考点02 独立性检验（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点02 独立性检验 考点一：独立性检验 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 合计 a b c d 合计 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 4、临界值 统计量也可以用来作相关性的度量．越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关 ．忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立．我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准． 5、独立性检验 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 （1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3）根据检验规则得出推断结论； （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 （1）作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． （2）利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣． 忽略独立性检验前提，样本量过小仍强行分析。 1．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 【答案】C 【解析】根据题意，得到如下两个列联表. 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为， 女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为， 35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确； 由题意，，所以，故C不正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为， 35岁及以下市民人数为，又， 即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确. 故选：C. 2．考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 项目 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 总计 224 314 538 根据以上数据，则（    ） A．种子是否经过处理决定是否生病 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理跟是否生病有关 D．以上都是错误的 【答案】C 【解析】由列联表中的数据可知， 种子经过处理，得病的比例明显降低， 种子未经过处理，得病的比例要高些， 所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关. 故选：C 3．假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其2×2列联表如下： Y1 Y2 总计 X1 a b a＋b X2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 在下列数据中，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　) A．a＝5，b＝7，c＝6，d＝5 B．a＝5，b＝7，c＝8，d＝6 C．a＝8，b＝7，c＝5，d＝6 D．a＝7，b＝6，c＝5，d＝7 【答案】B 【解析】对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间的关系越弱； |ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强． 对于选项A, |ad－bc|=17, 对于选项B, |ad－bc|=26, 对于选项C, |ad－bc|=13, 对于选项D, |ad－bc|=19. 故选：B 4．不可以判断两个变量是否有关系的是（    ） A．散点图 B．列联表 C．等高条形图 D．频率分布直方图 【答案】D 【解析】对于，根据散点图可以判断两个变量间相关性的强弱，故A正确； 对于，对于列联表，计算的值，可以判断两个变量是否有关系，故B正确； 对于，用等高条形图可以粗略地判断两个变量是否有关，故C正确； 对于，频率分布直方图是反映样本的频率分布规律，不能反映是否相关，故D错误． 故选：． 5．给出下列实际问题，其中不可以用独立性检验解决的是（    ） A．喜欢参加体育锻炼与性别是否有关 B．一个未被识别的甲骨文文字一年内被识别出来的概率 C．购买食品是否看生产日期与性别是否有关 D．喜欢看新闻时政与年龄是否有关 【答案】B 【解析】独立性检验主要是对两个分类变量是否有关进行检验， 对于A，喜欢参加体育锻炼有喜欢和不喜欢，性别有男和女，是对两个分类变量是否进行检验， 对于B，一个未被识别的甲骨文文字一年内被识别出来，只涉及一个变量，不可以用独立性检验解决， 对于C，购买食品有看生产日期和不看生产日期，性别有男和女，是对两个分类变量是否进行检验， 对于D，看新闻时政有喜欢和不喜欢，年龄有大有小，是对两个分类变量是否进行检验. 故不可以用独立性检验解决的问题是B. 故选：B． 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 观察不同组中对应类别所占高度差异：比例差距明显，则两变量关联性较强；比例相近则关联性较弱。通过直观对比比例分布，初步判断两分类变量是否存在相关关系，为独立性检验提供直观依据。 混淆条形图的比例与频数，误把高度当成数量直接比较；忽略 “等高” 含义，错看不同类别所占比例；将比例差异当成因果关系，忽视其他因素；图形比例绘制不标准时主观判断，导致结论偏差；只看图形趋势，不结合数据计算，结论不可靠；混淆行、列变量，把自变量与因变量位置颠倒。 1．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 【答案】B 【解析】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大， 所以药物的预防效果优于药物的预防效果， 故选：B. 2．如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：（    ）. A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性 B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说 C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话 D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果可能存在错误 【答案】D 【解析】对于A选项，观察统计图，比较男性和女性未对父母说过“我爱你”的比例， 发现男性未说的比例高于女性，所以A选项正确. 对于B选项，分别对比男女对母亲和对父亲说“我爱你”的比例， 能看出无论男女对母亲说的比例都高于对父亲说的比例，所以B选项正确. 对于C选项，从统计图整体来看，未说过“我爱你”的人数比例较大， 所以大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话，C选项正确. 对于D选项，经常对父母说“我爱你”的人数总计比例较女生比例有所下降， 并不能直接说明统计图结果存在错误，有可能是实际调查结果就是如此，所以D选项错误. 故选：D 3．观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 4．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D 【解析】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误； 对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误； 对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误； 对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确. 故选：D. 5．为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（    ） A．样本中不愿意选该门课的人数较多 B．样本中男生人数多于女生人数 C．样本中女生人数多于男生人数 D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数 【答案】B 【解析】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课， 则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误； 对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大， 所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误. 故选：B． 题型三：对独立性检验的理解 　的实质就是两个变量相关的概率为． 误以为卡方值大就一定有因果关系，忽略只是统计相关；混淆 “无关” 与 “关系弱”，拒绝原假设不代表关联很强；不看临界值直接下结论，或记错自由度与对应值；把 “犯错误概率” 当成结论正确概率；样本量过小仍使用检验，结果不可靠；混淆原假设与备择假设，判断关系时结论颠倒。 1．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C．有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D．学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【解析】由题，列出新的列联表如下： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 330 100 430 乙校 380 70 450 合计 710 170 880 代入卡方公式： ，其中， 所以， ， 所以认为 “学生的数学成绩是否优秀与学校有关”，且有的把握， 故AB错误. 且推断犯错误的概率不超过0.01，不是0.001，故错误. 故选：C. 2．调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（    ）（附：） A．婴儿90%在白天出生 B．婴儿性别与出生时间无关联 C．有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D．婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 【答案】D 【解析】因为， 依据小概率值的独立性检验， 所以婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1． 故选：D． 3．为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解析】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则，所以， 所以． 故选：D 4．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【解析】因为，所以牛的毛色与角无关. 故选：A. 5．某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次谓查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则的值可能为（    ） 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．3.206 B．6.561 C．7.879 D．11.028 【答案】C 【解析】由题意得的值应位于与之间，故C正确，ABD错误. 故选：C 题型四：由进行独立性检验 解决独立性检验问题的基本步骤 (1)根据已知的数据作出列联表． (2)求的值． (3)判断可能性：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小． 代入公式出错。 1．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据: 单位:名　　　　 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 α 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于___________. 【答案】0.05 【解析】由公式计算得，根据小概率值的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，判断出错的概率不大于0.05. 故答案为：0.05. 2．下面是一个2×2列联表： X Y 合计 10 30 70 80 合计 20 110 附：，其中 则______(保留小数点后3位) 【答案】 【解析】先完成2×2列联表如下： X Y 合计 10 20 30 10 70 80 合计 20 90 110 则. 故答案为：. 3．为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得________． 发病 未发病 合计 接种 3 27 30 未接种 17 13 30 合计 20 40 60 参考公式：，其中． 【答案】14.7 【解析】, 故答案为：14.7 4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 【答案】48 【解析】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 5．为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷展开调查，从这两个年龄段的青年群体中随机抽取160人作为调查样本，统计数据后得到如下列联表，其中． 年龄段 兴趣 感兴趣 不感兴趣 18~22岁 23~27岁 若通过计算，得根据小概率值的独立性检验，认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关，则在被调查的位于23~27岁年龄段的80名青年中对新产品感兴趣的人数的最小值为________． 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】66 【解析】由题意可得， 即． 函数在时单调递增，且， ，， 的最小值为16， 在被调查的位于23∼27岁年龄段的80名青年中对新产品感兴趣的人数的最小值为． 故答案为：66 题型五：独立性检验与概率统计的综合应用 （1）解答此类题目的关键在于正确利用计算的值，再用它与临界值的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． 解题时混淆抽样方式，概率模型与列联表不匹配；先算概率再做检验时数据不统一，出现矛盾；混淆频率与概率，直接用频率代替概率计算卡方；不会将统计图表转化为 2×2 列联表；忽略检验前提，样本过少或比例极端仍强行计算；把相关当因果，结论超出统计范围。 1．国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)求的值 (2)依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关 附：，其中． 【解析】（1）由表中数据可得. （2）完善列联表 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 提出零假设为：体质情况与爱好运动无关，根据表中数据可得， 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为体质情况与爱好运动有关，该推断犯错误的概率不超过． 2．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件， 由此可得列联表如下： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 根据列联表数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于． 3．中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广西多地将1000米跑（男）、800米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进行1000米跑（男）、800米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下列联表： 男生 女生 合计 达标 24 18 42 不达标 11 7 18 合计 35 25 60 根据小概率值的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关． 参考公式：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】零假设：成绩是否达标与学生性别无关， ， 根据小概率值小“的独立性检验，我们推断没有充分证据拒绝原假设， 即认为成绩是否达标与学生性别无关． 4．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【解析】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）（1）与（2）的结论不一致， A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠； B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本， 样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 5．某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异． 因为， 依据的独立性检验，所以假设不成立， 即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异． （2）由题意，，， , , 则，． 1．读万卷书，行万里路.随着我国教育模式由“应试教育”向“素质教育”转变，研学旅行作为一种传统而现代的素质教育手段被广泛关注.某校对“是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占男生人数的，女生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别有关，则被调查的学生中，男生的人数不可能为（    ） A．25 B．45 C．60 D．75 【答案】A 【解析】依题意，设男生的人数为，可列出2×2列联表如下所示： 是否喜欢参加暑期研学旅行 性别 总计 男生 女生 喜欢 不喜欢 总计 则=. 由题意知，即，得，所以. 又，所以结合选项知B，C，D项都可以. 2．某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（   ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 【答案】B 【解析】完成列联表如下： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 则，解得. 又为正整数，且是5的倍数，可得的最小值为100. 故选：B. 3．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（    ） A．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 【答案】B 【解析】零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异， A，若，因为，故有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故A错误； B，若，因为，故有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故B正确； C，若，因为，故没有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率无差异，故C错误； D，若，因为，故没有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率无差异，故D错误. 故选：B 4．为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性至少有（    ）（参考数据：） A．8人 B．10人 C．15人 D．20人 【答案】B 【解析】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜欢钓鱼 不喜欢钓鱼 总计 则，本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则，， 所以结合选项，被调查的男性至少有10人． 故选：B 5．为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【解析】对于A,B，因为， 所以当时，无法推断种群一中药物A对预防疾病B有效，故A,B错误； 对于C,由，将各项数据变为原来的5倍， 则， 所以当时，则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确； 对于D,因为， 所以当时，无法推断种群二中药物A对预防疾病B有效，故D错误. 故选：C. 6．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是（    ） A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【答案】A 【解析】零假设：我们认为爱好跳绳与性别无关， 因为，， 所以我们的假设成立，即根据小概率值α＝0.001的独立性检验， 我们认为爱好跳绳与性别无关，故A正确； 在犯错误的概率不超过0.001前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关，故B错误； 又因为，所以我们的假设不成立， 即根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关，故C错误； 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故D错误. 故选：A 7．有甲乙两个班级共计人进行数学考试，按照大于等于分为优秀，分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表参考公式如下 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 已知在全部人中随机抽取人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中的值为，的值为 B．列联表中的值为，的值为 C．根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 【答案】B 【解析】成绩优秀的概率为， 成绩优秀的学生数是，成绩非优秀的学生数是， ，，选项A错误，B正确． 又根据列联表中的数据，得到， 因此有的把握认为“成绩与班级有关系”，没有的把握认为“成绩与班级有关系”． 故C，D错误． 故选：B． 8．（多选题）在一次独立性检验中，得出列联表如下： 变量 变量 合计 200 800 1000 180 合计 380 且最后发现，没有充分证据显示两个变量和有关系，则的可能值为（   ） A．200 B．720 C．600 D．180 【答案】BC 【解析】， 当时，， 此时两个变量和有关联． 当时，， 由知，此时没有充分证据显示两个变量和有关联，则的可能值是720． 同理，当时，，没有充分证据显示两个变量有关； 当时，，能够显示两个变量有关． 故选：BC． 9．（多选题）下列说法正确的有（    ） A．数据的极差是18 B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好 C．已知随机变量，若，则 D．依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联 【答案】ABC 【解析】A.极差最大值最小值，故A正确； B.决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，故B正确； C.由与联立，代入得， 解得，即，从而，故C正确； D.已知（对应的临界值），因此在的独立性检验中， 应拒绝原假设，即认为两个变量有关联，D的说法错误. 故选：ABC 10．（多选题）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（   ） 附表： 附： A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】BCD 【解析】设男生可能有人，依题意可得列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 女生 总计 ， 有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，， 解得：，又是的正整数倍， ，和都满足题意. 故选：BCD. 11．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有________人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）________（填“有关”或“无关”）． 【答案】 50 有关 【解析】由频率分布直方图可知，，解得， 则青年游客评分等级良好的有（人），所以中老年游客评分等级良好的有（人）．由上可得如下列联表， 评分等级是否良好 年龄段 青年游客 中老年游客 总计 评分等级良好 70 50 120 评分等级非良好 30 50 80 总计 100 100 200 可得，则认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关． 故答案为：50；有关. 12．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】 【解析】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 13．小坤统计了“喜欢学习数学”和“性别为男性”的关系，统计男，女同学分别为60，40名，在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为，则男生中喜欢数学的人数（大于男生中不喜欢数学的人数）为_________经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关，则女同学中喜欢学习数学的人数的最大值为_________（精确到1） 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】 50 23 【解析】由题意可知，男同学有人，设男生中喜欢数学的人数为人，则且. 在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为， 故，整理可得， 因为且，解得. 设女生中喜欢数学的人数为人， 则 男生 女生 合计 喜欢数学 50 不喜欢数学 10 合计 60 40 100 经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关， 则，即， 解得， 故最大值为. 故答案为：50；23. 14．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩（百分制），其频率分布直方图如图（1）（2）所示． (1)该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为“参赛学生是否获奖与性别有关”． 性别 是否获奖 合计 不获奖 获奖 男生 女生 合计 100 (2)估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由题意可知，抽取的100名学生中男生有（人）， 女生有（人）， 所以男生中获奖的人数为， 不获奖的人数为， 女生中获奖的人数为， 不获奖的人数为， 所以补全列联表如下： 性别 是否获奖 合计 获奖 不获奖 男生 30 30 60 女生 16 24 40 合计 46 54 100 零假设为：参赛学生是否获奖与性别无关， 根据列联表中的数据，计算得： ， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为“参赛学生是否获奖与性别无关”． （2）男生参赛成绩的总分约为： （分）． 女生参赛成绩的总分约为： （分）． 所以这100名学生的参赛成绩的平均数的估计值为． 15．某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表. 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联； (2)从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【解析】（1）零假设为：顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）（2）由题意，从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人， 结合列联表可得，对该款坚果礼盒满意的顾客共120人，其中男性有40人，女性有80人， 抽取2人至少有1名女性的概率为. 16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． (1)请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 【解析】（1）喜爱打篮球的学生有人，喜爱打篮球的男生有人， 不喜爱打篮球的学生有人，不喜爱打篮球的女生有人， 故列联表如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 （2）零假设，假设是否喜爱打篮球与性别无关． 因为，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． （3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2．其概率分别为，，， 故的分布列为 0 1 2 的均值为． 17．某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”.采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”. (1)完成下面的列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关? 宣传方法 了解程度 合计 有点了解 比较了解 方法一 30 42 方法二 合计 84 (2)以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由题意，完成的列联表如下： 宣传方法 了解程度 合计 有点了解 比较了解 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 零假设：宣传效果与宣传方法无关， 经计算得， ∴依据的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为宣传效果与宣传方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01； （2）依题意可得，采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为， ∴， 则， ∴的分布列为： 0 1 2 则． 18．某医院用a，b两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据： 未治愈 治愈 合计 疗法a 15 52 67 疗法b 6 63 69 合计 21 115 136 (1)根据小概率值的独立性检验，分析b种疗法的效果是否比a种疗法效果好； (2)为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该医院对于a，b两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组用甲方案，B组用乙方案.一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？ 参考公式及数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，，. 【解析】（1）零假设为：a疗法与b疗法独立，即两种疗法效果没有差异， 根据列联表中数据，经过计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异. （2）设A组中用甲方案治疗康复的人数为，则， 所以， 设A组的积分为，则， 所以. 设B组中用乙方案治疗康复的人数为， 则的可能取值为：0，1，2，3， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 P 所以， 设B组的积分为，则，所以. 因为5.5＞4，所以乙种联合治疗方案更好. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 独立性检验 考点一：独立性检验 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 合计 a b c d 合计 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 4、临界值 统计量也可以用来作相关性的度量．越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关 ．忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立．我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准． 5、独立性检验 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 （1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3）根据检验规则得出推断结论； （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 （1）作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． （2）利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣． 忽略独立性检验前提，样本量过小仍强行分析。 1．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 2．考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 项目 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 总计 224 314 538 根据以上数据，则（    ） A．种子是否经过处理决定是否生病 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理跟是否生病有关 D．以上都是错误的 3．假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其2×2列联表如下： Y1 Y2 总计 X1 a b a＋b X2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 在下列数据中，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　) A．a＝5，b＝7，c＝6，d＝5 B．a＝5，b＝7，c＝8，d＝6 C．a＝8，b＝7，c＝5，d＝6 D．a＝7，b＝6，c＝5，d＝7 4．不可以判断两个变量是否有关系的是（    ） A．散点图 B．列联表 C．等高条形图 D．频率分布直方图 5．给出下列实际问题，其中不可以用独立性检验解决的是（    ） A．喜欢参加体育锻炼与性别是否有关 B．一个未被识别的甲骨文文字一年内被识别出来的概率 C．购买食品是否看生产日期与性别是否有关 D．喜欢看新闻时政与年龄是否有关 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 观察不同组中对应类别所占高度差异：比例差距明显，则两变量关联性较强；比例相近则关联性较弱。通过直观对比比例分布，初步判断两分类变量是否存在相关关系，为独立性检验提供直观依据。 混淆条形图的比例与频数，误把高度当成数量直接比较；忽略 “等高” 含义，错看不同类别所占比例；将比例差异当成因果关系，忽视其他因素；图形比例绘制不标准时主观判断，导致结论偏差；只看图形趋势，不结合数据计算，结论不可靠；混淆行、列变量，把自变量与因变量位置颠倒。 1．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 2．如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：（    ）. A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性 B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说 C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话 D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果可能存在错误 3．观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 5．为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（    ） A．样本中不愿意选该门课的人数较多 B．样本中男生人数多于女生人数 C．样本中女生人数多于男生人数 D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数 题型三：对独立性检验的理解 　的实质就是两个变量相关的概率为． 误以为卡方值大就一定有因果关系，忽略只是统计相关；混淆 “无关” 与 “关系弱”，拒绝原假设不代表关联很强；不看临界值直接下结论，或记错自由度与对应值；把 “犯错误概率” 当成结论正确概率；样本量过小仍使用检验，结果不可靠；混淆原假设与备择假设，判断关系时结论颠倒。 1．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用了如下方法： 第1步，科学抽样．采用简单随机抽样方法从两所学校共抽取88名学生，且对这88名学生进行测验； 第2步，收集数据．测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生有7名学生数学成绩优秀，并做出了如下的列联表： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 33 10 43 乙校 38 7 45 合计 71 17 88 第3步，提出零假设．零假设：两校学生的数学成绩优秀率无差异， 第4步，计算．计算得到， 第5步：判断．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若将列联表中所有数据都扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 B．根据小概率值的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异 C．有99%的把握认为学生的数学成绩是否优秀与学校有关 D．学生的数学成绩是否优秀与学校有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 2．调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（    ）（附：） A．婴儿90%在白天出生 B．婴儿性别与出生时间无关联 C．有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D．婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 3．为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 4．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 5．某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次谓查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则的值可能为（    ） 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．3.206 B．6.561 C．7.879 D．11.028 题型四：由进行独立性检验 解决独立性检验问题的基本步骤 (1)根据已知的数据作出列联表． (2)求的值． (3)判断可能性：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小． 代入公式出错。 1．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据: 单位:名　　　　 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 α 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于___________. 2．下面是一个2×2列联表： X Y 合计 10 30 70 80 合计 20 110 附：，其中 则______(保留小数点后3位) 3．为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得________． 发病 未发病 合计 接种 3 27 30 未接种 17 13 30 合计 20 40 60 参考公式：，其中． 4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 5．为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷展开调查，从这两个年龄段的青年群体中随机抽取160人作为调查样本，统计数据后得到如下列联表，其中． 年龄段 兴趣 感兴趣 不感兴趣 18~22岁 23~27岁 若通过计算，得根据小概率值的独立性检验，认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关，则在被调查的位于23~27岁年龄段的80名青年中对新产品感兴趣的人数的最小值为________． 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 题型五：独立性检验与概率统计的综合应用 （1）解答此类题目的关键在于正确利用计算的值，再用它与临界值的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． 解题时混淆抽样方式，概率模型与列联表不匹配；先算概率再做检验时数据不统一，出现矛盾；混淆频率与概率，直接用频率代替概率计算卡方；不会将统计图表转化为 2×2 列联表；忽略检验前提，样本过少或比例极端仍强行计算；把相关当因果，结论超出统计范围。 1．国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)求的值 (2)依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关 附：，其中． 2．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广西多地将1000米跑（男）、800米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进行1000米跑（男）、800米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下列联表： 男生 女生 合计 达标 24 18 42 不达标 11 7 18 合计 35 25 60 根据小概率值的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关． 参考公式：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 4．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 5．某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 1．读万卷书，行万里路.随着我国教育模式由“应试教育”向“素质教育”转变，研学旅行作为一种传统而现代的素质教育手段被广泛关注.某校对“是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占男生人数的，女生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别有关，则被调查的学生中，男生的人数不可能为（    ） A．25 B．45 C．60 D．75 2．某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（   ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 3．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（    ） A．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 4．为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性至少有（    ）（参考数据：） A．8人 B．10人 C．15人 D．20人 5．为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 6．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是（    ） A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 7．有甲乙两个班级共计人进行数学考试，按照大于等于分为优秀，分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表参考公式如下 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 已知在全部人中随机抽取人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．列联表中的值为，的值为 B．列联表中的值为，的值为 C．根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 8．（多选题）在一次独立性检验中，得出列联表如下： 变量 变量 合计 200 800 1000 180 合计 380 且最后发现，没有充分证据显示两个变量和有关系，则的可能值为（   ） A．200 B．720 C．600 D．180 9．（多选题）下列说法正确的有（    ） A．数据的极差是18 B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好 C．已知随机变量，若，则 D．依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联 10．（多选题）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（   ） 附表： 附： A．人 B．人 C．人 D．人 11．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有________人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）________（填“有关”或“无关”）． 12．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 13．小坤统计了“喜欢学习数学”和“性别为男性”的关系，统计男，女同学分别为60，40名，在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为，则男生中喜欢数学的人数（大于男生中不喜欢数学的人数）为_________经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关，则女同学中喜欢学习数学的人数的最大值为_________（精确到1） 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 14．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩（百分制），其频率分布直方图如图（1）（2）所示． (1)该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为“参赛学生是否获奖与性别有关”． 性别 是否获奖 合计 不获奖 获奖 男生 女生 合计 100 (2)估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 15．某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表. 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联； (2)从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． (1)请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 17．某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”.采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”. (1)完成下面的列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关? 宣传方法 了解程度 合计 有点了解 比较了解 方法一 30 42 方法二 合计 84 (2)以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18．某医院用a，b两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据： 未治愈 治愈 合计 疗法a 15 52 67 疗法b 6 63 69 合计 21 115 136 (1)根据小概率值的独立性检验，分析b种疗法的效果是否比a种疗法效果好； (2)为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该医院对于a，b两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组用甲方案，B组用乙方案.一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？ 参考公式及数据： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $