1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

　3.1　等比数列的概念及其通项公式 第一课时　等比数列的概念及其通项公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列通项公式的意义． 重点 难点 重点：理解等比数列概念及等比数列通项公式的应用． 难点：等比数列通项公式的应用. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比．通常用字母q(q≠0)表示． 等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． (2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 下列数列为等比数列的是(　 ) A．2,22,3×22，… B.，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，… 解析：选B　A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中的项可为0，不符合定义． 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式是an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． (1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． (2)等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． 1．已知{an}为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝(　 ) A．36　　 B．48　　　C．60　　 D．72 答案：B 2．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝__________. 解析：a7＝a4q7－4＝27×(－3)3＝－729. 答案：－729 ———————————————————————————————————— 等比数列的通项公式及应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________. [解析]　(1)因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5. (2)设等比数列{an}的公比为q， 由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝， 由a＝a10＝a1q9>0，得a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10，即(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n. [答案]　(1)C　(2)2n a1和q的求法通常有以下两种方法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 [对点训练] 1．已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于(　 ) A．1 B．2 C．－2 D．－1 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2. 2．在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：设公比为q，由题意，得 由得q＝，∴a1＝32. 又an＝1，∴32×n－1＝1，即26－n＝20，∴n＝6. ———————————————————————————————————— 等比数列的判定或证明 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知a，b，c，d成等比数列，a＋b，b＋c，c＋d均不为零，求证：a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． [解]　法一：由已知，设＝＝＝q(q为常数且q≠0)， ∵a＋b，b＋c，c＋d均不为零，∴＝＝q， 故a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． 法二：由已知，设b＝aq，c＝aq2，d＝aq3(q为常数且q≠0) ∵a＋b，b＋c，c＋d均不为零， ∴＝＝q，＝＝q， 故a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项