D. 5.下列结论正确的是 (　　) A.2 025 cm长的有向线段不可能表示单位向量 B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得,是单位向量 C.方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量 D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移 解析:选B　一个单位长度取2 025 cm时,2 025 cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A错误;根据单位向量的知识可知,B正确;方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,所以两向量为共线向量,故C错误;根据位移的定义可知,向量表示这个人从A点到B点的位移,所以D错误. 6.在△ABC中,=13,=5,||=12,则与的夹角的余弦值是 (　　) A. B. C.- D.- 解析:选C 　在△ABC中,与的夹角是角B的补角,由△ABC三边的长可知△ABC是直角三角形,cos B=,所以与的夹角的余弦值为-. 7.[多选]下列四个条件能使a∥b成立的条件是 (　　) A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 解析:选ACD　因为a与b为相等向量,所以a∥b,即A能够使a∥b成立;由于|a|=|b|并没有确定a与b的方向,即B不能够使a∥b成立;因为a与b方向相反时,a∥b,即C能够使a∥b成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0或|b|=0时,a∥b能够成立.故使a∥b成立的条件是A、C、D. 8.[多选]如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 (　　) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模为模的倍 D.与不共线 解析:选ABC　A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D错误. 9.[多选]如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 (　　) A.向量,的模相等 B.= C.向量,共线 D.||+||=10 解析:选BC　==,||==2,A错误;||==,B正确;向量,共线,C正确;||+||=2+3=5,D错误. 10.[多选]如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系正确的是 (　　) A.||=|| B.∥ C.∥ D.∥ 解析:选ABD　∵四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,∴AB=EF,即||=||,A正确. ∵AB∥CD∥HG,∴AB∥FH.又与反向,∴∥,B正确. 若∥,则BD∥EH,∴∠BDC=∠DEH.若四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的正方形,如图所示,此时tan∠BDC=1,tan∠DEH=,即∠BDC≠∠DEH,C错误. ∵D,C,E三点共线,,方向相反, ∴∥,D正确. 11.(5分)如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为__________;与向量的夹角为120°的向量为____________________　.(填图中所画出的向量)  解析:∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为,;与的夹角为120°的向量为,,. 答案:,　,, 12.(5分)窗,古时亦称为牖,它伴随着建筑的起源而出现,在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,则与相等的向量为__________,的相反向量为　　 　　　.  解析:因为四边形EFGH为正方形,所以EF=FG=GH=HE,且EF∥HG.又E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有,,.的相反向量有,,,. 答案:,,　,,, 13.(10分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量?(6分) (2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示.(4分) 解:(1)当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点, 模长为||时,有2个,为,, 模长为||时,有2个,为,, 模长为||时,有2个,为,, 模长为||时,有2个,为,,总共有8个. (2)由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个. 14.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点. (1)写出与向量共线的向量;(4分) (2)求证:=.(6分) 解:(1)因为在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,所以CE∥AF,CE=AF. 所以四边形AFCE为平行四边形.所以CF∥AE.所以与向量共线的向量为,,. (2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC. 因为E,F分别是DC,AB的中点, 所以ED∥BF且ED=BF. 所以四边形BFDE是平行四边形. 所以BE=FD,BE∥FD.故=. 学科网（北京）股份有限公司 $