专题01 等差数列与等比数列（期中复习讲义）高二数学下学期北师大版

专题01 等差数列与等比数列（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 等差数列基本量的运算 题型02 等差数列的判定与证明 题型03 等差数列项的性质 题型04 等差数列前n项和的性质 题型05 等差数列前n项和的最值 题型06 等比数列基本量的运算 题型07 等比数列的判定与证明 题型08 等比数列项的性质 题型09 等比数列前n项和的性质 题型10 等比数列的最值问题 题型11 等差、等比数的列综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 等差数列、等比数列的基本运算 1.理解等差数列、等比数列的概念； 2.掌握等差数列、、等比数列的通项公式与前 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系与等比数列，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系；等比数列与指数函数的关系 等差数列、等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等。从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性。 等差数列、等比数列的性质及其应用 等差数列、等比数列的判定与证明 知识点01 等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，符号表示为an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）； （2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝ 其中A叫做a与b的等差中项. 知识点02 等差数列的性质 （1）若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*)，则ak+al=am+an （2）若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md 的等差数列. （3）若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm，S2m-Sm ，S3m-S2m，…也是等差数列. （4）若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差 递增数列. 知识点03 等差数列与函数关系 （1）等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常 数列. （2）当d≠0时，等差数列{an}的前n项和是关于n的二次函数. 知识点04 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为＝q（n∈N*）； （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab . 【提醒】在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 知识点05 等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和： （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝am·an； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm ； （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 4.若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{}，{an·bn}，仍是等比数列 知识点06 等比数列的函数特征 等比数列{an}的首项为a1，公比为q （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是⑨递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是⑩递减数列； （3）当q＝1时，{an}是⑪常数列. 题型01 等差数列基本量的运算 解｜题｜技｜巧 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素； （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解； （4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 【典例1】（2026·江西萍乡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则公差（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式1】（2025·新高考Ⅱ卷·T7）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西萍乡期末）记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 等差数列的判定与证明 解｜题｜技｜巧 判断数列{an}是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数； （2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1； （3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）； （4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）. 【典例2】（2026·江西景德镇·期末）设是数列的前项和，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·全国甲卷T18）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【变式2】数列满足并且，则数列的第100项为（   ） A． B． C． D． 题型03 等差数列项的性质 解｜题｜技｜巧 利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an也可相互转化. 【典例3】（2026·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【变式1】（2024·全国甲卷T5）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2026·河北·模拟预测）已知是等差数列，与是方程的两根，则的前项和为（    ） A． B． C． D． 题型04 等差数列前n项和的性质 解｜题｜技｜巧 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： （1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an； （2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 【典例4】（2026·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【变式1】（2026·江西上饶·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型05 等差数列前n项和的最值 解｜题｜技｜巧 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 【典例5】记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【变式1】（等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，试求n的值. 【变式2】（2026·湖北恩施·二模）等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 题型06 等比数列基本量的运算 解｜题｜技｜巧 等比数列基本量运算的解题策略 （1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”； （2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论； （3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解. 【典例6】（2026·江西抚州·期末）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江西吉安·期末）已知是等比数列的前项和，且，，则（    ） A．32 B．30 C．64 D．62 【变式2】已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答） 题型07 等比数列的判定与证明 解｜题｜技｜巧 【典例7】已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若，则，，成等比数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若，则数列为等比数列 D．若，，，则为等比数列 【变式1】已知数列的前n项和为， ，且，. 求证：是等比数列. 【变式2】已知数列满足，，是数列的前项和，记．求证：数列是等比数列； 题型08 等比数列项的性质 解｜题｜技｜巧 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. 【典例8】（20256·江西新余期末）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．或 C． D． 【变式1】正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式2】（2025·安徽淮南·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 题型09 等比数列前n项和的性质 解｜题｜技｜巧 恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，并结合题设寻找使用性质的切入点. 【典例9】（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 . 【变式1】（2023·新课标Ⅱ卷T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【变式2】已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 题型10 等比数列的最值问题 答｜题｜模｜板 涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【典例10】（2025·福建泉州二模）设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 . 【变式1】已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．当 最小时， 【变式2】已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为 题型11 等差、等比数的列综合 答｜题｜模｜板 解决等差数列与等比数列综合问题的技巧 (1)解决等差数列与等比数列的公共项问题时，应根据两种数列的通项公式，对公共项用两种形式表示，从而建立基本量之间的关系进行求解． (2)注意等差数列与等比数列之间可以相互转化，对正项等比数列取同底数的对数可得到等差数列，以等差数列的项为幂指数的同底数的幂值则构成等比数列． 【典例11】已知等比数列，等差数列是数列的前项和，若，则________，___________． 【变式1】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【变式1】已知数列1，，，4是等差数列，数列1，，，，4成等比数列，且，，均为实数，则______. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 3.（2025·江苏南通一模）记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（    ） A．93 B．1023 C．2047 D．3069 4．（2025·四川成都·模拟）已知等比数列的公比为2，且.若，则值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 5．（应用问题）（2025·重庆·三模）鬼工球， 又称同心球， 要求制作者使用一整块完整的材料， 将其雕成每层均同球心的数层空心球，已知鬼工球最内层的空心球上有 2 个雕孔，且向外每层雕孔数依次增加 2个． 现制作两个这样的鬼工球，层数分别为 层和 5 层 且 ，若 层鬼工球与 5 层鬼工球的雕孔总数的比值为 3 ，则 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2025·江西·三模）已知公差不为0的等差数列，其前n项和为．若满足，且成等比数列，则使得成立的n的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 8.（2025·广东·模拟预测）方程有四个可以排列成等差数列的实根，则的值为 . 9.（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 10．（2023·全国甲卷T5）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 11．（2022·全国乙卷T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 12.（2024·新课标Ⅱ卷T12）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 13.（2023·全国甲卷T13）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 14．（2021·新高考全国Ⅱ卷T17）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 15.（2022·新高考全国Ⅱ卷T17）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差数列与等比数列（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 等差数列基本量的运算 题型02 等差数列的判定与证明 题型03 等差数列项的性质 题型04 等差数列前n项和的性质 题型05 等差数列前n项和的最值 题型06 等比数列基本量的运算 题型07 等比数列的判定与证明 题型08 等比数列项的性质 题型09 等比数列前n项和的性质 题型10 等比数列的最值问题 题型11 等差、等比数的列综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 等差数列、等比数列的基本运算 1.理解等差数列、等比数列的概念； 2.掌握等差数列、、等比数列的通项公式与前 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系与等比数列，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系；等比数列与指数函数的关系 等差数列、等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等。从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性。 等差数列、等比数列的性质及其应用 等差数列、等比数列的判定与证明 知识点01 等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，符号表示为an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）； （2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝ 其中A叫做a与b的等差中项. 知识点02 等差数列的性质 （1）若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*)，则ak+al=am+an （2）若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md 的等差数列. （3）若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm，S2m-Sm ，S3m-S2m，…也是等差数列. （4）若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差 递增数列. 知识点03 等差数列与函数关系 （1）等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常 数列. （2）当d≠0时，等差数列{an}的前n项和是关于n的二次函数. 知识点04 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为＝q（n∈N*）； （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab . 【提醒】在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 知识点05 等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和： （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝am·an； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm ； （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 4.若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{}，{an·bn}，仍是等比数列 知识点06 等比数列的函数特征 等比数列{an}的首项为a1，公比为q （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是⑨递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是⑩递减数列； （3）当q＝1时，{an}是⑪常数列. 题型01 等差数列基本量的运算 解｜题｜技｜巧 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素； （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解； （4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 【典例1】（2026·江西萍乡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则公差（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】等差数列的前项和为，， 所以，所以， 则公差.故选：B. 【变式1】（2025·新高考Ⅱ卷·T7）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以，故选：B. 【变式2】（2026·江西萍乡期末）记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以，故. 故选：C. 题型02 等差数列的判定与证明 解｜题｜技｜巧 判断数列{an}是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数； （2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1； （3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）； （4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）. 【典例2】（2026·江西景德镇·期末）设是数列的前项和，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，即，而 是以2为首项，公差为2的等差数列， ，则， . 故选：C 【变式1】（2021·全国甲卷T18）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【解】∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴，∴是等差数列. 【变式2】数列满足并且，则数列的第100项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 则为等差数列，首项为，第2项为， 公差，则有，．故选B． 题型03 等差数列项的性质 解｜题｜技｜巧 利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an也可相互转化. 【典例3】（2026·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 【变式1】（2024·全国甲卷T5）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故，故选D 【变式2】（2026·河北·模拟预测）已知是等差数列，与是方程的两根，则的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 又由根与系数的关系得 ∴，故选C. 题型04 等差数列前n项和的性质 解｜题｜技｜巧 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： （1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an； （2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 【典例4】（2026·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【解析】因为是等差数列，所以成等差数列， 又，所以成等差数列， 则，则，故选A. 【变式1】（2026·江西上饶·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 【答案】B 【解析】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 【变式2】已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以，故选D. 题型05 等差数列前n项和的最值 解｜题｜技｜巧 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 【典例5】记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C 【解析】因为公差，所以数列单调递增，所以，又， 所以，所以数列前项全为负，从开始为正， 所以前项的和为的最小值，故.故选：C. 【变式1】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，试求n的值. 【解】法一（邻项变号法） 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时Sn最大. 法二（函数法） 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n（n－1）＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大. 法三（图象法） 根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当时，Sn取得最大值. 【变式2】（2026·湖北恩施·二模）等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 【答案】C 【解析】由题意， 所以．故C正确． 无法判断的正负，故A、B、D错误. 题型06 等比数列基本量的运算 解｜题｜技｜巧 等比数列基本量运算的解题策略 （1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”； （2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论； （3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解. 【典例6】（2026·江西抚州·期末）已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为， 因为，所以由， 因为与的等差中项为， 所以，解得 ， 故. 故选：A 【变式1】（2026·江西吉安·期末）已知是等比数列的前项和，且，，则（    ） A．32 B．30 C．64 D．62 【答案】D 【解析】设数列的首项为，公比为，由题可知， 由题意，解得，， 则. 故选：D 【变式2】已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答） 【答案】63 【解析】数列为等比数列，设公比为， 因为，所以， 化简得，解得或者. 因为数列为递增的等比数列，所以， 所以，将代入方程中解得. 所以. 题型07 等比数列的判定与证明 解｜题｜技｜巧 【典例7】已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若，则，，成等比数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若，则数列为等比数列 D．若，，，则为等比数列 【答案】BCD 【解析】对于A，当时有，此时，，不成等比数列，故A错误； 对于B，若为等差数列，设其公差为，则此时有， 且，所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，若，则， （）， 满足，于是， 则，且，所以数列为等比数列，故C正确； 对于D：因为，所以， 而，，，， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，故D正确． 