精品解析：广东茂名市华南师范大学附属茂南实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学期中试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 说明： 1．考试开始前，请在答题卡上填好相关信息． 2．考试结束后，将答题卡装好交回． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 小明有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色．他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少？（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 4. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 5. 在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（ ） A. 6个 B. 19个 C. 25个 D. 26个 6. 在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. 处可填 B. 处可填 C. 处可填 D. 处可填 7. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 15 9. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 10. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）． A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是________． 12. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______． 13. 任意抛掷一枚硬币2次，一正一反的概率是______． 14. 如图，菱形的周长为16，，点E、F分别为、的中点，则EF的长度为_____． 15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是_________． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解方程：； 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21. 如图，在中，是边上的一点，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）求证 （2）①当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． ②满足 条件时，四边形是菱形（无需证明）． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 23. 定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 说明： 1．考试开始前，请在答题卡上填好相关信息． 2．考试结束后，将答题卡装好交回． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 小明有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色．他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，先找出所有等可能的搭配结果，再找出满足条件的结果，根据概率公式计算即可. 【详解】解：记红色上衣为红上衣，白色上衣为白上衣，黑色裤子为黑裤子，白色裤子为白裤子， 所有等可能的搭配结果共有4种，分别是(红上衣，黑裤子)、(红上衣，白裤子)、(白上衣，黑裤子)、(白上衣，白裤子)， ∵恰好是白色上衣和白色裤子的结果只有1种， ∴所求概率为. 故选：C. 2. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 3. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，直接利用根与系数之间的关系求解即可．熟练掌握根与系数之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 故选：D． 5. 在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（ ） A. 6个 B. 19个 C. 25个 D. 26个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．用球的总数乘以白球所占球的总数的频率，即为白球的个数． 【详解】解：∵摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右， ∴摸到白球的频率稳定在左右， ∴白球的个数为：， 故选：D． 6. 在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. 处可填 B. 处可填 C. 处可填 D. 处可填 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握常见四边形之间的关系． 菱形、矩形、正方形的判定，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵一组对边相等是平行四边形的性质， ∴选项符合题意， ∵一组邻边互相垂直的菱形是正方形， ∴选项不符合题意， ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴选项不符合题意， ∵一组邻边相等的矩形是正方形， ∴选项不符合题意， 故选：． 7. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，列出方程，进行判断即可． 【详解】解：设年平均增长率为，则2024年投入研发资金为万元，2025年投入研发资金为万元， 由题意，得：； 故选D． 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把m代入一元二次方程得出，然后整体代入代数式求解即可． 【详解】解：∵已知是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选A 9. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 10. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）． A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，然后解方程组即可． 【详解】设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 故答案为：1． 12. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程根的判别式的应用． 利用关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：，列出不等式求解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴， 解得：， ∴符合题意； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 任意抛掷一枚硬币2次，一正一反的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中出现“一正一反”的结果有2种， ∴出现“一正一反”的概率是， 故答案为：． 14. 如图，菱形的周长为16，，点E、F分别为、的中点，则EF的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得出，由的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，然后证明为的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】∵四边形是菱形，周长为16，， ∴，， ∴， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案是： ． 【点睛】考查了菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理；根据勾股定理求出和证明三角形中位线是解决问题的关键． 15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形性质，解二元一次方程组等知识，先由菱形性质得到四个直角三角形全等，再由图2列出方程组，求出值后，由菱形面积与三角形面积关系，求出三角形面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，对角线交于点，则，，，， 四个直角三角形全等， 设，，且， 由图2左图可知，， 由图2右图可知，， 联立，解得， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】因式分解法解方程即可. 【详解】解：， ， 或， 解得. 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ． 于点E，于点F． ． ， ， ． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【小问1详解】 证明：， ， 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， ∴小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 21. 如图，在中，是边上的一点，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）求证 （2）①当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． ②满足 条件时，四边形是菱形（无需证明）． 【答案】（1）见解析 （2）①当时，四边形为矩形，理由见解析；②当时，四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形判定与性质，菱形的判定是解题的关键． （1）证明可得，再根据条件可利用等量代换可得； （2）①首先判定四边形为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可得四边形为矩形；②根据是平行四边形，再证邻边相等的平行四边形是菱形即可． 【小问1详解】 证明：∵， ． 是的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①当时，四边形为矩形， 证明如下： ，， 四边形为平行四边形， ∵，， ， ， 四边形为矩形； ②当时，四边形是菱形． 证明：由①知四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴四边形是菱形． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 23. 定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）A； （2）四边形是“奇妙四边形”，理由见解析； 或． 【解析】 【分析】根据“奇妙四边形”的定义进行判断即可； 根据正方形的性质和垂直的定义可得：，根据四边形内角和定理和邻补角定义可证，根据正方形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，等量代换可证，根据等角对等边可证，所以可证结论成立； 因为，所以四边形有一组对角互补，根据“奇妙四边形”的定义还需要有一组邻边相等，所以应分、、、四情况求解． 【小问1详解】 解：正方形、矩形的四个角都是直角， 正方形、矩形都满足有一组对角互补， 只有正方形的四条边都相等， 正方形是“奇妙四边形”， 故选：A； 【小问2详解】 解：四边形是“奇妙四边形”， 理由如下： 如下图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形内角和为， ， 又， ， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 四边形是“奇妙四边形”； 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形内角和为， ， 若四边形是“奇妙四边形”， 则需要有一组邻边相等， 当时， 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 如下图所示，过点作于M， 设， 由可知， ， ， 在中，， 是正方形的对角线， ， ， ， 解得：， ， ， ； 当时，则点是的中点， 则只有当点与点重合时成立， 故不符合题意； 当时， 如下图所示，连接， 在和中，， ， ， 同上； 如下图所示， 当时，则有是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 由可知， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是理解“奇妙四边形”的定义，根据“奇妙四边形”找出边和角的关系，分情况求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $