6.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题提升训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册《6.3一元一次方程的应用》 题型分类解答题专题提升训练（附答案） 一、数字问题 1．已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 2．【阅读理解】 用分数表示无限循环小数的过程如下： 设，即，则，所以，解得，故． 【学习内化】 （1）请用分数表示无限循环小数； 【类比迁移】 （2）请用分数表示无限循环小数； 【综合应用】 （3）计算（结果用分数表示）：． 3．观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① ，5，，17，，65，…；② 3，，15，，63，，…；③ (1)第①行的第8个数是______；第②行的第8个数是______，第③行的第8个数是______ (2)取第①②③行的第100个数，分别记为、、，求的值． (3)取第①②③行每行的第个数，这三个数中任意两数之差的最大值为3074，求出的值． 4．有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），并自左至右用正整数序列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负． (1)计算4～9号位置对应标数之和； (2)当取标数为，，的三个珠子（k为正整数）时，求其标数之和（用含k的式子表示） (3)三个相邻珠子标数之和等于27，若中间的珠子为黑色，求黑色珠子的标数． 5．如图是由正奇数排成的数阵： (1)图中“工”字形框中七个数的和是中间数45的______倍 (2)在数阵中任意做一个这样的“工”字形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由． (3)直接判断用这样的“工”字形框能框出和为2026的七个数吗？请说明理由 二、古代算术问题 6．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 8．一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 9．古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 10．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 三、行程问题 11．小雅、小戚两人在一个环形跑道的起点同时开始跑步，已知小雅的速度比小戚的速度的两倍少米分钟，如果小雅顺时针跑，小戚逆时针跑，则分钟后第一次相遇；如果两人都逆时针跑，则小雅在分钟后第一次追上小戚，那么小雅的速度是多少？ 12．已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 13．列方程解应用题：已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米，甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲． (1)求甲的速度； (2)问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米． 14．甲、乙周末骑自行车去郊外游玩，甲从A地出发沿直线匀速前往B地，乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地，甲的速度比乙的速度的2倍少8千米/小时，他们出发30分钟后，甲追上乙． (1)求甲和乙的速度； (2)若甲追上乙后，甲的速度立即提高3千米/小时快速到达B地，到达B地后休息12分钟，再沿原路以提速后的速度返回，乙仍按原速前往B地，结果两人在距离B地2千米处再次相遇，求A，B两地的距离． 15．问题情境：在济宁东高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶的动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 合作探究： (1)请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为米，所以动车的平均速度可表示为 米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为 米/秒．再根据动车的平均速度不变，可列方程 ． (2)小颖认为：也可以设动车的平均速度为米/秒，列出方程解决问题．请你按照小颖的思路求动车经过的这座大桥的长度． 四、水电费用问题 16．为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 17．根据图中情景，解答下列问题： “元旦”大酬宾： 跳绳每根30元； 购买超过10根， 全部跳绳享受八折优惠． 她付的钱怎么比我还少？ (1)购买6根跳绳需__________元；购买根跳绳需__________元； (2)购买根跳绳需多少元？(请你用含有的式子表示) (3)小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少6元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 18．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年1月份用水量是10立方米，他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水在22～30立方米之间的收费标准a元/立方米？ (3)在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 19．居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 20．为引导居民合理用气，促进节能减排，某市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 天然气收费标准 级别 每年每户用气量（单位：立方米） 气价（单位：元/立方米） 第一档 360及以下 第二档 超过360但不超过600部分 第三档 超过600部分 (1)若小王家全年用气量为460立方米，则需要缴纳的费用为多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为1470元，则全年用气量为多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人则可以申请“多人口家庭”，若审核通过，每增加1人，相应增加第一、第二档年用气量60立方米．小李家有6口人，若全年用气量为650立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比最新政策出之前能节省多少元？ 参考答案 1．33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．通过设个位数字为未知数，利用两位数的数位表示方法写出原两位数与新两位数，计算两数之和后分析其因数，找到能整除该和的最大整数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设原两位数的个位数字为x， 则十位数字为，x为正整数，且，即， 故x可取， 原两位数为 ， 新两位数为 ， 两数之和为， 即两数之和为，故该和一定能被33整除，所有可能的和（当分别取时）的最大公因数为33， ∴这个整数的最大值是33． 2．（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． （1）根据题干化简即可． （2）根据题干化简即可． （3）根据题干把和化为分数形式，然后再相减即可． 【详解】解：（1）设，即，则， 所以， 解得， 故． （2）设，即，则， 所以， 解得， 故． （3）设，即，则， 所以， 解得， 故． 设，即，则， 所以， 解得， 故． ∴． 3．(1)；；； (2) (3)10 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减，一元一次方程的应用，通过观察归纳出所给数据的规律是解题关键． （1）通过观察可以发现：第①行数的排列规律是：从第2个数开始，每个数等于它前面的数乘以的积；第②行数的排列规律是：每个数是第①行相同次序的数加上1得到；第③行数的排列规律是：每个数是第①②行相同次序数的和的相反数，即可得解； （2）根据（1）所得规律可得，，再代入化简求值即可； （3）设第①行的第个数为，则第②③行的第个数分别为、，再结合题意列方程，根据为整数且为偶数，得出，再根据第①行数排列规律为，即可求出的值． 【详解】（1）解：通过观察可以发现： 第①行数的排列规律是：从第2个数开始，每个数等于它前面的数乘以的积， ∵根据第①行的第6个数是， ∴第①行的第7个数是，第8个数是； 第②行数的排列规律是：每个数是第①行相同次序的数加上1得到， ∴第②行的第8个数是； 第③行数的排列规律是：每个数是第①②行相同次序数的和的相反数， ∴第③行的第8个数是， 故答案为：；；； （2）解：取第①②③行的第100个数，分别记为、、， ∴，， ∴； （3）解：设第①行的第个数为，则第②③行的第个数分别为、， ∵这三个数中任意两数之差的最大值为3074， ∴或， 解得：或（为整数）， 由第①行的数可知，为偶数， ∴， 观察第①行数，排列规律为， ∴， ∴． 4．(1)9 (2) (3) 【分析】（1）4～9号位置对应标数相加即可； （2）将三个标数相加，运用整式的加减法则计算即可； （3）设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据“标数之和等于27”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 答：4～9号位置对应标数之和为9． （2）解：， 答：其标数之和为． （3）解：设中间黑色珠子的标数为，则另外两个珠子的标数为，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：黑色珠子的标数为． 5．(1)7 (2)仍然成立，见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出算式或方程，准确计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为m，根据七个数的和为2026，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（倍）， 故答案为：． （2）解：仍成立． 设中间数为x，则另六个数为，，，，，， 则七个数的和为：， 故七个数的和是中间数的7倍． （3）解：不能，理由如下： 假设这样的“工”字形框能框出和为2026的七个数， 令中间的数字为m， 则， 解得． 由题意可知m为正整数． ∴用这样的“工”字形框不能框出和为2026的七个数． 6． 井深8尺，绳长36尺 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是抓住绳长固定不变这一等量关系列出方程求解． 【详解】解：设井深为尺， ∴， 解得，， ∴井深为尺，绳长为（尺）， 答：井深8尺，绳长36尺． 7． 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 8．老人一共有56头羊 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有只羊，根据从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1只羊，其妻子分得儿子拿走其份额外剩下羊的，每个小家庭却分到相同多的羊，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设老人一共有x只羊，根据题意得 解得， 答：老人一共有56头羊． 9．壶中原来有斗酒． 【分析】根据题意，设壶中原来有斗酒，第一次遇到店加一倍成斗酒，然后见到花喝去一斗还有斗酒，依次类推，第三次壶中有斗酒，列方程即可. 【详解】解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第二次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第三次遇店又见花后，壶中有斗酒． 由题意，得，解得． 故壶中原来有斗酒． 【点睛】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键． 10．(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 11．小雅的速度是米分钟． 【分析】设小戚的速度为米分钟，则小雅的速度为米分钟，通过题意得方程，然后解方程即可． 【详解】解：设小戚的速度为米分钟，则小雅的速度为米分钟，环形跑道一圈长度为米， 由小雅顺时针，小戚逆时针跑，分钟第一次相遇，路程和等于跑道一圈长， 两人都逆时针跑，分钟小雅第一次追上小戚，路程差等于跑道一圈长， 因为跑道长度不变，两个式子相等， 所以得方程， 整理得， 解得， 代入得小雅速度为， 答：小雅的速度是米分钟． 12．(1)后甲，乙两船相距 (2)水流的速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者4小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据题意得， 得， 答：水流的速度为 13．(1)甲的速度为每小时10千米 (2)乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙两人相距6千米 【分析】（1）设甲速度为x千米/小时，则乙速度为千米/小时，根据题意列方程解决即可； （2）设乙出发后t小时甲乙相距6千米，则甲出发小时，分两种情况：相遇前或相遇后，分别列方程解决即可； 【详解】（1）解：设甲速度为x千米/小时，则乙速度为千米/小时， 由题意可列方程：， 解得：， 所以，甲速度为10千米/时； （2）解：由（1）可知，甲速度为10千米/小时，则乙速度为千米/小时， 乙到达B地所用时间小时， 设乙出发后t小时甲乙相距6千米，则甲出发小时， 相遇前：甲比乙多行驶6千米，可列方程， 解得：，满足题意， 相遇后：乙比甲多行驶6千米，可列方程， 解得，满足题意， 综上所述，乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙相距6千米． 14．(1)甲的速度是12千米/小时，乙的速度是10千米/小时 (2)A，B两地的距离为22千米 【详解】（1）解：设乙的速度是x千米/小时，则甲的速度是（2x﹣8）千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝10， ∴2x﹣8＝2×10﹣8＝12（千米/小时）． 答：甲的速度是12千米/小时，乙的速度是10千米/小时； （2）设A，B两地的距离为y， 根据题意得：， 解得：y＝22． 答：A，B两地的距离为22千米． 15．(1)；；； (2)米 【分析】（1）根据“速度=路程÷时间”，分别用桥长表示两种状态下的动车速度，再利用速度不变列方程； （2）设动车速度为未知数，通过桥长的两种不同表达式建立等量关系，解方程求出速度后，再计算桥长． 【详解】（1）解：设这座大桥的长度为米， ∵小明从刚上桥到离桥的路程为米，所用时间为秒， ∴动车的平均速度可表示为米/秒； ∵从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，动车行驶的路程为米，所用时间为秒， ∴动车的平均速度还可以表示为米/秒； ∴可列方程． （2）解：设动车的平均速度为米/秒． 根据题意，可得方程：． 解得：． 则大桥的长度为(米)． 答：动车经过的这座大桥的长度为米． 16．(1)266元 (2)属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯，用电量为200千瓦·时 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）先求出用电300千瓦·时的平均电费，结合小明家的平均电费确定用电范围，设小明家11月份的用电量为千瓦·时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：（元）， 答：小明家10月份应缴纳的电费为266元； （2）解：当用电300千瓦·时，应缴纳电费为（元）， 此时平均电费为（元）， ∵小明家当月平均电费为0.68元/千瓦·时，且， ∴小明家11月份用电范围属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯； 设小明家11月份的用电量为千瓦·时， 根据题意，得， 解得， 答：小明家11月份的用电量为200千瓦·时． 17．(1)； (2)当时，需元；当时，需元 (3)有可能，见解析 【分析】本题考查了分段计费的实际应用与一元一次方程的求解，关键是根据购买数量是否超过根来选择对应的单价，并通过方程验证特殊情况的可能性． （1）先判断购买数量是否超过根，再选择对应单价计算，购买6根时，数量，按原价元/根计算；购买根时，数量，按八折后单价(元/根)计算． （2）当时，无优惠，费用为“单价×数量”，即元；当时，全部享受八折，费用为“八折后单价×数量”，即元． （3）先分析两人购买数量的范围(小明购买数量，小红购买数量，再根据“小红比小明多买2根但付款少6元”的条件列方程验证． 【详解】（1）解：购买6根跳绳时，因，按原价计算，费用为元； 购买根跳绳时，因，按八折计算，单价为元， 费用为元； 故答案为：；． （2）解：当时，需元； 当时，需元； （3）解：有可能．理由如下： 设小明购买根跳绳，则小红购买根跳绳． ∵小红付款更少， ∴小明购买数量不超过根，小红购买数量超过根． 根据题意列方程：，解得． ∵满足，符合条件， ∴， 即此时小明买9根，小红买根． 18．(1)23 (2)用水在22～30立方米之间的收费标准3元/立方米 (3)他家8月份的用水量是35立方米 【分析】（1）因为10立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可； （2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （3）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：∵， ∴10立方米应缴费为（元）． （2）解：， 解得． 答：用水在22～30立方米之间的收费标准3元/立方米． （3）解：设他家8月份的用水量是立方米．                    ∵ ∴ 可列方程：， 解得． 答：他家8月份的用水量是35立方米． 19．(1) (2) (3)这户居民的水费为： 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题），以及列代数式表示数． （1）根据小明家的年用水量所处的阶段，分段计费并计算费用总和． （2）根据小颖家的年用水量所处的阶段，分段计费并根据费用总和列一元一次方程，得到的值． （3）根据年用水量的范围分情况讨论，得到不同用水量阶段的用表达水费的代数式． 【详解】（1）解：∵小明家年用水量为，处于第二阶梯， ∴水费为：元​； 故答案为：； （2）解：小颖家年用水量为，跨越三个阶梯： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 第三阶梯：元， ∵总水费为元， ∴可列方程为， 解得：； ∴的值为； （3）解：根据年用水量的范围分情况讨论： 当时， 水费为， 当时， 水费​为， 当时，代入， 水费​为， ∴这户居民的水费为：． 20．(1)元 (2)立方米 (3)元 【分析】本题考查的是分段计费的问题，同时考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解分段计费的区间，理解超过部分的含义是解本题的关键． （1）分两部分计费，360立方米的部分的单价为每立方米2.8元，超过部分的单价为每立方米3.3元，再利用单价乘以数量即可； （2）先判断小王家全年用气量大于360立方米，小于600立方米，设小王家全年用气量为x立方米，列出方程再解方程即可； （3）先按老政策计算小李一家应缴费用，再按新政策计算小李一家应缴费用，从而可得答案． 【详解】（1）解：小王家全年用气量为460立方米，应缴费为： 元， 所以小王家全年缴费为元； （2）解： 当用气600立方米时，缴费为： 元， 而， 所以小王家全年用气量大于360立方米，小于600立方米， 设小王家全年用气量为x立方米，则 ， 解得：， 答：小王家全年用气量500立方米； （3）解：按老政策小李家应缴费为： 元， 新政策后，小李家有6口人，第一档，第二档各增加120立方米， 小李一家应缴费为：元， 所以小李家全年缴纳的费用比最新政策出之前能节省元． 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