东北三省三校2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题

2026年 高三年级模拟考试 数学科试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将 条形码粘贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非 选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈N]x<7刀，B={xx=2k+1,k∈Z,则AnB=（ A.[133 B.{1,3,5] C.[1,3,5,7] D.{3,5,7 2.“x2+x-2<0”是“|x<2”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.己知复数z是方程x2-2x+3=0的根，则lz=（) A.√2 B.V3 C.2 D.3 4.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=3,E,F分别是AD,BC上的点，且EF=√6，AE:ED=BF:FC= 1:2,则AB与CD所成角的余弦值为() A,- B.月 c.- D青 5.人工智能(AI)领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型， 神经网络中的微活函数能把线性输入变成非线性输出.σ()=。是最常用的激活函数，下面关 于σ(x)表述错误的是() A.(n2)=子B.0<a(x)<1C.G()=a([1-(] D.a(2)< 数学试卷第1 6.已知函数fx)=x3-x+m的极大值为1，则f(x)的极小值为（) A.-1 B.1 c.- D.} 7.在△ABC中，若内角A,B为锐角，满足=cos(4+B),则taA的最大值为（) sinB A.2W2 B./2 C. 2 p.号 8.已知椭圆G草+兰=1(a>b>0)的左、右焦点分别为R1,P2,M为椭圆上一点，若M沉=2M, MF·HF2=0,则C的离心率的取值范围是() A.) B.) C. D.( 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.记Sn为等差数列{aJ的前n项和，若ag+a☑=14，S10=S13,则() A.a5=7 B.公差d=1 C.523=1 D.若bn=ancosn,则b1+b2+…+b20=-10 10.下列说法正确的是（) A.随机事件A,B相互独立的充要条件是PAB)=[1-P(A)]·P(B) B.设X为随机变量，则E(X2)=D(X)+[E()]2 C.若X~B(3,),则E()=1,D(闪=2 D.若XN(1,22),记函数f(x)=P(X≤)，xER,则f(x)的图象关于点(1，月对称 11.曲线C:lx“+y口=1(a>0)是优美的封闭曲线，其围成的面积记为Sa,M是C与y轴正半轴 的交点，过原点0的直线交C于点A,B,则() A.2<S1 B.S2>S3 C.当a=1时，MA·M的最大值是 D.当a=时，MA.MBeo, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.过P(1,2)引直线L,与圆C:(x-3)2+0-4)2=4相切于Q,则1PQ1= 1页(#？而) 13.函数f(x)=axe-x-1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 14.已知向量元，满足d+可=1，a-=2,则3d+的最大值为二 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知函数f(x)=2 sinwx(V3 coswx-sinwx)+1(ω>.0)，最小正周期T的范围为[3,4]. (1)求ω的取值范围； (2)若weN,函数f)的图象关于直线x=t对称，求tan(2t+)的值. 16.(15分) 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC=AD=2,侧面ADD1A1是矩形，且M 是A1D1的中点、 (1)求证：平面MC1C⊥平面ABCD; (2)若平面ADD1A1与平面ABCD所成二面角的平面角为A1A=V3,求直线B1D与平面MAB所 成角的正弦值， D 17.(15分) 在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两 条车道，分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不 变，记Xn为第n个时间步长车辆所在的车道(n=0,1,2,…).马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于 当前时刻状态，记py=PXm+1=jXn=0(,J=0,1)为一步转移概率，矩阵P=（ 步转移概率矩阵。 数学试卷第2 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0，下一时刻变道至车道1的概率 为：若当前在车道1，下一时刻变道至车道0的概率为 (1)已知m=0时刻车辆处于车道0的概率为，处于车道1的概率为 ①写出该模型的一步转移概率矩阵P; ②若n=1时刻车辆处于车道1，求n=0时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1)问的初始概率条件下，记an=P(Xn=0),求随机变量Xn的分布列（结果用含n 的式子表示). 18.(17分) 已知f(x)=-1+alnx(x>0) (1)设函数g(x)=f(x)+x,讨论函数g(x)的单调性； (2)当a=1,0<x<e时，证明：1-x≥ (3)当0<x≤1时，1-x≤ f03 ,求实数a的取值范围， 19.(17分) 已知双曲线c:等-卡=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为P,P2,实轴长为2W2,双曲线c 的一条渐近线为x-y=0. (1)求双曲线C的标准方程； (2)O为坐标原点，点A、B、D是双曲线C上不同三点，且B、D两点关于y轴对称，△ABD的 外接圆经过点0. ①求证：直线AB与圆x2+y2=1相切； ②直线AB与浙近线交于MN两点，求织的取值范围。 第2页（共2页)2026年高三年级模拟考试 数学科试题答案 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的 题号 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B D C D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 10 11 答案 AD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.(0,+o) 14.4 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) (1)f(x)=2sinwx(v3coswx-sinwx)+1 =2v3sin wx cos wx-2 sin2wx+1 =V3sin2wx)+2cos(2w)=2sin(2wx+)…4分 因为>0，所以T=-元T∈B,,则@[牙} L4'3 …6分 20o1 (2)若o∈W,由(1)知w∈ ππ 4'3 所以w=1,所以f)=2sin2x+2 8分 6 又函数f(x)的图象关于直线x=t对称，则2t+石=kπ+牙，kEZ,解得2t=km+石(kEZ)…10分 期an+)-am(红+g+习-amg+9-器-2-…l3分 16.(15分) (1)证明：取AD中点为N,连接MW,NC, D C M,N分别为A1D1,AD中点，且ADD1A1是矩形， MN//DD .DD//CC :.MN//CC .MNc平面MCC .AD⊥MN …2分 在菱形ABCD中，∠ABC= 第8页（共8页） ·AC=2N为AD中点，AC=CD=2 ∴.CN⊥AD …………………………4分 .AD⊥CN,AD⊥MW CNNMN=N MN,CNC平面GCNM ..AD⊥平面C1 CNMAD平面ABCD 平面MC1C⊥平面ABCD 0…………。…0…0。…·…6分 (2)在平面C1CNM内，过C作Cz 1 CN, AD⊥平面C1CNM,AD/BC,.BC⊥平面C1CNM,∴.BC1Cz ∴.Cz1平面ABCD·Cz,CB,CN两两垂直，如图建立空间直角坐标系 888@因a。a08…8分 则N(3,0,0),B(0,2,0),A(V3,1,0),D(V3,-1,0) 由(1)知AD⊥CN,AD1MN,所以∠MNC为二面角B-AD-A1平面角，所以∠MNC=60° 又MN=AA,=V5M,0,DB=DE+BB=DB+NM=(33,引 而-0丽-（号- 3 设平面MAB的法向量为元=（化，y,z) 元1AE台元A=0台 -3x+y=0 ………炉…12分 元1AM元·M=0 -x-y+=0 令x=1,得元=(1，V3,3) D cos丽，0=兰8g-g 14 ………………14分 7g+9+号 直线DB,与平面MAB所成角的正弦值为 …·…●。……。…15分 14 17.(15分) 由题意可知，从状态0转移到状态1的概率P1=，则po。三1-4 态1转移到状态0的概率为P。=。，则P11=1- 13 4 故一步转移概率矩阵为：P= 1-2 41-2 …4分 记事件A为“n=0时刻车辆处于车道0”，事件B为“n=0时刻车辆处于车道1”. 己知p(A)=0.8,p(A)=0.2,由全概率公式，p(B)=p(A)Po1+p(A)P1=0.3. 由贝叶斯公式，所求概率为pAB)=P4PaL=2 p(B)3 8分 (2)记a2=p(X.=0),则p(Xn=1)=1-an. 由全概率公式及转移矩阵可得递推关系： -7a+0-a)+片0分 4 第8页（共8页） 则al 2-a 34 3, 故数列a,- }为百现，公比为的此数列 4 2 所以a= 2y.…12分 31541 故x=-0=1-a吉是的 ………………………13分 故随机变量X,的分布列为： Xn 0 1 …………15分 18.(17分) (1)gx)=alnx+x-1,g'(x)=g+1…2分 当a≥0时，g(x)>0,∴g(x)在(0，+o)单调递增 当a<0时，令g'(x)>0→x>-a:令g(x)<0→0<x<-a ∴g(x)在(0，-a)单调递减，在(-a,+o)单调递增 ……………●……………………。………………4分 (2)当a=1时，原不等式台1-x之4 当0<x<e时，lnx<1,原不等式台(1-x)(-1+lnx)≤lnx 分-1+x-xnx≤0分mx+是-1≥0， ………。…6分 设u)=nx+经1，则u6倒=生京=会 当0<x<1时，t(x)<0;当x>1时，t(x)>0, ∴.u(x)在(0,1)单调递减，在(1，+o)单调递增.∴u(x)≥u(1)=0. ……………………………。…9分 (8)原不等式1-x≤in0<x≤1) ①当a<0时，当0<x<ea时，-1+alnx>0,nx<0, Inx 1-x>0>-1+0nx不合题意。 ………………………11分 ②当a≥0时，原不等式台(1-x)(-1+alnx)≥lnx台x-1-(ax-a+1)nx≥0. 设h(x)=x-1-(ax-a+1)lnx(0<x≤1)： 则hw=1-anx+a-,田=-生学=-t x2 2-0=g,2-1=2 第8页（共8页） 1)当a≥1时，h"(x)<0,.h'(x)在(0,1)单调递减，h'(x)>h'(1)=0, h(x)在(0,1]单调递增，∴h(x)≤h(1)=0,不合题意. ………13分 2)当0≤a≤时，2≥1,5")>0h)在(0,1)单调递增，∴h)<h①)=0， .h(x)在(0,1]单调递减，.h(x)≥h(1)=0. ……………………15分 3)<a<1时，令h"6)<0ax+(a-1)>0→g<x<1 ∴(x)在(：，1)单调递减，h)>h'(1)=0. ∴.h(x)在(0,1]单调递增，∴h(x)≤h(1)=0,不合题意. 综上，0≤a≤ ……………………17分 19.(17分) 解：(1)由已知a=V2,a=b,所以双曲线的方程为号-兰=1.…2分 (2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+t,代入x2-y2=2中得 (m2-1)y2+2mty+(t2-2)=0 当m2-1≠0且a=42m2+2-2)>0时，+y2=-…4分 AB的中点M(品，，AB垂直平分线为y+兴=-m(x+二) 与)轴交点记为E,令x=0,得6(0-0)…5分 IEMI=v1+m2. lAM-Al-I+m,2m+ m2-1 ··………………·6分 os1-1o4-(-+m(’++m2em-习 (m2-1)2 化简得m2t2=t2+m4-1,即t2=m2+1,…8分 0点到AB的距离d==1直线AB与圆x2十y2-1相切.…10分 ②设M(x3,y3),N(x4,y4),将x=my+t代入x2-y2=0中得(m2-1)y2+2mty+t2=0 当m2-1≠0且△1=4t2[m2-(m2-1)]=4t2, y为+y4s-2mt t2 m2-1y3y4=m2-1 M=+mg-以=+m号…12分 由①知ABl=21+m2V2m+22 1m2-1 第8页（共8页） 腰3- …………14分 又m2-1=t2-2≠0且△=4(2m2+t2-2)=43t2-4>0……15分 >组2≠2小∈00u(,同…17分 第8页（共8页）