专题13：比、按比分配问题（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第四章：比和比例 专题13：比、按比分配问题 （9大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：比的读法、写法及各部分的名称 考点02：比的基本性质 考点03：化简比和求比值 考点04：比与分数、除法的关系 考点05：和比问题 考点06：差比问题 考点07：单量与比的问题 考点08：连比问题 考点09：动态比问题 知识点01：比的意义 1.比的意义：两个数的比表示两个数相除。 2.比的读、写法及各部分名称 （1）比的写法：∶b或（b≠0）。 （2）比的读法：“∶”读作“比”，从前往后读成“几比几”。 （3）比号前面的数叫做比的前项，后面的数叫做比的后项，前项除以后项得的商叫做比值。 （4）比值可以用分数表示，也可以用小数表示，还可以用整数表示。 （5）比值＝比的前项÷比的后项 3.比和比值的区别 （1）比表示的是两个数的关系，是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式，读作几比几。 （2）比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。 4.比与分数、除法的关系： 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） —（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系； 不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 知识点02：比的基本性质 1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变。 a∶b＝na∶nb（b≠0，n≠0），或者a∶b＝∶ （b≠0，n≠0）。 2.最简整数比：比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。 【易错点拨】判断是否为最简比，关键看前项和后项是否互质。 知识点03：化简比和求比值 1.求比值：求比值就是求比的前项除以后项所得的商。比值可以用小数、分数或整数表示。 2.化简比：化简比则是把两个数的比化成最简单的整数比。化简比时，通常需要根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以某个数，使它们成为互质数。 3.化简比的方法 （1）整数比的化简：直接找出比的前项和后项的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数。 （2）小数比的化简：将比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比后再进行化简。 （3）分数比的化简： ①方法一：将比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。 ②方法二：用求比值的方法进行化简，但最后结果要写成比的形式。 （4）求带单位的比的比值或化简： ①单位统一的比，求比值或化简比，直接化简求值即可； ②单位不统一的，要先将单位进行统一，然后再求比值。化简比的方法也一样。 【易错点拨】 （1）化简比用“比的基本性质”（乘除相同数，0除外），求比值用“除法运算”（前项÷后项）。 （2）化简比结果是“a∶b”（最简整数比），求比值结果是整数、小数或分数（不能是比的形式）。 知识点04：按比分配问题 1.按比分配问题的解题方法： （1）分数法：先求总份数，再求各部分量占总数的几分之几，最后用总量乘各部分量占总数的几分之几，求出各部分量。 （2）归一法：先求出总份数，再用总数量÷总份数求出平均每份的量（归一），最后用每份的量乘各部分对应的份数求出各部分量。 2.和比问题 （1）已知两个数的和及大数与小数的比，求这两个数分别是多少的应用题，即是“和比问题”。 （2）解题思路： 方法一：利用平均分法（归一法）来解答： ①求出总份数：把比的各项的和看作平均分的总份数， ②求出每一份是多少：总数÷份数＝每一份量； ③求出各个部分对应的具体数量：看要求的量占几份来解答。 方法二：转化成分数应用题来解答： ①求出总份数：求出比的各项之和； ②求出各部分数量分别占总数的几分之几； ③用分数乘法解题，求出各个部分对应的具体数量。 3.差比问题 （1）已知两个数的差及大数与小数的比，求这两个数分别是多少的应用题，即是“差比问题”。 （2）公式是：每一份的数量＝两个数的差量÷（大数的份数－小数的份数）。 4.单量与比的问题 已知甲∶乙＝A∶B和其中的一个单量甲，可以用“单量甲÷A”求出每一份的数量。 5.连比问题 （1）由三个或三个以上的数量组成的比叫做这几个数量的连比。 （2）一般说来，如果甲∶乙＝x∶y，乙∶丙＝y∶z，那么甲∶乙∶丙＝x∶y∶z，也就是说，我们可以通过找中间量，将两个比转换成一个比。但很多时候，中间量在两个比中往往所占的份数是不一样，那么就需要寻找中间量的“最小公倍数”，再根据比的基本性质，把两个比转化成一个比。 6.动态比问题 （1）在比的应用题中，如果其中的一个量或者两个量发生了变化，从而最后达到题目中指定比的问题，即是动态比问题。 （2）总量不变的动态比问题：单量改变，但是总量不变。解决此类实际问题的关键是抓住“总量不变”进行求解。 （3）总量改变的动态比问题：单量改变，导致总量跟着改变，那么解题的关键是抓住题目中的不变量，根据不变量进行求解。 【易错点拨】 （1）先明确“总量”和“分配比”，确保比的顺序与各部分对应的量一致。 （2）若分配比不是最简比，需先化简再计算。 （3）计算后需验证各部分量之和是否等于总量。 （4）遇到“部分量求总量”的逆向问题，先求每份的量，再乘总份数。 考点01：比的读法、写法及各部分的名称 【典型例题】西安北站和广州南站的站台数的最简单的整数比是（ ），这个比的前项是（ ），后项是（ ）。 “高铁是我国装备制造的一张亮丽的名片”，作为位居全国前列的高铁站，西安北站是西北地区核心铁路枢纽，拥有18个站台；广州南站是粤港澳大湾区及泛珠江三角洲的铁路核心枢纽，拥有15个站台。 【答案】 6∶5 6 5 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，那么两个站台的比是：18∶15，进行化简比即可。 【详解】18∶15 ＝（18÷3）∶（15÷3） ＝6∶5 整数比：6∶5。 比的前项：6，比的后项：5。 【变式训练】一个比的前项是8，比值是，后项是（     ）。 A． B．20 C． D． 【答案】B 【分析】由比的前项÷比的后项＝比值，则比的后项＝比的前项÷比值，把题目中的数据代入计算，即可求得比的后项。 【详解】8÷ ＝8× ＝20 所以，后项是20。 故答案为：B 考点02：比的基本性质 【典型例题1】在9∶11中，如果后项增加33，要使比值不变，前项应（     ）。 A．增加33 B．乘4 C．增加36 D．不变 【答案】B 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；后项加上33，需要找出后项变化的倍数，前项也应变化相同的倍数或加上的数。 【详解】（11＋33）÷11 ＝44÷11 ＝4 9×4－9 ＝36－9 ＝27 在9∶11中，如果后项增加33，要使比值不变，前项应乘4。 【典型例题2】甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙是2∶7，则甲∶丙是（     ）。 【答案】12：7 【分析】假设乙为2份，丙为7份（因为乙：丙=2：7），那么乙+丙=2份+7份=9份；已知甲：（乙+丙）=4：3，所以甲对应4份时，所以（乙+丙）对应3份，但乙+丙是9份，所以这里的“3份”是比例中的单位，需要对应；在比例中，（ =，所以当（乙+丙）是9份时，甲=×9份=12份。所以甲是12份，丙是7份。因此甲：丙=12：7。 【详解】设乙=2，丙=7； 乙＋丙=9 甲：（乙+丙）=4：3 甲：9=4:3 甲=×9=12 甲：丙=12：7 甲、乙、丙三个数，已知甲：（乙＋丙）=4：3，乙：丙是2：7，则甲：丙是12：7。 【变式训练】把的前项加上6，要使比值不变，后项应该乘（     ）。 A．2 B．6 C．3 【答案】C 【分析】比的前项是3，后项是4，，，比的前项加上6，相当于乘3，要使比值不变，比的后项也要乘3。 【详解】 比的前项加上6，相当于乘3 要使比值不变，比的后项应该乘3 故答案为：C 考点03：化简比和求比值 【典型例题1】0.4千克∶300克的比值是（ ）。 【答案】 【分析】根据1千克＝1000克，先用0.4乘进率1000即可换算为克，再用比的前项除以后项即可求出比值。 【详解】0.4×1000＝400（克） 400÷300＝ 即0.4千克∶300克的比值是。 【典型例题2】甲数的等于乙数的，甲数∶乙数＝（ ）∶（ ），甲数是乙数的（ ）。 【答案】 35 16 【分析】假设甲数×＝乙数×＝1分别计算出甲数和乙数，即可以计算出比。 【详解】甲数×＝乙数×＝1，甲数＝，乙数＝，甲数：乙数＝35：16，甲数是乙数的。 【变式训练】把∶化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 【答案】 3∶4 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此化简；再根据比值的求法：用比的前项÷比的后项，即可解答。 【详解】∶ ＝（×8）∶（×8） ＝3∶4 3∶4 ＝3÷4 ＝ 把∶化成最简单的整数比是3∶4，比值是。 考点04：比与分数、除法的关系 【典型例题】（    ）∶20＝＝0.8＝（     ）÷15＝（     ）%＝（     ）折。 【答案】16；25；12；80；八 【分析】根据题目给出的已知数0.8，比的前项除以后项等于比值；分数中分母等于分子除以商；除法中被除数等于商乘除数；小数化百分数将小数点向右移动两位并添加百分号；小数表示折扣时，直接转换为中文数字加“折”。 【详解】第一个空：比的前项除以后项等于比值，设前项为x，则x÷20＝0.8，x＝0.8×20＝16，因此填16。 第二个空：分数＝0.8，则分母20÷0.8＝25，因此填25。 第三个空：（   ）÷15＝0.8，则被除数0.8×15＝12，因此填12。 第四个空：0.8＝80%，因此填80。 第五个空：0.8表示八折，因此填八。 【变式训练】5∶4＝（ ）÷12＝（ ）%＝10∶（ ）。 【答案】 15 125 8 【分析】比的前项对应除法里的被除数、后项对应除数，因此5∶4＝5÷4；根据商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）：除数4乘3，被除数5也乘3，就是15÷12；计算5÷4＝1.25；小数转化为百分数的方法是“小数点右移两位，后面加个百分号”：1.25的小数点右移两位是125，加上百分号就是125%；根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）：比的前、后项都乘2就是10∶8。 【详解】根据分析：5∶4＝15÷12＝125%＝10∶8。 考点05：和比问题 【典型例题】我国有悠久的青铜器铸造史，其中后母戊鼎是商周时期青铜文化的代表作，是迄今世界上出土最大、最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，现藏于中国国家博物馆。经测定，鼎重约833千克，其中含铜、锡、铅的比约为85∶12∶3，鼎中含锡和铅各约有多少千克？ 【答案】锡99.96千克；铅24.99千克 【分析】已知鼎重约833千克，其中含铜、锡、铅的比约为85∶12∶3，则铜85份、锡12份、铅3份，共85＋12＋3＝100份，用鼎的重量除以100份求出每份的重量，再分别乘12、乘3求出锡和铅的重量。据此解答。 【详解】85＋12＋3 ＝97＋3 ＝100 833÷100＝8.33（千克） 8.33×12＝99.96（千克） 8.33×3＝24.99（千克） 答：鼎中含锡约有99.96千克，含铅约有24.99千克。 【变式训练1】东汉医学家张仲景被后人尊称为“医圣”。他广泛收集医方，写出了传世巨著《伤寒杂病论》。下面是张仲景的“苓桂术甘汤”药方，王爷爷按这个药方配中药共重360克。其中甘草有多少克？ 茯苓四两，桂枝三两， 白术三两，甘草二两。 ——张仲景 【答案】60克 【分析】根据张仲景的“苓桂术甘汤”药方可知，茯苓∶桂枝∶白术∶甘草＝4∶3∶3∶2；甘草占“苓桂术甘汤”的，用王爷爷按这个药方配中药的重量×，即可求出需要甘草的重量。 【详解】茯苓四两，桂枝三两， 白术三两，甘草二两。 茯苓∶桂枝∶白术∶甘草＝4∶3∶3∶2 360× ＝360× ＝60（克） 答：其中甘草有60克。 【变式训练2】学校举行运动会，需要按2∶3∶4的比例从三、四、五年级学生中选出468人参加开幕式表演。三、四、五年级各需选出多少人？ 【答案】104人；156人；208人 【分析】将选出的总人数468人看作单位“1”，三年级选出的人数占选出总人数的，四年级选出的人数占选出总人数的，五年级选出的人数占选出总人数的；根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别用选出总人数乘各年级的对应分率，即可求出各需选出的人数。据此解答。 【详解】468× ＝468× ＝104（人） 468× ＝468× ＝156（人） 468× ＝468× ＝208（人） 答：三年级需选出104人，四年级需选出156人，五年级需选出208人。 考点06：差比问题 【典型例题】弟弟、姐姐、哥哥三人帮爷爷摘苹果，爷爷按3∶3∶5的质量比把任务分配给弟弟、姐姐、哥哥，已知哥哥比弟弟多摘24千克，三人一共帮爷爷摘了多少千克苹果？ 【答案】132千克 【分析】把三人摘的苹果按3∶3∶5分配，可以把弟弟、姐姐和哥哥摘的苹果分别看作3份、3份和5份，已知哥哥比弟弟多摘24千克，多5－3＝2（份），可以用24除以2求出每份对应的质量，总份数是3＋3＋5＝11（份），用每份的质量乘总份数可得到总质量。 【详解】每份的质量：24÷（5－3） ＝24÷2 ＝12（千克） 总质量：12×（3＋3＋5） ＝12×（6＋5） ＝12×11 ＝132（千克） 答：三人一共帮爷爷摘了132千克苹果。 【变式训练1】园博园内计划种植一批樟树、桂花树和玉兰树，三种树的种植棵数比是3∶4∶5，实际种植时，玉兰树比樟树多栽了60棵，且三种树全部按计划栽完。三种树各栽了多少棵？ 【答案】樟树90棵；桂花树120棵；玉兰树150棵 【分析】用60棵除以玉兰树比樟树多的份数，算出每一份的棵数。再用每一份的棵数分别乘它们的份数，分别算出三种树的数量。 【详解】60÷（5－3） ＝60÷2 ＝30（棵） 樟树：30×3＝90（棵） 桂花树：30×4＝120（棵） 玉兰树：30×5＝150（棵） 答：樟树栽了90棵，桂花树栽了120棵，玉兰树栽了150棵。 【变式训练2】郑州科技馆新馆周六上午接待的成人参观者与儿童参观者的人数比是3∶5，成人比儿童少60人。上午共接待多少名参观者？ 【答案】240名 【分析】由题意可知，成人参观者的人数占3份，儿童参观者的人数占5份，成人比儿童少（5－3）份，根据成人比儿童少的人数求出比中每份的人数，最后乘总份数求出上午接待参观者的总人数，据此解答。 【详解】60÷（5－3）×（5＋3） ＝60÷2×8 ＝30×8 ＝240（名） 答：上午共接待240名参观者。 考点07：单量与比的问题 【典型例题】建筑队配制一种混凝土，水泥，黄沙和石子的质量比是2∶3∶5，如果三种材料都有45吨，当黄沙全部用完时，水泥还余多少吨？石子需要增加多少吨？ 【答案】15吨；30吨 【分析】根据水泥、黄沙和石子的质量比是2∶3∶5，当黄沙全部用完时，黄沙占3份且总质量为45吨，因此可求出每份的质量。再根据水泥和石子所占的份数，分别计算它们需要的质量，并与实际拥有的质量比较，得出水泥剩余量和石子增加量。 【详解】45÷3＝15（吨） 2×15＝ 30（吨） 45－30＝15（吨） 5×15＝75（吨） 75－45＝30（吨） 答：水泥还余15吨，石子需要增加30吨。 【变式训练1】对地铁4号线某段轨道日常检修，已检修的长度与全长的比是2∶7，未检修455米。这段轨道全长多少米？ 【答案】637米 【分析】将比的前后项看成份数，未检修的对应份数是（7－2），未检修的长度÷对应份数＝一份数，一份数×全长对应份数＝这段轨道全长。 【详解】455÷（7－2）×7 ＝455÷5×7 ＝637（米） 答：这段轨道全长637米。 【变式训练2】奶奶用黑芝麻、黑米和黑豆按照的比配成了一种明目的杂粮早餐。这天奶奶买了黑芝麻、黑米和黑豆各10千克，当黑米全部用完时，黑芝麻还剩多少千克？ 【答案】4千克 【分析】把黑芝麻、黑米和黑豆的比看作份数比，用黑米的质量10千克除以对应的份数5求出1份是多少千克，再乘黑芝麻的份数，求出当黑米全部用完时黑芝麻用的质量，再用10千克减去黑芝麻用的质量就是黑芝麻剩下的质量。 【详解】10－10÷5×3 ＝10－2×3 ＝10－6 ＝4（千克） 答：当黑米全部用完时，黑芝麻还剩4千克。 考点08：连比问题 【典型例题】学校图书馆把1100本图书分给四、五、六三个年级，每个同学都领到了专属的精神食粮，开启一段美妙的阅读之旅。四年级与五年级分得的图书数量之比是1∶2，五年级与六年级分得的图书数量之比是4∶5。三个年级各分得多少本图书？ 【答案】四年级200本；五年级400本；六年级500本 【分析】因为四年级与五年级、五年级与六年级的图书数量比分别给出，所以需要先将两个比进行统一，得到三个年级图书数量的连比。 因为三个年级图书总数已知，且已得到连比，所以可以先计算出总份数，再根据各年级占总份数的比例，结合总数求出各年级分得的图书数量，这里会用到按比分配的方法。 【详解】四年级的∶五年级的＝1∶2＝2∶4 五年级的∶六年级的＝4∶5 四年级的∶五年级的∶六年级的＝2∶4∶5     （本） （本） （本）   答：四年级分得图书200本，五年级分得图书400本，六年级分得图书500本。 【变式训练1】一瓶重1100克的营养品，只含三种成分，其中白糖与奶粉质量的比是2∶3，奶粉与可可的质量比是6∶1，奶粉、白糖和可可的质量各是多少？ 【答案】白糖400克，奶粉600克，可可100克 【分析】已知白糖与奶粉的质量比是2∶3，奶粉与可可的质量比是6∶1。两个比中奶粉的份数分别是3和6，3和6的最小公倍数是6，因此将第一个比中奶粉的份数化为6，则白糖与奶粉的比2∶3＝（2×2）∶（3×2）＝4∶6。此时奶粉与可可的比是6∶1，故白糖、奶粉、可可的质量比为4∶6∶1。 将白糖看作4份，奶粉看作6份，可可看作是1份，则总份数为4＋6＋1＝11份，用总质量1100克除以总份数，得到一份的质量（即可可的质量），再用一份的质量分别乘三者的份数得到它们的质量。 【详解】2∶3＝（2×2）∶（3×2）＝4∶6 因此，白糖、奶粉、可可的质量比为4∶6∶1。 1100÷（4＋6＋1） ＝1100÷11 ＝100（克） 100×4＝400（克） 6×100＝600（克） 答：白糖的质量是400克，奶粉的质量是600克，可可的质量是100克。 【变式训练2】小林、小刚和小明相约去书城购书。小林所花钱数与小刚所花钱数的比是2∶3，小刚所花钱数的等于小明所花钱数的，而小明比小林多花了64元。他们购书一共花了多少钱？ 【答案】232元 【分析】根据“小刚花钱数的等于小明花钱数的”，根据比例的基本性质：在一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积，将分数等式转化为小刚与小明的花钱数之比；结合已知的小林与小刚的比2∶3，通过比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，把小刚的份数统一为9份，得到小林、小刚、小明的连比；再由“小明比小林多花64元”，算出两人的份数差，用多花的钱数除以分数差求出每份代表的钱数；最后，算出总份数，用总份数乘每份金额，得到三人购书的总花费。 【详解】由小刚花钱数的等于小明花钱数的，即小刚×＝小明×，可得， 小刚∶小明＝∶＝（​×21）∶（​×21）＝9∶14 小林∶小刚＝2∶3＝（2×3）∶（3×3）＝6∶9 所以，小林∶小刚∶小明＝6∶9∶14 14－6＝8（份） 64÷8＝8（元） 6＋9＋14＝29（份） 29×8＝232（元） 答：他们购书一共花了232元。 考点09：动态比问题 【典型例题】春节期间乐乐和妹妹共收到3600元压岁钱，分别放在两个红包中，如果从甲红包中取出500元放入乙红包中，则甲、乙两个红包的钱数比是5∶7，原来甲红包中有多少元？ 【答案】2000元 【分析】甲、乙两个红包的钱数比是5∶7，说明甲红包占3600元的，因为之前从甲红包中取出500元放入乙红包中，所以算出后再加上500元就是原来甲红包中的钱数。 【详解】 ＝ ＝1500（元） 1500＋500＝2000（元） 答：原来甲红包中有2000元。 【变式训练1】甲、乙两个志愿者团队原来的捐款钱数比是7∶3，现在甲团队拿出60元给乙团队用于帮扶困难学生，这时甲、乙两个团队的捐款钱数比是2∶3。现在甲、乙两个团队各捐款多少元？ 【答案】甲捐款80元，乙捐款120元 【分析】根据甲、乙两个团队原来的钱数比是7∶3，把两个团队总钱数看作单位“1”，可知甲原来的钱占两个团队总钱数的，根据这时甲、乙两个团队的钱数比是2∶3，可知甲现在的钱占两个团队总钱数的，比原来少了（－），少了60元，因此用60÷（－），求出两个团队钱的总数，然后再平均分成2＋3＝5份，其中2份是甲，3份是乙，据此即可解答问题。 【详解】60÷（－） ＝60÷（－） ＝60÷ ＝200（元） 200÷（2＋3） ＝200÷5 ＝40（元） 甲：40×2＝80（元） 乙：40×3＝120（元） 答：现在甲团队捐款80元，乙团队捐款120元。 【变式训练2】某班有42名学生，男生占，后来又转入若干名男生，这时男、女生的人数比为，后来转入了多少名男生？ 【答案】3名 【分析】把某班的42名学生看作单位“1”， 男生占，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出男生人数，用42减去男生人数求出女生人数，转入若干名男生后，女生人数不变，把这时男、女生的人数比看作份数比，用女生人数除以女生的份数，求出1份是多少，再乘男生人数的份数，求出现在的男生人数，再减去原来的男生人数即可解答。 【详解】42×＝24（名） （42－24）÷2 ＝18÷2 ＝9（名） 9×3－24 ＝27－24 ＝3（名） 答：后来转入了3名男生。 一、选择题 1．下面各比中，能与0.14∶0.1组成比例的是（     ）。 A．0.8∶0.25 B．28∶20 C． D．14∶1 【答案】B 【分析】比值相等的两个比能组成比例。分别计算0.14∶0.1和选项中各比的比值，找出和0.14∶0.1比值相等的选项即可。用比的前项除以后项即可求出比值。 【详解】0.14∶0.1＝0.14÷0.1＝1.4 A．0.8∶0.25＝0.8÷0.25＝3.2，与1.4不相等，不能和0.14∶0.1组成比例； B．28∶20＝28÷20＝1.4，与1.4相等，能和0.14∶0.1组成比例； C．＝＝＝≈0.56，与1.4不相等，不能和0.14∶0.1组成比例； D．14∶1＝14÷1＝14，与1.4不相等，不能和0.14∶0.1组成比例。 故答案为：B 2．随着生活水平日益提高，大家对产品的科学性、美观性等方面的要求也越来越高。如高清电视屏幕是长和宽之比由原来的4∶3发展为16∶9，因为16∶9更符合人的视觉体验，也有利于视频画面的呈现。下面四位同学表达了自己对16∶9的理解，其中理解错误的是（     ）。 A．电视屏幕长大约是宽的2倍少一点 B．如果电视屏幕长8英寸，那么宽应该是4.5英寸 C．电视屏幕长减少7英寸，就和宽一样长了 D．电视屏幕长不一定是16英寸，宽不一定是9英寸 【答案】C 【分析】A．长和宽的比是16∶9，将长看作16份，宽看作9份，用长除以宽，再将所得的结果与2进行比较判断； B．长和宽的比是16∶9，将长看作16份，宽看作9份，用8除以16计算出每一份的长度，然后用每一份的长度乘宽的份数计算出宽； C．例如：长为32英寸，宽为18英寸，长应减少32－18＝14（英寸）； D．例如：长为32英寸，宽为18英寸，长和宽的比也是16∶9。 【详解】根据分析： A．16÷9＝，＜2但接近2，所以电视屏幕长大约是宽的2倍少一点，原说法正确； B．8÷16×9 ＝0.5×9 ＝4.5（英寸） 如果电视屏幕长8英寸，那么宽应该是4.5英寸，原说法正确； C．电视屏幕长减少7英寸，不一定和宽一样长，原说法错误； D．电视屏幕长不一定是16英寸，宽不一定是9英寸，原说法正确。 故答案为：C 3．观察下面的四个情境，两个量的比不是4∶3的是图（     ）。 A．哥哥和妹妹身高的比 B．直尺总价与数量的比 C．空白部分与涂色部分面积的比 D．大正方体与小正方体体积的比 【答案】D 【分析】分别写出每个选项中两个量的比，再根据比的基本性质化成最简整数比，再解答即可。 【详解】A．160∶120 ＝（160÷40）∶（120÷40） ＝4∶3 所以两个量的比是4∶3，不符合题意。 B．直尺总价是4元，数量是3把； 直尺总价与数量的比为4∶3。 所以两个量的比是4∶3，不符合题意。 C．空白部分面积有4份，涂色部分面积是3份； 空白部分与涂色部分面积的比为：4∶3； 所以两个量的比是4∶3，不符合题意。 D．大正方体体积：4×4×4＝16×4＝64（cm3） 小正方体体积：3×3×3＝9×3＝27（cm3） 大正方体与小正方体体积的比64∶27。 所以两个量的比不是4∶3。 两个量的比不是4∶3的图。 故答案为：D 4．甲比乙多2倍，乙比丙多且甲、乙、丙都不为零，则甲∶乙∶丙＝（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将丙看作单位“1”，乙比丙多，乙为1＋＝；甲比乙多2倍，即甲是乙的3倍，甲为3×＝；再求甲、乙、丙的比，并化简。 【详解】假设丙为：1 乙为：1＋＝ 甲为：3×＝ 甲∶乙∶丙＝∶∶1 将比的各项乘2 甲∶乙∶丙＝9∶3∶2。 故答案为：D 5．聪聪的妈妈做摊饼时发现，面、水的质量比是时，摊饼的口感最好。聪聪也想做这样的摊饼，她不能按下面第（     ）种方法确定面和水的用量。 A．每1kg面需要800g水。 B．用同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 【答案】D 【分析】根据题意可知，面和水的质量比是固定的比例关系，据此逐项分析各个选项即可。 【详解】A．每1kg面需要800g水。 1kg∶800g ＝1kg∶0.8kg 符合1∶0.8的比例，方法正确。 B．同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 5∶4 ＝（5÷5）∶（4÷5） ＝1∶0.8 符合1∶0.8的比例，方法正确。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 1∶0.8 ＝1÷0.8 ＝1.25 也就是面的质量是水的1.25倍，方法正确。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 这不是比例关系，不能保证面和水质量比是1∶0.8，方法错误。 她不能按“无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g”的方法确定面和水的用量。 6．如果把5∶12的后项加上24，要使比值不变，它的前项应该（     ）。 A．加上10 B．乘2 C．加上24 D．乘5 【答案】A 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。 【详解】比的后项加上24 比的前项也乘3： 要使比值不变，它的前项应该乘3或加上10。 故答案为：A 7．一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是（     ）。 A．10∶8 B．5∶4 C．∶ D．4∶5 【答案】D 【分析】把工作总量看作单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，求得甲、乙两队的工作效率后，求比即可。 【详解】把工作总量看作单位“1”。 所以甲乙两队工作效率比是4∶5。 故答案为：D 8．将甲组人数的分给乙组，则乙组人数就比甲组剩下的人数多，原来甲、乙两组人数的比是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将甲组原人数看作单位“1”，将甲组人数的分给乙组，则甲组现在人数为1－＝，根据题干意思，乙组人数就比甲组剩下的人数多，也就是说现在乙组人数是甲组剩下的人数的，所以可用×算出现在乙组人数，再减去甲组分来的，就是原来乙组人数，从而算出比。 【详解】（1－）×（1＋） ＝× ＝ －＝ 原来甲、乙两组人数的比是：1∶＝（1×10）∶（×10）＝10∶7。 故答案为：D 二、填空题 9．化成最简整数比是（ ）；20公顷∶5平方千米的比值是（ ）。 【答案】 6∶5 /0.04 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再求比值。 【详解】0.2∶ ＝∶ ＝（×30）∶（×30） ＝6∶5 20公顷∶5平方千米 ＝20公顷∶（5×100）公顷 ＝20∶500 ＝20÷500 ＝ 0.2∶化成最简整数比是（6∶5）；20公顷∶5平方千米的比值是（）。 10．中国梦是国家、民族的梦。中国梦的具体内容是“国家富强，民族振兴，人民幸福”，这12个字中，总字数与左右结构的字数的最简整数比是（ ）。 【答案】3∶1/ 【分析】“国家富强，民族振兴，人民幸福”中左右结构的字有“强”、“族”、“振”、“福”共4个；再根据比的意义写出总字数和左右结构的字数的比是12∶4；最后根据比的基本性质将比的前项和后项同时除以4即可化成最简整数比。 【详解】根据分析： 左右结构的字有“强”、“族”、“振”、“福”共4个。 12∶4 ＝（12÷4）∶（4÷4） ＝3∶1 中国梦是国家、民族的梦。中国梦的具体内容是“国家富强，民族振兴，人民幸福”，这12个字中，总字数与左右结构的字数的最简整数比是3∶1。 11．中国农历中的“夏至”是一年中白昼时间最长、黑夜时间最短的一天。这一天，北京的白昼时间与黑夜时间的比大约是5∶3，这一天的白昼时间大约是（ ）小时，黑夜时间大约是（ ）小时。 【答案】 15 9 【分析】一天中有24小时，白昼时间与黑夜时间的比大约是5∶3，分别看成5份和3份，先用24÷（5＋3）计算出1份的数量，再分别计算白昼和黑夜的时间。 