精品解析：北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷

2025~2026学年度第二学期期末练习 高 二 数 学 2026.07 考生须知 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码． 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚． 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效． 4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】解不等式得，即，与无公共元素， 故. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出，再由复数的模长公式即可得出答案. 【详解】由，得. 所以＝. 故选：C. 3. 下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系及正负相关即可. 【详解】A中散点图可知样本数据呈现正相关，B中散点图可知样本数据呈现负相关， C中散点图可知样本数据的趋势先下降后上升，不是正相关， D中散点图的样本数据杂乱无序，没有相关性. 4. 下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（ ） A. 若，则 B. 任意实数，满足，则 C. 存在一个实数，满足，则 D. 存在一个实数，满足，则 【答案】C 【解析】 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式及复合函数的求导法则求解. 【详解】因为，，，， 所以ABC错误，D正确. 6. 在的展开式中，若的系数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求出的展开式的通项，再求出含的项的系数，再求. 【详解】设的展开式的通项为， 那么， 令，得 ，所以，故. 7. 已知随机变量（），若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称， 所以. 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 9. 某中学举办主题为“十八而志承大任，芳华待灼赴海赢”的高三成人礼活动，现有语言类节目个、歌唱类节目个、舞蹈类节目个，共个节目登台演出．若要求同一类型的节目不能连续表演，则不同的节目表演顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记事件个语言类的节目连续表演，事件个歌唱类节目连续表演，结合韦恩图法可知不同的节目表演顺序的种数为，求解即可. 【详解】记事件个语言类的节目连续表演，事件个歌唱类节目连续表演，如下图所示： 则种，， 故不同的节目表演顺序的种数为种. 10. 已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（ ） A. 64 B. 65 C. 102 D. 103 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意先求出，即可求得 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 则，， 故答案为： 12. 从集合中依次不放回地随机抽取两个不同的数，分别记为和．已知是偶数，则的概率为____________． 【答案】## 【解析】 【详解】根据题意序列有，共6种， 其中符合的有，共3种， 则对应概率． 13. 已知，则展开式中各二项式系数的和为____________；____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用二项式系数之和的性质求解第一空，取，求解第二空. 【详解】由展开式中，二项式系数的和为， 得展开式中二项式系数的和为. 中，取，得， 取，得， 所以. 14. 已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 【答案】4（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先因式分解化简不等式，再讨论的大小解出不等式即可. 【详解】可化简为， 当时，不等式不成立； 当时，不等式可化简为， 若，则不等式解得，无两个实数解， 若，则不等式解得，要使得整数解恰有2个，那么， 若，则不等式变为，无实数解； 当时，则不等式可化简为， 解得或，整数解有无穷多个，不符合题意， 综上所述，的取值范围为，即的一个取值为4. 15. 曲线在不同两点处的切线斜率分别是，规定（为与之间的距离）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”．给出下列四个结论： ①设函数，则其图象上任意两点之间的“弯曲度”都为0； ②设函数，则其图象上存在两点之间的“弯曲度”为0； ③已知与是函数图象上两点，则当时，不存在最大值； ④已知与是函数图象上两点，则随着的增大而增大，且，，使得． 其中所有正确结论的序号为____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】求出导数，利用导数的几何意义判断①；求出导函数，再利用导数分段求出函数的取值集合判断②；求出并利用正余弦函数的性质及不等式性质求出最大值判断③；求出并利用指数型复合函数单调性判断④. 【详解】对于①，函数，求导得，曲线上任意两点 处的切线斜率，，因此图象上任意两点之间的“弯曲度”都为0，①正确； 对于②，函数定义域为，求导得， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数，即在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，则存在，使得， 因此在函数的图象上存在两点之间的“弯曲度”为0，②正确； 对于③，函数，求导得，， ，当且仅当时，， ，因此当时，取得最大值，③错误； 对于④，函数的定义域为R，求导得，， ，， 函数在R上单调递增，函数在R上单调递减， 因此函数随着的增大而增大，当时，， 则，于是，，使得，④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 2026年“五一”假期，北京文旅市场持续火热，相关数据显示，颐和园、天坛公园、故宫博物院、景山公园、奥林匹克公园成为北京热度前五的景区．现有4名游客，计划在五月五日当天，每人从这5个景区中选择1个景区参观． （1）若这4名游客选择参观的景区互不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）若这4名游客中，恰有2名游客选择了同一个景区，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）种 （2）种 【解析】 【分析】（1）直接利用排列数计算即可； （2）根据组合及排列数计算． 【小问1详解】 根据题意，共有种； 【小问2详解】 选出两名游客共有种， 这两名游客与其他两名游客有种选法， 故共有种选择方法． 17. 某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． （1）该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； （2）若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和独立事件同时发生的概率，即可求解； （2）根据条件，求出的可能取值及对应的概率公式，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 记事件：甲同学闯关成功，记事件：乙同学闯关成功，事件：甲、乙两人中恰有一人闯关成功， 则， 又甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响， 所以. 【小问2详解】 易知的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 18. 已知函数（）． （1）若，求的极值； （2）若在区间上的最小值小于零，求的取值范围； （3）若，设，记在区间上的最大值为．当最小时，直接写出一个满足条件的的值． 【答案】（1）极大值为1，极小值为 （2）或 （3）1（中的任意值均可） 【解析】 【分析】（1）先求导，再列表求解即可. （2）讨论与0的大小，求导并利用单调性得到的最小值，再求解不等式即可. （3）求导并利用的单调性，讨论从而得到的分段解析式即可 【小问1详解】 当时，，则 令得，解得或 列表得 单调递增 极大值1 单调递减 极小值 单调递增 所以的极大值为1，极小值为. 【小问2详解】 ，令解得或， 当时，，在上恒成立， 即单调递增，则，符合条件； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，令， 即，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 【小问3详解】 由第二问可知，， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递增，在上单调递减， ，，所以， 此时； 当时，，， ，因为， 当时，； 当时，，此时， 综上所述，，所以当时取最小值， 此时可取1. 19. 某科技公司为优化旗下的人工智能助手“小智”的性能，针对“语音交互”和“图像识别”两项核心功能设计了相应的优化方案：方案与方案．为了解“小智”的全体用户（18岁及以上）对新方案的支持情况，对“小智”的青年用户（岁）和中老年用户（36岁及以上）进行简单随机抽样，获得数据如下表： 青年用户 中老年用户 支持 不支持 支持 不支持 方案 400人 200人 200人 200人 方案 350人 250人 150人 250人 假设所有用户对方案是否支持相互独立．用频率估计概率． （1）分别估计“小智”的青年用户和中老年用户支持方案的概率； （2）从“小智”的全体青年用户中随机抽取2人，全体中老年用户中随机抽取1人．估计这3人中恰有2人支持方案的概率； （3）用（）分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户支持方案，用（）分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户不支持方案．写出方差，，的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）青年用户支持方案的概率为，中老年用户支持方案的概率为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图表，利用频率的计算公式，即可求解； （2）利用（1）中结果，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （3）根据条件可得服从分布，则，其中为对应群体支持方案的概率，再求出相应的概率，即可求解. 【小问1详解】 由图表知，方案的青年用户共人，支持方案的青年用户共人， 方案的中老年用户共人，支持方案的中老年用户共人， 所以“小智”的青年用户和中老年用户支持方案的概率分别为、. 【小问2详解】 由（1）知青年用户支持方案的概率为，中老年用户支持方案的概率为， 则所求概率为. 【小问3详解】 由题知服从分布，则，其中为对应群体支持方案的概率， 又由题知青年用户支持方案的概率为，所以， 中老年用户支持方案的概率为，所以， 全体用户支持方案的概率为，所以， 又，所以. 20. 已知函数的定义域为，其导函数，且．曲线在点处的切线为直线． （1）若直线与轴平行，求的值； （2）求证：除切点外，曲线在直线的上方； （3）若，直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点．是否存在实数，使得的面积为？若存在，求出满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）证明：根据题意可得直线的方程， 设函数，， 因为，则， 因为，，，所以，即在单调递增， 又因为，所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在单调递增，因此， 所以除切点外，曲线在直线的上方. （3）存在满足条件的共个 【解析】 【分析】（1）利用一点横坐标处的导数是该点处的切线的斜率，结合点斜式直线方程可以求出； （2）根据题意先表示出切线的方程,再构造差函数，将问题转换成恒成立问题，利用函数的单调性证明即可； （3）根据题意求出、点的坐标后，求出三角形面积，然后利用函数的单调性和零点存在性定理即可求出结果. 【小问1详解】 根据题意可得,因为与轴平行的直线斜率是，所以,解得. 当时，，符合题意，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，切线的方程， 令得，则， 令得，则， 因为，则，， 所以，整理得， 所以，即在时有解， 设，则， 因为，所以，即，所以， 所以在上单调递减， 因为，， 所以存在唯一的，使得，故在上有且只有个零点， 所以满足条件的，且满足条件的只有个. 21. 设，考虑正整数数列、、、，将其以为周期构造成无穷数列，即对所有正整数，均有．当该无穷数列满足如下两个条件时，我们称其为“数列”： ①； ②对每个、、、，均有． （1）当时，判断下列两个数列，是否为“数列”？ 、、、、、、、、、、、、； 、、、、、、、、、、、、； （2）若正整数数列、、、、、、、、为“数列”，则 （ⅰ）求证：对每个、、、，均有； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）数列为“数列”，数列不是“数列”. （2）（i）假设存在，使得， 考虑使这个不等式成立的最小的，则， 因为数列的周期性和，所以、、、， 又，可得， 因为，所以，由于是最小的，则， 由条件①可知，，则，与矛盾， 故对每个、、、，均有； （ii）由（i）知， 若，则，则成立； 若，则考虑首次出现大于的项， 设存在正整数，使得（*）， 因为，，所以，于是， 记为、、、中大于或等于的项的个数， 易知，， 对于每一个，因为，， 所以大于或等于的项只能存在于、、、， 于是，从而对于每一个，有， 由（*）式和的定义可得 ， 在上式两边同时加上、、、，并结合得 . 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）根据“数列”的定义判断即可； （2）（i）利用反证法，假设存在，使得，根据数列的周期性推导出，再由条件推导出，与矛盾，结合反证法原理可推出结论成立； （ii）由（i）知，分、两种情况讨论，在的情况下，利用不等式的基本性质可证得结论成立；在的情况下，考虑首次出现大于的项，设存在正整数，使得，记为、、、中大于或等于的项的个数，推导出，再结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 对于数列，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列， 且满足， ，，， ， 数列满足①②，故数列为“数列”； 对于数列，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列， 且满足， ，，故数列满足①，但不满足②， 故数列不是“数列”. 【小问2详解】 （i）略； （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末练习 高 二 数 学 2026.07 考生须知 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码． 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚． 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效． 4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（ ） A. 若，则 B. 任意实数，满足，则 C. 存在一个实数，满足，则 D. 存在一个实数，满足，则 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，若的系数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量（），若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某中学举办主题为“十八而志承大任，芳华待灼赴海赢”的高三成人礼活动，现有语言类节目个、歌唱类节目个、舞蹈类节目个，共个节目登台演出．若要求同一类型的节目不能连续表演，则不同的节目表演顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（ ） A. 64 B. 65 C. 102 D. 103 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数_____． 12. 从集合中依次不放回地随机抽取两个不同的数，分别记为和．已知是偶数，则的概率为____________． 13. 已知，则展开式中各二项式系数的和为____________；____________． 14. 已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 15. 曲线在不同两点处的切线斜率分别是，规定（为与之间的距离）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”．给出下列四个结论： ①设函数，则其图象上任意两点之间的“弯曲度”都为0； ②设函数，则其图象上存在两点之间的“弯曲度”为0； ③已知与是函数图象上两点，则当时，不存在最大值； ④已知与是函数图象上两点，则随着的增大而增大，且，，使得． 其中所有正确结论的序号为____________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 2026年“五一”假期，北京文旅市场持续火热，相关数据显示，颐和园、天坛公园、故宫博物院、景山公园、奥林匹克公园成为北京热度前五的景区．现有4名游客，计划在五月五日当天，每人从这5个景区中选择1个景区参观． （1）若这4名游客选择参观的景区互不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）若这4名游客中，恰有2名游客选择了同一个景区，那么共有多少种不同的选择方法？ 17. 某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． （1）该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； （2）若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 18. 已知函数（）． （1）若，求的极值； （2）若在区间上的最小值小于零，求的取值范围； （3）若，设，记在区间上的最大值为．当最小时，直接写出一个满足条件的的值． 19. 某科技公司为优化旗下的人工智能助手“小智”的性能，针对“语音交互”和“图像识别”两项核心功能设计了相应的优化方案：方案与方案．为了解“小智”的全体用户（18岁及以上）对新方案的支持情况，对“小智”的青年用户（岁）和中老年用户（36岁及以上）进行简单随机抽样，获得数据如下表： 青年用户 中老年用户 支持 不支持 支持 不支持 方案 400人 200人 200人 200人 方案 350人 250人 150人 250人 假设所有用户对方案是否支持相互独立．用频率估计概率． （1）分别估计“小智”的青年用户和中老年用户支持方案的概率； （2）从“小智”的全体青年用户中随机抽取2人，全体中老年用户中随机抽取1人．估计这3人中恰有2人支持方案的概率； （3）用（）分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户支持方案，用（）分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户不支持方案．写出方差，，的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知函数的定义域为，其导函数，且．曲线在点处的切线为直线． （1）若直线与轴平行，求的值； （2）求证：除切点外，曲线在直线的上方； （3）若，直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点．是否存在实数，使得的面积为？若存在，求出满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 21. 设，考虑正整数数列、、、，将其以为周期构造成无穷数列，即对所有正整数，均有．当该无穷数列满足如下两个条件时，我们称其为“数列”： ①； ②对每个、、、，均有． （1）当时，判断下列两个数列，是否为“数列”？ 、、、、、、、、、、、、； 、、、、、、、、、、、、； （2）若正整数数列、、、、、、、、为“数列”，则 （ⅰ）求证：对每个、、、，均有； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $