专题01 一元一次方程（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材华东师大版

专题01 一元一次方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断各式是否是方程 题型02 列方程 题型03 等式的性质 题型04 判断是否是一元一次方程 题型05 判断是否是一元一次方程解 题型06 解一元一次方程 题型07 绝对值方程 题型08 已知一元一次方程的解求参数 题型09 一元一次方程解的关系 题型10 一元一次方程的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 知识点01 方程 定义：含有未知数的等式叫做方程. 注意：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数. 知识点02 方程的解、解方程 1．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2．解方程：求方程的解的过程． 知识点03 一元一次方程概念 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 特点： 1. 只含有一个未知数x； 2. 未知数x的次数都是1； 3. 等式两边都是整式。 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子)结果仍得等式. 性质1：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式. 知识点05 一元一次方程的解法 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1） （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。 知识点06 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值。 知识点07 列一元一次方程解应用题的步骤 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系. 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）. 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系. 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程. 解：解所列出的方程，求出未知数的值. 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点08 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1. 行程问题：路程=速度×时间 2. 顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3. 和差倍分问题：增长量=原有量×增长率 4. 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价 5. 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量 6. 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数 题型一 判断各式是否是方程 解｜题｜技｜巧 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数． 【典例1】下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程. 根据方程的定义，对各选项进行判断即可． 【详解】解：方程的定义是含有未知数的等式． A选项是等式，但不含未知数，不是方程． B选项是代数式，不是等式，不是方程． C选项是代数式，不是等式，不是方程． D选项是含有未知数的等式，符合方程的定义． 故选：D． 【变式1】下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是方程的含义，根据方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”，逐一判断各选项是否满足“含未知数”且“是等式”这两个条件即可． 【详解】解：∵方程的定义是含有未知数的等式， 又∵A选项是代数式，不是等式，不符合方程定义， B选项是等式，但不含未知数，不符合方程定义， C选项是不等式，不是等式，不符合方程定义， D选项既含有未知数x，又是等式，符合方程定义， 故选：D 【变式2】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，掌握方程的定义是关键．根据方程的定义，方程是含有未知数的等式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：不是等式，不符合方程的定义，不符合题意； B：，不是等式，不符合方程的定义，不符合题意； C：，是等式，但不含未知数，不符合方程的定义，不符合题意； D：，是等式且含有未知数，符合方程的定义，符合题意． 故选：D． 题型二 列方程 解｜题｜技｜巧 （1）定未知数：选直接所求或关联紧密的量为x。 （2）抓关键词：“比”“共”“余”等提示运算关系。 （3）列等式：根据题意将文字转为数学表达式。 【典例1】若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 【变式1】根据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”列出等式为：______． 【答案】 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为； 故答案为． 【变式2】根据条件“某数的3倍比它的一半大5”列出方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程，根据题意，找出等量关系“某数的3倍减去它的一半等于5”，即可列出方程，找出等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：“某数的3倍比它的一半大5”，列出方程为． 题型三 等式的性质 解｜题｜技｜巧 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 【典例1】下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断各选项变形即可． 【详解】解： A：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故A变形错误． B：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故B变形错误． C：∵ ，当时，，因此可得，故C变形错误． D：∵ ，可推出，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，∴ ，故D变形正确． 【变式1】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】等式的基本性质为，等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍是等式，等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍是等式．根据等式的基本性质，逐项判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A、如果，则，等式两边同乘可得，变形正确，符合题意； B、如果，若，则和无意义，只有时才能得到，变形错误，不符合题意； C、如果，根据等式性质，等式两边同时加可得，无法得到，变形错误，不符合题意； D、如果，等式两边同时乘可得，只有当时，才有，结论不是恒成立，变形错误，不符合题意． 【变式2】根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、根据等式性质2，等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，题目未说明，当时变形不成立，故A错误； B、，等式两边同时乘2，得，故B错误； C、，等式两边同时减5可得，与不相等，变形错误，故C错误； D、，等式两边同时乘，根据等式性质2可得，变形正确，故D正确． 题型四 判断是否是一元一次方程 解｜题｜技｜巧 一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程； ②其次是必须只含有一个未知数； ③未知数的指数是1； ④分母中不含有未知数． 【典例1】下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 、分母含有未知数，不是整式方程，故方程不是一元一次方程，该选项不符合题意； 、未知数的最高次数为，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 、只含有个未知数，未知数次数为，且是整式方程，故方程是一元一次方程，该选项符合题意． 【变式1】已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】一元一次方程需要满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义逐一判断： ∵①分母含有未知数，不是整式方程， ∴不是一元一次方程； ∵②满足只含一个未知数，未知数次数为1，是整式方程， ∴是一元一次方程； ∵③分母含有未知数，不是整式方程， ∴不是一元一次方程； ∵④含有两个未知数， ∴不是一元一次方程； ∵⑤满足只含一个未知数，未知数次数为1，是整式方程， ∴是一元一次方程； 综上，一元一次方程共有2个． 【变式2】下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据只含有一个未知数、并且含未知数的项的次数是1次的整式方程叫做一元一次方程，逐项判断即得答案． 【详解】解：A. ，未知数最高次数是2，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； B. ，含有两个未知数，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； C. ，是一元一次方程，本选项符合题意； D. 不是整式方程，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：C． 题型五 判断是否是一元一次方程解 解｜题｜技｜巧 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【典例1】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，方程左边，此时方程左右两边相等，故原方程的解是，符合题意； B、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； C、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； D、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； 故选：A． 【变式1】当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据等式的性质解方程， 先方程两边同时乘以8，再两边都减去36，然后根据两边同时除以可得答案． 【详解】解：方程两边同时乘以8，得， 两边都减去36，得， 两边同时除以，得． 故选：A． 【变式2】写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程_______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：依题意，一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 ∴满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 题型六 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 解一元一次方程的步骤： （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【典例1】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得： ， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式1】若代数式与互为相反数，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据与互为相反数，得，再解方程，得，即可作答． 【详解】解：由题意，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 方程两边同时除以9，得． 【变式2】把方程去分母，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程去分母的运算，先确定分母的最小公倍数，再给方程两边每一项同乘该数，同时注意括号与符号的处理． 【详解】解：∵方程分母2和6的最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6，得 ， 化简得， 故选：D． 题型七 绝对值方程 解｜题｜技｜巧 1. 拆情况讨论：按定义分正负两种情形（|A|=a ⇒ A=±a）。 2.去绝对符号：每种情况去掉“||”，加括号变号或不变。 3. 独立求解：分别解每个不含绝对值的新方程。 4. 检验解效性：代入原式验证是否使绝对值为非负数。 5. 舍无效解：排除导致矛盾（如负数等正数）的结果。 6. 多变量处理：含多个绝对值时分段讨论临界点（零点）。 【典例1】若，则__________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或． ， 解得：； ， 解得：， 故答案为：或． 【变式1】满足的整数的值有________． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查换元法和绝对值的几何意义，设 ，确定t的取值范围，再结合整数条件求解x． 【详解】解：设 ，则原方程化为． ∵表示点t到点的距离，表示点t到点5的距离， 点与点5之间的距离为， ∴当时，距离和恒为 6． ∴． ∵且x为整数，故t为偶数整数 ∴或2或4， ∴或1或2， 验证：当时，； 当时，； 当时，，均成立． 故答案为：0，1，2． 【变式2】已知，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．1或7 【答案】C 【分析】本题考查绝对值定义及代数式求值，熟记绝对值定义是解决问题的关键． 由可知，即，再结合求出的值，最后计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， ， 或； ， 或； 当时，无论或，，不符合题意； 当时，无论或，，符合题意； 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或， 故选：C． 题型八 已知一元一次方程的解，求参数 解｜题｜技｜巧 1. 明确已知条件 一元一次方程的形式（如含未知数 `x` 和某个参数 `k`）； 该方程的一个具体解（例如 `x = a`）。 2. 代入求解 - 把解 `x = a` 直接代入原方程，替换掉所有的 `x`； - 此时方程变为仅含参数的等式，通过运算即可求出参数的值。 【典例1】已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据方程解的定义，将已知解2代入原方程，解关于a的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解 ∴把代入原方程，得 解得 ． 【变式1】已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数． 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． 【变式2】方程与关于的一元一次方程的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个方程得到x的值，再利用同解的性质将x代入第二个方程，即可求出a的值 ． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵方程与关于的一元一次方程的解相同， ∴将代入方程得 化简得， 去括号得， 移项整理得， 解得． 题型九 一元一次方程解的关系 解｜题｜技｜巧 1. 发现两方程的关系； 2.通过已知条件求出未知量的值； 3.通过两个方程的关系求出最终答案。 【典例1】若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知一元一次方程的解，再利用同解的性质，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解相同， ∴把代入方程，得， 解得：． 【变式1】若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及方程解的关系． 先求出方程的解，根据两方程解互为相反数得到方程的解，再代入该方程计算出的值． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 又∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 将代入中 得 即 移项得 ∴ 故选C 【变式2】已知关于的方程的解比方程的解大1，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．先求得关于的方程的解，依此可得关于的方程的解，然后代入可得关于的方程，通过解该方程求得值即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 因为关于的方程的解比方程的解大1， 所以方程的解为， 所以，即， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型十 一元一次方程的应用 解｜题｜技｜巧 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系. 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）. 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系. 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程. 解：解所列出的方程，求出未知数的值. 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【典例1】今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩为全体教师配备了一定数量的口罩，若每位教师发个口罩，则多个口罩，若给每位教师发个口罩，则少个口罩，请问该校有多少名教师？ 【答案】该校有名教师 【分析】设该校教师人数为未知数，根据口罩总数不变这一等量关系，分别用每位教师发个多个和每位教师发个少个两种情况表示出口罩总数，列出一元一次方程并求解． 【详解】解：设该校有名教师，可列方程： ， ， 答：该校有名教师． 【变式1】列方程解应用题 元旦期间，七（1）班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由． (3)买完票后，小明发现七（2）班的张小涛等名同学和他们的名家长共人也来买票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的买票费用． 【答案】(1)个成人，个学生 (2)买团体票更省钱，理由见解析 (3)若4名学生同名家长按照团体票买，剩下的4名学生按照学生票买，总费用最低，为元 【分析】（1）根据题意，可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以算出团体票的费用，然后与（1）中比较大小，即可解答本题； （3）根据题意，分别算出分开买票和按照团体票买票或者部分按照团体票购买，进行比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设一共去了个成人，则学生人， ， 解得， ， 答：一共去了个成人，个学生； （2）解：买团体票更省钱， 理由：购买团体票时，花费为：（元）， ， 买团体票更省钱； （3）解：七班共有名学生，名家长， 若按团体票购买，费用为：（元）， 若4名学生同名家长按照团体票买，剩下的4名学生按照学生票买， 费用为：（元） 若分开购买，费用为：（元）， ， 按照团体票最优惠，总费用为元． 【变式2】“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 【答案】(1)这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷 (2)a的值是20 【分析】（1）设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷，根据含油率和总产油量的变化情况，列一元一次方程求解即可； （2）先求出去年和今年该村所产油菜籽的总产油量，以及去年和今年每千克盈利，再结合今年比去年多盈利63900元，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷， 由题意得，， 解得：， 则今年种植面积为：（公顷）， 答：这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷． （2）解：由题意可知，去年该村所产油菜籽的总产油量为， 今年该村所产油菜籽的总产油量为， 批发商去年每千克盈利（元）， 批发商今年每千克盈利（元）， 则， 解得： ∴a的值是20． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知，则下列式子错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质．解题的关键是等式的基本性质： 等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 等式性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 等式性质的延伸：对称性，如果，那么． 根据等式的基本性质可判断出选项正确与否． 【详解】解：选项A：，根据等式的对称性，，正确，故不符合题意； 选项B：，根据等式性质，两边同时乘，得，正确，故不符合题意； 选项C：，根据等式性质，两边同时乘，得，正确，故不符合题意； 选项D：，根据等式性质，两边同时加，得，错误，故符合题意． 故选：D． 2．（20-21七年级上·湖北武汉·期末）下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：对于A：∵方程中左边的代数式不是整式，不是整式方程， ∴不是一元一次方程； 对于B：∵方程中含有两个未知数， ∴不是一元一次方程； 对于C：∵方程中未知数的最高次数为2， ∴不是一元一次方程； 对于D：∵方程只含一个未知数，且次数为1，是整式方程， ∴是一元一次方程； 故选：D． 3．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知是方程的解，则a = _____ 【答案】1 【分析】本题考查方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知解代入方程求解未知数即可． 【详解】解：将 代入方程 ， 得， 解得：． 故答案为：1． 4．（25-26七年级上·河南周口·期中）把方程移项后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的移项法则，解题关键是掌握移项要变号的规则． 移项时，项从等号一边移到另一边，符号需改变．将含项移到左边，常数项移到右边． 【详解】原方程： ∵ 移项，从右边移到左边变为，从左边移到右边变为，  ∴ 与选项A一致． 故选A． 5．（25-26七年级上·广东广州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程；根据解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解： 移项得， 解得： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题关键，需根据等式的性质逐项分析判定． 【详解】解：A. 则，即，故该选项正确，不符合题意； B. ，且，则，故该选项正确，不符合题意； C. ，则，即，得到或，当时，可为任意实数，不一定等于，故该选项错误，符合题意； D. ，则，即，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为____________． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设小长方形的长为，则宽为，，根据图示1个小长方形的长个小长方形的宽，列出一元一次方程，解方程再计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为，， 由题意得：， 解得：， ∴，， ∴图中阴影部分面积之和为：． 故答案为：6． 8．（19-20七年级下·吉林长春·期末）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有户人家，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设城中有户人家，根据每家取一头鹿，共取头鹿，剩余鹿由每三家共取一头，可知每家又取头鹿，共取头鹿，恰好取完头鹿，由此列方程． 【详解】解：设城中有户人家， 每家取一头鹿，户人家共取头鹿， 剩余鹿由每三家共取一头，可知每家又取头鹿，共取头鹿 ∵总鹿数为100， ∴． 故选：A． 9．（19-20七年级上·北京通州·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，关键是弄懂符号的含义． 根据题意分和两种情况讨论，建立方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 解得， 但不满足，故舍去； 当时，， ∴， 解得， ∴方程的解为． 故选：B． 10．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 【答案】(1)二， 去分母时，方程右边的5没有乘以6 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）第二步去分母时，方程右边的5没有乘以6，据此可得答案； （2）先把分母化为整数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察可知第二步出现错误，错误原因是去分母时，方程右边的5没有乘以6； （2）解： 把分母化为整数得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值化简，整式的加减应用，等式性质应用的知识﹒由数轴可得，，根据，得到，即可得到，故①错误；根据变形为，故②正确；根据得到，故③正确；根据，化简得故④错误，问题得解﹒ 【详解】解：由数轴可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误﹒ 故选：B 12．（25-26七年级上·福建福州·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图，将9个数字分别填入的正方形空格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上数的和都相等，图中填写了部分数字，其中a的值为（   ） 3 12 1 a A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了幻方及一元一次方程的应用，准确计算，找到相等关系是正确解答此题的关键． 根据每一横行、每一竖行以及每条对角线上的和都相等列方程求解即可． 【详解】解：设最中间的数为， ∴右下角的数为：， ∴， 得到， 故选：C． 13．（25-26七年级上·浙江金华·期中）李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了含参一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据若分给个学生，则每个学生分颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，列出方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 的值为1，2，17，34， 当时，, 当时，； 当时，； 当时，； 选项中只有选项A中的符合条件， 故选：A． 14．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值．代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值，据此分情况讨论，分别求出最小值后列方程解答即可． 【详解】解：代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值， 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，a的值是或． 故答案为：或． 15．（25-26七年级上·江苏南通·期中）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，分别到达时停止，出发分钟时两人相遇，此时李明比刘伟多行进千米，相遇后6分钟李明到达地． (1)两地间的距离是多少千米？ (2)刘伟有几次与李明相距千米？相距千米时的行进时间是多少分钟？ 【答案】(1)两地间的距离是千米 (2)刘伟有次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间是分钟或分钟 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用； （1）根据题意得出李明与刘伟的速度差为(千米/时)，设刘伟每小时行，则李明每小时行，根据题意列出一元一次方程，解方程得出刘伟每小时行(千米)，李明每小时行进(千米)，根据李明总用时为分钟，即可求解； （2）设行进时间为 （分钟）分三种情况讨论，①相遇前；②相遇后，李明到达地前和李明到达地后，根据刘伟与李明相距千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵出发后两人相遇且李明比刘伟多行进， ∴李明与刘伟的速度差为(千米/时)， 设刘伟每小时行，则李明每小时行， 根据题意列一元一次方程得： 解得， ∴刘伟每小时行(千米)，李明每小时行进(千米)， 答：两地间的距离是千米 （2）解：设行进时间为 （分钟） 相遇前，， 依题意， 解得： 相遇后，当时，李明到达地． ∴当时， 解得：（舍去） 刘伟每小时行(千米)，两地间的距离是千米，则刘伟到达地需要分钟 当，此时李明到达地 依题意， 解得： 综上所述，刘伟有次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间是分钟或分钟 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxxk.com 专题01一元一次方程（期中复 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01判断各式是否是方程 题型02列方程 题型03等式的性质 题型04判断是否是一元一次方程 题型05判断是否是一元一次方程解 题型06解一元一次方程 题型07绝对值方程 题型08已知一元一次方程的解求参数 题型09一元一次方程解的关系 题型10一元一次方程的应用 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 1/11 上好每一堂课 习讲义) 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一元一次方程定义(1未知数+次数1+整式) 概念辨析。 方程的解（代入验证） 等式2大基本性质 核心考点（考什么）O 解法核心。一 5步标准解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 实际应用（大题核心）。 和差倍分/行程/工程/利润折扣/数字年龄问题 概念判断题 选择填空（基础送分）。 求方程解/参数值 等式性质简单应用 典型考法（怎么考）O 解答题（中档必考）。 含分母/括号的标准解方程 已知解求参数（代入法） 应用题（压轴/大题）。 文字转等量关系→列方程→求解→检验 一背熟定义+等式性质 基础必拿分0 规范书写解方程步骤 去分母防漏乘常数项 中档突破点。 重点复习（该抓啥）⊙ 含参数方程核心：代入解求参数 死磕找等量关系 大题拿分关键。 记牢各类应用模型公式 答题规范⊙ 应用题必写“解→设→列→求→验→答” 移项不变号 解方程易错。 去括号符号出错 去分母漏乘无分母项 易错避坑（提分关键）O 单位不统一 应用易错。 未检验解的合理性 等量关系找信 记·必备知识 同知识点01方程 定义：含有未知数的等式叫做方程 注意：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数 局知识点2方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 2.解方程：求方程的解的过程. 局知识点3一元一次方程概念 定义：只含有一个未知数（元)，未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 特点： 1.只含有一个未知数x: 2.未知数×的次数都是1； 3.等式两边都是整式。 局知识点04等式的性质 2/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式 性质1：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式， 局知识点5一元一次方程的解法 (1)合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 (2)移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1) (3)去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 (4)去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含 有小数时，先将小数化成整数。 局知识点06一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该 方程解代入另一个方程求解字母的值。 同知识点07列一元一次方程解应用题的步躁 审：审题，分析题中己知什么，求什么，明确各数量之间关系 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x) 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 解：解所列出的方程，求出未知数的值 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 局知识点08用一元一次方程解决实标问题的常见类型 1.行程问题：路程=速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量=原有量×增长率 4. 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价 5.工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量 6. 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数 破·重难题型 它题型一 判断各式是否是方程 3/11 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题|技|巧 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数 【典例1】下列四个式子中，是方程的是() A.3+2=5 B.a2+2ab+b2 C.2x-3 D.=1 【变式1】下列各式中，是方程的是() A.2x+3 B.2+3=5 C.2x+3>5 D.2x+3=5 【变式2】下列各式是方程的是() A.盛+ 3 B.2m-3>1 C.25+7=18+14D.3t-8=号t+5 题型二 列方程 解|题|技|巧 (1)定未知数：选直接所求或关联紧密的量为x。 （2)抓关键词：“比“共”“余”等提示运算关系。 (3)列等式：根据题意将文字转为数学表达式。 【典例1】若一个数x的3倍与5的和等于10，据此可列方程为： 【变式1】根据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”列出等式为： 【变式2】根据条件“某数x的3倍比它的一半大5”列出方程. 题型三等式的性质 解|题|技|巧 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式： 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 【典例1】下列变形正确的是() A.由-x>5,得x>-5 B.由-x≤6，得x2-3 C.由x>y,得xz2>yz2 D.由xz2yz2,得x>y 【变式1】运用等式性质进行的变形，正确的是() A.如果是=是，那么a=b B.如果ab,那么是= C.如果a=b,那么a十c=b-c D.如果a=b,那么3ac=2bc+3 【变式2】根据等式的性质，下列变形正确的是() 4/11 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.如果2x=3,那么祭=是 B.如果x=6,那么x=3 C.如果x=y,那么x-5=5-y D.如果x=y,那么-2x=-2y 题型四判断是香是一元一次方程 解引题|技|巧 一元一次方程满足条件： :①首先是一个方程； ②其次是必须只含有一个未知数； ③未知数的指数是1： ④分母中不含有未知数 【典例1】下列方程中，属于一元一次方程的是() A.x=y+1 B.安=1 C.x2=x-1 D.x+2=1 【变式1】已知下列方程：①x-2=;②0.2x=1;③=x-3;④x-y=6;⑤x=0,其中一元一次方程 有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式2】下列方程中，是一元一次方程的是() A.x2-2x=0B.2x+y=5 C.3x-1=0 D.麦+1=3 它题型五判断是香是一元一次方程解 解|题|技|巧 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 【典例1】下列方程中，解是x=1的方程是() A.2x=2 B.x+1=3 C.8-1=1 D.2x-3=0 【变式1】当b=()时，(36-4b)÷8=0. A.9 B.7 C.8 D.6 【变式2】写出一个解为x=2,且未知数的系数为-5的一元一次方程 它题型六解一元一次方程 解|题|技|巧 解一元一次方程的步骤： 5/11 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用 (2)移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项 (3)去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. (4)去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母 中含有小数时，先将小数化成整数 【典例1】解下列方程： (1)2x-1=3x+2 2语号=1 【变式1】若代数式1-号与2x+1互为相反数，求x的值。 【变式2】把方程-号=1去分母，正确的是() A.3x-(x-1)=1 B.3x-x-1=1 C.3x-x-1=6 D.3x-(x-1)=6 它题型七绝对值方程 解|题|技|巧 1.拆情况讨论：按定义分正负两种情形(A=a→A=士a)。 2去绝对符号：每种情况去掉“”，加括号变号或不变。 3.独立求解：分别解每个不含绝对值的新方程。 4.检验解效性：代入原式验证是否使绝对值为非负数。 5.舍无效解：排除导致矛盾（如负数等正数）的结果。 6.多变量处理：含多个绝对值时分段讨论临界点（零点）。 【典例1】若|a-4=1,则a= 【变式1】满足|2x+1+2x-5引=6的整数x的值有 【变式2】己知a=4,b=3,且a-b=-(a-b),则a+b的值为() A.-1 B.-7 C.-1或-7 D.1或7 题型八已知一元一次方程的解，求参数 解|题|技|巧 :1.明确已知条件 一元一次方程的形式（如含未知数x和某个参数k)； 6711 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 该方程的一个具体解（例如'x=a)。 2.代入求解 把解x=a直接代入原方程，替换掉所有的x; 此时方程变为仅含参数的等式，通过运算即可求出参数的值。 【典例1】己知x=2是关于x的方程x-3a=一4的解，则a的值是( A.2 B.-2 C.1 D.-1 【变式1】已知k为整数，关于x的方程(k+2x=3有负整数解，则满足条件的k的值有( A.1个 B.2个 C.3个 D.无数多个 【变式2】方程3x+2=1与关于x的一元一次方程1-2(a-3x)=-4的解相同，则a的值为() A.- B.-号 c. D. 题型九一元一次方程解的关系 解|题|技巧 1.发现两方程的关系； 2通过已知条件求出未知量的值： !3通过两个方程的关系求出最终答案。 【典例1】若关于x的方程x-4=0与2m-5x=4的解相同，则m的值为() A.12 B.24 C.-24 D.-12 【变式1】若关于x的方程5-m=2(3+x)与方程x-6=-2x的解互为相反数，则m的值为() A.4 B.-4 C.3 D.-3 【变式2】已知关于x的方程2(x-1)-m=学的解比方程4(x-1)=3(x+1)-5的解大1，求m的值. 它题型十一元一次方程的应用 解|题|技|巧 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x)· 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 解：解所列出的方程，求出未知数的值 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例1】今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩为全体教师配备了一定数量的口罩，若每 位教师发3个口罩，则多56个口罩，若给每位教师发5个口罩，则少80个口罩，请问该校有多少名教师？ 【变式1】列方程解应用题 元日期间，七(1)班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩.下面是购买门票时，小明与他爸爸的 对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： 大人门票是每张30元，学 生是门票5折优惠，我们 爸爸，等一下，我算 共12人，共需300元 一算，换一种方式买 票是否可以省钱？ 票价 成人：每张30元 学生：按成人票 5折优惠 团体票：(16人 以上含16人)， 按成人票6折优 惠 ()小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (②)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由 (3)买完票后，小明发现七(2)班的张小涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来买票，请你为他们设计 出最省的购票方案，并求出此时的买票费用 【变式2】“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为2400kg,含油率为40%.“丰收2号”油菜籽比“丰收1号” 的平均每公顷产量提高了300kg,含油率提高了10个百分点.某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰 收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了5100kg, (I)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去 年将菜籽油按收购价提高%定价，且全部售出.由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全 部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值 过·分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 8/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26七年级上广东佛山期末)已知a=b,则下列式子错误的是(). A.b=a B.3a=3b C.-a=-b D.a+2=b-2 2.(20-21七年级上·湖北武汉·期末)下列方程为一元一次方程的是() A.方+y=2 B.x+2y=4 C.x2-2x D.y-3=0 3.(25-26七年级上河南周口期中)已知x=2是方程3x-a=5的解，则a= 4.(25-26七年级上·河南周口·期中)把方程3x+2=5x-1移项后，正确的是() A.3x-5x=-1-2 B.3x-5x=-1+2 C.3x+5x=-1-2 D.3x-5x=1-2 5.(25-26七年级上广东广州期中)解方程：2x-3=x+1. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6.(24-25七年级上·甘肃武威期末)下列各式中，不正确的是( A.若a=b,则ab=b2 B.若ab,则= C.若ab=b2,则a=b D.若a+b=2b,则a=b 7.(24-25七年级上·重庆忠县期末)如图所示，在长方形ABCD中放入8个完全相同的小长方形，若 AB=5,则图中阴影部分面积之和为 8.(19-20七年级下·吉林长春期末)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿， 不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完， 剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完.设城中有x户人家，可列方程为() A.x+=100 B.x+3(100-x)=100 C.x+10-3=100 D.x+3x=100 9.(19-20七年级上北京通州期末)对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b 两数中较大的数，例如max{2,-4}=2.按照这个规定，方程max{x,-x}=2x+1的解为() A.-1 B.-青 C.1 D.-1或-青 9/11 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26六年级上·上海杨浦·期末)阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题. 解方程：房-芳=5 解：号10+型-5 3■ (第一步)》 15x-20(x+1)=5 (第二步) …… (I)上面过程中有一处错误： 错误的是第 步，错误的原因是 (2)把正确的解题过程写下来. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11.(24-25六年级上·上海浦东新·期中)如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c,且 0A+0B=0C,则下列结论中： ①a+b=c;②a-c=b;③-a<b<-c;④a-b+b-c=a-c.其中正确的个数有() C B a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.（25-26七年级上·福建福州·期中)幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一.如图，将9个数字分 别填入3×3的正方形空格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上数的和都相等，图中填写了部分 数字，其中a的值为() 3 12 A.1 B.3 C.5 D.7 13.(25-26七年级上·浙江金华·期中)李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给 (十8)个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是() A.6 B.7 C.8 D.9 14.(25-26六年级上·上海浦东新·期中)代数式x一2的几何意义是“数轴上x所对应的点与2所对应的点 之间的距离，求x+1+x-a+x-2的最小值是5，则a= 15.(25-26七年级上江苏南通·期中)李明和刘伟分别从AB两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿 10/11