专题01 一元一次方程（十大题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元一次方程 题型归纳·内容导航 题型1一元一次方程的定义 题型6利用整体法解一元一次方程（常考点） 题型2已知一元一次方程的解求参数 题型7已知一元一次方程解的关系求值（难点） 题型3等式的性质（常考点） 题型8一元一次方程整数解问题 题型4解一元一次方程 题型9一元一次方程与新定义问题 题型5含绝对值的一元一次方程（难点） 题型10一元一次方程与实际问题（重点） 题型通关·靶向提分 题型一一元一次方程的定义（共3小题） 1.(24-25七年级下河南新乡期中)若(m+1)xm-2=0是关于x的一元一次方程，则m= 2.(24-25七年级下.吉林长春期中)下列方程是一元一次方程的是() A.x=0 B.-2+5=3 C.x-2=最 D.8+2y=0 3.(2425七年级下·四川雅安期中)若方程(m-2)x叫-1+1=0是一元一次方程，则m的值为() A.±2 B.2 C.-2 D.0 题型二已知一元一次方程的解求参数（共4小题） 4.(24-25九年级下·江苏盐城月考)已知x=2是方程3x-k=5的解，则k的值为 5.(25-26七年级下·江苏南京·开学考试)关于x的方程2(x-a)=X-1的解为4a+b,则关于x的方程 2(2ax-b)-1984=-2bx+4a+44的解为x= 6.(2022七年级下重庆沙坪坝专题练习)已知关于x的方程x-2严=等-2的解是非负整数，则符合条 件的所有整数m的和是() A.23 B.-34 C.-23 D.34 7.(25-26七年级下·浙江宁波·月考)已知m,n是有理数，关于x的方程 m(8-3)+n(3x+1)=5(x+1) (1)当m=2时，解该方程. (2)若该方程有无数解，求m,n的值. 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三等式的性质（共4小题） 8.(25-26七年级上湖南永州期末)已知c为有理数，下列变形正确的() A.若ac=bc,则a=b B.若是=是，则ab C.若x-3=4,则x=3-4 D.若-x=6,则x=-2 9.(25-26七年级上湖南株洲期末)下列等式变形错误的是() A.若x=y,则8+6=y+6 B.若x=y,则x-3=y-3 C.若x=y,则ax=ay D.若x=y,则器=品 10.(25-26七年级上·河南濮阳·期末)下列一元一次方程的变形，错误的是（) A.由x-4=5,得x=5+4 B.由2x=6,得x=3 C.由2x=0,得x=2 D.由3x=x+2,得3x-X=2 11.（25-26七年级上·云南普洱·期末)下列等式变形正确的是() A.若ab,则a+1b-1 B.若3a=2b,则a=b C.若a=b,则am=bm D.若ab,则= 题型四解一元一次方程（共4小题） 12.(24-25七年级上浙江金华.月考)解方程： (1)-2x-1=4+3x; 2)-=1: 63=1# 13.（25-26七年级上·甘肃白银期末)解方程： (1)2(x+8)=3(x-1): (2)号=1++ 14.(25-26七年级下江苏泰州月考)解下列方程： (1)2x+x=80; 22_= 15.（25-26七年级下江苏南京·开学考试)解下列方程： (1x-2=等+2： (2x-[x-青(&-9)]=号&-9) 题型五含绝对值的一元一次方程（共4小题） 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26七年级上甘肃兰州期末)解方程 (1)川x-1=2 (2x-1|+x+2=x+3. 17.(25-26七年级上·山东德州月考)阅读下列解题过程并解答类似的题目. 解方程：x+2=3 解：由x+2=3,得x+2=±3 ①若x+2=3,得x=1 ②若x+2=-3,得x=-5 所以原方程的解是x=1或x=-5 (1)解方程2x-5-7=0 (2)若方程引x-3|=1的解也是方程4x+m=3x+1的解，求m的值 18.（25-26七年级上云南昭通月考)【阅读与思考】 在解形如x一？bb≥0)的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当x-a≥0时，原方程化为x-a=b,解得x=a十b: 当x-a<0时，原方程化为-(8-a)=b,解得x=a-b. 所以，方程x-abb≥0)的解为x=a十b或x=a-b. 【理解与应用】 利用上述方法解方程：2x+1=5 19.(24-25七年级上湖南益阳期中)先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题.解方程：x-3=2. 解：因为±2=2，且x-3=2, 所以原方程可化为x-3=2或x-3=-2. 由x-3=2,得x=5; 由x-3=-2,得x=1· 所以原方程的解是x=5或x=1, 试根据上面的思路解下列方程：3x+2-2=0. 题型六利用整体法解一元一次方程（共4小题） 20.(25-26七年级上湖北武汉月考)已知关于x的一元一次方程言x+3=3x+b的解为x=2,则关于y的 一元一次方程言(y+2)+3=3(y+2)+b的解为 21.(25-26七年级上·广东深圳期末)已知关于x的一元一次方程x+2025=4x+a的解为x=2,那么关 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于y的一元一次方程(5-y)+2025=4(5-y)+a的解为y= 22.(2425七年级上浙江绍兴期末)已知关于x的一元一次方程z0s-α=2025x的解是x=5,关于y的 一元一次方程品-=2025y+4050的解是 23.(25-26七年级上黑龙江佳木斯期末)【阅读理解】 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.如x=6是方程3x=18的解.己知方程 3(a-1)=18,若把(a-1)看作一个整体，则a-1=6,己知方程3(3c+2)=18,若把(3c+2)看作一 个整体，则3c+2=6· 【尝试运用】 (1)己知方程3(4m+5)=18,则4m+5的值为 (2)已知方程2-18，则品的值为 【拓展创新】 (3)已知关于x的一元一次方程20x+3=2x+b的解为x=2,求关于y的一元一次方程 (y+3)+6078=4052(y+3)+2026b的解. 题型七已知一元一次方程解的关系求值（共4小题） 24.(21-22七年级下·河南新乡月考)已知方程3(x-1)=4x-5与关于x的方程_号=x-1的解互 为相反数，求a的值 25.(25-26七年级上江苏扬州期末)若关于x的方程x+1=0与2x+5a=3的解相同，则a= 26.(25-26七年级上河北衡水期末)已知关于x的方程2(x-1)-m=m的解比方程 4(x-1)=3(x+1)-5的解大1，求m的值 27.(25-26七年级上湖北宜昌期末)若方程3(2x-1)=2+x的解与关于×的方程=2(x+3)的解 互为相反数，求k的值。 题型八一元一次方程整数解问题（共4小题） 28.(24-25七年级上·重庆合川期末)已知关于x的方程2警=1的解是整数，则符合条件的所有整 数a的和为 29.(21-22七年级下：浙江金华·开学考试)已知k为整数，关于x的方程(k+2x=3有负整数解，则满足条 件的k的值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数多个 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 30.（21-22七年级上四川成都期末)已知关于x的方程x-5=3x的解为整数，则正整数k的值为· 31.(25-26七年级下.安徽安庆·开学考试)己知关于x的方程2ax-b=3x-6. (1)若4a=b≠6，求方程的解： (2)若方程有无数个解，求a,b的值： (3)若a为正整数，b=11时，求方程的整数解。 题型九一元一次方程与新定义问题（共4小题） 32.（25-26七年级上·北京·期末)我们规定一种新运算：p△q=p-q-pXq+5,例如： 1△2=1-2-1×2+5=2 请根据上述规定回答下列问题. (1)则3△4=一； (2)若7△x-2=4,求x的值； (3)已知关于x的方程(2x+a)△3=5△(x-2)的解和关于y的方程2y+a=3y+1的解互为相反数，直接写 出a的值 33.(25-26七年级上·广东惠州期末)如果两个一元一次方程的解和为1，我们就称这两个方程为“美好方 程.例如，方程2x=6和x+2=0为“美好方程”.若关于x的方程20268-1=0与2026+1=3x+k是“美 好方程”，则关于y的方程0(y+2)+1=3(y+2)+k的解是 34.（25-26七年级下·四川达州·开学考试)“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列 为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释.定义：如果两个 一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”. (1)若方程2x=4与关于x的方程mx=1互为“归一方程”，求m的值； (②)若关于x的方程等+a=0与关于x的方程=学互为“归一方程，求a的值。 35.(25-26七年级上河北邯郸月考)解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：2x+号=3的解为x=号 ,恰巧2+-3=号，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程x+b=c的解满足x=a+b-c,则称 它为巧合方程”.请解决以下问题。 ()请判断方程3x+=3是否是“巧合方程：-（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程x+b=1是“巧合方程”，请求出b的值 题型十一元一次方程与实际问题（共10小题） 36.(2026吉林长春一模)今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 每人种4棵，则还缺25棵.求该班的学生人数和这批树苗的数量 37.(22-23七年级上甘肃金昌期末)小刚每天早上到距家2000米的金昌市第三中学上学.一天早上，小 刚以160米/分的速度骑自行车从家里出发，5分钟后小刚的爸爸发现小刚忘了带语文书，于是，爸爸立即 骑摩托车以360米/分的速度去追小刚，并且爸爸在途中追上了小刚.问爸爸用了多长时间追上小刚？ 38.(25-26七年级下·云南玉溪·开学考试)茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分 割的一部分.已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成.某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个 茶壶或200个茶杯.该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 39.(25-26七年级下·江苏无锡·自主招生)四川地震形成的一个堰塞湖经过测量20天后水位将达到坝的顶 端，为了延长时间转移下游群众，开辟了一个泄洪渠道向外排水，这样可使水位到达坝顶推迟到30天，那 么每天泄出水量是流入湖中水量的几分之几？（写出解答过程） 40.(2026安徽芜湖一模)某果农通过直播平台销售自家种植的水蜜桃.己知5月份的售价为10元/千克， 6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，求6月份销售额相对5月份销售额的增长率.（注： 销售额=售价×销售量) 41.(2026陕西西安一模)陕西是中华民族重要发祥地之一，为增强文化自信，厚植家国情怀，某中学举 行“知我陕西，传承文明”主题知识竞赛.赛题共25道，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分.若小明 同学最终得分为88分，则他答对了 道题， 42.(24-25七年级上·江西南昌·期末)用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费 0.1元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.08元.在某图书馆复印同样的文件，不论复印多 少页，每页收费均为0.09元 (1)复印页数为多少时，两处的收费相同？ (2)现要复印70页的文件，请计算是去复印社还是图书馆合算？ 43.(2026四川内江·一模)对于一个四位自然数M,它的各个位置上的数字不同且都不为0.若十位数字 是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”.如：四位数4183，：8=2×4， 3-1=2,4183是“博文数”.若四位自然数x56y是“博文数”，则这个数是 44.(21-22七年级下·吉林长春·期中)我国明朝珠算发明家程大位，他完成的古代数学名著《直指算法统 宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中记载如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚各几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和 尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，则可列方程为() A.x+吉(100-x)=100 B.3x+3(100-x)=100 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.x+3(100-x)=100 D.3x+专(100-x)=100 45.（25-26七年级上江西宜春·期中)如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位 置的9个数（如6,7,8,13,14,15,20,21,22），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为46， 则这9个数的和为() JANT UN日MON ue二 WED三THU四FRI五SAr六 1查2初3超4超 5余6契7契8期9究1011世 12生13生14击1516法17生18大 19克20索21#22当23笪24甚25芸 26共27共28共29艺30跨31 A.69 B.84 C.126 D.207 7/7专题01 一元一次方程 题型1 一元一次方程的定义 题型6 利用整体法解一元一次方程（常考点） 题型2 已知一元一次方程的解求参数 题型7 已知一元一次方程解的关系求值（难点） 题型3 等式的性质（常考点） 题型8 一元一次方程整数解问题 题型4解一元一次方程 题型9 一元一次方程与新定义问题 题型5 含绝对值的一元一次方程（难点） 题型10 一元一次方程与实际问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元一次方程的定义（共3小题） 1．（24-25七年级下·河南新乡·期中）若是关于的一元一次方程，则__________． 【答案】1 【分析】一元一次方程中未知数的系数不为0，且未知数的次数为1． 【详解】解：若是关于的一元一次方程， ∴且， 解得，，且， ∴ ． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式的方程是一元一次方程，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一元一次方程需要满足三个条件：只含有1个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式， 选项A中，满足所有条件，故本选项符合题意； 选项B中，不含未知数，不满足条件，故本选项不符合题意； 选项C中，的等号右侧是分式，不是整式，不满足条件，故本选项不符合题意； 选项D中，含有x和y两个未知数，不满足条件，故本选项不符合题意． 3．（24-25七年级下·四川雅安·期中）若方程是一元一次方程，则m 的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，需要满足两个条件：未知数的最高次数为1，且一次项的系数不为0，据此列式求解即可. 【详解】解：∵原方程是一元一次方程， ∴且， ∴. 题型二 已知一元一次方程的解求参数（共4小题） 4．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）已知是方程的解，则的值为______． 【答案】1 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得：， ∴， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 5．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【分析】将代入原方程，可得出，方程可整理得，再整体代入，解之即可得出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 方程可整理得：， 即， 解得：， 关于x的方程的解为． 6．（2022七年级下·重庆沙坪坝·专题练习）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是（   ） A．23 B． C． D．34 【答案】B 【分析】先解方程得到用含m的代数式表示的x，再根据x是非负整数确定所有符合条件的整数m，最后计算m的和即可． 【详解】解：原方程为 ∵方程两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∴ ∵ x是非负整数，m是整数，时等式不成立， ∴ x为正整数，因此为负整数，且是10的约数， ∴的可能取值为 对应m的值为 ∴ 所有整数m的和为 ． 7．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）已知m，n是有理数，关于x的方程 (1)当时，解该方程． (2)若该方程有无数解，求m，n的值． 【答案】(1)当时，方程无解，当时， (2)， 【分析】（1）当时，原方程为，整理可得，分情况求解即可得出结果； （2）将原方程整理可得，再结合该方程有无数解，且m，n是有理数，得出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 整理可得：， ∴当，即时，方程变为，此方程无解， 当，即时，方程的解为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵该方程有无数解，且m，n是有理数， ∴， 解得：，． 题型三 等式的性质（共4小题） 8．（25-26七年级上·湖南永州·期末）已知为有理数，下列变形正确的（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，关键是注意等式性质中“除数不为0”的条件以及移项的符号变化规则． 【详解】解：对于选项A，当时，，但与不一定相等，故A错误； 对于选项B，有意义，，根据等式的基本性质，等式两边同时乘以，可得，故B正确； 对于选项C，，移项得，而不是，移项时要改变符号，故C错误； 对于选项D，，等式两边同时乘以，得，而非，故D错误； 故选：B． 9．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列等式变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质判断各选项变形即可，需要注意等式两边同除以一个数时，该数不能为0． 【详解】解：A、若，两边同时加6得，A变形正确； B、若，两边同时减3得，B变形正确； C、若，两边同时乘任意数得，C变形正确； D、该变形未说明，当时，与无意义，因此变形错误． 【点睛】等式的基本性质1为：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式的基本性质2为：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 10．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）下列一元一次方程的变形，错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】依据等式的基本性质判断各选项变形的正误即可． 【详解】解：利用等式基本性质逐一判断： 对于A．由，移项得，变形正确，不符合题意； 对于B．由，等式两边同时除以，得，变形正确，不符合题意； 对于C．由，等式两边同时除以，得，题中变形得到，因此变形错误，符合题意； 对于D．由，移项得，变形正确，不符合题意； ∴错误的变形是选项C． 11．（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：若，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，可得，因此A错误； 若，不一定等于，例如当时，成立，但，因此B错误； 若，根据等式性质2，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立，可得，因此C正确； 若，当时，分母为0，分式无意义，等式无意义，因此D错误． 题型四 解一元一次方程（共4小题） 12．（24-25七年级上·浙江金华·月考）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用移项、合并同类项、系数化为1解方程即可； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可； （3）先将分母变形为整数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得； （3）解：， 方程变形为， 化简得：， ​ 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得． 13．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键． （）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项，再系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 合并同类项得：； 系数化为1得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 15．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 题型五 含绝对值的一元一次方程（共4小题） 16．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． 17．（25-26七年级上·山东德州·月考）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 【答案】(1)或 (2)m的值是或 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； （1）仿照题中所给方法进行求解即可； （2）先得出方程的解，然后再代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ①若，则； ②若，则 所以原方程的解是或． （2）解：由，得， ①若，则； ②若，则． 所以的解是或． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以m的值是或． 18．（25-26七年级上·云南昭通·月考）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【详解】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 19．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据题中提供的思路解方程，即：利用绝对值的意义将原方程化为两个一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ，且， 原方程可化为或， 由，解得：， 由，解得：， 原方程的解是或． 题型六 利用整体法解一元一次方程（共4小题） 20．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为___． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键． 比较两个方程的形式，可知第二个方程中的相当于第一个方程中的，根据第一个方程的解，直接得到，从而求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程为满足， 解得． 故答案为：0． 21．（25-26七年级上·广东深圳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】3 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据题意可得一元一次方程中，，即可解答． 【详解】解：设，则关于的方程化为， 这与关于的方程形式相同， 可得，即， 解得． 故答案为：． 22．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及换元法，熟练掌握一元一次方程的解及换元法是解题的关键． 通过整体代换，将关于的方程转化为关于的方程，与已知方程比较求解． 【详解】解： ， 令，上式为， ∵方程的解是， 即，解得， 故答案为：． 23．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期末）【阅读理解】 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则，已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为___________； （2）已知方程，则的值为__________． 【拓展创新】 （3）已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 题型七 已知一元一次方程解的关系求值（共4小题） 24．（21-22七年级下·河南新乡·月考）已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，分别解出两个方程的解，根据题意，两个方程的解互为相反数，则，求出，即可． 【详解】解：方程， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得； 方程：， 去分母，方程两边同时乘以，， 去小括号，得，， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得； ∵两个方程的解互为相反数， ∴， ． 25．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程与的解相同，则___________． 【答案】1 【分析】先求解方程得到的值，再将该值代入方程，转化为关于的一元一次方程，进而求解的值. 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 即， 解得. 26．（25-26七年级上·河北衡水·期末）已知关于的方程的解比方程的解大1，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．先求得关于的方程的解，依此可得关于的方程的解，然后代入可得关于的方程，通过解该方程求得值即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 因为关于的方程的解比方程的解大1， 所以方程的解为， 所以，即， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 27．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）若方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的关系，相反数的性质，解一元一次方程．先求解方程的解，根据两个方程的解互为相反数得到第二个方程的解，将其代入第二个方程求出的值即可. 【详解】解：先解方程 去括号得 移项合并同类项得 解得 因为两个方程的解互为相反数， 所以方程的解为 将代入方程中 得 即 两边同时乘3得 移项得 合并同类项得 解得． 题型八 一元一次方程整数解问题（共4小题） 28．（24-25七年级上·重庆合川·期末）已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】8 【分析】先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，即时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解是整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为． 29．（21-22七年级下·浙江金华·开学考试）已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数． 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． 30．（21-22七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程的解为整数，则正整数的值为__． 【答案】2或4或8 【分析】先整理方程，用含k的代数式表示x，再根据x为整数、k为正整数的条件，确定的取值，进而求出正整数k的值． 【详解】解： 移项得 ， 合并同类项得 ， 当时，方程变为，方程无解，因此， 系数化为得 ， 为整数，为正整数， 是的整数因数，即或， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，不是正整数，舍去． 故正整数k的值为 2或4或8． 31．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1) (2)， (3)方程的整数解为或或 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）将方程变形得，因为方程有无数个解，所以且； （3）方程变形可得，因为为正整数，方程的解为整数，所以是的因数． 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 题型九 一元一次方程与新定义问题（共4小题） 32．（25-26七年级上·北京·期末）我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． (1)则______； (2)若，求x的值； (3)已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）根据新定义列式即可解答； （2）先根据新定义将方程化为：或，再解方程即可； （3）分别解两个方程，根据解互为相反数，列等式即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，可化为 ， ， ； 当时，可化为， ， ， ； 综上，或1； （3）解：，解得， ， ， ， ， ， 关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数， ， 33．（25-26七年级上·广东惠州·期末）如果两个一元一次方程的解和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如，方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是______ ． 【答案】 【分析】先求解第一个一元一次方程，再根据“美好方程”的定义得到含参数的x方程的解，最后利用整体思想和同解方程的意义求解y即可． 【详解】解：解方程得． ∵关于的方程与是“美好方程”． ∴两个方程的解之和为， ∴方程的解为， 观察关于的方程，可知该方程是将中的替换为． ∴． 解得． 34．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】理解题意，根据新定义得到新的方程是解题的关键． （1）分别解两个方程，令两方程解的和为1列关于m的方程并求解即可； （2）分别解两个方程，令两方程解的和为1列关于a的方程并求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程互为“归一方程”， ∴， ∴； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程互为“归一方程”， ∴， ∴． 35．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”．请解决以下问题． (1)请判断方程是否是“巧合方程”： （直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是“巧合方程”，请求出b的值． 【答案】(1)是； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； 【详解】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； 题型十 一元一次方程与实际问题（共10小题） 36．（2026·吉林长春·一模）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 【答案】该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵 【分析】先设该班的学生人数为x人，根据题意可知两种种植方式下，树苗的总数量是不变的，从而列出一元一次方程求得学生人数，再将学生人数代入“每人种3棵，则剩余20棵”的表达式中，即可求得这批树苗的数量． 【详解】解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴这批树苗的数量是（棵）， 即该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵． 37．（22-23七年级上·甘肃金昌·期末）小刚每天早上到距家2000米的金昌市第三中学上学．一天早上，小刚以160米/分的速度骑自行车从家里出发，5分钟后小刚的爸爸发现小刚忘了带语文书，于是，爸爸立即骑摩托车以360米/分的速度去追小刚，并且爸爸在途中追上了小刚．问爸爸用了多长时间追上小刚？ 【答案】爸爸4分钟追上小刚． 【分析】先设小刚爸爸追上小刚用了x分钟，由题意知小刚比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小刚和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解． 【详解】解：设爸爸x分钟追上小刚，则： ， 解得：， 答：爸爸4分钟追上小刚． 38．（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个茶壶或200个茶杯．该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【分析】设安排名工人生产茶壶，根据每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 39．（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）四川地震形成的一个堰塞湖经过测量20天后水位将达到坝的顶端，为了延长时间转移下游群众，开辟了一个泄洪渠道向外排水，这样可使水位到达坝顶推迟到30天，那么每天泄出水量是流入湖中水量的几分之几？（写出解答过程） 【答案】 【分析】本题关键利用工程问题中的工作效率、工作时间和工作总量之间的关系求出每天的泄水量．设每天泄出水量是流入湖中水量的，根据题意列出一元一次方程进行计算即可． 【详解】解：设每天泄出水量是流入湖中水量的， 由题意得：， 解得． 答：每天泄出水量是流入湖中水量的． 40．（2026·安徽芜湖·一模）某果农通过直播平台销售自家种植的水蜜桃．已知5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，求6月份销售额相对5月份销售额的增长率．（注：销售额＝售价×销售量） 【答案】6月份销售额相对5月份销售额的增长率为 【分析】设5月份销售量为千克，6月份销售额相对5月份销售额的增长率为．5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：设5月份销售量为千克，6月份销售额相对5月份销售额的增长率为． 由题意得：． 解得， 答：6月份销售额相对5月份销售额的增长率为35%． 41．（2026·陕西西安·一模）陕西是中华民族重要发祥地之一，为增强文化自信，厚植家国情怀，某中学举行“知我陕西，传承文明”主题知识竞赛．赛题共25道，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分．若小明同学最终得分为88分，则他答对了__________道题． 【答案】23 【分析】设他答对了道题，则不答或答错的题数为道，根据“小明同学最终得分为88分”建立一元一次方程求解． 【详解】解：设他答对了道题，则不答或答错的题数为道， 根据题意，得 去括号，得 合并同类项，得 系数化为1，得 ∴他答对了23道题． 42．（24-25七年级上·江西南昌·期末）用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费均为元． (1)复印页数为多少时，两处的收费相同？ (2)现要复印70页的文件，请计算是去复印社还是图书馆合算？ 【答案】(1)40 (2)复印社合算 【分析】（1）设复印页数为时，两处的收费相同，根据题意列方程求解； （2）分别求得复印70页时，复印社和图书馆的费用，即可求解． 【详解】（1）解：设复印页数为x时，两处的收费相同，则， 由题意：， 解得：，即复印页数为40时，两处的收费相同； （2）解：当复印70页时，复印社的收费为：（元）, 图书馆的收费为：（元）, ， 复印社合算． 43．（2026·四川内江·一模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 【答案】 【分析】本题考查新定义题型． 根据“博文数”的定义列出关于和的等式，由“博文数”的定义可得∶ 十位数字是千位数字的倍， 即，个位数字比百位数字多， 即，由此求出，的值， 验证条件后即可得到所求四位数． 【详解】解∶ 根据题意， 四位自然数是“博文数”， ，， 解得， ， 因此这个数是，符合“博文数”的定义． 44．（21-22七年级下·吉林长春·期中）我国明朝珠算发明家程大位，他完成的古代数学名著《直指算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中记载如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找准馒头总数的等量关系，据此列出方程即可． 【详解】解：∵设大和尚有名，总和尚数为100名， ∴小和尚人数为名， ∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，总馒头数为100个， ∴大和尚分得的总馒头数为，小和尚分得的总馒头数为， ∴可列方程为． 45．（25-26七年级上·江西宜春·期中）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为46，则这9个数的和为（   ） A．69 B．84 C．126 D．207 【答案】D 【分析】设最小的数是x，根据图中规律可知最大数与最小数的差是16，利用最大数与最小数的和是46列方程即可求出最小的数，即可求出这9个数的和． 【详解】设最小的数是x，则最大的数是， 所以， 解得：， 所以这9个数的和是207． $