专题02 数列通项与求和（期中复习讲义）高二数学下学期北师大版

专题02 数列递推关系与求和（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 由an与Sn的关系求通项 题型02 累加法求通项 题型03 累乘法求通项 题型04 待定系数法 题型05 倒数构造法求通项 题型06 特征根法求通项 题型07 倒序相加求和 题型08 分组转化求和与并项求和 题型09 裂项相消法求和 题型10 错位相减法求和 题型11 数列新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 通项公式 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题. 3.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能够利用公式求数列的前n项和. 4.会求一些非等差、等比数列的前n项和. 1.数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解，体现了化归思想在数列中的应用. 2.近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档． 数列求和 知识点01 an与Sn的关系求系 已知数列{an}的前n项和为Sn，则 知识点02 公式法与分组求和法 （1）公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 项和公式求和。 ①等差数列的前 项和公式： 。 ②等比数列的前 项和公式： ｛ , , , 。 （2）分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减。 知识点03 倒序相加法与并项求和法 （1）倒序相加求和法 如果一个数列的前 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 项和公式即是用此法推导的。 （2）并项求和法 在一个数列的前 项中，可两两结合求解，则称之为并项求和。 注意：形如 类型，可采用两项合并求解。例如， 。 知识点04 裂项相消求和法 （1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 （2）常见的裂项技巧 ① 。② 。③ 。 ④ 。⑤ 。 知识点05 错位相减求和法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 项和即可用此法来求，如等比数列的前 项和公式就是用此法推导的。 注意：在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。 题型01 由an与Sn的关系求通项 解｜题｜技｜巧 Sn与an关系问题的求解思路 方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. 方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 【典例1】已知是数列的前n项和，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列中，由，得，即，而， 因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，， 所以.故选A 【变式1】已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 【变式2】已知数列的前项和满足，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】因为， 当时，； 当时，， 所以， 当时不满足，所以. 题型02 累加法求通项 解｜题｜技｜巧 形如an＋1－an＝f（n）的递推关系式，利用累加法，根据公式an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），即可求数列{an}的通项公式 【典例2】已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为，故选C 【变式1】在数列中，，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由题设，所以且，显然满足上式，所以. 【变式2】已知数列满足，，则的值为（   ） A．22 B．42 C．79 D．149 【答案】C 【解析】数列中，，， .故选：C 题型03 累乘法求通项 解｜题｜技｜巧 形如的递推关系式，利用累乘法，根据公式（n≥2），即可求数列{an}的通项公式. 【典例3】已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，当时， ，显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为，故选C. 【变式1】已知，，则数列的通项公式等于 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 当n≥2时，， ，显然成立，故选C 【变式2】已知在数列中，，则它的前30项的和为（    ） A．465 B．450 C．900 D．930 【答案】A 【解析】由 是常数列，又， . 故选：A 题型04 待定系数法 解｜题｜技｜巧 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 【典例4】已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【解析】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得，故选B 【变式1】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式． 【解】∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋t＝2(an＋t)， 即an＋1＝2an＋t，∴t＝1， 即an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 【变式2】已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 【解】令an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)， 即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)，又a1＋22＝5≠0， 所以是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5×3n－1，即an＝5×3n－1－2n＋1. 题型05 倒数构造法求通项 解｜题｜技｜巧 一般地，形如an＋1＝(r，p，q是常数，r>0，p，q，an≠0)结构的递推公式往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数)，进而求出原数列的通项． 【典例5】已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 即，所以为以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以.故选D. 【变式1】已知数列满足，若，则 ． 【答案】 【解析】由题得，则等式两边同取倒数得， 则，，则数列为公差为2的等差数列， 则，当，则，则 【变式2】已知数列{an}满足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于(　　) A. B. C.3n－2 D.3n＋2 【答案】A 【解析】∵an－an＋1＝3anan＋1，a2＝，∴a1－a2＝3a1a2，即a1－＝a1，解得a1＝1. 由题意知an≠0，由an－an＋1＝3anan＋1得－＝3，又＝1， ∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝. 题型06 特征根法求通项 解｜题｜技｜巧 特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式 an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程. (1)若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定； (2)若特征根方程只有一个实根α，则an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值决定. 【典例6】已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.  【答案】1＋2n－1 【解析】an＋2＝3an＋1－2an，其特征方程为x2＝3x－2，解得x1＝1，x2＝2， 令an＝c1·1n＋c2·2n， 由得，∴an＝1＋2n－1. 【变式1】已知数列满足，若，则 . 【答案】 【解析】， ， 将这个式子的左右两边分别相加可得， ，. 【变式2】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.  【答案】 【解析】4an＋2＝4an＋1－an，其特征方程为4x2＝4x－1，解得x1＝x2＝， 令an＝(c1＋nc2)，由得∴an＝. 题型07 倒序相加求和 解｜题｜技｜巧 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 【典例7】已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解析】由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30. 又因为，所以n＝14，故选B 【变式1】设， A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】由于，故原式. 【变式2】设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则 . 【答案】 【解析】，. ，又， 两式相加得，因此，. 题型08 分组转化求和 解｜题｜技｜巧 分组转化法求和的常见类型 【典例8】设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得，解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故 . 【变式1】已知数列为等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）在等比数列中，由，，得公比， ，解得，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以. 【变式2】已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 则，即，解得 ， 所以. 则 数列的通项公式为： （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 所以数列的前项和为 题型09 裂项相消法求和 解｜题｜技｜巧 裂项相消法求和的步骤 【典例9】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【解】（1）①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. （2）， 则 . 【变式1】已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，证明：. 【解】（1）由题意得 解得 所以. （2）由， 所以 . 【变式2】在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【解】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 题型10 错位相减法求和 解｜题｜技｜巧 错位相减法求和的步骤 【典例10】设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 【解】（1）由题意知， 解得或， 当时，，，故，； 当时，，，故， ， 所以或； （2）因为，所以. 因为， 所以， 两式相减得 ， 故. 【变式1】已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若为递增数列，，求数列的前项和． 【解】（1）因数列为等差数列，则，解得， 同理可得， 因，则，又，得， 因数列为等比数列，则，解得， 若，则，公比为，公差为； 若，则，公比为，公差为， 则或． （2）因为递增数列，则，，则， 则，， 两式相减得， ． 【变式2】已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 题型11 数列新定义问题 解｜题｜技｜巧 1.遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 2.类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 【典例11】（2025·江西南昌·期中）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． (1)若，求的值． (2)设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 【解】（1）由题意可设：，则， 若，则， 且，可得，所以. （2）①由（1）可得， 若，则， 且，可得， 所以的通项公式； ②因为，即， 则， 可得， 所以. 【变式1】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和______. 【答案】1012 【解析】由等和数列概念可得，，，，， 所以. 【变式2】我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 【解】（1）因，则， 故， 是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”. （2）由题意是“一阶等差数列”， 又首项为1，公差为3，故， 则 ， 又满足上式，故. 则 “二阶等差数列”的通项公式为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知数列满足，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】，， ∴，∴，， ∴，∴，故选A. 2．（多选）记为正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B．数列单调递增 C．数列的单调递增 D． 【答案】AB 【解析】对于A:当时，由，得，解得或， 又，所以，故A正确； 对于B：所以，当时，，两式作差得， 即当时，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，易知单调递增，故B正确； 对于C：因为，所以，因为， 所以不是单调递增数列，故C错误； 对于D：，故D错误，故选AB 3．已知数列满足，则 ． 【答案】 【解析】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立，故，即． 4．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【解】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得，又 所以， 所以. 5.已知数列满足，且是关于的方程的两个根． (1)求； (2)设，求数列的前21项和． 【解】（1）因为是关于的方程的两个根， 所以． 所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列． 因此． （2）由（1）知，对于方程， 由韦达定理得，即． 所以 ． 所以 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（新定义问题）对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由，得， 当时，， 由得，所以， 又时，由得，也满足上式，所以. 7．已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为 【答案】17 【解析】由，当时，得， 两式相减并整理得，则 ，,即，， 又因为，所以，， 当时也满足上式，所以，， 则，，显然随的增大而增大， 又，，的最大值为17. 8.已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 【详】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， （2）由（1）有， 所以， 上式相加有， 所以， 所以； （3）由（2）有， 所以， 所以 ， 所以. 9.已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）由，当时，， 相减得， 已知数列各项均为正数，即，可化简得，即数列的公差满足，解得， 当时，，解得，则数列通项公式为， 可得，则， 由数列为等比数列可得，由，求得， 则数列通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， 则， 作差的， 化简得， 解得. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 10.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】方法一：根据题意知，数列，满足， 所以． 方法二：新数列为，故．故选：D． 11.（2025·天津卷T6），则数列 （   ） 【答案】 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式，所以 12.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 13.（2022·新高考全国Ⅰ卷T17）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 14.（2024全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【解】（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2） ,所以故所以 ，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列递推关系与求和（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 由an与Sn的关系求通项 题型02 累加法求通项 题型03 累乘法求通项 题型04 待定系数法 题型05 倒数构造法求通项 题型06 特征根法求通项 题型07 倒序相加求和 题型08 分组转化求和与并项求和 题型09 裂项相消法求和 题型10 错位相减法求和 题型11 数列新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 通项公式 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题. 3.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能够利用公式求数列的前n项和. 4.会求一些非等差、等比数列的前n项和. 1.数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解，体现了化归思想在数列中的应用. 2.近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档． 数列求和 知识点01 an与Sn的关系求系 已知数列{an}的前n项和为Sn，则 知识点02 公式法与分组求和法 （1）公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 项和公式求和。 ①等差数列的前 项和公式： 。 ②等比数列的前 项和公式： ｛ , , , 。 （2）分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减。 知识点03 倒序相加法与并项求和法 （1）倒序相加求和法 如果一个数列的前 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 项和公式即是用此法推导的。 （2）并项求和法 在一个数列的前 项中，可两两结合求解，则称之为并项求和。 注意：形如 类型，可采用两项合并求解。例如， 。 知识点04 裂项相消求和法 （1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 （2）常见的裂项技巧 ① 。② 。③ 。 ④ 。⑤ 。 知识点05 错位相减求和法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 项和即可用此法来求，如等比数列的前 项和公式就是用此法推导的。 注意：在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。 题型01 由an与Sn的关系求通项 解｜题｜技｜巧 Sn与an关系问题的求解思路 方向1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. 方向2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 【典例1】已知是数列的前n项和，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式2】已知数列的前项和满足，则的通项公式为 . 题型02 累加法求通项 解｜题｜技｜巧 形如an＋1－an＝f（n）的递推关系式，利用累加法，根据公式an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），即可求数列{an}的通项公式 【典例2】已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式1】在数列中，，且，则数列的通项公式 ． 【变式2】已知数列满足，，则的值为（   ） A．22 B．42 C．79 D．149 题型03 累乘法求通项 解｜题｜技｜巧 形如的递推关系式，利用累乘法，根据公式（n≥2），即可求数列{an}的通项公式. 【典例3】已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则数列的通项公式等于 A． B． C． D． 【变式2】已知在数列中，，则它的前30项的和为（    ） A．465 B．450 C．900 D．930 题型04 待定系数法 解｜题｜技｜巧 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 【典例4】已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【变式1】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式． 【变式2】已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 题型05 倒数构造法求通项 解｜题｜技｜巧 一般地，形如an＋1＝(r，p，q是常数，r>0，p，q，an≠0)结构的递推公式往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数)，进而求出原数列的通项． 【典例5】已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列满足，若，则 ． 【变式2】已知数列{an}满足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于(　　) A. B. C.3n－2 D.3n＋2 题型06 特征根法求通项 解｜题｜技｜巧 特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式 an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程. (1)若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定； (2)若特征根方程只有一个实根α，则an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值决定. 【典例6】已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.  【变式1】已知数列满足，若，则 . 【变式2】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an(n∈N*)，则an＝　　　　　　.  题型07 倒序相加求和 解｜题｜技｜巧 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 【典例7】已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1】设， A．4 B．5 C．6 D．10 【变式2】设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则 . 题型08 分组转化求和 解｜题｜技｜巧 分组转化法求和的常见类型 【典例8】设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式1】已知数列为等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式2】已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 题型09 裂项相消法求和 解｜题｜技｜巧 裂项相消法求和的步骤 【典例9】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【变式1】已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，证明：. 【变式2】在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 题型10 错位相减法求和 解｜题｜技｜巧 错位相减法求和的步骤 【典例10】设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 【变式1】已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若为递增数列，，求数列的前项和． 【变式2】已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型11 数列新定义问题 解｜题｜技｜巧 1.遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 2.类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 【典例11】（2025·江西南昌·期中）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． (1)若，求的值． (2)设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 【变式1】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和______. 【变式2】我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知数列满足，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（多选）记为正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B．数列单调递增 C．数列的单调递增 D． 3．已知数列满足，则 ． 4．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 5.已知数列满足，且是关于的方程的两个根． (1)求； (2)设，求数列的前21项和． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（新定义问题）对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式 ． 7．已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为 8.已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 9.已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 10.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11.（2025·天津卷T6），则数列 （   ） 12.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 13.（2022·新高考全国Ⅰ卷T17）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 14.（2024全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $