精品解析：山东省泰安市第十三中学2021-2022学年七年级下学期期中学情检测数学试题

泰安第十三中学阶段性学情检测 初二年级数学试题 （时间：120 分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 B. 两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直 C. 如果a＞b，那么 D. 同位角相等 3. 方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（ ） A. 1、2 B. 1、5 C. 5、1 D. 2、4 4. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( ) A. 10° B. 15° C. 18° D. 30° 5. 不透明的口袋内装有红球、白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取404次球，发现有101次摸到白球，则口袋中白球的个数是（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 6. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A. 44° B. 40° C. 39° D. 38° 7. 若关于的二元一次方程组的解也是一元—次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，D为上一点，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 用加减法解方程组时，若要求消去，则应（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将△ABC进行折叠，使得点A落在BC边上的点F处，且折痕DE∥BC，若∠B＝56°，则∠BDF等于（ ） A. 56° B. 54° C. 68° D. 62° 12. 如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°．其中正确的结论是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，满分32分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 13. 某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是______． 14. 解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 15. 如图，将长方形沿折叠，点C落在点Q处，点D落在边上过点E处，若，则等于 ________° 16. 小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是______． 17. 已知是二元一次方程的解，则的值是________． 18. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________． 19. 如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1：∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3；‧‧‧‧‧‧则∠A2021＝___度． 20. 不透明的口袋中有黑白围棋子若干颗，已知随机摸出一颗是白棋子的概率为，若加入10颗白棋子，随机摸出一颗是白棋子的概率为，口袋中原来有______颗围棋子． 三、解答题（共7小题，满分78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 21. 用指定的方法解下列方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 22. 如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2． 23. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数． （2）求任意摸出一个球是黑球的概率． （3）能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为？若能，请写出你的修改方案． 24. 如图：已知，，． （1）求证：； （2）若平分，于，，求的度数． 25. 今年的全国助残日这天，某单位的青年志愿者到距单位6千米的福利院参加“爱心捐助活动”．一部分人步行，另一部分人骑自行车，他们沿相同的路线前往．如图，、分别表示步行和骑自行车的人前往目的地所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象． （1）分别求、的函数表达式； （2）求骑车的人用多长时间追上步行的人． 26. “大润发”、“世纪联华”两家超市出售同样的洗衣液和香皂，洗衣液和香皂在两家超市的售价分别一样．已知买1袋洗衣液和2块香皂要花费48元，买3袋洗衣液和4块香皂要花费134元． （1）一袋洗衣液与一块香皂售价各是多少元？（列方程组求解） （2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“大润发”超市规定：这两种商品都打八五折；“世纪联华”超市规定：买一袋洗衣液赠送一块香皂．若妈妈想要买4袋洗衣液和10块香皂，又只能在一家超市购买，你觉得选择哪家超市购买更合算？请说明理由． 27. 小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究和、的数量关系． （1）当点分别在如图1、图2和图3所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的和、的数量关系：图①中：______；图②中：______，图③中：_______． （2）请将结论③加以证明． （3）运用上面的结论解决问题：如图4，，平分，平分，，的度数是______．（直接写出结果，不用写计算过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安第十三中学阶段性学情检测 初二年级数学试题 （时间：120 分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数， 不是二元一次方程组， 故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故C选项不符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是， 是二元一次方程组， 故D选项符合题意． 故选：D． 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 B. 两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直 C. 如果a＞b，那么 D. 同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角性质、平行线的性质和垂直的定义、反例、平行线的性质分别对选项进行判断． 【详解】解：A．三角形的一个外角大于与之不相邻的三角形的任意一个内角，所以选项错误，不符合题意； B．两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直，所以选项正确，符合题意； C．当a＝0，b＝﹣1时，a＞b，而，所以选项错误，不符合题意； D．两直线平行，同位角相等，所以选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题、三角形外角性质、平行线的性质和垂直的定义、举反例等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3. 方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（ ） A. 1、2 B. 1、5 C. 5、1 D. 2、4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．将代入方程，即可求得被遮盖的的数值；将方程组的解代入，即可求得该处被遮盖的数值． 【详解】解：将代入方程，得 ． 解得：． 所以，方程组的解为． 将代入，得 ． 所以，被遮盖的前后两个数分别为5、1． 故选：C． 4. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( ) A. 10° B. 15° C. 18° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD=∠EDF=45°， ∴∠DBC=45°﹣30°=15°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 5. 不透明的口袋内装有红球、白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取404次球，发现有101次摸到白球，则口袋中白球的个数是（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量． 【详解】设白球有x个，根据题意得： ， 解得：x=5， 即白球有5个， 故选：A． 【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 6. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A. 44° B. 40° C. 39° D. 38° 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCB=×78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质． 7. 若关于的二元一次方程组的解也是一元—次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程组的解，代入已知方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ①-②，得5y=-4k，解得， 把代入②，得，解得， 把，代入二元一次方程2x+3y=6，得，解得． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 8. 如图，在中，D为上一点，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设∠1=∠2=x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：设∠1=∠2=x， ∵∠4=∠3=∠1+∠2=2x， ∴∠DAC=180°-4x， ∵∠BAC=108°， ∴x+180°-4x=108°， ∴x=24°， ∴∠DAC=180°-4×24°=84°． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 9. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得． 【详解】∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ， 故选D． 【点睛】考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 10. 用加减法解方程组时，若要求消去，则应（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得：，从而可得答案． 【详解】解：， 得：， 故选D 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法步骤，掌握利用加减消元法解方程组是解本题的关键． 11. 如图，将△ABC进行折叠，使得点A落在BC边上的点F处，且折痕DE∥BC，若∠B＝56°，则∠BDF等于（ ） A. 56° B. 54° C. 68° D. 62° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得∠ADE=∠EDF，再由平行线的性质可得∠B=∠ADE= 56°，最后由平角的性质即可求解. 【详解】∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴∠ADE=∠EDF， ∵DE//BC，∠B = 56°， ∴∠B=∠ADE= 56° ∴∠ADE=∠EDF= 56° ∴∠BDF= 180°-∠ ADE-∠EDF = 180°- 56°- 56° = 68° 故选： C. 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键. 12. 如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°．其中正确的结论是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确． 【详解】解：∵AB⊥AC． ∴∠BAC=90°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=90° ∵CD、BE分别是△ABC的角平分线， ∴2∠FBC+2∠FCB=90° ∴∠FBC+∠FCB=45° ∴∠BFC=135°故④正确． ∵AG∥BC， ∴∠BAG=∠ABC ∵∠ABC=2∠ABF ∴∠BAG=2∠ABF 故①正确． ∵AB⊥AC， ∴∠ABC+∠ACB=90°， ∵AG⊥BG， ∴∠ABG+∠GAB=90° ∵∠BAG=∠ABC， ∴∠ABG=∠ACB 故③正确． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，角平分线的性质，具有一定的综合性． 二、填空题（本大题共8小题，满分32分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 13. 某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是______． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】延长ED交BF于C，依据BADE，即可得到∠BCD＝∠B＝120°，∠FCD＝60°，再根据∠FDE是△CDF的外角，即可得出∠1＝90°． 【详解】解：如图，延长ED交BF于C， ∵BADE，∠B＝120°， ∴∠BCD＝∠B＝120°， ∴∠FCD＝180°﹣120°＝60°， ∵∠FDE是△CDF的外角， ∴∠1＝∠FDE﹣∠FCD＝150°﹣60°＝90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 14. 解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】学生仅看错系数，因此错解和正确解都满足未改动的方程，代入列方程组求出、，将正确解代入，求出，把、、代入即可得出． 【详解】解：错解和正确的解都满足不含的方程，分别代入得 ， 解得， 正确的解满足原方程，代入得， 解得， ∴． 15. 如图，将长方形沿折叠，点C落在点Q处，点D落在边上过点E处，若，则等于 ________° 【答案】106 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ∴， ． 故答案为：106． 16. 小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】∵阴影部分的面积=4个小正方形的面积， 大正方形的面积=9个小正方形的面积， ∴阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域(四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上)的概率是. 故答案为. 17. 已知是二元一次方程的解，则的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义可得，再由，代入计算，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的解， ， ， 故答案为：5． 18. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1） ∴关于x，y的方程组的解是 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 19. 如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1：∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3；‧‧‧‧‧‧则∠A2021＝___度． 【答案】## 【解析】 【分析】利用角平分线和三角形外角性质得出∠A1CD，=∠A+∠A1BC与∠A1CD=∠A1+∠A1BC,得出∠A1=∠A，再求出∠A2=∠A1，以此找出规律即可求解． 【详解】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠ABC=2∠A1BC，∠ACD=2∠A1CD， ∵∠ACD=∠A+∠ABC，即2∠A1CD=∠A+2∠A1BC， ∴∠A1CD=∠A+∠A1BC， ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC, ∴∠A1=∠A， ∵∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2， ∴∠A1BC=2∠A2BC，∠A1CD=2∠A2CD， ∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC即2∠A2CD=∠A1+2∠A2BC， ∴∠A2CD=∠A1+∠A2BC， 又∵∠A2CD=∠A2+∠A2BC， ∴∠A2=∠A1=∠A， ∵∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3， ∴∠A2BC=2∠A3BC，∠A2CD=2∠A3CD， ∵∠A2CD=∠A2+∠A2BC即2∠A2BC=∠A2+2∠A3CD， ∴∠A2BC=∠A2+∠A3CD， ∵∠A3CD=∠A3+∠A3BC， ∴∠A3=∠A2+=∠A， 同理可得：∠A4=∠A3=∠A，…, ∴∠An=∠A， ∴∠A2021=∠A=×64°=． 故答案是：． 【点睛】考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，依此类推，从而找出规律∠An=∠A． 20. 不透明的口袋中有黑白围棋子若干颗，已知随机摸出一颗是白棋子的概率为，若加入10颗白棋子，随机摸出一颗是白棋子的概率为，口袋中原来有______颗围棋子． 【答案】200 【解析】 【分析】分别设出原来口袋中黑白棋子的个数，再根据概率公式列方程组解答即可． 【详解】解：设原来口袋中分别有黑白棋子的个数分别为x、y，则 ， 解得， ∴x＋y＝200， 故口袋中原来有200颗围棋子． 故答案为：200 【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是根据概率＝所求情况数与总情况数之比来列方程． 三、解答题（共7小题，满分78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 21. 用指定的方法解下列方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由②得出x＝4+y③，把③代入①得出3（4+y）+4y＝19，求出y，把y＝1代入③求出x即可； （2）①×2+②×3得出13x＝26，求出x，把x＝2代入①求出y即可． 【详解】解：（1）， 由②得：x＝4+y③， 把③代入①得：3（4+y）+4y＝19， 解得：y＝1， 把y＝1代入③得：x＝4+1＝5， 所以方程组的解是； （2）， ①×2+②×3得：13x＝26， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：4+3y＝﹣5， 解得：y＝﹣3， 所以方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 22. 如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，进而得到∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，得到PB∥CQ，从而有∠PBC=∠QCB，根据等式性质得到∠1=∠2． 