专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、极值与最值（12大题型75题）（期中专项训练）高二数学下学期人教A版

专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、 极值与最值 题型1 导数的基本计算 题型7 利用导数求含参可分离函数的单调性（重点） 题型2 求切线方程（常考点） 题型8 利用导数求含参不可分离函数的单调性（难点） 题型3 由切线求参数（常考点） 题型9 二阶导 题型4 公切线问题（难点） 题型10 由函数单调性求参数（重点） 题型5 导函数与原函数的图象关系 题型11 由极值和极值点求参数 题型6 具体函数的单调性、极值最值（重点） 题型12 由最值求参数 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 导数的基本计算（共7小题） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 2．（24-25高二下·福建·期中）若函数满足，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】由导数的定义及极限的运算即可求解. 【详解】∵ ，∴，， 故选：A. 3．（24-25高二下·重庆南岸·期中）某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：．当时，运动员的滑雪瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导得，计算即可求解. 【详解】由题意得，所以， 故选：B. 4．（24-25高二下·辽宁·期中）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义列式计算． 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：C. 5．（24-25高二下·北京顺义·期中）下列函数中，在处的导数值为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单复合函数求导方法，对各选项求导，计算导函数值，判断正误. 【详解】函数，，则，所以A错误. 函数在不可导，所以B错误. 函数，，则，所以C错误. 函数，，则， 故选：D. 6．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确； 对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误； 对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误； 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误. 故选：A. 多选题 7．（24-25高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：BC 题型二 求切线方程（共3小题） 8．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 9．（24-25高二下·云南昭通·期中）函数在处的切线方程为________． 【答案】/． 【分析】令，可得，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】，令，则，，，切线方程为，即． 故答案为：． 10．（24-25高二下·广东清远·期中）已知，则过点且与相切的直线方程为__________. 【答案】或 【分析】方法1：根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程；方法2：设切线方程为，与抛物线方程联立，利用求出可得答案. 【详解】方法1：，设切点为，切线的斜率， 得，，两式联立方程解得或5， 时，， 此时切线方程， 时，， 此时切线方程， 即或. 方法2：由题意切线的斜率存在，设为， 切线方程为， 与抛物线方程联立，，整理得 ， 由得或， 切线方程为或， 即或. 故答案为：或. 题型三 由切线求参数（共5小题） 11．（24-25高二下·安徽·期中）已知曲线在点处的切线的斜率为，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，求出导数，，求出参数的值. 【详解】，则， 由题意知，解得. 故选：D 12．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求导，可得切点坐标为，切线斜率，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，， 当时，则， 即切点坐标为，切线斜率， 由题意可得：，解得. 故选：A. 13．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由函数，求得，根据题意，得到，解得，得到，将其代入切线方程，即可求解的值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为直线与曲线的切点为 可得，解得，可得，即， 将点代入切线，可得，解得. 故选：D 14．（24-25高二下·河南·期中）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，得关于的方程，可求出的值. 【详解】函数的导函数为 ， 函数在处的切线的导数即为切线的斜率为， 且切线与直线平行， 则有 ，可得 . 故选：C 15．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知曲线在点处的切线斜率为，则_______. 【答案】 【分析】对函数求导，根据在处的斜率，即可求得. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 题型四 公切线问题（共9小题） 16．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若函数与函数的图象有公共切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出两个切点，分别表示出切线，利用两切线方程对应系数相等，解出，将看作关于变量的函数，求得函数的值域即可. 【详解】由题意，设公切线与函数相切于点，与函数相切于点； 又，， 则公切线的斜率，且； 故切线方程为，化简得， 也可以表示为，化简得， 所以，则， 又，则，则. 故选：C. 17．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线切函数的图象于点，利用导数的几何意义可得出直线的方程，将直线的方程与函数的解析式联立，由求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】设直线切函数的图象于点，则，切线斜率为， 所以切线的方程为，即， 联立可得， ，整理可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故方程的根为， 因此，直线的方程为，即. 故选：D. 18．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】A 【分析】先设切点坐标为，再求切线方程，再将点代入切线方程中，构造函数，通过其单调性求出，进而求出切线方程，再联立切线方程与，利用即可求得. 【详解】设曲线的切点坐标为， 因，则切线斜率为， 故切线方程为， 将点代入切线方程中得，即， 若，则，故，则， 若，则，，，则，即， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，等号成立时， 故， 故切线方程为， 联立，得， 则，得或. 故选：A 19．（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案. 【详解】设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得，，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程可为． 故选：D． 20．（24-25高二下·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 【答案】C 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【详解】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或0. 故选：C. 21．（2024·四川绵阳·模拟预测）（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】 解：设 由两曲线与分别求导得， 所以， 故在处切线为：，整理得：， 在处切线为，整理得：， 所以，解得， 构造函数，， 令，解得：，故在递增，在递减， 故， ∵正实数，∴的取值范围是， 故选：ABC 22．（24-25高二下·广东深圳·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________． 【答案】2 【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，由题意即可得解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 则由，，即， 故答案为：2. 23．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 【答案】 【分析】由题意可知在存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数求得的值域，结合题干条件可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线， 因为，由同一条切线的斜率相等可得， 由同一条切线的截距相等，可得， 即， 将斜率相等的表达式代入可得， 即方程在上有解， 令，则， 令，得，当时，；当时，， 且当时，；当时，， 所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为， 若方程在上有解，则， 又，所以. 故答案为：. 24．（24-25高二下·广东·期中）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】设公切线为，、分别是与、的切点，应用导数的几何意义求切线方程，根据公切线列方程求得，问题化为直线与曲线有三个不同的交点，再应用导数研究交点求参数范围. 【详解】设公切线为， 是与的切点，由，得， 是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得. 依题意两条直线重合，可得， 两式相除得，所以，代入①得， 由题意此方程有三个不等实根，设，， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 题型五 导函数与原函数的图象关系（共7小题） 25．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点. 【详解】由图知上，上且仅有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：D 26．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知的符号，故可得的解集. 【详解】由图可知当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：A 27．（24-25高二下·北京顺义·期中）函数部分图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数与切线斜率的关系判断即可. 【详解】根据图像知道，在处图像单调递增趋势，切线斜率为正，且处越陡，则斜率越大，则.在处图像单调递减趋势，斜率为负，则. 综上所得. 故选：A. 28．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ） A．在单调递增 B．在处取得最大值 C．在（0，2）单调递增 D．在处取得最大值 【答案】C 【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调性，结合极值与最值的概念，即可求解. 【详解】由导函数的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值. 故选：C. 多选题 29．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    30．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点 C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值 【答案】ABC 【分析】利用导函数的正负来判断原函数的单调性，利用导函数的变号零点来判断原函数的极值点即可． 【详解】 根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确； 根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误； 故选：ABC． 31．（24-25高二下·福建·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数恰有3个极值点 B．函数的单调递增区间为 C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点 【答案】CD 【分析】根据导函数的图象可得导函数的符号，从而可判断原函数的单调区间和极值点. 【详解】根据导数正负得到，上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，故A，B错误，C，D正确. 故选：CD. 题型六 具体函数的单调性、极值最值（共6小题） 32．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)当时，求函数在上的极值； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)的单调递增区间为，，单调递减区间为 【分析】（1）根据函数极值和导函数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间，判断函数极值. （2）根据函数单调性和函数导数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，则， 令，即，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以在上的极小值小值为，无极大值； （2）当时，函数，定义域为， 则， 令，解得或， 当，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为. 33．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)已知函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值. 【答案】(1)和. (2). 【分析】（1）求出函数的导数，解导数小于0的不等式即可. （2）由（1）求出函数在上的单调性，进而求出最值. 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得，由，得或 . 所以函数的单调递减区间是和. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上的最小值为，解得， 而，，， 所以函数在上的最大值为. 34．（24-25高二下·河北·期中）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程. (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)函数的单调减区间为，无增区间 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得函数的图象在点处的切线方程； （2）分析导数的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）已知函数 于是而 所以得即. （2） 令则. 由得 当时，单调递增； 当时，单调递减. 从而.即. 所以函数的单调减区间为，无增区间 35．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数 (1)若函数在区间上单调递增，求的取值范围. (2)若函数在时取得极值 ①求函数的单调区间； ②求函数在区间上的最小值. 【答案】(1). (2)①函数的递增区间是，递减区间是; ②函数在区间上的最小值是 【分析】（1）由题意可得在恒成立，分离参数则，令，求出在的最小值即可得出答案. （2）①先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解. ②由①可知函数单调性，根据单调性求出端点值和极小值，进行比较即可得解. 【详解】（1）函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，则在恒成立， 所以在恒成立， 令 当时，，所以. 故的取值范围为：. （2）①由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. ②由①知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是. 36．（24-25高二下·吉林·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先求得函数的定义域，求导，令和，分别求解可得增区间与减区间； （2）利用（1）的单调性可得函数在的变化情况，进而可求量值. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 令，得，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 又， ， ，易知， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 37．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答. （2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 题型七 利用导数求含参可分离函数的单调性（共6小题） 38．（24-25高二下·云南·期中）已知函数； (1)当时，求证恒成立． (2)讨论的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，判断函数单调性，根据函数单调性判断最值，即可得证； （2）求导，分情况讨论导函数的正负情况，进而可得函数单调性. 【详解】（1）由已知当时，， 则， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）由， 则， 当时，恒成立，令，解得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得，， ①当时，，且当时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，，即恒成立，函数在上单调递增； ③当时，，且当时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 39．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程． (2)求的单调区间． (3)若，使成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)或. 【分析】（1）需要先求出函数在切点处的导数，即切线斜率，再结合切点坐标得到切线方程；（2）通过对函数求导，分类讨论，根据导数的正负来判断；（3）需要分情况讨论函数在给定区间上的最值情况. 【详解】（1）当时，，对求导得. 设切点为，则切线斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为. 因为切线过点，所以将代入切线方程得： ，即 因为恒成立，所以，解得. 则切线斜率，切线方程为. （2）对求导得. 当时，，所以在上单调递减. 当时，令，即，，，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）在有解，即当时，， 当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得. 此时，， 所以或，得或 （与矛盾舍去）. 当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得. 此时， 所以，得. 综合两种情况，可得的取值范围为或. 40．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数值得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再根据，分类，分别讨论导函数正负得出函数的单调性即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 则 则，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， ， ①当时，因为， 所以， 所以函数在上单调递增. ②当时，令， 则 当或时，. 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 41．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【详解】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 42．（24-25高二下·北京西城·期中）已知函数，，其中实数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：若且，都有． 【答案】(1)答案见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性； （2）求出及导数，利用给定的单调性出的范围. （3）设，要证，即证，进而证明函数在上单调递增即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得或；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）依题意，在上单调递增， 则，恒成立， 而当时，，当且仅当时取等号，则， 所以a的取值范围为. （3）不妨设，则，要对，都有， 只需恒成立，即恒成立， 因此不等式恒成立，即函数在上为增函数，由（2）知， 而，则函数在上为增函数成立， 所以当时，对且，都有. 43．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）方法一分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证；方法二利用泰勒展开式，进行放缩证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）法一：因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需，， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以，即当时，有不等式成立. 法二：由于，由（1）可知且所以， 由泰勒展式可得，解得， 所以． 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则． 题型八 利用导数求含参不可分离函数的单调性（共4小题） 44．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）对求导，得，令，再对讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，利用（2）中结果，得，且，从而将问题转化成证明在区间上恒成立，构造函数，利用导数可求得在区间上恒成立，即可求解. 【详解】（1）因为，由题知，所以的值为. （2）易知定义域为，因为， 令，则， 当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增， 当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增， 当，即时，由，得到， ①时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， ②时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在单调递减上. 综上，当时，在区间上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在单调递减上. （3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且， 要证，即证， 又 ， 即证，即证在区间上恒成立， 令，则， 令，则在恒成立，即在区间上单调递增， 又，所以时，， 则在区间上单调递减， 所以，即当时， 又，所以当时，，故命题得证. 45．（24-25高二下·江苏南京·期中）设函数． (1)当时， ①讨论函数的单调性； ②若存在两个极值点，且，求的取值范围； (2)当且时，若相异的满足，求证：． 【答案】(1)①答案见解析；②； (2)证明见解析 【分析】（1）①求导，令，分，，两种情况讨论可求的单调区间；②由韦达定理得，由已知可得，进而可求的取值范围； （2）求导，当，要证结论，需证，结合已知构造新函数，可证明结论，同理可证，结论成立. 【详解】（1）时 ① 设 1°，当时，因为（当且仅当时取等），所以， 即在上单调递增 2°，当时，，令解得， 所以 + 0 - 0 + 极大值 极小值 此时在和单调递增， 在单调递减； ②由①得此时且设，由韦达定理得， 所以 因为，所以，解得， 因此的取值范围是； （2）由得，即， 当时，要证，即证，即证， 若，则恒成立，下证时. 当，，所以在单调递减， 当，，所以在单调递增， 不妨设，则有，现要证，即证， 因为，即证，即证， 设， 则 ， 所以，即得证，所以得证； 当时，要证，即证，即证， 若，则恒成立， 下证：当时有. 当，，所以在单调递减， 当，，所以在单调递增， 不妨设，则有，现要证， 即证， 因为，即证，即证， 设， 则 ， 所以，即得证，所以得证； 综上所述：． 46．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，其中 (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （3）结合（2）中的结论可得，，然后构造函数，，利用导数即可得到，从而得证. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，，，，∴，， ∴， 构造函数，， ， 记，， 令，解得，（舍去）， 当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 又，，∴时，，即， ∴在上单调递减，∴，∴， 综上所述即证：. 47．（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，求得其最大值，即可得证； （2）求得，令，分和，结合导数的符号和二次函数的性质，即可求解； （3）由（2）知，且在上有两个解，得到，化简，转化证明，不妨设，即证，令，得到，设，，求得，结合函数的单调性和，即可得证. 【详解】（1）证明：当时，，其定义域为，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，则， 所以当时，； （2）解：函数的定义域为， 且， 令，， （ⅰ）当时，由（1）得在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，为开口向上的二次函数，对称轴为， 由，且， ①当时，，可得在上恒成立， 所以在上单调递增； ②当时，，令，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 在上单调递减；当时，在上单调递增. （3）证明：因为存在两个极值点， 由（2）知，且方程在上有两个解， 由韦达定理得， 则 ， 要证成立，只需证， 即证，由得， 不妨设，即证，即证， 令，即证， 设，，则， 函数在上递增，，所以成立， 所以. 题型九 二阶导（共5小题） 48．（2024高三·全国·专题练习）设，函数，讨论在的单调性. 【答案】在单调递减，在单调递增. 【分析】利用多次求导的方法来求得在区间上的单调性. 【详解】因为，所以在有定义， ， 设， 则， 当时，， 所以 在单调递增， 而，所以当时时 ， 因此在单调递减，在单调递增. 49．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减. (2). 【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性； （2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 50．（22-23高三·湖南娄底·月考）已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)求证：有唯一极值点，且. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】(1)利用二次求导讨论，即可求解； (2)先对函数求导可得，再对函数求导，根据零点的存在性定理知存在唯一的使得，得出的取值情况，进而得出的单调性，则有唯一的极小值点，且，即可求解. 【详解】（1）若，，所以，， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）的定义域为，， 令，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得， 且当时，，当时，， 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极小值点， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以有唯一极值点，且. 【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数或二阶导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶导数研究新函数的性质即可解决问题. 51．（2024·全国·模拟预测）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，设，得到，求得的单调性，得出，再结合和，两种情况讨论，即可求解； （2）由（1）得到，假设存在满足条件的，进而得到，设，求得，再设，利用导数求得在上单调递增，进而得到答案. 【详解】（1）由 得，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 若，则，，在上单调递增， 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上，当时在上单调递增；当时在（0，a）上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 假设存在满足条件的，则，即 又，所以，所以， 设，则， 因为， 所以在上单调递减，所以， 设，则，所以在上单调递增， 所以，故，与矛盾， 所以不存在，使得的最小值为. 52．（2024·重庆·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)且 【分析】（1）求导后构造函数，再次求导分析单调性，得到，然后再分析的单调性即可； （2）分和时讨论，当时分离参数，构造函数，求导分析单调性即可； （3）求导后将问题转化为有三个变号零点，当时分离参数并构造函数，求导分析单调性和极值即可； 【详解】（1）当时，，， 令，则， 令， 所以当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 所以，即， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数； 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，即恒成立， 当时，显然成立； 当时，分离参数，即恒成立， 令，则， 令，可得， 所以当时，，为增函数；时，，为减函数；当时，，为增函数， 当时，；当时，；当时，；当时，， 画出其大致图像 所以. （3）， ， 因为有三个极值点，所以有三个变号零点， 即有三个变号零点， 容易得到是方程的一个根，不是方程的根， 当时，分离变量，， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 画出其大致图像为 极小值， 因为已经是方程的一个根， 所以要使与有两个交点，即且. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是能够分离参数后求导分析单调性，利用数形结合求解；第三小问的关键是将问题转化为有三个变号零点，再当时，分离变量构造函数分析单调性和极值，再数形结合求解. 题型十 由函数单调性求参数（共8小题） 53．（24-25高二下·山东德州·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在给定区间上为增，可判断导函数在此期间上恒为非负数，将问题转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由可得， 因函数在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立，故得，解得. 故选：B. 54．（24-25高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的导函数，因为有单调递减区间，所以；再根据与，求出的单调递减区间为，最后根据题目给出的条件得出最后答案即可. 【详解】由题可知，因为函数有单调递减区间，所以； 令，则，又，故， 即的单调递减区间是，可得. 故选：A. 55．（24-25高二下·吉林长春·期中）若函数在上单调递增，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导并利用不等式恒成立以及对勾函数性质求得实数的取值范围可得结论. 【详解】根据题意可得函数的定义域为， 又， 若函数在上单调递增，可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以， 根据对勾函数性质可得在上单调递增， 当时，，则， 结合选择可知A、B、C、D符合题意，D不可能. 故选：D 56．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成对恒成立，构造函数，利用导数求得的最小值，即可得解. 【详解】因为在上单调递增， 所以在恒成立，即对恒成立， 令，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 57．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合分类讨论求得，经验证符合题意. 【详解】由求导可得， 当时，，单调递减，无单调递增区间，不符合题意； 当时，因为函数的单调递增区间为，则有，解得. 当时，， 则时，，单调递减；时，；时，，单调递增. 故函数的单调递增区间为，符合题意. 所以. 故选：C. 58．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 59．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 60．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 题型十一 由极值和极值点求参数（共9小题） 61．（24-25高二下·江西·月考）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，根据函数存在极值点，可得，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得， 因为函数存在极值点，则满足， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 62．（24-25高二下·浙江金华·期中）函数有极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由有极值，得有变号零点，即有2个不相等的实数根，列出不等式求解即可． 【详解】函数定义域为，， 因为有极值，所以函数有变号零点，即有2个不相等的实数根， 所以， 故选：B． 63．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，结合题意得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】对函数求导得， 因为函数在上无极值，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 64．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】A 【分析】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出的值，再进行验证即可求解. 【详解】，由题意得， 即，解得或， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 所以时，取得极大值，不符合题意； 所以，. 故选：. 65．（24-25高二下·四川南充·期中）若函数有极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 66．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以， 曲线在点处的切线方程为， （2）当时，， 所以该函数的定义域为， ， 由，解得或， 所以当时，求函数的单调递减区间为， （3）因为， 则， 令，因为函数在区间上只有一个极值点， 则函数在上有一个零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 67．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】(1)利用导数，再构造函数二次求导，即可判断一次导数的正负，确定原函数的单调性； (2)求导数，再分四类进行讨论，即可判断处是否取到极小值点，最终可得参数取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 则， 令，易知函数在上是减函数，且， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减； （2）由已知得：，且， 令，则， 当时，，则在上是减函数，又， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即在时取到极大值，不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递减， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去； 当时，则，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在时取到极小值，也是最小值，所以， 从而有，所以在上单调递增， 又不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递增， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极小值，符合题意，故； 综上所述可得实数m的取值范围是 68．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当有极大值，且极大值小于时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的导函数，利用导数的几何意义及点斜式方程即可求解切线方程； （2）求导，对分类讨论，利用导数求出极大值，由极大值小于时，即可求解的取值范围． 【详解】（1）当时，，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即为； （2），， 当时，，单调递增，无极值，不符合题意； 当时，时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 所以的极大值为， 因为的极大值小于， 所以，即， 设，易知函数在上是增函数，而， 所以由，得，即的取值范围是． 69．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若为函数的极值点，求实数a的值； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）求得，分析和，两种情况讨论，结合的符号，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，得到，求得，再结合函数极值与极值点的定义，即可求解； （3）设，求得，结合零点的存在性定理，可得存在唯一，使，且，得出的单调性，求得，得到，结合，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上可得： 当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：因为是函数的极值点，可得，解得， 若时，，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意，所以. （3）解：设， 则， 因为，因为，， 所以存在唯一，使，且， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以当时，， 又由，所以当时，. 题型十二 由最值求参数（共6小题） 70．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性； （2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出. 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 71．（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）直接代入求导，令即可得到其极值； （2）求导得，再对分和讨论即可； （3）求导得，再对分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，， ，令，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则的极小值为，无极大值. （2），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 则其在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 72．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)极大值，极小值 (2) 【分析】（1）先把代入函数，求出表达式．接着对求导得，令分别大于和小于，解不等式得到函数的单调区间．最后根据单调区间确定极大值和极小值． （2）三种解法核心都是先求出及其导数． 解法一：按取值范围分类讨论，根据正负判断单调性，结合最小值为求． 解法二：同样分和讨论，时发现与最小值为矛盾，从而确定值． 解法三：根据最小值为列出和的不等式组，求出范围，再结合单调性确定值． 【详解】（1）当时，，． 令， 同理：或 所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增． 当时，取得极大值； 当时，取得极小值． （2）解法一：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，，在单调递减，． ③当时，在单调递增，在单调递减． 此时：不合题意． ④当时，，在单调递增，． 综上：的值为． 解法二：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，由于，在上的最小值小于，与题目矛盾，故不成立； 综上：的值为． 解法三：由题：，． 由题：的最小值为，则必有：． 当时，，在单调递增， ． 故：的值为． 73．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在上的最大值是，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导，根据导函数的正负，对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）根据上问中函数的单调性，建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）依题意得函数的定义域为， 则，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则； 故函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2）若，由（1）可知，函数在上单调递增， 此时不存在最大值，与题意不符， 若，则函数在上单调递增，在上单调递减， 若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得，故a的值为． 74．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 【答案】(1)极大值为：，极小值 (2)或. 【分析】（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间； （2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极值，， 当时，，， ，随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 极大值为：，极小值， （2）当时，由，可知， ，， 易知当时，，当时，， 所以，在单调递增，在单调递减， 此时最大值为，不符合题意， 当时，由，得到， 所以， 令，，， 因为在处取得极值，所以， 当时，易得在上恒成立， 在上单调递减； 所以在区间上的最大值为， 令，解得， 当，； 当时，易得在恒成立， 在上单调递增， 所以，解得，符合； 当时， 由得，由得 所以在上单调递减，上单调递增， 所以最大值2可能在或处取得，而， 所以， 解得，与矛盾 当时，可以在恒成立， 所以在单调递减， 所以最大值2可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 75．（24-25高三下·重庆渝中·月考）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为， ， ①当时，， 所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （3）①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. $专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、 极值与最值 题型1 导数的基本计算 题型7 利用导数求含参可分离函数的单调性（重点） 题型2 求切线方程（常考点） 题型8 利用导数求含参不可分离函数的单调性（难点） 题型3 由切线求参数（常考点） 题型9 二阶导 题型4 公切线问题（难点） 题型10 由函数单调性求参数（重点） 题型5 导函数与原函数的图象关系 题型11 由极值和极值点求参数 题型6 具体函数的单调性、极值最值（重点） 题型12 由最值求参数 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 导数的基本计算（共7小题） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 2．（24-25高二下·福建·期中）若函数满足，，则（    ） A． B． C．2 D．8 3．（24-25高二下·重庆南岸·期中）某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：．当时，运动员的滑雪瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁·期中）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二下·北京顺义·期中）下列函数中，在处的导数值为1的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 多选题 7．（24-25高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求切线方程（共3小题） 8．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·云南昭通·期中）函数在处的切线方程为________． 10．（24-25高二下·广东清远·期中）已知，则过点且与相切的直线方程为__________. 题型三 由切线求参数（共5小题） 11．（24-25高二下·安徽·期中）已知曲线在点处的切线的斜率为，则（   ） A． B．1 C． D．2 12．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．1 D．2 13．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 14．（24-25高二下·河南·期中）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A． B．1 C． D． 15．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知曲线在点处的切线斜率为，则_______. 题型四 公切线问题（共9小题） 16．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若函数与函数的图象有公共切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 19．（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 21．（2024·四川绵阳·模拟预测）（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·广东深圳·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________． 23．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 24．（24-25高二下·广东·期中）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是_____. 题型五 导函数与原函数的图象关系（共7小题） 25．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·北京顺义·期中）函数部分图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ） A．在单调递增 B．在处取得最大值 C．在（0，2）单调递增 D．在处取得最大值 多选题 29．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 30．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点 C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值 31．（24-25高二下·福建·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数恰有3个极值点 B．函数的单调递增区间为 C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点 题型六 具体函数的单调性、极值最值（共6小题） 32．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数. (1)当时，求函数在上的极值； (2)当时，求函数的单调区间． 33．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)已知函数在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值. 34．（24-25高二下·河北·期中）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程. (2)求函数的单调区间； 35．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数 (1)若函数在区间上单调递增，求的取值范围. (2)若函数在时取得极值 ①求函数的单调区间； ②求函数在区间上的最小值. 36．（24-25高二下·吉林·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 37．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 题型七 利用导数求含参可分离函数的单调性（共6小题） 38．（24-25高二下·云南·期中）已知函数； (1)当时，求证恒成立． (2)讨论的单调性． 39．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程． (2)求的单调区间． (3)若，使成立，求a的取值范围． 40．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 41．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 42．（24-25高二下·北京西城·期中）已知函数，，其中实数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：若且，都有． 43．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 题型八 利用导数求含参不可分离函数的单调性（共4小题） 44．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 45．（24-25高二下·江苏南京·期中）设函数． (1)当时， ①讨论函数的单调性； ②若存在两个极值点，且，求的取值范围； (2)当且时，若相异的满足，求证：． 46．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，其中 (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数存在两个极值点，，且，证明：． 47．（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，证明：. 题型九 二阶导（共5小题） 48．（2024高三·全国·专题练习）设，函数，讨论在的单调性. 49．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 50．（22-23高三·湖南娄底·月考）已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)求证：有唯一极值点，且. 51．（2024·全国·模拟预测）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 52．（2024·重庆·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 题型十 由函数单调性求参数（共8小题） 53．（24-25高二下·山东德州·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高二下·吉林长春·期中）若函数在上单调递增，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 58．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十一 由极值和极值点求参数（共9小题） 61．（24-25高二下·江西·月考）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高二下·浙江金华·期中）函数有极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 63．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 65．（24-25高二下·四川南充·期中）若函数有极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 66．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 67．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 68．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当有极大值，且极大值小于时，求的取值范围. 69．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若为函数的极值点，求实数a的值； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 题型十二 由最值求参数（共6小题） 70．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 71．（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 72．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值. 73．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在上的最大值是，求的值． 74．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 75．（24-25高三下·重庆渝中·月考）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. $