精品解析：2026年云南省楚雄彝族自治州一模数学试题

2026年九年级教学质量检测 数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 2024年某校冬季田径运动会的集体项目红旗穿梭中，规定向东运动记作，那么向西运动记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．导弹型号疑为东风或东风，射程约为千米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与被直线所截，截点为点E和F，，现绕点E作顺时针旋转，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. “国家宪法日”为每年12月4日，是为了增强全社会的宪法意识，弘扬宪法精神，加强宪法实施，全面推进依法治国而设立的节日．2024年12月4日是我国第十一个“国家宪法日”，12月1日至12月7日是第七个“宪法宣传周”，2024年“宪法宣传周”主题为：“大力弘扬宪法精神，推动进一步全面深化改革”．某校开展国家宪法知识竞赛，其中一代表队的成员成绩如下表： 成绩（分） 95 96 98 99 100 频数（人） 1 2 4 1 2 则该代表队竞赛成绩的中位数是（ ） A. 96 B. 98 C. 99 D. 100 8. 双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 5 9. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图是一个长方体的主视图和左视图，由视图中标注的尺寸可计算出该长方体的体积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 12. 随着农业科技的发展，云南某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量为吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 将某工厂出售的网红款户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥形几何体，测得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 14. 按照一定规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在函数中自变量x的取值范围是________． 17. 分解因式：______． 18. 某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对大课间“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从八段锦、转呼啦圈、自由活动、跳长绳、其他等5个方面进行问卷调查（每位学生选且只能选一项），根据调查结果统计，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的．若全校共有学生1400人，估计该校喜欢自由活动的学生大约有______人． 19. 如图，点A，B，C，D，E在同一个圆上，，点D平分劣弧，则等于______度． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，线段相交于点E，．求证：． 22. 全国节能宣传周是实施全面节约战略、开展节能降碳宣传教育、推动形成绿色低碳生产生活方式的重要举措．某小区计划近期更换小区内照明灯，经过市场调研发现，种型号节能灯的单价比种型号节能灯的单价贵10元，且用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同，求两种型号节能灯的单价． 23. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．为了学生在学校支付餐费的方便，某校特地开通了校园刷脸支付小程序．小军和小明的家长操作该小程序时发现：只需要从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中随机选择一种进行绑定，就可实现校园刷脸支付功能． （1）选择“微信”进行绑定的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两位家长恰好选择相同方式绑定支付的概率． 24. 某公司销售甲、乙两种型号的空气净化器，其中甲型空气净化器进货价格为每台650元，乙型空气净化器进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元；销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的空气净化器共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台空气净化器全部售出后总利润最大？ 25. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 26. 已知抛物线经过点，设k是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，，． （1）求a的值； （2）求的值． 27. 如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3． （1）若，求点C和点B间的距离； （2）求证：是的切线； （3）当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级教学质量检测 数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 2024年某校冬季田径运动会的集体项目红旗穿梭中，规定向东运动记作，那么向西运动记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：规定向东运动记作，那么向西运动记作． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此可得答案． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3. 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．导弹型号疑为东风或东风，射程约为千米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 4. 如图，直线与被直线所截，截点为点E和F，，现绕点E作顺时针旋转，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵与是同旁内角， ∴当时，， ∵， ∴． 5. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 6. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，用外角和除以正多边形的一个外角度数即可求解，掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 7. “国家宪法日”为每年12月4日，是为了增强全社会的宪法意识，弘扬宪法精神，加强宪法实施，全面推进依法治国而设立的节日．2024年12月4日是我国第十一个“国家宪法日”，12月1日至12月7日是第七个“宪法宣传周”，2024年“宪法宣传周”主题为：“大力弘扬宪法精神，推动进一步全面深化改革”．某校开展国家宪法知识竞赛，其中一代表队的成员成绩如下表： 成绩（分） 95 96 98 99 100 频数（人） 1 2 4 1 2 则该代表队竞赛成绩的中位数是（ ） A. 96 B. 98 C. 99 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义与计算，先计算总人数，再根据中位数定义确定目标位置，进而求出中位数． 【详解】解：∵总人数为各频数相加，即，10是偶数， ∴该组数据的中位数是从小到大排列后，第5位和第6位数据的平均数， 从小到大排列数据，可得：第1位为95，第2、3位为96，第4、5、6、7位为98， ∴第5位和第6位数据均为98，中位数为． 8. 双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】将代入双曲线求解即可． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得． 9. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 10. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误； B、不能合并，原选项计算错误； C、，正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 11. 如图是一个长方体的主视图和左视图，由视图中标注的尺寸可计算出该长方体的体积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体的主视图和左视图可得长方体的长，宽，高，由此计算即可． 【详解】解：根据长方体的主视图可知长为3，高为4， 根据长方体的左视图可知宽为2，高为4， 可知这个长方体的体积为． 12. 随着农业科技的发展，云南某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量为吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每亩产量的年平均增长率为x，根据两年前的每亩产量和现在每亩的产量列方程即可． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为x， 由题意可列方程． 13. 将某工厂出售的网红款户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥形几何体，测得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，代入侧面的面积公式计算． 【详解】解：由题意可知：圆锥形几何体的母线长为，底面圆的半径为， ∴圆锥侧面积为． 14. 按照一定规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：系数规律为奇数，表示为；指数为偶数，表示为，则第个多项式是． 15. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得相似比．再根据点D，E分别是，的中点，得，从而求得，则，即；然后由点D是的中点，求得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴相似比． ∵点D，E分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点D是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0进行解答即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件是，所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解答的关键． 17. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 18. 某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对大课间“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从八段锦、转呼啦圈、自由活动、跳长绳、其他等5个方面进行问卷调查（每位学生选且只能选一项），根据调查结果统计，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的．若全校共有学生1400人，估计该校喜欢自由活动的学生大约有______人． 【答案】560 【解析】 【分析】根据样本估计总体的思想进行解答即可． 【详解】解：由题意，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的，全校共有学生1400人，根据样本估计总体，可知该校喜欢自由活动的学生大约有人， 故答案为560． 19. 如图，点A，B，C，D，E在同一个圆上，，点D平分劣弧，则等于______度． 【答案】35 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵点D平分劣弧， ∴， 又∵是所对的圆周角，是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算零次幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的平方和特殊角的三角函数值，再按照有理数加减运算法则依次计算得出结果． 【详解】解： ． 21. 如图，线段相交于点E，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． 【解析】 【分析】先证明，再利用即可证明． 【详解】略 22. 全国节能宣传周是实施全面节约战略、开展节能降碳宣传教育、推动形成绿色低碳生产生活方式的重要举措．某小区计划近期更换小区内照明灯，经过市场调研发现，种型号节能灯的单价比种型号节能灯的单价贵10元，且用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同，求两种型号节能灯的单价． 【答案】A种型号节能灯的单价为25元，则甲型号节能灯的单价为15元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设A种型号节能灯的单价为x元，则B型号节能灯的单价为元，根据“用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设A种型号节能灯的单价为x元，则B型号节能灯的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 所以． 答：A种型号节能灯的单价为25元，则甲型号节能灯的单价为15元． 23. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．为了学生在学校支付餐费的方便，某校特地开通了校园刷脸支付小程序．小军和小明的家长操作该小程序时发现：只需要从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中随机选择一种进行绑定，就可实现校园刷脸支付功能． （1）选择“微信”进行绑定的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两位家长恰好选择相同方式绑定支付的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）记“用微信绑定支付”为事件A，“用支付宝绑定支付”为事件B，“用银行卡绑定支付”为事件C，列出表格可得共有9种等可能的结果．其中两位家长恰好选择相同方式绑定支付的情况有3种，即可求解． 【小问1详解】 解：选择“微信”进行绑定的概率为； 【小问2详解】 解：记“用微信绑定支付”为事件A，“用支付宝绑定支付”为事件B，“用银行卡绑定支付”为事件C，列表得： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果．其中两位家长恰好选择相同方式绑定支付的情况有3种， 所以两位家长恰好选择相同方式绑定支付的概率为． 24. 某公司销售甲、乙两种型号的空气净化器，其中甲型空气净化器进货价格为每台650元，乙型空气净化器进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元；销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的空气净化器共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台空气净化器全部售出后总利润最大？ 【答案】（1）该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元，一台乙型空气净化器的利润是170元． （2）该公司购买20台甲型空气净化器，10台乙型空气净化器时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组和函数关系式是解题的关键． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元，根据“该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元，销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）设该公司购买甲型空气净化器m台，则购买乙型空气净化器台，然后利用总进价、进货单价、进货数量的关系并结合总进价不超过21000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围；设加购的这30台自行车全部售出后总利润为w元，进而列出w关于m的函数关系式，最后利用一次函数的性质求最值即可解答． 【小问1详解】 解：（1）该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元，， 根据题意得：，解得： 答：该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元，一台乙型空气净化器的利润是170元． 【小问2详解】 解：设该公司购买甲型空气净化器m台，则购买乙型空气净化器台， 根据题意得：，解得：． 设购买的这30台自行车全部售出后总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时（台）． 答：该公司购买20台甲型空气净化器，10台乙型空气净化器时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大． 25. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）30 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 26. 已知抛物线经过点，设k是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，，． （1）求a的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式可求出； （2）根据k是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，可以得到，然后即可得到，然后化简，，最后计算． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴抛物线的解析式是， ∵k是抛物线与x轴的交点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 27. 如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3． （1）若，求点C和点B间的距离； （2）求证：是的切线； （3）当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线，与的延长线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 则， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中线， ∵是的直径， ∴， ∵是的中线 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故， ∵是半径， ∴是的切线； （3） 解：②成立． 理由如下： 如图，过点G作于点K，则． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴点K为中点． ∵于点K， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 由（2）可知， ∴成立． 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理求出，即可作答． （2）先根据，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，得出，再分别证明，，故，结合F是的中点，得出，再运用等边对等角，以及，得，故，即是的切线； （3）过点G作于点K，则，根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，得到，，，，证明，，，进而证明，得到，可知，证明为线段的垂直平分线，得到，由（2）可知，即． 【小问1详解】 解：∵的半径为3， ∴， 连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， 即点C和点B间的距离为的长度，即为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $