微专题03 一元一次方程的应用扩展（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

微专题03 一元一次方程的应用扩展 题型1 配套问题 题型特征：涉及两种或多种物品的组合配套（如零件与成品、桌椅、盲盒等），要求根据配套比例确定生产或购买数量。 关键：找到“配套比例”对应的等量关系。 1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某农产品加工厂有32名工人，每人每小时可包装20盒甲礼盒或30盒乙礼盒，2盒甲礼盒和1盒乙礼盒组成一份农产品礼包，若要求包装的甲礼盒与乙礼盒恰好配套，设安排名工人包装甲礼盒，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，理解题意，根据等量关系列出方程是关键；根据配套要求，甲礼盒数量应为乙礼盒数量的2倍，设x人包装甲礼盒，则人包装乙礼盒，列出方程即可． 【详解】解：安排x名工人包装甲礼盒，每小时包装甲礼盒盒；安排名工人包装乙礼盒，每小时包装乙礼盒盒； 由题意得：， 即选项A正确． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）用1套积木可拼8个正方体模型或24个长方体模型，2个正方体模型与6个长方体模型组成一个组合造型．现用42套积木拼搭，列出方程，则代表的实际意义是（   ） A．拼正方体模型的积木套数 B．拼长方体模型的积木套数 C．正方体模型的总个数 D．长方体模型的总个数 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方程左边表示2倍的长方体模型总个数，右边表示6倍的正方体模型总个数，结合组合造型所需数量关系，可推断x代表拼长方体模型的积木套数 【详解】解：设x为拼长方体模型的积木套数，则拼正方体模型的积木套数为， 每套积木拼长方体模型24个， 长方体模型总个数为 每套积木拼正方体模型8个， 正方体模型总个数为， 每个组合造型需2个正方体模型和6个长方体模型， 则为使正方体和长方体数量匹配组合比例，需满足：长方体模型总个数正方体模型总个数， 即 代表拼长方体模型的积木套数， 故选：B 3．（25-26七年级上·山东临沂·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红：”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有150个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶壶的工人有人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设生产茶壶的工人有人，则生产茶杯的工人为人，根据配套要求（茶杯数量是茶壶数量的8倍）列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 4．（25-26七年级上·广东江门·月考）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母．1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？设安排生产螺栓的工人有x名，则列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设生产螺栓的工人有x名，则生产螺母的工人有名． 由题意得，每天生产螺栓数量为个，每天生产螺母数量为个， ∴． 故选A． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材用来制作桌子． (1)设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿，可制作桌面___________个，制作桌腿___________个； (2)最多可以制作多少张桌子？ (3)由1人制作这些桌子需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起合作，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 【答案】(1)，； (2)张； (3)2人 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，涵盖配套问题与工程问题，关键是找出等量关系． （1）根据木材用量和单位木材的产量直接计算桌面与桌腿的数量，关键是利用“数量=单位产量×木材体积”的关系； （2）需利用桌面与桌腿的配套关系列方程，核心是“桌腿数量桌面数量”，通过解方程求出配套时的桌面数量，即为桌子的最大数量； （3）将总工作量视为1，先确定每人每小时的工作效率，再根据“先做的工作量+后做的工作量=总工作量”列方程求解． 【详解】（1）解：用木材用来制作桌面，木材用来制作桌腿， ∵木材可制作个桌面，木材可制作条桌腿， ∴桌面数量为个；桌腿数量为个； 故答案为：，； （2）解：要使制作的桌子数量最多，需桌面与桌腿完全配套，即桌腿数量是桌面数量的4倍， 据此列方程：， 解得； 则可制作的桌面数量为个，即最多可制作张桌子； 答：最多可以制作张桌子； （3）解：设应先安排人工作， 设总工作量为1，列方程：， 解得； 答：应先安排2人工作． 6．（25-26七年级上·山东青岛·月考）七年级一班共有学生50人，其男生人数比女生人数的2倍少16人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据总人数和男生与女生的数量关系列方程求解即可； （2）根据配套关系，盒底数量是盒身数量的2倍，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设女生人数为人，则男生人数为人， 根据题意，得， ， ， ， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生， 支援后，做盒身的人数为人，做盒底的人数为人， 盒身总数为个，盒底总数为个， 根据配套关系，得， ， ， ， ， ， ∴需要4名男生去支援女生． 题型2 工程问题 题型特征：涉及工作任务分配（如工程承包、生产加工等），要求根据工作效率、时间计算工作量或合作时间。 关键：将总工作量设为单位“1”，工作效率＝工作量÷时间。 1．（25-26七年级上·山东日照·月考）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．3小时 C．4小时 D．2小时 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．设还需要m小时，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设还需要m小时，根据题意，得， 解得． 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东济宁·月考）一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做10天完成．若甲先做5天，然后甲、乙合作完成此项工作还需要_____天 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲先做5天完成部分工作量，剩余工作量由甲、乙合作完成，设甲、乙合作还需要天完成剩余工程，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵甲先做5天，完成的工作量为，剩余工作量为． 甲、乙合作的工作效率为， 设甲、乙合作还需要天完成剩余工程， 根据题意，得， 解得． 故答案为：4． 3．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 【答案】(1)20天 (2)万 【分析】（1）设乙队完成此项工程的天数为x天，可知甲队完成此项工程的天数为天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求解即可； （2）设甲，乙两队合作y天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求出y的值，根据“甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元”计算即可． 【详解】（1）解：设乙队完成此项工程的天数为x天， 由题意可得：， 解得， 答：乙队完成此项工程的天数为20天； （2）解：设甲，乙两队合作y天， 由题意可得：， 解得， ∴（万）， 答：完成该工程需付工程款万． 4．（25-26七年级上·山东聊城·期末）为解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了天，这天共掘进米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进米． (1)求甲工程队每天掘进多少米？ (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天? 【答案】(1)甲工程队每天掘进米 (2)甲、乙两个工程队还需联合工作天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用． （1）设乙工程队每天掘进米，则甲工程队每天掘进米，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）根据（1）的结论列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天掘进米，则甲工程队每天掘进米， 根据题意，得：， 解得：， ． 甲工程队每天掘进米． （2）解： 天 甲、乙两个工程队还需联合工作天． 5．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产120件，乙工厂每天生产180件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品．在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是9000元，每天支付给乙工厂的费用是12000元，且每天的其它支出费用是2000元．求该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和． 【答案】(1)1800件 (2)138000元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出方程和算式是解题的关键： （1）设这批纪念品共有件，根据两个工厂单独生产这批纪念品，甲工厂比乙工厂多用5天完成，列出方程进行求解即可； （2）先求出两厂完成所用天数，进而求出支付给两厂的费用，再加上其它支出，即可得出结果． 【详解】（1）解：设这批纪念品共有件，由题意，得， 解得， 答：这批纪念品共有1800件； （2）解：（天）； （元）； 答：该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和为138000元． 6．（25-26七年级上·山东临沂·月考）某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合做，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间． 【答案】6天 【分析】本题考查工程问题中的合作与单独完成情况下的时间与效率关系，重点掌握工程问题中“效率时间工作量”的基本关系，并能正确列出方程并求解． 根据甲先做2天，之后甲乙合作直至完成，且总时间等于规定时间，可设规定时间为天，从而建立方程．通过工作总量为1的等量关系，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设完成这项工程规定的时间为天，则甲工作了天，乙工作了天． 由题意得： 解得： 答：完成这项工程规定的时间是6天． 题型3 销售问题 题型特征：涉及商品买卖（如利润、折扣、进价等），要求计算销售量、利润或折扣率。 关键：掌握利润公式（利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价×100%）。 1．（25-26七年级上·山东聊城·期末）服装反季促销活动中，某商场将一种羽绒服先按成本提高标价，再以八折出售，结果获利24元．若这件羽绒服的成本为元，根据题意，可得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．先由成本求出标价，再得出售价，最后根据“售价=成本+利润”建立等式即可． 【详解】解：∵这件羽绒服的成本为元，先按成本提高40%标价， ∴标价为元， ∵再以八折出售， ∴售价为元， ∵获利24元，即售价成本利润， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在服装反季促销活动中，某商场将一款羽绒服先按成本提高40%标价，再以标价的八折出售，结果每件获利24元．若这款羽绒服的成本为x元/件，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据成本、标价、售价与利润的数量关系列方程，先由成本求出标价，再得出售价，最后根据“售价=成本+利润”建立等式即可． 【详解】解：设这款羽绒服的成本为x元/件， 根据题意得， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）乐乐文具店第一次用 2900 元购进两种笔记本，其中种笔记本的本数比种笔记本本数的多20本，两种笔记本的进价和售价如下表： 进价（元/本） 15 20 售价（元/本） 22 25 (1)第一次进货时，两种笔记本各购进多少本？ (2)该文具店第二次又购进两种笔记本，其中A种笔记本的本数不变，B种笔记本的本数是第一次的2倍，A种笔记本按原价销售，B种笔记本打折销售．第二次两种笔记本都销售完后的总利润与第一次的总利润相等，求第二次B种笔记本是按原价打几折销售的？ 【答案】(1)第一次进货时，A种笔记本购进100本，B种笔记本购进70本 (2)第二次B种笔记本是按原价打9折销售的 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设第一次进货时，A种笔记本购进x本，则B种笔记本购进本，根据购买金额为2900元建立方程求解即可； （2）设第二次B种笔记本是按原价打m折销售的，分别求出两次销售的总利润，令二者相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一次进货时，A种笔记本购进x本，则B种笔记本购进本， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第一次进货时，A种笔记本购进100本，B种笔记本购进70本； （2）解：设第二次B种笔记本是按原价打m折销售的， 由题意得， 解得， 答：第二次B种笔记本是按原价打9折销售的． 4．（25-26七年级上·山东济南·期末）济南宽厚里某文创店为迎接元旦假期，新上架了以趵突泉、大明湖为主题的两种手绘明信片．已知趵突泉主题明信片每套进价15元，大明湖主题明信片每套进价25元．该店花费3900元购进这两种明信片共200套． (1)该文创店分别购进趵突泉主题、大明湖主题明信片各多少套？ (2)若趵突泉主题明信片的标价是进价的2倍，每套大明湖主题明信片按标价出售可获得利润15元．元旦期间，文创店对这两种明信片进行优惠促销：趵突泉主题明信片每套降价5元，大明湖主题明信片打8折出售．将这200套明信片全部卖完后，该文创店最终共获利多少元？ 【答案】(1)110套；90套 (2)1730元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设购进趵突泉主题明信片x套，则购进大明湖主题明信片套，根据“趵突泉主题明信片每套进价15元，大明湖主题明信片每套进价25元．该店花费3900元购进这两种明信片共200套”列方程求解即可； （2）根据题意分别计算趵突泉主题、大明湖主题明信片的利润，相加即可． 【详解】（1）解：设购进趵突泉主题明信片x套，则购进大明湖主题明信片套， 根据题意得：， 解得：， ∴（套）， 答：购进趵突泉主题明信片110套，则购进大明湖主题明信片90套； （2）解： （元）， 答：该文创店最终共获利1730元． 5．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某商场购进甲、乙两种品牌的大米共千克，其中甲品牌大米的数量比乙品牌大米数量的倍多千克．两种品牌大米的进价和售价如表： 甲品牌 乙品牌 进价（元/千克） 售价（元/千克） (1)该商场购进甲、乙两种品牌的大米各多少千克？ (2)乙品牌大米全部售出时，甲品牌大米售出千克，商场为了将这千克大米尽快售出，剩余的大米打折销售，需要打几折，商场销售完这千克大米共获得利润0元? 【答案】(1)购进甲品牌的大米有千克，乙品牌的大米有千克 (2)使这批大米的总利润为元，需要打九五折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设乙品牌的大米数量为千克，则甲品牌的大米数量为千克，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）设要使这批大米的总利润为元，需要打折，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设乙品牌的大米数量为千克，则甲品牌的大米数量为千克． 根据题意可得：.2分 解得： （千克） 答：购进甲品牌的大米有千克，乙品牌的大米有千克 （2）解：设要使这批大米的总利润为元，需要打折． 解得： 答：使这批大米的总利润为元，需要打九五折． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）商店将某种外套每件按成本价提高标价，第一批按照标价售卖，卖出了外套总数量的；此时春节将近，为加快资金周转，商店将剩余外套作为第二批，以六折的优惠价全部卖出，售出所有外套后发现所得总利润为3000元．现要求商店购进这批外套的总成本． (1)借助图表直观分析数量关系，是解决问题的一种重要策略．设该商店购进这批外套的总成本为元，图所示的框图直观地表示了商店从进货，标价到销售获利的过程，请结合题意补全①②处的内容，①__________②__________； (2)列出方程并求商店购进这批外套的总成本． 【答案】(1)①，② (2)该商店购进这批外套的成本为10000元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意用示意图表示即可； （2）设该商店购进这批外套的总成本为元，根据总利润为3000元，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：①第二批为总数量的， ②第二批总售价为：， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：该商店购进这批外套的成本为10000元． 题型4 比赛积分问题 题型特征：涉及比赛得分（如胜场、平场、负场积分），要求计算胜负场数或得分。 关键：明确积分规则。 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）在学完“有理数的运算”后，某中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛．竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分．（二）班代表队最后得分142分，那么（二）班代表队回答对了多少道题？（    ） A．38 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设答对x题，则答错或不答题，根据得分规则列方程求解即可． 【详解】解：设答对x题，则答错或不答题， ∵答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分，最后得分142分， ∴， 化简：， 即， ∴， ∴， 故答对48题． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东日照·月考）有14个队参加的足球循环赛中（每两队之间比一场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数比所负场数多2场，共积分20分，则该队负（    ）场 A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用等知识，设负场数为x，根据总积分20分列出方程，解方程即可求解﹒ 【详解】解：设负场数为x， 由题意得， 解得﹒ 答：该队负3场﹒ 故选：A 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个， 由题意得，， 解得， 故选：A． 4．（25-26七年级上·山东临沂·期末）有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行10场比赛．球队在每场比赛中可能获得“胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在10场比赛结束后结算队伍总分．甲队伍胜10场，总分30分；乙队伍胜6场，平4场，总分22分；丙队伍胜4场，平3场，总分15分；丁队伍胜5场，平2场；戊队伍获胜的场数是负的场数的2倍，且队伍总分是本队平场得分的4倍．根据以上信息，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为__________（填写下面正确结果的序号）． ①甲乙丙丁戊；②甲乙丁丙戊；③甲乙丁戊丙；④甲乙戊丁丙 【答案】③ 【分析】本题考查一元一次方程的应用；通过甲、乙、丙的队伍信息推导出胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，再计算丁和戊的总分，最后比较总分排序即可 【详解】解：由甲队伍胜10场总分30分，得胜一场得分； 由乙队伍胜6场平4场总分22分，得平一场得分； 由丙队伍胜4场平3场总分15分，验证负一场得0分； 丁队伍胜5场平2场，负场为场，总分分； 设戊队伍负场数为，则胜场数为，平场数为，总分，平场得分， 根据总分是平场得分的4倍，得， 解方程得， 故胜场4场，平场4场，负场2场，总分分； 五支队伍总分：甲30分，乙22分，丙15分，丁17分，戊16分，从高到低排序为甲、乙、丁、戊、丙，对应选项③． 故答案为：③． 5．（24-25七年级上·山东临沂·月考）某学校举办一次数学知识竞赛活动，竞赛题共有25道题，规定做对一道题得4分，不做或做错一道题扣1分．李伟最后竞赛成绩是90分，那么李伟一共做对了_______道题． 【答案】23 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据正确的得分错误的得分最后成绩建立方程是关键．设李伟一共做对了x道题，则不做或做错了道，根据正确的得分错误的得分最后成绩建立方程求出其解即可． 【详解】解：设李伟一共做对了x道题，则不做或做错了道，由题意，得： ， 解得：． 答：李伟一共做对了23道题． 故答案为：23． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）某次数学竞赛共25个题，每答对一题得4分，不答或答错一题扣1分．小明得了90分，那么他答对了_____个题． 【答案】23 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小明答对了x道题，不答或答错题，根据小明得了90分，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小明答对了x道题，不答或答错题，根据题意得： ， 解得：， 即他答对了23道题． 故答案为：23． 题型5 方案选择问题 题型特征：涉及多种方案（如购票、旅游、促销等），要求选择最优方案（费用最低或利润最大）。 解题方法： 1. 关键：计算每种方案的费用（或利润），比较后选择； 2. 步骤：设变量（如人数、购买量），分别计算两种方案的费用，列方程求临界点（费用相等的点），再判断。 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 【答案】(1)选择方案二更省钱，理由见解析 (2)二班有36人 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算以及一元一次方程的应用，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答； （2）先设二班有人，再列出方程，然后解方程，即可作答． 【详解】（1）解：选择方案二更省钱，理由如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案二更省钱． （2）解：设二班有人， 根据题意得，， 解得， 答：二班有36人． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）元旦期间，明明与亮亮等学生随家长一同到光雾山赏雪，下面是购买门票时看到票价栏信息后，明明与他爸爸的对话． 票价成人：每张元 学生：按成人票折优惠 团体票：人以上（含人） 按成人票折优惠 爸爸：成人票每张元，学生折优惠，我们一共人，共需要元． 明明：等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以省钱 根据以上信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？请说明理由． 【答案】(1)明明他们一共去了10个成人，5个学生 (2)购买16张团体票更省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用及有理数的混合运算； （1）设成人数量为未知数，结合总人数和总购票费用的等量关系列一元一次方程求解，即可得到成人与学生的人数； （2）分别计算原购票方式的费用和购买16张团体票的费用，比较两者大小，判断出更省钱的购票方式． 【详解】（1）解：设明明他们一共去了个成人，则有个学生 根据题意列方程 化简得 展开得 合并同类项得 解得 则 答：明明他们一共去了10个成人，5个学生 （2）解：团体票每张的价格为（元） 购买16张团体票的总花费为（元） ∵ ∴购买16张团体票更省钱 答：购买16张团体票更省钱 4．（25-26六年级上·山东淄博·期末）春天到了，学校准备组织一次研学旅游，安排10名教师带领学生去某景区研学．已知该景区的门票为每人40元．该景区推出甲、乙两种优惠方案，甲方案：教师门票全部免费，学生门票打8折；乙方案：师生门票都打7折．设参加本次研学活动的学生共有名． (1)请用含的代数式分别表示甲、乙两种方案应付的门票费用； (2)当时，选择哪一种方案更省钱？当时呢？ (3)随着的值的变化，请你探究如何选择哪一种方案更省钱，直接写出你的结论． 【答案】(1)甲：元；乙：元 (2)，选择甲省钱；，选择乙省钱 (3)当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，选择乙方案更省钱 【分析】本题考查列代数式解实际问题，一元一次方程，代数式的值，掌握列代数式解实际问题，一元一次方程，代数式的值是解题关键． （1）根据票价八折×学生数列代数式，根据票价七折×师生人数列代数式即可； （2）将的具体数值分别代入（1）中得到的两个代数式，比较其大小即可得出结论； （3）先求出甲乙两种方案费用之差，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：甲：（元） 乙：（元） （2）解：把代入（元） 把代入（元） ， 选择甲省钱； 把代入（元） 把代入（元）   ， 选择乙省钱； （3）解：当时，解得：， 当时，选择甲方案更省钱， 当时，两种方案费用相同， 当时，选择乙方案更省钱. 5．（25-26七年级上·山东聊城·期末）某学校计划购买一些书包和文具袋，某商场销售书包和文具袋，书包每个定价50元，文具袋每个定价10元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一个书包送一个文具袋；方案二：书包和文具袋都按定价的90%付款．该学校要到该商场购买书包10个，文具袋个（，为整数）． (1)若该学校按方案一购买，需付款_元；若该学校按方案二购买，需付款_元（用含的代数式表示）； (2)当时，哪种方案合适？ (3)当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二价格相同？ 【答案】(1)， (2)方案一合适，理由见解析 (3)购买文具袋的数量为50时，方案一和方案二价格相同 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及一元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列代数式和一元一次方程的解法是解题的关键． （1）方案一：先计算10个书包的费用，再计算超出赠送数量的文具袋费用，两者相加；方案二：分别计算书包和文具袋打9折后的费用，再相加． （2）将分别代入两个方案的代数式，计算出总费用后比较大小． （3）令两个方案的代数式相等，解方程求出的值． 【详解】（1）解：方案一： 方案二： ∴若该学校按方案一购买，需付款元；若该学校按方案二购买，需付款元， 故答案为：，； （2）解：当时，； ， ∵， ∴方案一合适； （3）解：当时，解得， 故当购买文具袋的数量为50时，方案一和方案二价格相同． 6．（25-26七年级上·山东德州·期末）我县某学校需要为实验室增添部分酒精灯和漏斗，根据图中信息，解决下列问题． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)学校计划购买若干个酒精灯和80个漏斗，甲商家表示可以全部打八折出售，乙商家表示酒精灯买一赠一，漏斗原价出售，若学校只能选择其中一家购买，请帮学校设计最省钱的购买方案． 【答案】(1)酒精灯的单价为8元，漏斗的单价为12元 (2)当学校计划买80个酒精灯时甲乙商家花费一样多；当学校计划的酒精灯不足80个时，选择甲商家更省钱；当学校计划的酒精灯超过80个时，选择乙商家更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到等量关系列出方程． （1）设酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元，根据“一个酒精灯与3个漏斗共计44元”列方程求解即可； （2）设学校计划购买个酒精灯，则可列出在甲商家的花费为元，在乙商家的花费：元，然后求出两家费用一样多时对应a的值，即可求解． 【详解】（1）解：设酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元， 根据题意得：， 解得， ， 答：酒精灯的单价为8元，漏斗的单价为12元； （2）解：设学校计划购买个酒精灯， 在甲商家的花费：（元） 在乙商家的花费：（元） 当时，解得． ∴当学校计划买80个酒精灯时甲乙商家花费一样多； 当学校计划的酒精灯不足80个时，选择甲商家更省钱； 当学校计划的酒精灯超过80个时，选择乙商家更省钱． 题型6 几何问题 题型特征：涉及几何图形的周长、面积、体积（如长方形、圆柱、锻造等），要求计算边长、高或体积。 解题方法： 1. 关键：找到“不变量”（如锻造问题中体积不变，周长问题中周长不变）； 2. 步骤：设几何图形的边长（或半径、高）为x，根据不变量列方程。 1．（25-26七年级上·山东聊城·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据两种不同的放置方式，找出关于桌子高度、长方体木块长和宽的等量关系，通过列方程组求解． 【详解】解：设长方体木块的长为，宽为，桌子的高度为． 根据题意，可得方程组：， 将两个方程相加，得： 解得： 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）数轴上A、B两点所对应的有理数分别为1，3，点是线段的中点，则点所对应的有理数为__________ 【答案】 【分析】本题考查了数轴、线段中点、一元一次方程的应用，熟练掌握有理数与数轴的关系是解题关键．设点所对应的有理数为，再根据点是线段的中点建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点所对应的有理数为， 由题意得：， 解得：， 即点所对应的有理数为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示，是的平分线，，求的度数是__________°． 【答案】36 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，几何图形的角度运算，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设，则，根据角平分线定义得出，再结合，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：36． 4．（25-26六年级上·山东威海·期末）如图，小明将一张长为、宽为的长方形纸片四个角分别裁剪掉一个小正方形，然后折叠成一个无盖长方体盒子．若折叠成的无盖长方体盒子的长、宽、高的比为，则长方体盒子的容积为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，核心是利用折叠前后的边长关系结合比例设未知数求解．首先根据长、宽、高的比例设高为，则长为、宽为；再根据“”列出一元一次方程，解出后得到长、宽、高的具体数值，最后用长方体容积公式计算即可． 【详解】解：设无盖长方体盒子的高为，则盒子的长为，宽为． 根据题意，得，解得． 则盒子的长为，宽为，高为． 长方体容积为； 故答案为：． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）李明同学用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图2所示，若为，则图2中的值为________． 【答案】 【分析】本题考查用一元一次方程解决几何问题，关键是分析折叠过程，分析出长方形的长与、之间的数量关系， 【详解】解：由折叠的过程可知，图2中的值为第4步纸片的高， 由前4步的折叠过程可知，， 解得； 故答案为：． 6．（25-26六年级上·山东威海·期末）综合与实践 【问题情境】学习小组的同学要制作图①所示的底面是正方形的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)下列通过折叠能围成该纸盒的有_；（填写序号） A．     B．    C．      D． (2)图②是小明的设计图，把它折成无盖纸盒后，与标有数字“5”的面成相对面标记的数字是_； (3)图③是一张边长为25cm的正方形卡纸，小强准备将其四个角各剪去一个正方形，折成图①所示的无盖纸盒． Ⅰ．在图③中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； Ⅱ．若折成的无盖纸盒的底面正方形的边长为3cm，求这个纸盒的容积．（不考虑卡纸厚度） 【答案】(1)A，C，D； (2)； (3)Ⅰ．示意图见解析；Ⅱ．这个纸盒的容积为 【分析】（1）依据无盖纸盒由1个正方形底面和4个侧面组成的结构，判断各展开图是否满足底面与四个侧面合理相连，且折叠后无重叠、无缺失，进而确定能围成该纸盒的展开图； （2）结合展开图的折叠方式，通过判断面与面之间无公共边和公共顶点的位置关系，找到与标有数字“5”的面相对的面； （3）Ⅰ．根据四角剪去小正方形折成无盖纸盒的要求，在边长为25cm的正方形卡纸上用实线画出剪切线、虚线画出折痕即可； Ⅱ．设剪去的小正方形边长为未知数，利用原正方形卡纸边长与纸盒底面正方形边长的数量关系列一元一次方程，求出小正方形的边长即纸盒的高，再根据长方体容积公式底面积×高计算纸盒的容积． 【详解】（1）解：无盖底面为正方形的纸盒由1个正方形底面和4个侧面组成，展开图需满足底面与四个侧面合理相连： 选项A：四个侧面并排，底面在其中一个侧面的一侧，折叠后可围成无盖纸盒； 选项B：四个侧面无法折叠，无法围成无盖纸盒； 选项C：折叠后可围成无盖纸盒； 选项D：四个侧面交错排列，底面与其中一个侧面相连，折叠后可围成无盖纸盒； ∴能围成该纸盒的是A，C，D． （2）解：观察图②的展开图，折叠成无盖纸盒后，标有数字“5”的面与标有数字“2”的面没有公共边和公共顶点，折叠后成为相对的侧面，故与“5”相对的面是2． （3）Ⅰ．解：示意图如下： Ⅱ．解：设剪去的小正方形的边长为， ∵折成的无盖纸盒底面正方形边长为，原正方形卡纸边长为， ∴，解得， 即纸盒的高为， 所以纸盒的容积为． 答：这个纸盒的容积为． 题型7 和差倍分问题 题型特征：涉及数量的和、差、倍、分关系（如年龄、人数、物品数量等），要求计算未知数量。 解题方法： 1. 关键：抓住“和、差、倍、分”的关键词； 2. 步骤：设较小的数为x，用x表示较大的数，根据等量关系列方程 1．（25-26七年级上·山东德州·期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍还多4人．调入了____ 名工人． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设调入工人数为x名，根据调整后总人数是调入工人数的3倍多4人列方程，再解方程即可． 【详解】解：设调入了x名工人，根据题意得： ， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故调入了6名工人． 故答案为：6． 2．（25-26七年级上·山东青岛·周测）甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲队原有工人数为人，则乙队原有工人数为人，根据“从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人”，可列出关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设甲队原有工人数为人，则乙队原有工人数为人． 根据题意得：． 解得． 所以甲队原有工人数为人． 故答案为：． 3．（25-26六年级上·山东泰安·期末）某校六年级两个班共有78人，如果从一班调3人到二班，那么两班人数正好相等．设一班原有x人，则可列方程：__________． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．一班原有x人，二班原有人，从一班调3人到二班后，一班人数变为人，二班人数变为人，由于两班人数相等，据此列出方程即可． 【详解】解：设一班原有x人，则可列方程 故答案为： 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）学校校委会为运动会啦啦队定制了统一的服装，按照身高依次分为大、中、小三种尺码，其中大码比中码少2套，大码与中码的套数和比小码的少9套．随着队员的身高增长需求，校委会又定制了大码和中码各5套，并根据身高重新进行了服装分配，大码与中码服装全部分配给了队员．此时穿大码的队员身高之和与穿中码的队员身高之和相等，他们的平均身高分别为和，则啦啦队总人数为（    ） A．66人 B．121人 C．131人 D．141人 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．通过设未知数表示各尺码服装套数，利用“大码与中码队员身高之和相等”的等量关系建立一元一次方程，求解出原大码套数后，即可计算啦啦队总人数． 【详解】解：设原来大码服装有套， ∵大码比中码少2套， ∴原来中码服装有套， ∵大码与中码的套数之和比小码少9套， ∴原来小码服装有套， 订制大码、中码各5套后，现有大码服装套，中码服装套， 由题意得， 解得， 啦啦队总人数为现有大码人数+现有中码人数+小码人数，即人． 故选：C． 5．（25-26六年级上·山东济南·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动．济南市公安交警部门提醒市民：  “出门戴头盔，放心平安归”也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，摩托车、电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔40个，乙种头盔60个，共花费5400元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高10元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)在进价不变的条件下，今年9月初该商店购进100个甲头盔， 200个乙头盔，计划以甲头盔每个100元、乙头盔每个90元的售价售出．为了响应济南公安交警部门的号召，决定两种头盔一律八折促销，鼓励大家购买佩戴，在“十一”黄金周之前，火速售完．商家9月份销售两种头盔的总利润为多少元？ 【答案】(1)甲种头盔的单价为60元，乙种头盔的单价为50元 (2)6400元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程和算式是解题的关键． （）设乙种头盔的单价为元，则甲种头盔的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出算式计算即可求解； 【详解】（1）解：设乙种头盔的单价为元，则甲种头盔的单价为元， 根据题意得， ， 解得：， ∴甲头盔单价为元， 答：甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元； （2）解： ， 答：商家9月份两种头盔的总利润为元． 6．（25-26七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款． (1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐步，相当于捐款多少元； (2)某天，小亮和小明二人共同捐款6元，已知小亮的步数比小明的2倍少步，求小亮当天走了多少步？ 【答案】(1)元 (2)步 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的实际应用，关键是通过步数与捐款的数量关系建立等式，解决实际问题． （1）根据两人的对话列算式求解即可． （2）先根据第一问的结果确定每步捐款元，再设小明当天走了步，用含的式子表示小亮的步数；最后根据“两人共同捐款6元”的等量关系，列出一元一次方程，解方程求出后，再计算小亮的步数． 【详解】（1）解：根据题意，（元）， 答：每捐步相当于捐款元． （2）解：设小明当天走了步，则小亮走了步． 根据题意，得， 化简得，解得． 因此小亮的步数为步． 答：小亮当天走了步． 题型8 古代问题 题型特征：涉及古代数学问题（如《孙子算经》《九章算术》中的问题），要求用一元一次方程解决。 解题方法： 1. 关键：理解古代问题的题意，转化为现代数学语言； 2. 步骤：设未知量（如人数、车数），根据题目中的等量关系列方程。 1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．则车的数量为（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】设车的数量为未知数，根据两种乘车方式下总人数不变的等量关系，列一元一次方程求解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设车的数量为辆 ∵两种乘车方式中总人数相等 ∴ 去括号得 移项得 合并同类项得 ∴车的数量为15辆 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）《九章算术》记载“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问：日织几何？”意思是“现在有一位女子擅长织布，她每天织布的数量都是前一天的2倍，5天一共织了5尺布．问：这位女子每天各织多少尺布？”设该女子第一天织布尺，根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程，根据每天织布量是前一天的2倍，列出五天织布量的表达式并求和，根据总织布量5尺列方程 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）《孙子算经》记载：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸．将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？（注：1尺寸）若设绳长为尺，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设绳长为尺，根据绳子长出4尺5寸（即4.5尺），得木材长度为尺；根据绳子对折后差1尺，得木材长度为尺；因木材长度不变，列方程即可． 【详解】解：设绳长为尺，则可列方程为． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿．甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲；设牧童有 x 人，根据题意可列方程  ； 乙：设竹竿有 y 竿，根据题意可列方程． 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲错误，乙正确 C．甲正确，乙错误 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据人数和竹竿数的等量关系，判断甲乙所列方程是否正确即可． 【详解】解：∵设牧童有人时，竹竿总数不变，每人6竿多14竿，竹竿数为；每人8竿少2竿，竹竿数为， ∴正确方程应为，甲列的错误； ∵设竹竿有竿时，牧童人数不变，每人6竿多14竿，人数为；每人8竿少2竿，人数为， ∴可列方程，乙的方程正确。 ∴甲错误，乙正确． 故选B． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 6．（25-26七年级上·山东临沂·期末）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少竿竹竿？ 【答案】竹竿有62竿 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设竹竿有竿，根据人数相等列方程求解即可． 【详解】解：设竹竿有竿，根据题意列方程得： 解得 答：竹竿有62竿． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 一元一次方程的应用扩展 题型1 配套问题 题型特征：涉及两种或多种物品的组合配套（如零件与成品、桌椅、盲盒等），要求根据配套比例确定生产或购买数量。 关键：找到“配套比例”对应的等量关系。 1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某农产品加工厂有32名工人，每人每小时可包装20盒甲礼盒或30盒乙礼盒，2盒甲礼盒和1盒乙礼盒组成一份农产品礼包，若要求包装的甲礼盒与乙礼盒恰好配套，设安排名工人包装甲礼盒，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）用1套积木可拼8个正方体模型或24个长方体模型，2个正方体模型与6个长方体模型组成一个组合造型．现用42套积木拼搭，列出方程，则代表的实际意义是（   ） A．拼正方体模型的积木套数 B．拼长方体模型的积木套数 C．正方体模型的总个数 D．长方体模型的总个数 3．（25-26七年级上·山东临沂·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红：”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有150个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶壶的工人有人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广东江门·月考）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母．1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？设安排生产螺栓的工人有x名，则列出方程（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材用来制作桌子． (1)设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿，可制作桌面___________个，制作桌腿___________个； (2)最多可以制作多少张桌子？ (3)由1人制作这些桌子需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起合作，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 6．（25-26七年级上·山东青岛·月考）七年级一班共有学生50人，其男生人数比女生人数的2倍少16人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型2 工程问题 题型特征：涉及工作任务分配（如工程承包、生产加工等），要求根据工作效率、时间计算工作量或合作时间。 关键：将总工作量设为单位“1”，工作效率＝工作量÷时间。 1．（25-26七年级上·山东日照·月考）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．3小时 C．4小时 D．2小时 2．（25-26七年级上·山东济宁·月考）一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做10天完成．若甲先做5天，然后甲、乙合作完成此项工作还需要_____天 3．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 4．（25-26七年级上·山东聊城·期末）为解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了天，这天共掘进米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进米． (1)求甲工程队每天掘进多少米？ (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天? 5．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产120件，乙工厂每天生产180件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品．在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是9000元，每天支付给乙工厂的费用是12000元，且每天的其它支出费用是2000元．求该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和． 6．（25-26七年级上·山东临沂·月考）某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合做，正好如期完成，求完成这项工程规定的时间． 题型3 销售问题 题型特征：涉及商品买卖（如利润、折扣、进价等），要求计算销售量、利润或折扣率。 关键：掌握利润公式（利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价×100%）。 1．（25-26七年级上·山东聊城·期末）服装反季促销活动中，某商场将一种羽绒服先按成本提高标价，再以八折出售，结果获利24元．若这件羽绒服的成本为元，根据题意，可得到的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）在服装反季促销活动中，某商场将一款羽绒服先按成本提高40%标价，再以标价的八折出售，结果每件获利24元．若这款羽绒服的成本为x元/件，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）乐乐文具店第一次用 2900 元购进两种笔记本，其中种笔记本的本数比种笔记本本数的多20本，两种笔记本的进价和售价如下表： 进价（元/本） 15 20 售价（元/本） 22 25 (1)第一次进货时，两种笔记本各购进多少本？ (2)该文具店第二次又购进两种笔记本，其中A种笔记本的本数不变，B种笔记本的本数是第一次的2倍，A种笔记本按原价销售，B种笔记本打折销售．第二次两种笔记本都销售完后的总利润与第一次的总利润相等，求第二次B种笔记本是按原价打几折销售的？ 4．（25-26七年级上·山东济南·期末）济南宽厚里某文创店为迎接元旦假期，新上架了以趵突泉、大明湖为主题的两种手绘明信片．已知趵突泉主题明信片每套进价15元，大明湖主题明信片每套进价25元．该店花费3900元购进这两种明信片共200套． (1)该文创店分别购进趵突泉主题、大明湖主题明信片各多少套？ (2)若趵突泉主题明信片的标价是进价的2倍，每套大明湖主题明信片按标价出售可获得利润15元．元旦期间，文创店对这两种明信片进行优惠促销：趵突泉主题明信片每套降价5元，大明湖主题明信片打8折出售．将这200套明信片全部卖完后，该文创店最终共获利多少元？ 5．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某商场购进甲、乙两种品牌的大米共千克，其中甲品牌大米的数量比乙品牌大米数量的倍多千克．两种品牌大米的进价和售价如表： 甲品牌 乙品牌 进价（元/千克） 售价（元/千克） (1)该商场购进甲、乙两种品牌的大米各多少千克？ (2)乙品牌大米全部售出时，甲品牌大米售出千克，商场为了将这千克大米尽快售出，剩余的大米打折销售，需要打几折，商场销售完这千克大米共获得利润0元? 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）商店将某种外套每件按成本价提高标价，第一批按照标价售卖，卖出了外套总数量的；此时春节将近，为加快资金周转，商店将剩余外套作为第二批，以六折的优惠价全部卖出，售出所有外套后发现所得总利润为3000元．现要求商店购进这批外套的总成本． (1)借助图表直观分析数量关系，是解决问题的一种重要策略．设该商店购进这批外套的总成本为元，图所示的框图直观地表示了商店从进货，标价到销售获利的过程，请结合题意补全①②处的内容，①__________②__________； (2)列出方程并求商店购进这批外套的总成本． 题型4 比赛积分问题 题型特征：涉及比赛得分（如胜场、平场、负场积分），要求计算胜负场数或得分。 关键：明确积分规则。 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）在学完“有理数的运算”后，某中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛．竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分．（二）班代表队最后得分142分，那么（二）班代表队回答对了多少道题？（    ） A．38 B．42 C．45 D．48 2．（25-26七年级上·山东日照·月考）有14个队参加的足球循环赛中（每两队之间比一场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数比所负场数多2场，共积分20分，则该队负（    ）场 A．3 B．5 C．6 D．7 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 4．（25-26七年级上·山东临沂·期末）有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行10场比赛．球队在每场比赛中可能获得“胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在10场比赛结束后结算队伍总分．甲队伍胜10场，总分30分；乙队伍胜6场，平4场，总分22分；丙队伍胜4场，平3场，总分15分；丁队伍胜5场，平2场；戊队伍获胜的场数是负的场数的2倍，且队伍总分是本队平场得分的4倍．根据以上信息，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为__________（填写下面正确结果的序号）． ①甲乙丙丁戊；②甲乙丁丙戊；③甲乙丁戊丙；④甲乙戊丁丙 5．（24-25七年级上·山东临沂·月考）某学校举办一次数学知识竞赛活动，竞赛题共有25道题，规定做对一道题得4分，不做或做错一道题扣1分．李伟最后竞赛成绩是90分，那么李伟一共做对了_______道题． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）某次数学竞赛共25个题，每答对一题得4分，不答或答错一题扣1分．小明得了90分，那么他答对了_____个题． 题型5 方案选择问题 题型特征：涉及多种方案（如购票、旅游、促销等），要求选择最优方案（费用最低或利润最大）。 解题方法： 1. 关键：计算每种方案的费用（或利润），比较后选择； 2. 步骤：设变量（如人数、购买量），分别计算两种方案的费用，列方程求临界点（费用相等的点），再判断。 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 (1)若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； (2)若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）元旦期间，明明与亮亮等学生随家长一同到光雾山赏雪，下面是购买门票时看到票价栏信息后，明明与他爸爸的对话． 票价成人：每张元 学生：按成人票折优惠 团体票：人以上（含人） 按成人票折优惠 爸爸：成人票每张元，学生折优惠，我们一共人，共需要元． 明明：等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以省钱 根据以上信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？请说明理由． 4．（25-26六年级上·山东淄博·期末）春天到了，学校准备组织一次研学旅游，安排10名教师带领学生去某景区研学．已知该景区的门票为每人40元．该景区推出甲、乙两种优惠方案，甲方案：教师门票全部免费，学生门票打8折；乙方案：师生门票都打7折．设参加本次研学活动的学生共有名． (1)请用含的代数式分别表示甲、乙两种方案应付的门票费用； (2)当时，选择哪一种方案更省钱？当时呢？ (3)随着的值的变化，请你探究如何选择哪一种方案更省钱，直接写出你的结论． 5．（25-26七年级上·山东聊城·期末）某学校计划购买一些书包和文具袋，某商场销售书包和文具袋，书包每个定价50元，文具袋每个定价10元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一个书包送一个文具袋；方案二：书包和文具袋都按定价的90%付款．该学校要到该商场购买书包10个，文具袋个（，为整数）． (1)若该学校按方案一购买，需付款_元；若该学校按方案二购买，需付款_元（用含的代数式表示）； (2)当时，哪种方案合适？ (3)当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二价格相同？ 6．（25-26七年级上·山东德州·期末）我县某学校需要为实验室增添部分酒精灯和漏斗，根据图中信息，解决下列问题． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)学校计划购买若干个酒精灯和80个漏斗，甲商家表示可以全部打八折出售，乙商家表示酒精灯买一赠一，漏斗原价出售，若学校只能选择其中一家购买，请帮学校设计最省钱的购买方案． 题型6 几何问题 题型特征：涉及几何图形的周长、面积、体积（如长方形、圆柱、锻造等），要求计算边长、高或体积。 解题方法： 1. 关键：找到“不变量”（如锻造问题中体积不变，周长问题中周长不变）； 2. 步骤：设几何图形的边长（或半径、高）为x，根据不变量列方程。 1．（25-26七年级上·山东聊城·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）数轴上A、B两点所对应的有理数分别为1，3，点是线段的中点，则点所对应的有理数为__________ 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示，是的平分线，，求的度数是__________°． 4．（25-26六年级上·山东威海·期末）如图，小明将一张长为、宽为的长方形纸片四个角分别裁剪掉一个小正方形，然后折叠成一个无盖长方体盒子．若折叠成的无盖长方体盒子的长、宽、高的比为，则长方体盒子的容积为______． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）李明同学用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图2所示，若为，则图2中的值为________． 6．（25-26六年级上·山东威海·期末）综合与实践 【问题情境】学习小组的同学要制作图①所示的底面是正方形的无盖纸盒． 【操作探究】 (1)下列通过折叠能围成该纸盒的有_；（填写序号） A．     B．    C．      D． (2)图②是小明的设计图，把它折成无盖纸盒后，与标有数字“5”的面成相对面标记的数字是_； (3)图③是一张边长为25cm的正方形卡纸，小强准备将其四个角各剪去一个正方形，折成图①所示的无盖纸盒． Ⅰ．在图③中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； Ⅱ．若折成的无盖纸盒的底面正方形的边长为3cm，求这个纸盒的容积．（不考虑卡纸厚度） 题型7 和差倍分问题 题型特征：涉及数量的和、差、倍、分关系（如年龄、人数、物品数量等），要求计算未知数量。 解题方法： 1. 关键：抓住“和、差、倍、分”的关键词； 2. 步骤：设较小的数为x，用x表示较大的数，根据等量关系列方程 1．（25-26七年级上·山东德州·期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍还多4人．调入了____ 名工人． 2．（25-26七年级上·山东青岛·周测）甲、乙两队工人共50人，从甲队抽调4名工人到乙队后，甲队现有工人数比乙队现有工人数的一半多2人，甲队原有工人数是________人． 3．（25-26六年级上·山东泰安·期末）某校六年级两个班共有78人，如果从一班调3人到二班，那么两班人数正好相等．设一班原有x人，则可列方程：__________． 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）学校校委会为运动会啦啦队定制了统一的服装，按照身高依次分为大、中、小三种尺码，其中大码比中码少2套，大码与中码的套数和比小码的少9套．随着队员的身高增长需求，校委会又定制了大码和中码各5套，并根据身高重新进行了服装分配，大码与中码服装全部分配给了队员．此时穿大码的队员身高之和与穿中码的队员身高之和相等，他们的平均身高分别为和，则啦啦队总人数为（    ） A．66人 B．121人 C．131人 D．141人 5．（25-26六年级上·山东济南·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动．济南市公安交警部门提醒市民：  “出门戴头盔，放心平安归”也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，摩托车、电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔40个，乙种头盔60个，共花费5400元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高10元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)在进价不变的条件下，今年9月初该商店购进100个甲头盔， 200个乙头盔，计划以甲头盔每个100元、乙头盔每个90元的售价售出．为了响应济南公安交警部门的号召，决定两种头盔一律八折促销，鼓励大家购买佩戴，在“十一”黄金周之前，火速售完．商家9月份销售两种头盔的总利润为多少元？ 6．（25-26七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款． (1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐步，相当于捐款多少元； (2)某天，小亮和小明二人共同捐款6元，已知小亮的步数比小明的2倍少步，求小亮当天走了多少步？ 题型8 古代问题 题型特征：涉及古代数学问题（如《孙子算经》《九章算术》中的问题），要求用一元一次方程解决。 解题方法： 1. 关键：理解古代问题的题意，转化为现代数学语言； 2. 步骤：设未知量（如人数、车数），根据题目中的等量关系列方程。 1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．则车的数量为（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）《九章算术》记载“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问：日织几何？”意思是“现在有一位女子擅长织布，她每天织布的数量都是前一天的2倍，5天一共织了5尺布．问：这位女子每天各织多少尺布？”设该女子第一天织布尺，根据题意，可列方程为__________． 3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）《孙子算经》记载：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸．将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？（注：1尺寸）若设绳长为尺，则可列方程为___________． 4．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿．甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲；设牧童有 x 人，根据题意可列方程  ； 乙：设竹竿有 y 竿，根据题意可列方程． 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲错误，乙正确 C．甲正确，乙错误 D．甲、乙都错误 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 6．（25-26七年级上·山东临沂·期末）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少竿竹竿？ / 学科网（北京）股份有限公司 $