【详解】24÷（5＋3）＝24÷8＝3（小时） 5×3＝15（小时） 3×3＝9（小时）。 所以这一天的白昼时间大约是15小时，黑夜时间大约是9小时。 12．。 【答案】10；6；0.5；40 【分析】解答这道题需熟知除法、分数、比三者之间的关系：除法的被除数相当于分数的分子，相当于比的前项；除法的除数相当于分数的分母，相当于比的后项，除法的商相当于分数的分数值，相当于比的比值。商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数值不变；比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。小数化百分数的方法：小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号。先将0.4化成分数形式，再解答填空。 【详解】根据分析： 第一空：因，比的前项由2变成4需要乘2，比的后项5也要乘2，即，所以第一空填10。 第二空：分母5变成15需要乘3，分子2也要乘3，即，所以第二空填6。 第三空：因，被除数2变成0.2需要除以10，除数5也要除以10，即，所以第三空填0.5。 第四空：，所以第四空填40。 综上， 13．各小组用黄蓝两种颜色调配森林绿，第一小组用30mL黄颜料和50mL蓝颜料调配成功，那么第二小组用45mL黄颜料和（ ）mL蓝颜料才能调配成功。 【答案】75 【分析】已知第一小组用30mL黄颜料和50mL蓝颜料调配成功，根据比的意义写出黄颜料和蓝颜料的用量之比为30∶50，化简后是3∶5，即黄颜料的用量占3份，蓝颜料的用量占5份； 已知第二小组黄颜料的用量是45mL，除以黄颜料对应的份数，求出一份数，再用一份数乘蓝颜料对应的份数，求出调配成功需要蓝颜料的用量。 【详解】黄颜料和蓝颜料的用量之比： 30∶50＝（30÷10）∶（50÷10）＝3∶5 45÷3×5 ＝15×5 ＝75（mL） 那么第二小组用45mL黄颜料和75mL蓝颜料才能调配成功。 14．甲、乙两数的比值是，若甲数和乙数同时乘0.469，则甲、乙两数的最简单整数比是（ ）。 【答案】5∶8/ 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，由此填空即可。 【详解】甲、乙两数的比值是，则甲、乙两数的最简整数比是5∶8，若甲数和乙数同时乘0.469，根据比的基本性质，可知甲、乙两数的最简单整数比还是5∶8。 15．如果，那么a∶b＝（ ）（填最简整数比）。在一个比例中，两个外项的积是，一个内项是3，另一个内项是（ ）。 【答案】 5∶18 /0.2 【分析】已知，根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，可以把a和看作比例的外项，b和看作比例的内项，那么可得a∶b＝ ，根据比的性质化简比，比的前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数30求出最简整数比； 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，已知两个外项的积是，则两个内项的积也是，又已知一个内项是3，所以用积除以其中一个内项求另一个内项。 【详解】已知，则a∶b＝∶ ＝ ＝5∶18 所以如果，那么a∶b＝5∶18； ÷3 ＝× ＝（或0.2） 所以在一个比例中，两个外项的积是，一个内项是3，另一个内项是（或0.2）。 16．走同一条路，欢欢走完要40分钟，笑笑走完要小时，欢欢与笑笑所用的时间比是（ ），速度比是（ ），欢欢的速度比笑笑快（ ）%。 【答案】 4∶5 5∶4 25 【分析】根据1小时＝60分钟，先把小时化为50分钟，用欢欢走完的分钟数比笑笑走完用的分钟数，再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变化简；把这条路的全长看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，求出欢欢和笑笑的速度，再进行比；根据求一个数比另一个数多百分之几，用这两个数的差除以另一个数解答。 【详解】×60＝50（分钟） 40∶50＝（40÷10）∶（50÷10）＝4∶5 1÷40＝ 1÷50＝ ∶＝（×200）∶（×200）＝5∶4 （－）÷ ＝（）×50 ＝ ＝25% 欢欢与笑笑所用的时间比是4∶5，速度比是5∶4，欢欢的速度比笑笑快25%。 17．枸杞和菊花泡水是一种中国的传统茶饮，二者配合在一起泡水饮用，具有养肝明目、清热解毒、美容养颜的功效。妈妈在泡枸杞菊花茶时，将枸杞、菊花和水按照2∶7∶91的比进行配制，如果需要泡枸杞菊花茶500克，那么需要枸杞（ ）克，菊花（ ）克，水（ ）克。 【答案】 10 35 455 【分析】已知枸杞、菊花和水按照2∶7∶91的比进行配制，即枸杞、菊花、水的质量分别占总质量的、、；根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别求出配制500克枸杞菊花茶需要枸杞、菊花、水的质量。 【详解】500× ＝500× ＝10（克） 500× ＝500× ＝35（克） 500× ＝500× ＝455（克） 那么需要枸杞10克，菊花35克，水455克。 18．一根电线，第一次用去的与剩下的比是1∶4，第二次用去4.5米，两次一共用去这根电线的一半，这根电线共有（ ）米。 【答案】15 【分析】由题可知，整个电线长为单位“1”，第一次用去和剩下的比，即可算出第一次用去的占整个电线的，再结合两次共用去这根电线的一半，即，就可以推出第二次用去的4.5米占的分率。用第二次的数量÷第二次的分率，即可得出单位“1”。 【详解】1÷（1＋4）＝ 4.5÷（） ＝4.5÷ ＝15（米） 所以这根电线共有15米。 19．修一条路，已修和未修长度的比是，再修400米后，已修和未修长度的比是，这条路长（ ）米。 【答案】4800 【分析】已修和未修长度的比是，已修的分率为，再修400米后，已修和未修长度的比是，已修的分率为。所以400米就是现在修的（这条路的）比原来修的（这条路的）多的那部分量。用400除以它对应的分率得出单位“1”，就是这条路的长度。 【详解】 （米） 20．甲乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的质量比变成7∶8，那么两包糖的质量和是（ ）克。 【答案】30 【分析】由题意可知，两包糖的总数不变，根据比的意义，原来的总份数是（份），后来的总份数是（份），统一总份数为15，即原来甲乙两包糖的质量比是12∶3，从甲包取出10克，它的份数就变为7，可知10克有（份），用10除以5可得每份是多少，再乘12即可得解。 【详解】4∶1＝（4×3）∶（1×3）＝12∶3 （克） 甲乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的质量比变成7∶8，那么两包糖的质量和是30克。 三、计算题 21．化简下列各比，并求比值。 2.7∶0.18            ∶5           ∶       30厘米∶2米 【答案】15∶1；15；1∶18；；50∶27；；3∶20； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变，据此把给出的比化成最简整数比；单位不统一需要先转化成相同的单位再进行化简；用最简整数比的前项除以后项即可求出比值。 【详解】2.7∶0.18 ＝（2.7÷0.18）∶（0.18÷0.18） ＝15∶1 15∶1 ＝15÷1 ＝15 ∶5 ＝（×18）∶（5×18） ＝5∶90 ＝（5÷5）∶（90÷5） ＝1∶18 1∶18 ＝1÷18 ＝ ∶ ＝（×90）∶（×90） ＝50∶27 50∶27 ＝50÷27 ＝ 30厘米∶2米 ＝30厘米∶200厘米 ＝（30÷10）∶（200÷10） ＝3∶20 3∶20 ＝3÷20 ＝ 四、解答题 22．“五一”期间，小军一家自驾从雷州出发，到广西河池旅游，行了一段路程后，离河池还有201千米，这时已行的路程与未行路程的比是2∶1，雷州和河池相距多少千米？ 【答案】603千米 【分析】已知离河池还有201千米时，已行的路程与未行路程的比是2∶1，则把已行的路程看作2份，未行的路程看作1份，那么雷州和河池之间的路程就是3份；根据未行的路程占雷州和河池之间的路程的分率＝未行的路程的份数÷雷州和河池之间的路程的份数，先算出未行的路程占雷州和河池之间的路程的分率，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，则用未行的路程除以未行的路程占雷州和河池之间的路程的分率，即可求出雷州和河池相距多少千米。 【详解】1÷（2＋1） ＝1÷3 ＝ 201÷＝201×3＝603（千米） 答：雷州和河池相距603千米。 23．一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时已看的页数与剩下页数的比是2∶3。小明第一天看了多少页？ 【答案】70页 【分析】把这本书的页数看作单位“1”，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时看了总页数的，则42页占总页数的。根据分数除法的意义，用42页除以就是这本书的页数。再根据分数乘法的意义，用总页数乘就是第一天看的页数。 【详解】42÷× ＝42÷× ＝42÷× ＝280× ＝70（页） 答：小明第一天看了70页。 24．学校举行“阅读•写字•演讲”三项展示活动，每人只能参加一项活动。写字和阅读展示的人数比是5∶4，参加演讲展示的人数是写字的，已知参加三项展示的学生一共有168人，参加每项展示活动的各有多少人？ 【答案】参加演讲的人数是24人，参加写字的人数是80人，参加阅读展示的人数是64人 【分析】参加演讲展示的人数是写字的，则演讲人数∶写字人数＝3∶10，写字人数∶阅读展示人数＝5∶4，将写字人数与阅读展示的人数的比的前后项同时扩大到原来的2倍，即写字人数∶阅读展示的人数＝10∶8，则演讲人数∶写字人数∶阅读展示人数＝3∶10∶8，用三项展示的学生总人数除以三项的份数和，求出一份的人数，再分别乘三项各自占的份数即可。 【详解】参加演讲展示的人数是写字的，则演讲人数∶写字人数＝3∶10， 演讲人数∶写字人数∶阅读展示人数＝3∶10∶8 168÷（3＋10＋8） ＝168÷21 ＝8（人） 3×8＝24（人） 10×8＝80（人） 8×8＝64（人） 答：参加演讲的人数是24人，参加写字的人数是80人，参加阅读展示的人数是64人。 25．2024年4月26日，某市“奔跑吧•少年”趣味运动会在实验小学举办。王老师为这次趣味运动会购买了16个篮球和12个排球，共花了760元。已知篮球和排球的单价比是5∶6，王老师购买篮球、排球各花了多少元？ 【答案】篮球400元；排球360元 【分析】已知篮球和排球的单价比是5∶6，将篮球单价看作5，排球单价看作6，根据单价×数量＝总价，分别计算篮球和排球的总价，写出篮球和排球的总价比，再化简比，然后将比的前后项看成份数，总钱数÷总份数＝一份数，一份数分别乘篮球和排球的对应份数，即可求出篮球和排球的钱数。 【详解】篮球和排球的总价比： （5×16）∶（6×12） ＝80∶72 ＝（80÷8）∶（72÷8） ＝10∶9 一份数： 760÷（10＋9） ＝760÷19 ＝40（元） 篮球：40×10＝400（元） 排球：40×9＝360（元） 答：王老师购买篮球花了400元，购买排球花了360元。 26．实验小学举行庆“六一”男女大合唱，原计划合唱队中女生人数占合唱队总人数的，后来考虑到合唱效果，将增加5名男生，这时女生与男生人数的比是。合唱队原有女生多少名？ 【答案】30名 【分析】女生人数没变。将总人数看作单位“1”，原男生人数占总人数的（1－）。将女生人数看作单位“1”，原男生对应分率÷女生对应分率＝原男生人数占女生人数的几分之几，计算得原男生人数占女生人数的。根据增加5名男生，这时女生与男生人数的比是，可得这时男生人数占女生人数的，增加的男生人数占女生人数的（－），增加的男生人数÷对应分率＝女生人数，据此列式解答。 【详解】（1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 5÷（－） ＝5÷ ＝5×6 ＝30（名） 答：合唱队原有女生30名。 27．六年级学生报名参加快乐数学节，报名的同学是六年级总人数的，后来又有20人报名，这时六年级报名的同学与未报名的人数的比是3∶4，六年级一共有多少人报名参加快乐数学节？ 【答案】90人 【分析】把六年级的总人数看作单位“1”，原来报名的同学是六年级总人数的，后来又有20人报名，这时六年级报名的同学与未报名的人数的比是3∶4，即这时报名的同学占六年级总人数的；那么20人占总人数的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出总人数；再根据求一个数的几分之几是多少，用总人数乘，求出六年级报名参加快乐数学节的人数。 【详解】总人数： 20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷ ＝20× ＝210（人） 报名的人数： 210× ＝210× ＝90（人） 答：六年级一共有90人报名参加快乐数学节。 28．甲乙两袋米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲乙两袋米的质量比为8∶5，两袋米原来各有多少千克？ 【答案】甲袋米原来有240千克，乙袋米原来有200千克 【分析】设甲袋原有大米千克，则乙袋原有大米千克；由“甲袋米吃了，”得出甲袋米剩下千克；由“乙袋米吃了，”得出乙袋米剩下，再根据“这时甲、乙两袋米的质量比为8：5”得出等量关系为：甲袋剩下米的质量乙袋剩下米的质量＝，据此列方程解答。 【详解】解：设甲袋原有大米千克，则乙袋原有大米千克。 乙原来：（千克） 答：甲袋米原来有240千克，乙袋米原来有200千克。 29．六（1）班老师把学生分成甲、乙两个组参加数学阅读核心素养比赛，甲、乙两组的人数比是4∶5，若从乙组调5人到甲组，则甲组人数是乙组的140%。六（1）班参加数学阅读素养比赛的一共有多少人？ 【答案】36人 【分析】将总人数看作单位“1”，根据甲、乙两组的人数比是4∶5，可知乙组人数是总人数的，从乙组调5人到甲组，乙组人数是总人数的，乙组人数前后相差了总人数的，从乙组调走的人数÷对应百分率或分率＝总人数。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝36（人） 答：六（1）班参加数学阅读素养比赛的一共有36人。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章：比和比例 专题13：比、按比分配问题 （9大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：比的读法、写法及各部分的名称 考点02：比的基本性质 考点03：化简比和求比值 考点04：比与分数、除法的关系 考点05：和比问题 考点06：差比问题 考点07：单量与比的问题 考点08：连比问题 考点09：动态比问题 知识点01：比的意义 1.比的意义：两个数的比表示两个数相除。 2.比的读、写法及各部分名称 （1）比的写法：∶b或（b≠0）。 （2）比的读法：“∶”读作“比”，从前往后读成“几比几”。 （3）比号前面的数叫做比的前项，后面的数叫做比的后项，前项除以后项得的商叫做比值。 （4）比值可以用分数表示，也可以用小数表示，还可以用整数表示。 （5）比值＝比的前项÷比的后项 3.比和比值的区别 （1）比表示的是两个数的关系，是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式，读作几比几。 （2）比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。 4.比与分数、除法的关系： 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） —（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系； 不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 知识点02：比的基本性质 1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变。 a∶b＝na∶nb（b≠0，n≠0），或者a∶b＝∶ （b≠0，n≠0）。 2.最简整数比：比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。 【易错点拨】判断是否为最简比，关键看前项和后项是否互质。 知识点03：化简比和求比值 1.求比值：求比值就是求比的前项除以后项所得的商。比值可以用小数、分数或整数表示。 2.化简比：化简比则是把两个数的比化成最简单的整数比。化简比时，通常需要根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以某个数，使它们成为互质数。 3.化简比的方法 （1）整数比的化简：直接找出比的前项和后项的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数。 （2）小数比的化简：将比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比后再进行化简。 （3）分数比的化简： ①方法一：将比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。 ②方法二：用求比值的方法进行化简，但最后结果要写成比的形式。 （4）求带单位的比的比值或化简： ①单位统一的比，求比值或化简比，直接化简求值即可； ②单位不统一的，要先将单位进行统一，然后再求比值。化简比的方法也一样。 【易错点拨】 （1）化简比用“比的基本性质”（乘除相同数，0除外），求比值用“除法运算”（前项÷后项）。 （2）化简比结果是“a∶b”（最简整数比），求比值结果是整数、小数或分数（不能是比的形式）。 知识点04：按比分配问题 1.按比分配问题的解题方法： （1）分数法：先求总份数，再求各部分量占总数的几分之几，最后用总量乘各部分量占总数的几分之几，求出各部分量。 （2）归一法：先求出总份数，再用总数量÷总份数求出平均每份的量（归一），最后用每份的量乘各部分对应的份数求出各部分量。 2.和比问题 （1）已知两个数的和及大数与小数的比，求这两个数分别是多少的应用题，即是“和比问题”。 （2）解题思路： 方法一：利用平均分法（归一法）来解答： ①求出总份数：把比的各项的和看作平均分的总份数， ②求出每一份是多少：总数÷份数＝每一份量； ③求出各个部分对应的具体数量：看要求的量占几份来解答。 方法二：转化成分数应用题来解答： ①求出总份数：求出比的各项之和； ②求出各部分数量分别占总数的几分之几； ③用分数乘法解题，求出各个部分对应的具体数量。 3.差比问题 （1）已知两个数的差及大数与小数的比，求这两个数分别是多少的应用题，即是“差比问题”。 （2）公式是：每一份的数量＝两个数的差量÷（大数的份数－小数的份数）。 4.单量与比的问题 已知甲∶乙＝A∶B和其中的一个单量甲，可以用“单量甲÷A”求出每一份的数量。 5.连比问题 （1）由三个或三个以上的数量组成的比叫做这几个数量的连比。 （2）一般说来，如果甲∶乙＝x∶y，乙∶丙＝y∶z，那么甲∶乙∶丙＝x∶y∶z，也就是说，我们可以通过找中间量，将两个比转换成一个比。但很多时候，中间量在两个比中往往所占的份数是不一样，那么就需要寻找中间量的“最小公倍数”，再根据比的基本性质，把两个比转化成一个比。 6.动态比问题 （1）在比的应用题中，如果其中的一个量或者两个量发生了变化，从而最后达到题目中指定比的问题，即是动态比问题。 （2）总量不变的动态比问题：单量改变，但是总量不变。解决此类实际问题的关键是抓住“总量不变”进行求解。 （3）总量改变的动态比问题：单量改变，导致总量跟着改变，那么解题的关键是抓住题目中的不变量，根据不变量进行求解。 【易错点拨】 （1）先明确“总量”和“分配比”，确保比的顺序与各部分对应的量一致。 （2）若分配比不是最简比，需先化简再计算。 （3）计算后需验证各部分量之和是否等于总量。 （4）遇到“部分量求总量”的逆向问题，先求每份的量，再乘总份数。 考点01：比的读法、写法及各部分的名称 【典型例题】西安北站和广州南站的站台数的最简单的整数比是（ ），这个比的前项是（ ），后项是（ ）。 “高铁是我国装备制造的一张亮丽的名片”，作为位居全国前列的高铁站，西安北站是西北地区核心铁路枢纽，拥有18个站台；广州南站是粤港澳大湾区及泛珠江三角洲的铁路核心枢纽，拥有15个站台。 【变式训练】一个比的前项是8，比值是，后项是（     ）。 A． B．20 C． D． 考点02：比的基本性质 【典型例题1】在9∶11中，如果后项增加33，要使比值不变，前项应（     ）。 A．增加33 B．乘4 C．增加36 D．不变 【典型例题2】甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙是2∶7，则甲∶丙是（     ）。 【变式训练】把的前项加上6，要使比值不变，后项应该乘（     ）。 A．2 B．6 C．3 考点03：化简比和求比值 【典型例题1】0.4千克∶300克的比值是（ ）。 【典型例题2】甲数的等于乙数的，甲数∶乙数＝（ ）∶（ ），甲数是乙数的（ ）。 【变式训练】把∶化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 考点04：比与分数、除法的关系 【典型例题】（    ）∶20＝＝0.8＝（     ）÷15＝（     ）%＝（     ）折。 【变式训练】5∶4＝（ ）÷12＝（ ）%＝10∶（ ）。 考点05：和比问题 【典型例题】我国有悠久的青铜器铸造史，其中后母戊鼎是商周时期青铜文化的代表作，是迄今世界上出土最大、最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，现藏于中国国家博物馆。经测定，鼎重约833千克，其中含铜、锡、铅的比约为85∶12∶3，鼎中含锡和铅各约有多少千克？ 【变式训练1】东汉医学家张仲景被后人尊称为“医圣”。他广泛收集医方，写出了传世巨著《伤寒杂病论》。下面是张仲景的“苓桂术甘汤”药方，王爷爷按这个药方配中药共重360克。其中甘草有多少克？ 茯苓四两，桂枝三两， 白术三两，甘草二两。 ——张仲景 【变式训练2】学校举行运动会，需要按2∶3∶4的比例从三、四、五年级学生中选出468人参加开幕式表演。三、四、五年级各需选出多少人？ 考点06：差比问题 【典型例题】弟弟、姐姐、哥哥三人帮爷爷摘苹果，爷爷按3∶3∶5的质量比把任务分配给弟弟、姐姐、哥哥，已知哥哥比弟弟多摘24千克，三人一共帮爷爷摘了多少千克苹果？ 【变式训练1】园博园内计划种植一批樟树、桂花树和玉兰树，三种树的种植棵数比是3∶4∶5，实际种植时，玉兰树比樟树多栽了60棵，且三种树全部按计划栽完。三种树各栽了多少棵？ 【变式训练2】郑州科技馆新馆周六上午接待的成人参观者与儿童参观者的人数比是3∶5，成人比儿童少60人。上午共接待多少名参观者？ 考点07：单量与比的问题 【典型例题】建筑队配制一种混凝土，水泥，黄沙和石子的质量比是2∶3∶5，如果三种材料都有45吨，当黄沙全部用完时，水泥还余多少吨？石子需要增加多少吨？ 【变式训练1】对地铁4号线某段轨道日常检修，已检修的长度与全长的比是2∶7，未检修455米。这段轨道全长多少米？ 【变式训练2】奶奶用黑芝麻、黑米和黑豆按照的比配成了一种明目的杂粮早餐。这天奶奶买了黑芝麻、黑米和黑豆各10千克，当黑米全部用完时，黑芝麻还剩多少千克？ 考点08：连比问题 【典型例题】学校图书馆把1100本图书分给四、五、六三个年级，每个同学都领到了专属的精神食粮，开启一段美妙的阅读之旅。四年级与五年级分得的图书数量之比是1∶2，五年级与六年级分得的图书数量之比是4∶5。三个年级各分得多少本图书？ 【变式训练1】一瓶重1100克的营养品，只含三种成分，其中白糖与奶粉质量的比是2∶3，奶粉与可可的质量比是6∶1，奶粉、白糖和可可的质量各是多少？ 【变式训练2】小林、小刚和小明相约去书城购书。小林所花钱数与小刚所花钱数的比是2∶3，小刚所花钱数的等于小明所花钱数的，而小明比小林多花了64元。他们购书一共花了多少钱？ 考点09：动态比问题 【典型例题】春节期间乐乐和妹妹共收到3600元压岁钱，分别放在两个红包中，如果从甲红包中取出500元放入乙红包中，则甲、乙两个红包的钱数比是5∶7，原来甲红包中有多少元？ 【变式训练1】甲、乙两个志愿者团队原来的捐款钱数比是7∶3，现在甲团队拿出60元给乙团队用于帮扶困难学生，这时甲、乙两个团队的捐款钱数比是2∶3。现在甲、乙两个团队各捐款多少元？ 【变式训练2】某班有42名学生，男生占，后来又转入若干名男生，这时男、女生的人数比为，后来转入了多少名男生？ 一、选择题 1．下面各比中，能与0.14∶0.1组成比例的是（     ）。 A．0.8∶0.25 B．28∶20 C． D．14∶1 2．随着生活水平日益提高，大家对产品的科学性、美观性等方面的要求也越来越高。如高清电视屏幕是长和宽之比由原来的4∶3发展为16∶9，因为16∶9更符合人的视觉体验，也有利于视频画面的呈现。下面四位同学表达了自己对16∶9的理解，其中理解错误的是（     ）。 A．电视屏幕长大约是宽的2倍少一点 B．如果电视屏幕长8英寸，那么宽应该是4.5英寸 C．电视屏幕长减少7英寸，就和宽一样长了 D．电视屏幕长不一定是16英寸，宽不一定是9英寸 3．观察下面的四个情境，两个量的比不是4∶3的是图（     ）。 A．哥哥和妹妹身高的比 B．直尺总价与数量的比 C．空白部分与涂色部分面积的比 D．大正方体与小正方体体积的比 4．甲比乙多2倍，乙比丙多且甲、乙、丙都不为零，则甲∶乙∶丙＝（     ）。 A． B． C． D． 5．聪聪的妈妈做摊饼时发现，面、水的质量比是时，摊饼的口感最好。聪聪也想做这样的摊饼，她不能按下面第（     ）种方法确定面和水的用量。 A．每1kg面需要800g水。 B．用同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 6．如果把5∶12的后项加上24，要使比值不变，它的前项应该（     ）。 A．加上10 B．乘2 C．加上24 D．乘5 7．一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是（     ）。 A．10∶8 B．5∶4 C．∶ D．4∶5 8．将甲组人数的分给乙组，则乙组人数就比甲组剩下的人数多，原来甲、乙两组人数的比是（     ）。 A． B． C． D． 二、填空题 9．化成最简整数比是（ ）；20公顷∶5平方千米的比值是（ ）。 10．中国梦是国家、民族的梦。中国梦的具体内容是“国家富强，民族振兴，人民幸福”，这12个字中，总字数与左右结构的字数的最简整数比是（ ）。 11．中国农历中的“夏至”是一年中白昼时间最长、黑夜时间最短的一天。这一天，北京的白昼时间与黑夜时间的比大约是5∶3，这一天的白昼时间大约是（ ）小时，黑夜时间大约是（ ）小时。 12．。 13．各小组用黄蓝两种颜色调配森林绿，第一小组用30mL黄颜料和50mL蓝颜料调配成功，那么第二小组用45mL黄颜料和（ ）mL蓝颜料才能调配成功。 14．甲、乙两数的比值是，若甲数和乙数同时乘0.469，则甲、乙两数的最简单整数比是（ ）。 15．如果，那么a∶b＝（ ）（填最简整数比）。在一个比例中，两个外项的积是，一个内项是3，另一个内项是（ ）。 16．走同一条路，欢欢走完要40分钟，笑笑走完要小时，欢欢与笑笑所用的时间比是（ ），速度比是（ ），欢欢的速度比笑笑快（ ）%。 17．枸杞和菊花泡水是一种中国的传统茶饮，二者配合在一起泡水饮用，具有养肝明目、清热解毒、美容养颜的功效。妈妈在泡枸杞菊花茶时，将枸杞、菊花和水按照2∶7∶91的比进行配制，如果需要泡枸杞菊花茶500克，那么需要枸杞（ ）克，菊花（ ）克，水（ ）克。 18．一根电线，第一次用去的与剩下的比是1∶4，第二次用去4.5米，两次一共用去这根电线的一半，这根电线共有（ ）米。 19．修一条路，已修和未修长度的比是，再修400米后，已修和未修长度的比是，这条路长（ ）米。 20．甲乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的质量比变成7∶8，那么两包糖的质量和是（ ）克。 三、计算题 21．化简下列各比，并求比值。 2.7∶0.18            ∶5           ∶       30厘米∶2米 四、解答题 22．“五一”期间，小军一家自驾从雷州出发，到广西河池旅游，行了一段路程后，离河池还有201千米，这时已行的路程与未行路程的比是2∶1，雷州和河池相距多少千米？ 23．一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时已看的页数与剩下页数的比是2∶3。小明第一天看了多少页？ 24．学校举行“阅读•写字•演讲”三项展示活动，每人只能参加一项活动。写字和阅读展示的人数比是5∶4，参加演讲展示的人数是写字的，已知参加三项展示的学生一共有168人，参加每项展示活动的各有多少人？ 25．2024年4月26日，某市“奔跑吧•少年”趣味运动会在实验小学举办。王老师为这次趣味运动会购买了16个篮球和12个排球，共花了760元。已知篮球和排球的单价比是5∶6，王老师购买篮球、排球各花了多少元？ 26．实验小学举行庆“六一”男女大合唱，原计划合唱队中女生人数占合唱队总人数的，后来考虑到合唱效果，将增加5名男生，这时女生与男生人数的比是。合唱队原有女生多少名？ 27．六年级学生报名参加快乐数学节，报名的同学是六年级总人数的，后来又有20人报名，这时六年级报名的同学与未报名的人数的比是3∶4，六年级一共有多少人报名参加快乐数学节？ 28．甲乙两袋米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲乙两袋米的质量比为8∶5，两袋米原来各有多少千克？ 29．六（1）班老师把学生分成甲、乙两个组参加数学阅读核心素养比赛，甲、乙两组的人数比是4∶5，若从乙组调5人到甲组，则甲组人数是乙组的140%。六（1）班参加数学阅读素养比赛的一共有多少人？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $