专题02 一次方程组（15大压轴题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

专题02 一次方程组（15大压轴题型） 题型1 二元一次方程的定义 题型9 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型2 二元一次方程的解 题型10 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型3 代入消元法 题型11 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型4加减消元法 题型12 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型13 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 题型14 三元一次方程组的定义及解 题型7 构造二元一次方程组求解 题型15 三元一次方程组的应用 题型8 方案问题（二元一次方程组的应用） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程的定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 题型二 二元一次方程的解（共3小题） 4．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（16-17七年级下·河南南阳·期中）写出一个解为：的二元一次方程______． 6．（13-14七年级下·山东青岛·课后作业）若是方程的解，则m的值为_____． 题型三 代入消元法（共3小题） 7．（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）把方程改写成用含的式子表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（13-14七年级下·天津·期末）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 9．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）解方程组：． 题型四 加减消元法（共3小题） 10．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知关于x，y的方程组为，则_______． 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）解下列方程组： (1)； (2) 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）解方程组 (1) (2) 题型五 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 13．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 2 … 则关于的二元一次方程组的解是________． 14．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______． 15．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读理解： （Ⅰ）我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组． 把它们写成我们现在的方程组是与 （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 解答下列问题： (1)直接写出图表示的关于，的二元一次方程组； (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 16．（21-22七年级下·辽宁营口·期中）解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 17．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 18．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 题型七 构造二元一次方程组求解（共3小题） 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为______． 20．（23-24七年级下·四川内江·期中）对于有理数，规定新运算：，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，求的值． 21．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式（k、b是常数）中，当时，；时，． (1)求k、b的值； (2)当时，x的值取多少？ 题型八 方案问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 22．（25-26七年级上·吉林·期中）省二实验学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级师生共483人．学校向租车公司租赁A，B两种车型送师生往研学基地，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余12个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则18人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 23．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 24．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租），已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩，则每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ 题型九 行程问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 25．（25-26八年级上·四川·期中）小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·广东广州·期中）列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 27．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 题型十 工程问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 28．（24-25七年级下·四川乐山·期中）乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 29．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 30．（24-25七年级下·河南许昌·期中）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 题型十一 数字问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 31．（23-24七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 32．（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 33．（24-25七年级下·河南周口·期中）“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 题型十二 和差倍分问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 34．（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 35．（24-25七年级下·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 36．（24-25七年级下·北京·期中）列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 题型十三 几何问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 37．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（    ） A．9 B．12 C．24 D．48 38．（25-26八年级上·四川成都·期中）将一个长方形的长减少，宽增加，就变成一个正方形．已知这两个图形的面积相等，请画出示意图进行分析，并求长方形的长和宽分别是多少． 39．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 题型十四 三元一次方程组的定义及解（共3小题） 40．（16-17七年级下·重庆万州·期中）三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 41．（23-24七年级下·山东日照·期中）解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 42．（22-23九年级下·上海·期中）解方程组：． 题型十五 三元一次方程组的应用（共3小题） 43．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 44．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是_____元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____． 45．（24-25七年级下·山东淄博·期中）利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是______． $专题02 一次方程组（15大压轴题型） 题型1 二元一次方程的定义 题型9 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型2 二元一次方程的解 题型10 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型3 代入消元法 题型11 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型4加减消元法 题型12 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型13 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 题型14 三元一次方程组的定义及解 题型7 构造二元一次方程组求解 题型15 三元一次方程组的应用 题型8 方案问题（二元一次方程组的应用） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程的定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 题型二 二元一次方程的解（共3小题） 4．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 5．（16-17七年级下·河南南阳·期中）写出一个解为：的二元一次方程______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解．由、的值，可得出的值，用其组成方程即可． 【详解】解：∵二元一次方程的解为， ∴该方程可以为， 故答案为：．（答案不唯一） 6．（13-14七年级下·山东青岛·课后作业）若是方程的解，则m的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”，熟记二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 题型三 代入消元法（共3小题） 7．（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）把方程改写成用含的式子表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将x看作已知数，通过移项、合并同类项整理出y的表达式即可得到结果． 【详解】解：∵ 原方程为 ， 移项得 ， 合并同类项得 ． 8．（13-14七年级下·天津·期末）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形． 【详解】解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便， ∴由②移项得，此变形最合适， 对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐， 故选：D． 9．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题可采用代入消元法或加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这里选择代入消元法：先由一个方程变形得到用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程消去一个未知数，求出一个未知数的值后，回代求出另一个未知数的值． 【详解】解：， 由①得， 将③代入②得， 解得， 将 代入③得 ， 所以方程组的解为． 题型四 加减消元法（共3小题） 10．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知关于x，y的方程组为，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查了加减消元法，通过将方程组中的两个方程相加，直接得到的值，进而求出所求表达式的值． 【详解】解：， 整理得：， 将两方程相加，得：， ∴． 故答案为：2． 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为； （2）原方程组可化为， ，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴方程组的解为． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法解答即可； （2）先整理方程组，然后运用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 所以方程组的解为：． （2）解：可整理为：， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 所以方程组的解为：． 题型五 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 13．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 2 … 则关于的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过解二元一次方程组．从两个表格中找到二元一次方程和的公共解，从而确定和的值． 【详解】解：从表格中可知，当，时，同时满足方程和． 设，， 则原方程组化为． 因此，， 即． 解方程组： ，得，所以； ，得，所以． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组，通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解． 【详解】解：整理方程组， 可得： 令 ，， 则新方程组化为：， 方程组的解为， 方程组的解为， ， 解得：． 15．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读理解： （Ⅰ）我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组． 把它们写成我们现在的方程组是与 （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 解答下列问题： (1)直接写出图表示的关于，的二元一次方程组； (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法和图表信息获取能力，关键是能理解用算筹图表示二元一次方程组的方法和用数表简化解二元一次方程组． （1）利用已知算筹图表示二元一次方程组的方法直接写出即可． （2）利用题干中阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解答即可． 【详解】（1）解：图表示的关于，的二元一次方程组为：； （2）解：， 所以原方程组的解为． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 16．（21-22七年级下·辽宁营口·期中）解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 17．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【详解】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程组的关系是解决本题的关键． （1）将代入求出， 将代入求出； （2）按照加减消元的方法解方程组即可； （3）由（2）得出，再按照加减消元的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：， ． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解：由（2）可知， 得， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 题型七 构造二元一次方程组求解（共3小题） 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 20．（23-24七年级下·四川内江·期中）对于有理数，规定新运算：，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，弄清题中的新定义是解题关键． 已知两式利用题中的新定义化简，求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：，得 ，得 解得 ． 21．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式（k、b是常数）中，当时，；时，． (1)求k、b的值； (2)当时，x的值取多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，将两组值代入求出等式是解题的关键． （1）分别将，；，分别代入等式，得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可； （2）把代入，求出y值即可． 【详解】（1）解：将，；，分别代入等式，可得： ， 解得； （2）解：由（1）得， 把代入，得， 解得． 题型八 方案问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 22．（25-26七年级上·吉林·期中）省二实验学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级师生共483人．学校向租车公司租赁A，B两种车型送师生往研学基地，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余12个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则18人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 【答案】A型车有45个座位，B型车有60个座位 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 通过两种租车方案列出方程组，求解得出每种车的座位数即可． 【详解】解：设A型车每辆有a个座位，B型车每辆有b个座位， 根据题意，第一种租车方案：租用3辆A型车和6辆B型车，空余12个座位， 即； 第二种租车方案：租用5辆A型车和4辆B型车，18人没有座位， 即； 得方程组：， 解得：， ∴A型车有45个座位，B型车有60个座位． 23．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 24．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租），已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩，则每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ 【答案】每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时割草分别为6亩和8亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每台甲型割草机每小时割草x亩，每台乙型割草机每小时割草y亩，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设每台甲型割草机每小时割草x亩，每台乙型割草机每小时割草y亩， 根据题意得 解得，， 答：每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时割草分别为6亩和8亩． 题型九 行程问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 25．（25-26八年级上·四川·期中）小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小刚乘车的路程和步行的路程分别为x和y，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据总路程为可得；根据总时间为2小时，利用时间=路程/速度，可得乘车时间与步行时间之和为2． 【详解】∵ 总路程为， ∴ ； ∵ 总时间为，且时间=路程速度， ∴ 乘车时间，步行时间， ∴， 故方程组正确为． 故选：B． 26．（24-25七年级下·广东广州·期中）列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】(1)每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元 (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意可列，解方程组即可； （2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意可列，解方程组即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， 所以根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． （2）设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， 解得：． 答：甲的速度为，乙的速度为． 27．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 题型十 工程问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 28．（24-25七年级下·四川乐山·期中）乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【答案】甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 【分析】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了y天，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了天， 根据题意得 解得， 答：甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 29．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【答案】甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解． 设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米，根据题意列出方程组求解． 【详解】解：设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 30．（24-25七年级下·河南许昌·期中）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 【答案】[任务一]每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；[任务二]工厂有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名，抽调熟练工名，招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，由题意得，然后求出为正整数即可即可． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得：， 解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名，抽调熟练工名，招聘新工人名． 题型十一 数字问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 31．（23-24七年级下·河北唐山·期中）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 32．（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 【答案】35 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为8和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新数比原数大18，得，化简得，即． 解方程组，解得， 故原数为． 故答案为：35． 33．（24-25七年级下·河南周口·期中）“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【答案】(1)甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． （1）设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题，根据甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，即可列出二元一次方程组，即可解答． （2）根据题意，求出乙同学的总得分，即可解答． 【详解】（1）解：设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题． 根据题意，得， 解得， ． 答：甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题． （2）根据题意，乙同学答对了23道题，答错了2道题． 他的总得分． 因为乙同学的总得分为90， 所以，乙同学能被评为“消防安全小达人”． 题型十二 和差倍分问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 34．（24-25七年级下·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案； （2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出方程组，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 35．（24-25七年级下·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 【答案】参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 【分析】本题主要考查根据题意列二元一次方程解应用题的问题，解答本题的关键是根据题意得到题中的等量关系要解答此题． 首先应该理清题意，读懂题干，再根据题中所给信息进行解答即可得出答案．此题属于简单题，解答时需要细心． 【详解】解：由题意，得， 解得． 答：参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 36．（24-25七年级下·北京·期中）列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【答案】不合标准，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据等量关系列出二元一次方程组，求出解，再判断即可． 【详解】解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得， 解得， 这一次技术改进后，A类物质排放量为， 因为， 所以不符合“标准”． 题型十三 几何问题（二元一次方程组的应用）（共3小题） 37．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（    ） A．9 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组在几何图形中的应用．设小长方形的长为，宽为，观察图形，根据小长方形长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，据此计算即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则图中每个小长方形的面积为， 依题意得：， 解得：， ∴， 即图中每个小长方形的面积为， 故选：C． 38．（25-26八年级上·四川成都·期中）将一个长方形的长减少，宽增加，就变成一个正方形．已知这两个图形的面积相等，请画出示意图进行分析，并求长方形的长和宽分别是多少． 【答案】见解析，长是，宽是 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：如图： 设长方形的长为，宽为， 根据题意得， 解方程组得 答：长方形的长是，宽是． 39．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 题型十四 三元一次方程组的定义及解（共3小题） 40．（16-17七年级下·重庆万州·期中）三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由⑤④得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入①得：， 解得， 所以方程组的解为， 故选：A． 41．（23-24七年级下·山东日照·期中）解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 第一个方程中不含，而第二个方程和第三个方程通过加减消元法可消去，再联立第一个方程可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的． 【详解】由题知，， 得，， 整理得， ④与①即可组成二元一次方程组， 要使解法较为简单，应先消去， 故选：A． 42．（22-23九年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】， 【分析】本题考查了解高次方程组，三元一次方程组，由原方程组变为，设，，，从而可得，解得或，然后代入三元一次方程组即可求解，掌握换元降次法解方程组是解题的关键． 【详解】解：由原方程组变为， 设，，， ∴， 解得：或， ∴或， 解得：或． 题型十五 三元一次方程组的应用（共3小题） 43．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 44．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是_____元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____． 【答案】 1150 15，0，5 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15, 0, 5. 故答案为：1150元，间数依次为15, 0, 5． 45．（24-25七年级下·山东淄博·期中）利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是______． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的应用，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 设桌子高，长方体长，宽，列方程组得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：设桌子高，长方体长，宽， 根据题意得， 得， 解得：， 故答案为：． $