8.4用因式分解法解一元二次方程同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

8.4 用因式分解法解一元二次方程 同步训练 一、单选题 1．用因式分解法解方程，正确的是（   ） A．，， B．， C．，， D．， 2．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 3．下列数中，能使等式成立的的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　） A． B．3 C． D．4 5．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 6．等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 7．我们定义：．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题 8．方程的解是______． 9．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是_______． 10．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 11．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 12．若关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根为______． 三、解答题 13．解方程 (1) (2) 14．嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚． (1)她把“□”猜成4，请你解方程； (2)她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是．”通过计算说明原题中“□”是几； (3)若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和． 15．如图是一个运算框架图，，，表示某一实数，运算过程是，，． (1)若表示的数为，列出方程并解该方程； (2)若表示的数为，请说明该方程根的情况． 16．习题课上，数学老师展示了两道方程及其错误的解答过程： 解：（1） ① 或② 或③ 解：（2） ① ．② 此方程无实数根．③ (1)分别写出两道方程的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据因式分解法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先将方程整理为一元二次方程一般形式，然后通过因式分解法求解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 或， 解得或， 选项中仅符合等式要求， 故选：． 4．B 【分析】利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程得， 解得， ∴原方程为， 将方程因式分解得， 解得，， ∴方程的另一个根是3． 5．D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 6．A 【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案． 【详解】解：解方程得，或， ①若腰长为2，底边长为4， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况舍去； ②若腰长为4，底边长为2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该三角形的周长为， 综上，只有周长为10． 【点睛】注意分类讨论的思想． 7．C 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程解法，代数式求值，由题意得，，从而有，然后求出，的值，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，则， 由题意得，则， ∴ ， ∴，，， 代入得：，，， ∴或， 故选：． 8． 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，关键是采用恰当的方法解方程；用因式分解法解方程，利用零乘积性质将方程转化为两个一元一次方程． 【详解】解： ， 或， 故答案为：． 10．8 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，得到高的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 11．14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 12．/0.75 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，将代入求得的值，再将的值代入得到一元二次方程，求解后可得答案．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴，且， 解得：， ∴原方程为， 即， ∴或， 解得：或， 故另一根为． 故答案为：． 13．(1) (2) 【分析】（1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． （2）利用因式分解法解方程； 【详解】（1）解：移项，得， 因式分解，得，即， 或， 解得； （2）解： 因式分解，得， 或， 解得． 14．(1) (2)5 (3)40 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，即可． （1）利用完全平方公式将变形为：，再开方解出，即可； （2）设一次项系数“□”为，把代入，解出，即可； （3）设一次项系数“□”为，先利用一元二次方程根的判别式求出的求值范围，令（p，q为整数），则，解出，根据此方程两个实根都是整数，求出的所有值，将的所有值中，正数求和即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，； （2）解：设一次项系数“□”为，把代入， 则， 解得：； （3）解：设一次项系数“□”为，则， 根据题意：，即恒成立， 解得：为任何实数； 令（p，q为整数），则， ， 解得：，； 方程两个实根都是整数， 或或或或或或或， 或或或或或或或， 或或或， “□”中所有可能的正数之和为：． 15．(1)，； (2)该方程有两个不相等的实数根． 【分析】（1）根据题目给出的、、这三个运算关系，推导出核心等量关系．将代入，得到关于的一元二次方程，求解该方程得出方程的根． （2）把代入等量关系，得到一元二次方程的一般形式，计算该方程根的判别式的值，依据一元二次方程根的判别式的判定规则，确定方程根的情况． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵， ∴， 化简得到方程：， 解得，． （2）解：∵， ∴， 展开整理：， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 16．(1)左边方程第二步出现错误，右边方程第一步出现错误 (2)见解析 【分析】（1）根据所给解方程过程即可得到答案； （2）解左边方程时，先把常数项移到方程左边，再利用因式分解法解方程即可；解右边方程时，先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：左边方程第二步开始出现错误，错误原因是当两个因式的乘积不为0时（本题中为3），不能得出其中一个因式等于某个特定值的结论； 右边方程的第一步出现错误，错误原因是原方程没有化为一般式，导致c的值错误； （2）解：解左边方程如下： ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 解右边方程如下： 原方程化为一般式得， ∵， ∴， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $