特色专题一 数列通项的求法（讲义+典型例题+小练）——河南省新蔡县第一高级中学2021-2022学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

特色专题一：数列通项的求法（讲义+典型例题+小练） 题型一：观察法 观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an； 例1：1．数列的第10项是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 观察分子分母的通项，即可归纳出该数列的通项公式，即可得结论． 【详解】 从分子上看，2，4，6，8，对应的通项为， 从分母上看，3，5，7，9，对应的通项为， 所以该数列的通项公式， 所以． 故选：． 【点睛】 本题主要考查归纳推理，考查数列的概念及简单表示，解题的关键是看出项与项数之间的关系，属于基础题． 举一反三 1．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项公式可能是an＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，变形数列的前4项，然后归纳出通项公式． 【详解】 解：根据题意，数列的前4项为，，，， 则有， ， ， ， 则数列的通项公式可以为. 故选：D. 3．写出下面各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，－，，…； (4)3,33,333,3 333，…. 【答案】(1) . (2) . (3) (4) ． 【解析】 【分析】 依次计算每一项的通项公式. 【详解】 (1)各项式减去1后为正偶数，所以. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以. (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子； 各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,5，…； 而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，所以 (4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3， 而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以． 【点睛】 本题考查了数列的通项公式，抓住每个数列的特点是解题的关键. 2， 公式法 等差数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示： 2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则． 通项公式的变形：①；②． 通项公式特点： 是数列成等差数列的充要条件。 例2：1．在等差数列中，已知，，则（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】 根据等差数列的通项公式可求得结果. 【详解】 设公差为，则， 所以. 故选：B 举一反三： 1．记为等差数列的前项和，已知，. 求公差及的通项公式； 【答案】（1），；（2），最小值为. 【分析】 设的公差为，由题意得，再由可得，从而可求出的通项公式； 【详解】 （1）设的公差为，由题意得. 由得. 所以的通项公式为. 等比数列： 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示： 2、通项公式 （1）、若等比数列的首项是，公比是，则． （2）、通项公式的变形：①；②． 例3：1．已知等差数列中，，. 求的通项公式； 【答案】（1）； 【分析】 （1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式； 【详解】 （1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得，所以； 举一反三： 1．在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 答案（1）-96;(2) 【分析】 （1）由等比数列的通项求解；（2）先求出等比数列的公比q,再求数列的通项. 【详解】 （1）由题得； （2）由已知得，，所以， 所以. 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项基本量的计算和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 三．递推公式为与的关系式。(或) 解法：这种类型一般利用 式子中出现任意两者或三者的关系 （1） 表示前项和且满足 （2） ， （3） （4） ． （5） 例4：1．已知数列的前项和为，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】 利用数列中和之间的关系，列出数列的通项公式. 【详解】 解：当时，； 当时，，而. 故数列的通项公式为. 【点睛】 本题主要考查数列中和之间的关系列出的式子，属于基础题. 举一反三： 1．设数列的前项和，求此数列的通项公式. 【答案】 【分析】 利用求得数列的通项公式. 【详解】 当时，. 当时，，所以. 所以. 【点睛】 本小题主要考查已知求，要注意验证的情况，属于基础题. 2.已知数列前n项和. (1)求与的关系； 解：(1)由得： 于是 所以. 四.累加法 累加法 差为函数；系数同 ； （1） ，且； （2） ， （3）， 例5：1.已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求