1.2等差数列（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.2等差数列（讲义+典型例题+小练） 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示： 2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则． 通项公式的变形：①；②． 通项公式特点： 是数列成等差数列的充要条件。 例1：1．在等差数列中，已知，，则（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】 根据等差数列的通项公式可求得结果. 【详解】 设公差为，则， 所以. 故选：B 2．已知等差数列{}，，则公差d的值是（ ） A．4 B．-6 C．8 D．-10 【答案】A 【分析】 等差数列{}的通项公式即可求解． 【详解】 在等差数列{}中， 公差 故选：A 举一反三 1．已知等差数列中，，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】 直接利用等差数列性质得到答案. 【详解】 等差数列中，，故. 故选：. 【点睛】 本题考查了利用等差数列性质求值，意在考查学生对于等差数列性质的灵活运用. 2．已知等差数列中，，，则等于（ ） A．40 B．42 C．43 D．45 【答案】B 【分析】 根据等差数列通项公式及条件，求得公差，即可求得的值. 【详解】 等差数列中，， 由等差数列通项公式可知 解得 所以 故选：B 【点睛】 本题考查了等差数列通项公式的简单应用，属于基础题. 3．已知数列是等差数列，若，，则公差_____. 【答案】 【分析】 根据已知条件可得出关于的方程，即可解得的值. 【详解】 若，，，解得． 故答案为：. 3、等差中项 若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列 例2：1．在等差数列中，已知，则该数列第项（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据等差数列下标和的性质得，即可求出答案. 【详解】 因为数列是等差数列，由等差数列的性质得，所以. 故选：B 举一反三 1．已知等差数列，且，则（       ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】 由于数列是等差数列， 所以. 故选：B 2．已知等差数列的前n项和为，且，则_________． 【答案】270 【分析】 由等差数列的性质先求得，再根据即可获解. 【详解】 等差数列的前项和为且 解得 , 故答案为：270. 3．已知，，则a，b的等差中项为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等差中项的定义求解. 【详解】 由等差中项的定义得： 则a，b的的等差中项为： ， ． 故选：A． 4、等差数列的基本性质 （1）。 （2） （3） 例3：1．在等差数列中，，，则（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】 根据等差数列的性质，得出，即可求解. 【详解】 根据等差数列的性质，可得， 所以， 故选：D. 2．等差数列中，，则的值为（ ） A． B． C．10 D．2 【答案】A 【分析】 利用等差数列的性质即可求解. 【详解】 因为是等差数列，由， 所以. 故选：A 举一反三 1．在等差数列{an}中，a1+2a2+3a3+4a4＝100，则a1+a2+a3+a4+a5＝（     ） A．100 B．75 C．50 D．25 【答案】C 【解析】 【分析】 由基本量计算可得，然后由等差数列的性质可得. 【详解】 由{an}是等差数列，得， 即， 所以a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝50. 故选：C. 2．已知等差数列满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差中项的性质可求得结果. 【详解】 由等差中项的性质可得，故. 故选：B. 5、等差数列的前项和的公式 公式：①；②． 公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式 等差数列的前项和的性质： ①若项数为，则，且，． ②若项数为，则，且， （其中，）． ③，，成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：是等差数列 ②中项法：是等差数列 ③通项公式法：是等差数列 ④前项和公式法：是等差数列 例4：1．已知为等差数列，为其前项和.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据等差数列的公式，列方程求解. 【详解】 设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，解得：，. 故选：C 2．《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