【详解】证明：∵∠ABC+∠ECB=180°， ∴AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD． ∵∠P=∠Q， ∴PB∥CQ， ∴∠PBC=∠QCB， ∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB， 即∠1=∠2． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 23. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数． （2）求任意摸出一个球是黑球的概率． （3）能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为？若能，请写出你的修改方案． 【答案】（1）7 （2） （3）能，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了简答概率的计算，通过概率求频数等知识点，解题的关键是熟练掌握概率计算的公式． （1）通过部分概率和频数求出总数，然后利用总数可求解； （2）利用概率计算公式进行求解即可； （3）通过改变白球的频数可达到要求． 【小问1详解】 解：∵红球3个，白球5个，黑球若千个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴， 故盒子中黑球的个数为； 【小问2详解】 解：任意摸出一个球是黑球的概率为； 【小问3详解】 解：能．方案：将盒子中的白球拿出3个，则P（摸到红球）．（方案不唯一） 24. 如图：已知，，． （1）求证：； （2）若平分，于，，求的度数． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 25. 今年的全国助残日这天，某单位的青年志愿者到距单位6千米的福利院参加“爱心捐助活动”．一部分人步行，另一部分人骑自行车，他们沿相同的路线前往．如图，、分别表示步行和骑自行车的人前往目的地所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象． （1）分别求、的函数表达式； （2）求骑车的人用多长时间追上步行的人． 【答案】（1）， （2）骑车的人用15分钟追上步行的人． 【解析】 【分析】（1）可根据图象中的信息用待定系数法来确定，的函数式； （2）骑车的人追上步行的人时，两人的路程正好相等，可根据（1）中得出的函数式，让两者相等求出时间． 【小问1详解】 解：设的表达式为， 由图象知过点（60，6）， ∴60＝6， ∴， ∴， 即的表达式为， 设的表达式为， 由图象知过点（30，0）和（50，6）两点 ∴， 解之得， ∴； 即的表达式为； 【小问2详解】 当骑车的人追上步行的人时， ，即x﹣9， ∴x＝45 ∴45﹣30＝15（分钟） 答：骑车的人用15分钟追上步行的人． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一元一次方程的应用，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． 26. “大润发”、“世纪联华”两家超市出售同样的洗衣液和香皂，洗衣液和香皂在两家超市的售价分别一样．已知买1袋洗衣液和2块香皂要花费48元，买3袋洗衣液和4块香皂要花费134元． （1）一袋洗衣液与一块香皂售价各是多少元？（列方程组求解） （2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“大润发”超市规定：这两种商品都打八五折；“世纪联华”超市规定：买一袋洗衣液赠送一块香皂．若妈妈想要买4袋洗衣液和10块香皂，又只能在一家超市购买，你觉得选择哪家超市购买更合算？请说明理由． 【答案】（1）一袋洗衣液的价格为38元，一块香皂的价格为5元；（2）在大润发超市购买划算 【解析】 【分析】（1）设一袋洗衣液的价格为x元，一块香皂的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组即可进行求解；（2）分别求出两超市的价格，再进行比较即可判断. 【详解】解：（1）设一袋洗衣液的价格为x元，一块香皂的价格为y元 可列方程组解得 答：一袋洗衣液的价格为38元，一块香皂的价格为5元． (2)大润发：（4×38+10×5）×0.85=171.7元 世纪联华：4×38+（10-4）×5=182元 ∵171.7<182，∴还是在大润发超市购买划算． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系. 27. 小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究和、的数量关系． （1）当点分别在如图1、图2和图3所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的和、的数量关系：图①中：______；图②中：______，图③中：_______． （2）请将结论③加以证明． （3）运用上面的结论解决问题：如图4，，平分，平分，，的度数是______．（直接写出结果，不用写计算过程） 【答案】（1）；； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）图①：过点作，利用两直线平行内错角相等，将拆分为两个分别与、相等的角，即可得；图②：过点作，利用两直线平行同旁内角互补，通过两组互补角求和，即可得；图③：过点作，结合内错角相等与角的和差关系，即可得； （2）过点作，结合已知，根据平行公理的推论推出，随后利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将转化为、转化为；最后结合图形中的和差关系，通过等量代换，即可证明； （3）过点作，过点作，根据平行公理的推论推出，可得，，，，结合，可得，利用角平分线的性质，得到，，进而得，最后由即可得出． 【小问1详解】 解：图①：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 图②：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 图③：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作，过点作， 又∵， ∴， ∴，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】过拐点作平行线，是解决所有平行线拐点或折线问题的唯一通用万能方法，本题的三个小问，从探究、证明到应用，全程围绕这一核心方法展开，只要掌握“遇拐点、作平行、用性质、转角度”的十二字逻辑，就能一通百通，搞定同类所有题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $