专题04 导数与恒成立、能成立问题（含不等式证明、洛必达法则、端点效应与必要性探路）（7大题型64题）（期中专项训练）高二数学下学期人教A版

专题04 导数与恒成立、能成立问题 （含不等式证明、洛必达法则、端点效应与必要性探路） 题型1 恒成立问题（重点） 题型5 洛必达法则 题型2 能成立（有解）问题（重点） 题型6 端点效应（假性端点）与必要性探路（难点） 题型3 利用导数证明不等式（重点） 题型7 恒成立问题中的整数最值问题（难点） 题型4 参变分离 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 恒成立问题（共15小题） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可得出答案. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以， 则已知可化为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 因为函数在都是增函数， 所以函数在是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 即，所以，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 因为对任意的恒成立， 所以恒成立， 因为函数在都是减函数， 所以函数在是减函数， 又当时，， 所以由，得， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·四川广元·期中）已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，即对恒成立. 设，则. 令得，令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，. ∵对恒成立， ∴，即实数的取值范围是. 故选：B 3．（24-25高二下·黑龙江·期中）函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定零点的重复条件，令化简表达式，构造函数，通过求解单调性得出最值，即可求出的取值范围. 【详解】由题意， 在中，若恒成立， 设的解为，此时需同时成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， ∴， 在中，， 令，得， 当即时函数单调递减， 当即时函数单调递增， ∴函数在处取最大值，， ∴， 故选：A. 4．（24-25高二下·河北·期中），，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可先对不等式进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性来求解的取值范围. 【详解】因为，不等式，可化为， 又，所以可化为. 当时，不等式恒成立，， 当时， 设，对求导，可得， 这表明在上单调递增. 由，即， 因为在上单调递增， 所以，由已知对恒成立. 设，对求导，可得. 令，即，则，解得. 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为对恒成立，所以，解得. 故选：A. 5．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，分、、、四种情况说明函数的单调性，结合函数的单调性，求出在上的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】由函数，其中， 可得， 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，解得或，令，解得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，恒成立，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或，令，解得 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，可得，所以为单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为. 故选：A 6．（24-25高二下·福建泉州·期中）恒成立，则的取值范围是________.． 【答案】≥ 【分析】将不等式进行变换，构造新函数，求导判断单调性，求出最值，进而求得的范围. 【详解】因为，所以令， 则，即恒成立. 设，则. 当时，；当时，. 所以在单调递减，在上单调递增， 所以， 要使得不等式恒成立，则，解得. 故答案为：. 7．（24-25高二下·江苏南京·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【详解】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 8．（24-25高二下·辽宁·期中）已知恒成立，则正数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意有，即，令即，利用单调性得即，令，即，利用导数研究单调性求最大值即可求解. 【详解】由有， 令，即，由，当时，， 所以在上单调递增，由有， 即，令，所以， 所以，令有，由有，有， 所以单调增区间为，单调减区间为， 所以，所以，即， 故答案为：. 9．（24-25高二下·河北保定·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况分别求解即可； （2）方法一：由已知可得恒成立，令，通过求导判断函数的单调性可得的最小值，即可求解；方法二：令，通过求导判断函数的单调性可得，对变形，将函数分为两部分，分情况讨论即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， ①当时，，在上单调递增， ②当时，由得， 令得；令得； ∴在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）方法一： 当时，恒成立， 即恒成立，令，只需， ， 令，， 当时，，单调递增， ∵，， ∴，使得，即， 令，则， ∵，∴时单调递增， ∴，即，① 时，，，单调递减， 时，，，单调递增， 故在处取得最小值， 结合①可得， ∴，解得； 方法二： 令，则，令得， ∴，单调递减；，，单调递增， ∴，即，①当且仅当时等号成立， ，， 由①知当且仅当时等号成立， 令，，，在上单调递增， ，， ∴，使得， ∴当即时，，∴恒成立， 当时，∵，∴， 则必有， ∴使得不符合题意， 综上可知，. 10．（24-25高二下·河北·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）利用分类讨论，再结合分离参变量，构造函数求出最小值，即可得参数的范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以有，， 即曲线在点处的切线方程为； （2）由恒成立可得：， 当时，，因为，所以此时不等式恒成立， 当时，，则原不等式可变形为：， 构造，则， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 即， 此时 所以综上可得满足原不等式恒成立的的取值范围是：. 11．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得，求出，并检验； （2）原不等式等价于，对恒立，令，利用导数可求该函数的最大值后可得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由题意可得，即，解得， 所以， 故当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，符合题意， 所以，. （2）由，即，则，对任意， 令，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，故， 所以，解得或. 所以的取值范围为. 12．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知函数，. (1)当时，求的最大值与最小值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的最大值与最小值依次为 (2) 【分析】（1）求导得到函数的单调性，即可求解端点以及极值点处的函数值求解， （2）构造，求导，结合分类讨论，根据函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 令，由于，解得； 令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，故的最大值与最小值依次为. （2）若对任意，不等式恒成立， 则，故， 当时，，显然不满足题意，舍去， 当时，记， 则， 由于，令，则； 令，则或； 故在上单调递增，在上单调递减， 由于， 当时，即，此时在上单调递增， 故满足题意， 当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减， 要使恒成立，则且， 解得， 综上可得. 13．（24-25高二下·广东中山·期中）已知. (1)若，求的极值； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)极小值0，无极大值； (2). 【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数求得的单调性，再求极值即可； （2）求导，设新函数，分类讨论函数的正负，从而得出函数的单调性，找出符合题意的的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 时，，即单调递减；时，，即单调递增； 故在处有极小值，无极大值， 所以有极小值0，无极大值. （2）由题意得，，令， 易得在为增函数， ①若，即时， 则时，所以单调递增， 故，符合题意； ②若，即时， ， 故存在，使得， 时，即，单调递减；时，即，单调递增， 故时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 14．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数在处取到极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值； (3)若恒成立 ，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）求，再根据求出值，再检验即可； （2）结合（1）可得在上的单调性，即可求最值； （3）参变分离得出恒成立，通过构造函数研究其最小值即可. 【详解】（1）由题意知，， 因函数在处取到极值，则，解得， 此时， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极值点，故符合题意. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又， 则的最小值为，最大值为. （3）由恒成立可得恒成立， 令，则， 令，则， 故当时 ，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，，且时 ，， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，因此， 即实数的取值范围是. 15．（24-25高二下·云南·期中）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求a、b的值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求，再利用切点在切线上以及即可求出； （2）分和两种情况，分别研究的正负性； （3）参变分离，令，通过导函数研究其单调性，求其最小值即可. 【详解】（1）由，                         由题可知，，                     将切点代入切线方程，得． （2）， 当时，恒成立，此时在在上单调递增；             当时，得；得； 则在上单调递增，在上单调递减，                      综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在单调递增． （3）由得， 令， 则，   则得；得或；          所以在和上单调递减，在上单调递增， 又，时， 所以，故， 故a的取值范围为 题型二 能成立（有解）问题（共11小题） 16．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 17．（24-25高二下·福建福州·月考）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得，通过导数求得，即可得出． 【详解】因为存在实数，使得成立， 所以， ， 令得或或， 列表 极小值 当时，有极小值也是的最小值， 所以． 故． 故选：B． 18．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 19．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为___________. 【答案】. 【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果. 【详解】由不等式有解，可得， 令， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 且，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 20．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，从而转化为任意，有，根据二次函数性质分类求解即可. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以 即任意，使， 令 当时，即时，， 所以， 当时，即时，成立， 当时，即时，， 所以， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 21．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，使成立，从而分离出，构造函数，并利用导数得到取值范围，得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】对任意都存在使成立， 而，所以， 即存在，使， 此时，，所以， 因此将问题转化为：存在，使成立， 设，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以， 由题意，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 22．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【详解】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 23．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标写出切线的点斜式方程，整理成一般式方程即可； （2）利用导函数，分类讨论参数在不同取值范围时，根据导函数值的正负得出函数的单调性； （3）利用导函数分别求出函数的最值，根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可. 【详解】（1）由求导可得，， 又， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意，，，定义域为， 则， 因为，所以， 当时，，故在上单调递减； 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最小值大于等于在的最小值， 由（2）知，时，在上单调递减，在上单调递增， 故， ，， 因为，所以在上恒成立，故在上单调递减， 则， 所以，即， 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，，当时，， 故m的取值范围为. 24．（24-25高二下·河北·期中）已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值； （2）由题意可知，在上有解，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由题，则， 即在上恒成立. 令，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，在上单调递增，且． 则当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增． 所以，所以实数的最大值为． （2）不等式在上有解，即在上有解， 令， 则， 当时，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以在处取得最小值为， 所以，即实数的取值范围为． 25．（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增， 求的取值范围; (3)当时，若，对使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （3）由题意得出，利用导数求解即可. 【详解】（1）因为，定义域为R，， 由可得，由可得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （2），其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. （3）当时，若，对使得，则， 由（1）可知，函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 26．（24-25高二下·北京·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间内单调递增； (3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）先求导数代入切点横坐标可得切线斜率，然后利用点斜式可得切线方程； （2）只需证明在上恒成立，根据和，依次判断即可得出结果； （3）设，，当时满足不等式，时不满足不等式，计算即可得出结果. 【详解】（1）因为，， 所以，又，所以切线方程为； （2），， 当时，，，所以， 当时，，又，所以， 所以，所以在区间内单调递增； （3）由洛必达法则可知，， 由（2）可知，在区间内单调递增，因为恒过点，画出的草图，如图所示， 设，， ，， 要使得在区间内恰有一个整数解. 只需满足 由得；由得. 所以的取值范围是 . 题型三 利用导数证明不等式（共9小题） 27．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，判断函数的单调性. （2）利用（1）的结论，求函数的最小值即可. （3）引入函数，分别证明（）和（）即可. 【详解】（1）因为，. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）得，欲使恒成立，须有，且. 由. 所以的取值范围为：. （3）当时，. 设（），则，因为，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以即在上恒成立. 所以在上恒成立. 故原不等式成立. 28．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合，，解方程即可； （2）根据（1）中所求，利用导数判断函数单调性，求得最小值，即可证明. 【详解】（1）由题可知， 则，解得. 又，所以点在切线上，故. （2）由（1）知，定义域为. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 所以，故. 29．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)1 (2)证明见详解 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而可求最小值； （2）只需证明的最小值大于等于即可，利用导数研究的单调性，进而可求的最小值，通过构造函数证明即可. 【详解】（1）当时，． 若，则，若，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 故． （2）， 当时，若，则，若，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，． 要证，只需证，即证． 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以恒成立，所以． 30．（24-25高二下·广东·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入，对函数求导，求得斜率即可写出直线方程；（2）对函数求导，分，两种情况讨论； （3）由第二问的单调性可知，通过放缩即可证得不等式成立. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2），则． 对于方程． 当，即时，，函数在上单调递减； 当，即时，方程有两不等根， ，且， 所以当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，． （3）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，所以当时，， 即当时，． 因为，所以，所以， 即， 所以， ， ， … ， 累加可得 ， 即， 所以． 31．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若函数在处有极值，求函数的单调区间 (3)当时，求证. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）利用求出，可得，可得答案； （3）法一：令，利用导数求出，得，令，利用导数，可得答案；法二：利用函数在上单调递增，得在上有唯一实根，且，由得，由可得答案. 【详解】（1）当时，， 则， 故， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 因为函数在处有极值， 所以，即，解得， 此时， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； （3）法一：令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号，.. 故， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 当时，，所以； 法二：当时，， 故只需证明当时，. 当时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根， 且. 当时，；当时，， 从而当时，取得最小值. 由得， 故. 综上，当时，. 32．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若为函数的极值点，求实数a的值； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）求得，分析和，两种情况讨论，结合的符号，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，得到，求得，再结合函数极值与极值点的定义，即可求解； （3）设，求得，结合零点的存在性定理，可得存在唯一，使，且，得出的单调性，求得，得到，结合，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上可得： 当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：因为是函数的极值点，可得，解得， 若时，，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意，所以. （3）解：设， 则， 因为，因为，， 所以存在唯一，使，且， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以当时，， 又由，所以当时，. 33．（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，． (1)若，判断的单调性； (2)若，求a的值； (3)已知，．若，证明：． 【答案】(1)在上单调递增，在上递减 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，即，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）由题意有：，因为， 令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； （3）令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 34．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知． (1)试判断的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，验证能否恒成立，由此可得出实数的取值范围； （3）由（2）得当时，故只需证明，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出其函数值的符号变化，由此可证得结论成立. 【详解】（1）因为，该函数的定义域为，. 当时，，则在上是增函数； 当时，令，得， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，在上是增函数； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）即恒成立，则， 且函数在上为增函数，故， 当时，，则在是增函数，成立，合乎题意； 当时，，由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以不合题意． 所以． （3）由（2）得当时，， 所以要证，只要，即证：， 设，，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在是增函数， 因为，，所以存在，使． 故时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数， 因为，， 所以时，，故命题成立． 35．（24-25高二下·北京朝阳·期中）已知函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)若有极大值 （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1)； (2)和； (3)（i）答案见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）当时，求得，判断导函数的正负，进而求得其单调性，再求极小值即可； （2）时，可得，也即的两根的大小是确定的，进而确定在不同区间，导函数函数值的正负，从而求得函数的单调增区间； （3）（i）对参数进行分类讨论，在时，分别求得其单调性，进而判断是否满足题意，从而求得参数范围； （i）根据（i）中的求解的参数范围，在时，求得极大值，直接判断其与的大小即可； 当时，求得,再构造函数，判断其单调性，求得最小值，即可判断其与的大小关系，进而实现证明. 【详解】（1）由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值等于. （2）因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增； 由，即， 解得，所以在单调递减； 故的单调增区间为和. （3）（i）当时，由（2）知，在和单调递增，在单调递减， 此时有极大值为； 当时，恒成立，故在上单调递增，没有极大值； 当时，，令，解得或， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 此时，有极大值； 当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，没有极大值； 综上所述，若有极大值，则； （ii）证明：当时，由上述分析可知，； 当时，； 令，所以， 在上，在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故，综上所述，. 题型四 参变分离（共5小题） 36．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)若既是曲线的切线，也是的切线，求实数a和m的值 (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，先由的切线可得，则可得在上的切点为，所以，则可解； （2）根据题意可得恒成立，设，利用导数得函数单调性，则恒成立，令，再利用导数求最值. 【详解】（1）因为，则， 所以在上的切点为，即； 又因为，则， 所以在上的切点为； 所以，则. （2）因为， 即. 设，，故单调递增. 所以恒成立. 令，，则. 当，，单增； 当，，单减； 所以. 37．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数，曲线在处的切线经过点． (1)求； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线斜率，又因为切线经过点和点，结合直线过两点的斜率公式，建立等式求解即可； （2）当时，；当时，参变分离得，设，利用导数求出函数的最大值，即可得答案. 【详解】（1）因为，， 切线斜率， 又因为切线经过点 所以， 所以， 解得； （2）由题意得对任意的成立． 当时，； 当时，原不等式等价于， 设， 则， 令， 则 令， 则， 所以，即在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减， 所以， 即， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以 所以， 故的取值范围是. 38．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数 (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，分类讨论的范围，即可求解； （2）将问题转化为，令，结合导数求出的单调性以及最值即可. 【详解】（1）由题可得：，可知恒成立， 当时，，函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，令，解得：， 要使函数在上不单调，则， 解得：或； 所以在上不单调，则的取值范围为 （2）当时，， 对任意的， 恒成立，即恒成立， 由于，则恒成立，即，所以 令，则， 所以在上单调递增，则，所以， 则当时，若对任意的， 恒成立，则实数a的取值范围 39．（24-25高二下·广东佛山·期末）已知函数（，）. (1)当时，求证：； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）构造函数结合函数单调性得出函数最小值证明求解； （2）求出导函数，再分，，，四种情况，得到函数的单调性； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最大值，从而得到答案. 【详解】（1）当时，设， 所以单调递增， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以； （2）函数的定义域为，求导得， 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； （3）当时，符合题意； 当时，，则等价于恒成立， 令， ， 由（1）知，所以，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为恒成立，所以， 所以， 实数的取值范围为. 40．（2025·四川绵阳·一模）已知函数在处取得极值． (1)求； (2)函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用极值的定义结合导数，即可列方程组求值； （2）利用对称思想求出，再结合不等式存在性问题，通过分离参变量可求得参数范围. 【详解】（1），由题意得， 所以，所以，经检验，符合题意，故； （2）由（1）得， 由函数图象与函数图象关于点对称， 则把点代入即可得， 即， 整理得： 所以， 因为，所以， ①当时，，不成立，舍去． ②当时，，令 所以 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，因为存在使成立， 所以，所以，综上所述，； 题型五 洛必达法则（共5小题） 41．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 42．恒成立,求的取值范围 【答案】 【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值. 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 43．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 44．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 45．已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 题型六 端点效应（假性端点）与必要性探路（共12小题） 46．已知，曲线恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】3 【分析】由题意，先根据推出，再利用导数证明当时，即可. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 满足条件， ∴最小值为3． 故答案为：. 47．已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】采用分类讨论，说明时，满足题意，再讨论时，利用导数判断函数单调性说明符合题意；时，结合函数单调性说明在上不恒成立，综合即可得答案. 【详解】由题意，当时，，，而，则， ∴，满足题意； 注意到，，， 令， 当时，，∴在上单调递增， 结合知，从而在上单调递增， 又，∴恒成立，满足题意； 当时，，∴在上单调递增， 结合，，可得在上有唯一的零点， 且当时，，∴在上单调递减， 又，∴当时，，从而不能恒成立，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为． 48．已知函数 （1）求的单调区间； （2）过点存在几条直线与曲线相切，并说明理由； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，，单调减区间为；（2）三条切线，理由见解析；（3） 【解析】（1）对求导，分别令，，得到的单调区间； （2）设切点坐标为，利用导数得切线斜率，表示出切线方程，代入过点，得到的方程，解出的值，从而得到结论； （3）设，分为，，进行讨论，易得，时的情况，当时，易得时成立，时，令，利用导数，得到，从而得到的范围. 【详解】（1）， 得，或； 得，； 所以的单调增区间为，；单调减区间为； （2）过点可做的三条切线；理由如下： 设切点坐标为， 所以切线斜率 所以过切点的切线方程为：， 切线过点，代入得， 化简得， 方程有三个解，，，，即三个切点横坐标， 所以过点可做的三条切线. （3）设， ①时，因为，，所以显然对任意恒成立； ②时，若，则不成立， 所以不合题意. ③时，时，显然成立， 只需考虑时情况； 转化为对任意恒成立 令（）， 则， ， 当时，，单调减； 当时，，单调增； 所以， 所以. 综上所述，的取值范围. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数的几何意义求函数的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题. 49．已知实数，设函数． (1)求函数的单调区间： (2)当时，若对任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间是，单调递减区间是 (2) 【分析】（1）求导，根据导函数的正负得到的单调性； （2）令，根据得到，然后分和两种情况来验证对任意的都成立． 【详解】（1）， 令，解得时，令，解得， 所以的单调增区间是，单调递减区间是． （2）令，则对任意的都成立． 由可得． 下面我们证明此时对任意的都成立． 令，令得． 故当时，， 此时， 令，则， 所以在上单调递增，则，则， 当时，，此时， 令，则，． 则在单调递增，而，， 即在有零点，， 则时，时， 则在上递减，在递增， 而． 需证明，只需证明，而，则，． 综上所述，的取值范围是． 50．（18-19高三上·河北邯郸·月考）已知函数． （1）探究函数的单调性； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 见解析(2) 【详解】试题分析：（1）求导得，然后分类、两种情况即可得出函数的单调性（2）构造，求导得，构造，分类讨论时、时的两种情况得出的取值范围 解析：（1）依题意，， 若，函数在上单调递增； 若，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增； （2）依题意，，即在上恒成立， 令，则， 令，则是上的增函数，即， ①当时，，所以，因此是上的增函数， 则，因此时，成立， ②当时，，得， 求得，（由于，所以舍去） 当时，，则在上递减， 当时，，则在上递增， 所以当时，， 因此时，不可能恒成立， 综合上述，实数的取值范围是． 点睛：本题考查了导数的单调性与恒成立问题，当遇到参量时需要进行分类讨论，在有参量求恒成立问题时有两种方法：分离含参量与不分离含参量，本题没有分类参量，带着参量一起求导，然后分类讨论 51．设． (1)当时，求在上的最大值： (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数在上的最大值. （2）对给定不等式作恒等变形，由可得，令，再利用导数证明恒成立即可. 【详解】（1）当时，，求导得，显然函数在上递增， 而，则存在，使得， 当时，，函数递减，当时，，递增， 又，所以. （2）不等式对任意恒成立，即 对任意恒成立，当时，有， 令，即有，原不等式等价于， 令，当时，，当时，， 于是函数在上递增，在上递减， ①当时，恒成立，则恒成立， ②当时，在上递增，， 于是只需成立，即成立， 令， 求导得，，当时，， 则， 而，则， 因此在上单调递减，恒成立，即成立， 当时，令，求导得，函数在上递增， 有，即有， ， 因此在上单调递增，恒成立，即成立 从而当时，对任意恒成立， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 53已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式， 令， 则， 所以当时，单调递减； 当单调递增； 当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 54已知函数. （1）证明：存在唯一零点； （2）若时，，求的取值范围. 【答案】（1）证明解析（2） 【解析】（1）求出函数的导数，由，得，当时，，又，且当时， 单调递增，只需说明函数在部分存在大于零的函数值，即可说明函数存在唯一零点. （2）设，再设，利用导数求出的最小值，可知最小值大于零，由，可得，再验证时恒成立即可. 【详解】（1）， 由，得 当时， 当时，，单调递增 取满足且， 则 故存在唯一零点 （2）设 设， 则，令则 且当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 易得 由题知，，可得 当时， 设， （仅当取等号） 则在递增， 所以， 可得 因此的范围是 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数证明不等式恒成立，属于难题. 55．（19-20高三下·西藏拉萨·月考）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【解析】（1）先对函数求导，然后说明每个区间导数的符号，进而求出函数的单调区间； （2）构造函数，由在上恒成立，得在上恒成立，对求导，研究其单调性，求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， ∵恒成立，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）令， ∵在上恒成立，∴当时，恒成立， ， 令，则在上单调递增，且， ∴当时，，，即单调递减， 当时，，，即单调递增， ∴，，故实数的取值范围为. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立求参问题，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型. 56已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对函数进行求导得到，再根据导数的几何意义，即可得到答案； （2）先根据得到，缩小的取值范围，再利用放缩法证明在恒成立，即可得到答案； 【详解】（1）当时，，， ， 切点为，斜率为， 曲线在点处的切线方程：. （2）恒成立,, , 令，， 在恒成立， 在单调递增，且， ，， 在单调递减，在单调递增， ，恒成立， 实数的取值范围. 57设函数. （I）讨论函数的单调性； （II）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增. （II）. 【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，. 试题解析： 解（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex 令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+ 当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)<0 所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增 (2) f (x)=(1+x)（1-x）ex 当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1， 故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1 当0＜x＜1，，，取 则 当 综上，a的取值范围[1，+∞） 点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 题型七 恒成立问题中的整数最值问题（共7小题） 58．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）根据以及即可求得； （2）研究的单调性，得出即可； （3）利用参变分离构造函数，只需求其最小值即可. 【详解】（1）由得，， 因函数的图象在处的切线为，则， 因切点为，则，则， 故 （2） 则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因此，对任意成立． （3）， 因对任意的恒成立，则， 即对任意的恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则，即，故最大整数． 59．（24-25高二下·山西长治·期中）设函数． (1)求的单调区间； (2)若，t为整数，且当时，不等式恒成立，求t的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2)4 【分析】（1）求出导数，再按分类求出单调区间. （2）把代入，等价变形不等式并构造函数。利用导数探讨其最小值取值情况即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）当时，， 当时，不等式， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， ，则存在，使得， 当时，，即；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 依题意，，而是整数，因此， 所以t的最大值为4. 60．（24-25高二下·北京通州·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对任意，都有成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)2 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）利用导数，讨论，，求出的单调区间作答. （3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最大值情况作答. 【详解】（1）当时，，所以， ，所以在处切线斜率， 所以切线方程为. （2）函数定义域为，， 当时，单调递减区间为； 当时，时，单调递减； 当时，单调递增； 综上，当时，单调递减区间为；无增区间， 当时，单调递减区间为，单调递增区间为. （3）当时，恒成立， 即恒成立. 令， ， 由（2）知，在上单调递增， ，故存在唯一的使得，即. 故当时单调递减， 故当时单调递增， 为极小值且为最小值， ， ， 故整数的最大值为2. 61．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解函数的单调性， （2）根据极值点可将问题转化为有两个不相等的正数根，，即可利用二次方程根的分布求解（Ⅰ），构造函数，求导，结合零点存在性定理即可求解（Ⅱ）. 【详解】（1）的定义域为，，                        当时，恒成立，故在上单调递增, ②当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增.              综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（Ⅰ），                     ，                   令，要使存在两个极值点，， 则方程有两个不相等的正数根，， 所以  ， 解得， 所以的取值范围为.                   （Ⅱ）由于在上恒成立， 在上恒成立，                   令，则在上恒成立， 则， 当时，， 令，则，在上单调递增，   又，， 存在使得，即，，         故当时，，此时， 当时，，此时， 故函数在上单调递增，在上单调递减，         从而， 令，，则， 在上单调递增，， 又为整数，故，即整数的最小值为. 62．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为. （2）由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是. 63．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. (3)4. 【分析】（1）当时，，求出其导函数，通过判断导函数的正负区间，得到函数的单调性，进而可求得其最小值； （2）将函数代入，得的解析式，求出其导函数，通过讨论得范围，求出函数的单调区间，进而可得其极值； （3）代入得值，将问题转化为对任意恒成立，令，即恒成立，通过求导，判断其单调性，求得得最小值即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即， 所以当时，的最小值为，此时. （2）由题意得，，其定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 所以不存在极值； ②当时，令，解得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，存在极大值，无极小值； 综上所述，当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. （3）由题意知，当时，不等式在上恒成立， 即，等价于在上恒成立， 设，即 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以，使，即， 当，，即， 当，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 当，存在最小值，即， 由，得， ， 所以， 又，所以的最大值为4. 64．（24-25高二下·福建·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)答案见解析. (2)整数的最大值为2. 【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断函数单调性； （2）参变分离可得，构建，只需证，利用导数求其最值，并结合零点代换分析求解. 【详解】（1） 当时，，单调递减； 当时，，此时若，则，单调递减； 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 当时，，此时若，则，单调递减； 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，即， 化简得， 因为，所以，即. 下证在上恒成立， 令，只需证. ，令，则， 因为，所以，所以单调递增， ，， 所以存在，使得， 即当，，，单调递减； 当，，，单调递增； 所以 ， 因为，所以，所以， 所以整数的最大值为2. 【点睛】参变分离：含参不等式问题一般采用参变分离解决，具体步骤是先将含参不等式等价转化为或的形式，然后求的最大值或最小值，得出的取值范围. $专题04 导数与恒成立、能成立问题 （含不等式证明、洛必达法则、端点效应与必要性探路） 题型1 恒成立问题（重点） 题型5 洛必达法则 题型2 能成立（有解）问题（重点） 题型6 端点效应（假性端点）与必要性探路（难点） 题型3 利用导数证明不等式（重点） 题型7 恒成立问题中的整数最值问题（难点） 题型4 参变分离 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 恒成立问题（共15小题） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川广元·期中）已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江·期中）函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北·期中），，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建泉州·期中）恒成立，则的取值范围是________.． 7．（24-25高二下·江苏南京·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为________. 8．（24-25高二下·辽宁·期中）已知恒成立，则正数的取值范围为__________. 9．（24-25高二下·河北保定·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，恒成立，求的取值范围． 10．（24-25高二下·河北·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 11．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 12．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知函数，. (1)当时，求的最大值与最小值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 13．（24-25高二下·广东中山·期中）已知. (1)若，求的极值； (2)当时，，求的取值范围. 14．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数在处取到极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值； (3)若恒成立 ，求实数的取值范围. 15．（24-25高二下·云南·期中）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求a、b的值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求a的取值范围． 题型二 能成立（有解）问题（共11小题） 16．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·福建福州·月考）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为___________. 20．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是__________. 21．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______. 22．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 23．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 24．（24-25高二下·河北·期中）已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 25．（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增， 求的取值范围; (3)当时，若，对使得，求的取值范围. 26．（24-25高二下·北京·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间内单调递增； (3)若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围． 题型三 利用导数证明不等式（共9小题） 27．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)当时，证明：． 28．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：. 29．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)当时，证明：. 30．（24-25高二下·广东·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求证：． 31．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若函数在处有极值，求函数的单调区间 (3)当时，求证. 32．（24-25高二下·北京·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若为函数的极值点，求实数a的值； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 33．（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，． (1)若，判断的单调性； (2)若，求a的值； (3)已知，．若，证明：． 34．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知． (1)试判断的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：． 35．（24-25高二下·北京朝阳·期中）已知函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)若有极大值 （i）求的取值范围； （ii）求证：. 题型四 参变分离（共5小题） 36．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)若既是曲线的切线，也是的切线，求实数a和m的值 (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 37．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数，曲线在处的切线经过点． (1)求； (2)当时，，求的取值范围． 38．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数 (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 39．（24-25高二下·广东佛山·期末）已知函数（，）. (1)当时，求证：； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 40．（2025·四川绵阳·一模）已知函数在处取得极值． (1)求； (2)函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围； 题型五 洛必达法则（共5小题） 41．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 42．恒成立,求的取值范围 43．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 44．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 45．已知函数．当时，求的取值范围． 题型六 端点效应（假性端点）与必要性探路（共12小题） 46．已知，曲线恒成立，则实数的最小值为______． 47．已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 48．已知函数 （1）求的单调区间； （2）过点存在几条直线与曲线相切，并说明理由； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 49．已知实数，设函数． (1)求函数的单调区间： (2)当时，若对任意的，均有，求的取值范围． 50．（18-19高三上·河北邯郸·月考）已知函数． （1）探究函数的单调性； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 51．设． (1)当时，求在上的最大值： (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 53已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 54已知函数. （1）证明：存在唯一零点； （2）若时，，求的取值范围. 55．（19-20高三下·西藏拉萨·月考）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围. 56已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 57设函数. （I）讨论函数的单调性； （II）当时，，求实数的取值范围. 题型七 恒成立问题中的整数最值问题（共7小题） 58．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 59．（24-25高二下·山西长治·期中）设函数． (1)求的单调区间； (2)若，t为整数，且当时，不等式恒成立，求t的最大值． 60．（24-25高二下·北京通州·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对任意，都有成立，求整数的最大值. 61．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 62．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 63．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 64．（24-25高二下·福建·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，在上恒成立，求整数的最大值． $