故选BCD. 【变式1】已知数列的前n项和为， ，且，. 求证：是等比数列. 【解】由， 得， 两式相减，得，即. 又，所以. 选①:因为，且， 所以是首项为3，公比为2的等比数列， 【变式2】已知数列满足，，是数列的前项和，记．求证：数列是等比数列； 【解】由，，得， 则，而， 所以数列是等比数列. 题型08 等比数列项的性质 解｜题｜技｜巧 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. 【典例8】（20256·江西新余期末）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以，故选D. 【变式1】正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由等比数列的性质可知，，且， 所以或， 因为数列是正项递增数列，所以，，则，故选A 【变式2】（2025·安徽淮南·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】10 【解析】因为数列为正项等比数列，则，即， 所以. 题型09 等比数列前n项和的性质 解｜题｜技｜巧 恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，并结合题设寻找使用性质的切入点. 【典例9】（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 . 【答案】219 【解析】设数列的首项为，公比为. 因为，所以， 因为，所以，所以. 所以，所以. 于是. 【变式1】（2023·新课标Ⅱ卷T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以，故选C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去．故选C． 【变式2】已知等比数列的前n项和为，且，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由题意可知，是等比数列， 则，即，故，故选：A 题型10 等比数列的最值问题 答｜题｜模｜板 涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【典例10】（2025·福建泉州二模）设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为 . 【答案】 【解析】设正项等比数列的公比为，其中， 因为，可得，解得或， 因为，所以，所以， 则，故， 当时，则由， 则有，所以数列中最大的项为. 【变式1】已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．当 最小时， 【答案】B 【解析】由题意和正项等比数列的性质，得，，解得， ∵，∴，∴，解得，故B正确，C错误. 所以，所以，A错误. ∵，，∴当或时，，当时，. ∴当时，，当时，，当时，， ∴当最小时，或，故D错误.故选：B. 【变式2】已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为 【答案】13 【解析】数列中，，当时，，则， 整理得，即，而，即， 因此数列是以为首项，公比为的等比数列，， 则，由，知为奇数，此时是递增的， 而，， 所以正整数k的最小值为13. 题型11 等差、等比数的列综合 答｜题｜模｜板 解决等差数列与等比数列综合问题的技巧 (1)解决等差数列与等比数列的公共项问题时，应根据两种数列的通项公式，对公共项用两种形式表示，从而建立基本量之间的关系进行求解． (2)注意等差数列与等比数列之间可以相互转化，对正项等比数列取同底数的对数可得到等差数列，以等差数列的项为幂指数的同底数的幂值则构成等比数列． 【典例11】已知等比数列，等差数列是数列的前项和，若，则________，___________． 【答案】 4 52 【解析】解法一：因为数列是等比数列，， 所以，解得或（舍去）． 又是等差数列，， 所以． 解法二：因为数列是等比数列，设公比为，， 所以， 又，为等差数列，设公差为， 所以， 所以． 【变式1】已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】数列是公差为2的等差数列， ，，成等比数列， ，即，解得，故选：C. 【变式1】已知数列1，，，4是等差数列，数列1，，，，4成等比数列，且，，均为实数，则______. 【答案】 【解析】依题意,因为数列1，a1，a2，4是等差数列，所以a1+a2=1+4=5， 数列1，b1，b2，b3，4成等比数列，所以b22=1×4， 又b2和1，4同为正数，所以b2=2，所以. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，，所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得.故选：C 2.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【解析】由结论3，，解得，项数.故选C. 3.（2025·江苏南通一模）记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（    ） A．93 B．1023 C．2047 D．3069 【答案】B 【解析】的首项为，故， 所以，，，， 故，故选：B 4．（2025·四川成都·模拟）已知等比数列的公比为2，且.若，则值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由题可得：，解得，故， 因为 ，解得．故选B． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 5．（应用问题）（2025·重庆·三模）鬼工球， 又称同心球， 要求制作者使用一整块完整的材料， 将其雕成每层均同球心的数层空心球，已知鬼工球最内层的空心球上有 2 个雕孔，且向外每层雕孔数依次增加 2个． 现制作两个这样的鬼工球，层数分别为 层和 5 层 且 ，若 层鬼工球与 5 层鬼工球的雕孔总数的比值为 3 ，则 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由题意，这样的鬼工球第层的雕孔数为个， 则层鬼工球的雕孔总数为个，，即， 解得或（舍）．故选：D. 6．（2025·江西·三模）已知公差不为0的等差数列，其前n项和为．若满足，且成等比数列，则使得成立的n的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d，由成等比数列知， 即，解得或（舍去），故． 由得，故选B． 7．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得为方程的两个解，则， 解得，易知，故选B. 8.（2025·广东·模拟预测）方程有四个可以排列成等差数列的实根，则的值为 . 【答案】4 【解析】解法一：直接解方程 解得这四个解分别是：，，， 由等差关系，可知：，解得. 解法二：利用对称性 可知，这四个解分别是：，，，，计算可得，解得 即：. 9.（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为 【答案】4950 【解析】由，得，而， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此，， 所以数列的前100项和为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 10．（2023·全国甲卷T5）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以．故选C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以．故选C. 11．（2022·全国乙卷T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以，则，解得， 所以，故选D. 12.（2024·新课标Ⅱ卷T12）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 13.（2023·全国甲卷T13）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【解析】若， 则由得，则，不合题意，所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 14．（2021·新高考全国Ⅱ卷T17）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 15.（2022·新高考全国Ⅱ卷T17）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 【解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $