8.5一元二次方程的根与系数的关系 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《8.5一元二次方程的根与系数的关系》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知、是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．下列方程中两实数根之和为2的是（    ）． A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的两个根分别是3，，则p，q的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．8 D．12 5．若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．已知实数满足，则的值为（    ） A．2 B．2或7 C．7 D．7或9 7．中，，、的长是方程的两根，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．规定：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： 方程是倍根方程； 若关于x的方程是倍根方程，则； 若点在函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为________． 10．一元二次方程与的所有实数根的和等于_______． 11．若的两根分别为、，则______． 12．如果关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，那么的值为______． 13．、是方程的两个根，则________． 14．若关于的方程与只有一个公共实数根，则方程的两根之和减去两根之积，结果为______． 15．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为____________． 16．被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 三、解答题（满分72分） 17．已知，是关于的一元二次方程的两个不同的解，其中，请求出和的值． 18．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．已知关于x的一元二次方程 (1)证明：对于任意实数m，方程总有实数根； (2)若方程两根异号，求m的取值范围． 20．如果一元二次方程的两根之差的绝对值为2，则称该方程为“差2方程”，若方程是“差2方程”，求m的值． 21．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为负整数时，求的值． 22．已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 23．综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 24．阅读材料：已知实数、满足、，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料得，， ， 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．直接利用一元二次方程根与系数的关系（即两根之和公式）计算即可． 【详解】解：∵方程 中，，， ∴， 故选： B． 2．C 【分析】本题考查了根据一元二次方程根与系数的关系，判别式．一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，且方程需有实数根，即判别式，分别计算各选项的两根之和及判别式，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，不符合题意； B、∵，∴，不符合题意； C、∵，∴ ，且，符合题意； D、∵，∴，，无实数根，不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，． 对于方程，两根之和为，两根之积为．已知两根为3和，直接计算即可求解． 【详解】解：∵方程 的两根分别为3和， ∴两根之和：，即， ∴； 两根之积：， 即． 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，运用根与系数的关系得到的值是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到的值，再对变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故选B． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义． 利用根与系数的关系求出的值，并根据方程解的定义得到的值，然后整体代入求解． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，且， 即． ∴． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 根据题意可知，实数是一元二次方程的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系及方程相等的两实数根解题即可． 【详解】解：依题意，实数是一元二次方程的实数根， 若，则， ； 若，则； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． 在中，，为斜边，根据勾股定理，，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求和，进而计算，进而可知的长． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．C 【分析】本题依据“倍根方程”主要考查根与系数的关系，结合题意按照要求验证每个结论是否符合“倍根方程”的定义，即一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，逐项判断即可． 【详解】解：结论①∶∵ 方程， 因式分解得， ∴根为和，且， 则是倍根方程，正确 结论②∶ ∵方程是倍根方程， 设根为和，则，解得，， ∴， ，解得， 若，则； 若，则， ∴，但结论仅说，∴错误 结论③∶∵ 点在上， ∴， 则方程变为， ∵， ∴ 假设该方程是倍根方程，设根为和，则，解得， ∵，得，无实数解， ∴不是倍根方程，错误 综上，仅结论①正确． 故选：C． 9． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求解另一个根即可． 【详解】解：设另一根为，则根据根与系数的关系，有， 解得 故答案为：1． 10．3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． 先判断方程是否有实数根，再利用一元二次方程根与系数的关系，分别计算两个方程的两根之和，再求和即可． 【详解】解：对于方程，，方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 对于方程，，方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 因此，所有实数根的和为． 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，两实数根互为相反数则根之和为零，由此得出k的可能值，再通过判别式检验确保有实数根． 【详解】解：设方程的两根为和， 由根与系数的关系，得， ∵关于的一元二次方程的两实数根互为相反数， ∴， 解得， ∵， ∴当时，，此时方程无解； 当时，，此时方程有两实数根； ∴ 故答案为：． 13．175 【分析】本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程，又由韦达定理知，据此来求代数式的值，并作出选择即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，，， 即，． ∴． 故答案为：175． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，设公共实数根为，则满足方程和，则，，得：，化简得，所以或，然后分或两种情况分析，最后由根与系数的关系进行计算即可，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：设公共实数根为，则满足方程和， ∴，， 得：， 化简得： ， ∴或， 当时，代入得， 解得； 当时，两方程均为，有两个公共根，不符合题意， 故， ∴方程，即为， 根据根与系数的关系，两根之和为，两根之积为， ∴两根之和减去两根之积为， 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积公式，通过根与系数的关系求得两根的乘积，再代入菱形面积公式计算． 【详解】解：设一元二次方程 的两个根为 ， 根据根与系数的关系：， 菱形的面积等于对角线乘积的一半，即， 故答案为：8． 16． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键．根据为一元二次方程的根得出，利用根与系数的关系得到两根之和为，将化简后，整体代入，求值即可． 【详解】解：∵和是关于的方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为： 17．， 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 由一元二次方程根与系数的关系得到，，，再代入即可求解． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得到，， ∵， ∴， ∴． 18．(1)-4 (2)23 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系． （1）先求出， ，再展开，再代入求值即可； （2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可； 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，解题的关键掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）根据根与系数的关系得出，然后结合已知得出关于m的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∴对于任意实数m，方程总有实数根； （2）解：设方程两根为，， 由根与系数的关系得， ∵方程两根异号， ∴， ∴． 20．0 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．设方程的两个根为，，则，，从而根据完全平方公式得到，再根据“差2方程”的定义得到，从而，因此，求解即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 则，， ∴， ∵方程是“差2方程”， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟知以下知识点是解本题的关键：一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；若分别是一元二次方程的两个根，则，． （1）根据题意可知且，再进一步求解即可； （2）先求出的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． （2）解：∵且，为负整数， ∴， ∴方程化为， ∴， ∴，， ∴． 22．(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 23．(1)； (2)3或 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，理解题意，是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）解关于的方程得出，，根据，得出或，求出结果即可； （3）将变形为，得出、可看作方程的两个根，从而得出，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵的两个根为、，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵关于的方程可变形为：， ∴，， 解得：，， ∵， ∴或， 解得：或． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴、可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ， ． 24．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据题中给出的方法以及根与系数的关系即可求出答案； （2）设，根据题意可知、是方程的两个实数根，利用根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：由题知、是方程的两个不相等的实数根， ，， ； （2）解：设，则， 将代入，化简得：， 、是方程的两个实数根， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $