精品解析：浙江宁波市慈溪市实验中学2025-2026学年九年级第二学期第一次模拟考数学试题

2025学年第二学期第一次模拟考 九年级数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小．根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的是， 故选：C． 2. 人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为正整数以及的确定方法． 先确定的值，再根据原数与的关系确定的值，从而得出科学记数法的表达式． 【详解】， 故选C． 3. 如图中的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面往下看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：由图可得该几何体的俯视图为． 4. 每年月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A. 抽取八年级名女生进行调查 B. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 C. 抽取九年级名男生进行调查 D. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机抽样，解题的关键是熟练掌握随机抽样的定义：为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．据此分析即可． 【详解】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意． B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意； C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意． D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意； 故选：B． 5. 某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（ ） A. 20 B. 0.24 C. 0.18 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出样本中这一分数段的频数，再根据频率频数样本容量即可得出结果． 【详解】解：由图可得：样本中这一分数段的频数为， 故样本中这一分数段的频率是． 6. 如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再应用平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 7. 已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系． 先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大， 又 ∵， ， 故选：D． 8. 七巧板源于我国宋代，是广受欢迎的智力游戏．如图，用两副七巧板拼出一幅“勾股图”．若一副七巧板的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质及面积计算，理解题意，结合图形得出的面积为面积的是解题关键． 根据图形直接求解面积即可． 【详解】解：根据题意得：一副七巧板中的面积为面积的， ∴的面积为， 故选：C． 9. 数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负． 【详解】解：∵， ∴x的取值范围是， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 故选：D． 10. 如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，得出，设，，表示出、、、、的长，逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，，则， ∴，， ∴，， ∴； 如图，作于， 则由等腰直角三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，是定值，故A符合题意； ，不是定值，故B不符合题意； ，不是定值，故C不符合题意； ，不是定值，故D不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 12. 若，则=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可 【详解】根据题意可得：原式=+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值． 13. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由题意可得，，再结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ，， ，， ， ， 与面积比是． 故答案为：． 14. 如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为______°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，先根据切线的性质求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案：35． 15. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可． 【详解】解：设、是方程的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9． 故答案为：9． 16. 如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，， 由折叠的性质可得，，，从而得出，结合等边对等角得出，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，则垂直平分，即可得出，证明，得出，由题意可得，设，则，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接， ， 则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解答 （1）计算∶ （2）先化简，再求值，其中，． 【答案】（1）-3 （2）， 【解析】 【分析】（1）先用乘方、立方根、算术平方根、化简，然后再用有理数四则混合运算法则计算即可； （2）先根据整式的混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数四则运算、算术平方根、立方根、整式的混合运算、化简求值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 18. 为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1），随机 （2）恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率． （1）直接利用概率公式，求解即可； （2）画出树状图，再利用概率公式求解即可． 掌握树状图法求概率，是解题的关键． 【小问1详解】 解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种， ∴，是随机事件； 故答案为：，随机； 【小问2详解】 画出树状图如图： 由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种， ∴． 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，点E，F分别为，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，难度不大，灵活运用所学是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点E，F分别为，的中点得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 20. 在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，． （1）求函数，的表达式． （2）当时，比较与的大小．（直接写出结果） （3）若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）当时，； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）画出图象，利用数形结合解答即可； （3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标． 【小问1详解】 解：∵两个函数图象交于点，． ∴, ∴，， ∴， ∵点，在直线图象上， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：两个函数图象如图所示， 由图可知，当时，； 【小问3详解】 解：设点C坐标为， ∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点， ∴， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， 整理得， ∴或， ∴点的坐标为或． 21. 如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． （1）如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； （2）如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作，设，求出的长，利用双勾股定理，列出方程求出的长，再利用余弦的定义，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：此时书钉的长度为； 【小问2详解】 过点作， 由题意，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 22. 我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： （1）； （2）． 【答案】（1）当时，多项式取得最大值为 （2）当，时，多项式的最小值为 【解析】 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 23. 已知二次函数，m为实数． （1）若，求该函数图象的对称轴． （2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值． （3）若点，，且，，试比较与大小． 【答案】（1）直线 （2）m的值为 （3）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，二次函数解析式为，再由对称轴公式计算即可得出结果； （2）先求出二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可得，从而得出在上，随着的增大而增大，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，先求出、两点的中点坐标的横坐标为，再分情况讨论即可得出结果． 【小问1详解】 解：当时，二次函数的解析式为， 故此时二次函数的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故在上，随着的增大而增大， 故当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∵函数y的最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 故m的值为； 【小问3详解】 解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵点，，且，， ∴、两点的中点坐标的横坐标为：， 当，即时，、两点关于对称轴对称，此时， 当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时， 当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时， 综上所述，当时，；当时，；当时，． 24. 如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，，当时，求的值； （3）如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求： ①的直径； ②的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，再由圆周角定理得出，即可得证； （2）连接交于点，由垂径定理可得，，证明为的中位线，得出，再由垂径定理可得，由圆周角定理可得，证明，得出，求出，由勾股定理可得，即可得出，最后由正切的定义计算即可得出结果； （3）①延长交于点，由题意可得，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； ②设，则，证明，求出，，由勾股定理可得，，求出，由①可得，，过点作于点，设，则，，求出，，，由勾股定理可得，，则，连接，则，证明，得出，代入计算即可得出结果 【小问1详解】 证明：∵点M为中点， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， ∵点M为中点， ∴，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①延长交于点， ∵点M为中点， ∴， ∵，且为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴，， ∴， 由①可得：，， ∵， ∴， 过点作于点， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期第一次模拟考 九年级数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 如图中的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　） A. 抽取八年级名女生进行调查 B. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 C. 抽取九年级名男生进行调查 D. 按学籍号随机抽取名学生进行调查 5. 某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（ ） A. 20 B. 0.24 C. 0.18 D. 0.4 6. 如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 七巧板源于我国宋代，是广受欢迎智力游戏．如图，用两副七巧板拼出一幅“勾股图”．若一副七巧板的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 12. 若，则=_______． 13. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是______． 14. 如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为______°． 15. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是______． 16. 如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 按要求解答 （1）计算∶ （2）先化简，再求值，其中，． 18. 为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，点E，F分别为，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形平行四边形． （2）若，，求线段长． 20. 在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，． （1）求函数，的表达式． （2）当时，比较与的大小．（直接写出结果） （3）若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 21. 如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． （1）如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉长度（结果精确到，参考数据：，）； （2）如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 22. 我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： （1）； （2）． 23. 已知二次函数，m为实数． （1）若，求该函数图象的对称轴． （2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值． （3）若点，，且，，试比较与大小． 24. 如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，，当时，求的值； （3）如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求： ①的直径； ②的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $