培优03实数及其运算8大重难题型+强化训练（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优03实数及其运算8大重难题型+强化训练 题型1无理数 1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 2.无理数的判断方法 (1)定义是判断一个数是不是无理数的重要依据： (2)无理数不能写成分数的形式（两个整数的商）. 3.有理数与无理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数. (2)所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数)，而无理数不能写成分数的形式 (两个整数的商). 4.无理数的主要形式 (1)开方开不尽的数的方根，如：√2，，…； (2)圆周率π以及一些含有π的式子； （3）无限不循环小数. 1．（25-26七年级下·福建厦门·月考）下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，都是有理数， ，开方开不尽，是无理数， 观察四个选项，只有选项D符合题意． 2．（24-25七年级下·宁夏固原·月考）在实数，，，中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】无理数是指无限不循环小数，且不能表示为分数形式的实数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意； B、，是整数，属于有理数，不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，不符合题意； D、是分数，属于有理数，不符合题意． 3．（25-26·广东深圳·月考）有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 【答案】，， 【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数即可判断． 【详解】解：， 、、、、、0、中，无理数有，，． 4．（25-26·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 题型2实数的概念及分类 1.实数的概念 有理数和无理数统称实数， 2.实数的分类 5．（25-26·河南南阳·月考）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 6．（25-26七年级·江西萍乡·期中）在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了实数的分类，有理数的分类，代数式求值，根据有理数的分类，分别求出非负整数和正分数的个数，再代入计算即可． 【详解】解：在给定的数中，正分数有，，，共个，故， 非负整数有，，共个，故； ， 故答案为：． 7．（21-22七年级下·云南西双版纳·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 【答案】整数：{①}，分数：{③⑤⑥⑧}，有理数：{①③⑤⑥⑧}，无理数：{②④⑦⑨} 【详解】解：，， 整数：{①}， 分数：{③⑤⑥⑧}， 有理数：{①③⑤⑥⑧}， 无理数：{②④⑦⑨}． 8．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 题型3实数的有关概念及性质 1.相反数 数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数 2.绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0. 即设a表示一个实数： 3.倒数 数a(a≠0)的倒数为 9．（25-26·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数． 【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 10．（21-22七年级下·云南西双版纳·月考）4的平方根是________，绝对值是________，的相反数是________． 【答案】 【分析】分别根据平方根的定义，绝对值的性质，相反数的定义计算三个空的结果即可． 【详解】解： 的平方根是； ； 的相反数是． 11．（24-25七年级下·宁夏固原·月考）若都是实数，且满足的关系为：，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据被开方数非负可求出x的值，进而求出y的值，则可得到的值，再由平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根是 ． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 【答案】(1)的相反数为3， (2)的相反数为， 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根据定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键． （1）先化简立方根得到，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算的相反数和绝对值； （2）先判断的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴的相反数为3． 由绝对值的意义，得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的相反数为． 由绝对值的意义，得． 题型4实数与数轴的综合应用 1.实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点是一一对应关系，即每一个实 数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数· 3.利用数轴比较实数大小的方法 先由表示实数a的点在数轴上的位置判断出a的取值范围，再根据各数的特征或采用特殊值法比较出几个数的大小； 3.含绝对值的式子的化简 ①根据点到原点的距离比较绝对值的大小： ②根据加、减法法则判断绝对值中各多项式的符号， ③根据绝对值的意义去掉绝对值符号，同时将各多项式作为整体用括号括起来， ④去括号时，括号前面有“一”号的，注意变号 13．（25-26七年级下·重庆丰都·月考）如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，然后结合数轴即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即在3和4之间， 结合数轴可知点Q满足条件，即B选项符合题意． 14．（25-26七年级下·全国·月考）如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有_________个． 【答案】5 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以估算无理数的大小． 根据题意和数轴的特点可以求得在数和之间的整数有几个，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴在数和之间的整数有，共有个． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【详解】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 16．（25-26七年级·山东泰安·期末）探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 【答案】(1)，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． ()根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； ()结合()中计算可知不一定等于，并发现其中规律； ()运用()得出的规律进行运算即可； ()结合数轴可知，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：； （2）解：由()可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； ∴； 故答案为：； （3）解：若，则， ∴， 故答案为：； （4）解：由在数轴上的位置可知，，且，， ∴， ， ， ． 题型5无理数的估算问题 确定无理数的整数部分和小数部分的方法： 因为无理数是无限不循环小数，所以无法确定其小数部分具体的数值，只能用含整数部分的式子来表示解答这类问题，关键是要先估算整数部分，再用这个无理数减去整数部分，其结果就是小数部分. 17．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算的结果估计在（   ） A．1至2之间 B．2至3之间 C．3至4之间 D．0至1之间 【答案】A 【分析】先估算的取值范围，再推导的范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则，即的结果估计在1至2之间． 18．（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 19．（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可； （2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，的小数部分为a， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵的整数部分为b， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 20．（25-26·贵州贵阳·期中）（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）10或26（2） 【分析】本题考查的是相反数，倒数，平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分的含义． （1）先求解，，，再进一步代入计算即可． （2）先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1） 由题意可得：，，， 原式 当时，原式； 当时，原式． （2）∵， ∴整数部分为4， ∴； ∵， ∴整数部分为3， ∴， ∴． 题型6实数的混合运算 1.实数的运算法则 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质、运算律等同样适用. 2.实数的运算顺序 实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的· 21．（25-26七年级·山东淄博·期末）计算的结果是____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为：． 22．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则____________． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 23．（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先开方，再进行加法运算即可； （2）先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 24．（24-25七年级·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 题型7实数与实际应用问题 实际问题中的实数运算，可以利用所给的数据或计算器进行，当问题中要求近似值时，在计算过程中要注意对结果精确度的要求， 25．（25-26·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 26．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 27．（25-26七年级·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 28．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 题型8实数的拓展创新与阅读理解问题 这类题目通常会提供一个你从未在课本上学过的与实数相关的新概念、新运算或新法则，然后要求你： 理解定义：读懂新规则。 模仿应用：按照定义进行简单的计算或判断。 拓展创新：运用新规则解决稍复杂的问题，或探索规律、进行证明。 核心能力：阅读理解、信息提取、类比迁移、逻辑推理 29．（18-19七年级下·安徽滁州·月考）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 30．（20-21七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 31．（25-26·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数是解题的关键． （1）先求出，，再根据符号表示不大于的最大整数求解即可； （2）先根据符号表示不大于的最大整数求出的取值范围，再求解即可； （3）根据数轴上两点间距离求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴； ∵， ∴， ∵符号表示不大于的最大整数， ∴； （2）∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴， ∴； （3）∵点，表示的数分别为和， ∴． ∵点表示的数为，点表示的数为，由数轴可知点在点的左边， ∴． ∵点是的中点， ∴， ， ， ， ∴点表示的数为． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是无理数，，，是有理数 2．（21-22七年级下·云南西双版纳·期中）在实数，，0，3这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】依据“负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数更小”的规则比较即可，需先估算的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 因此最小的数是． 3．（2026七年级下·四川泸州·学业考试）实数的整数部分是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】只需确定在哪两个连续正整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵， ∴ ， 即， ∴的整数部分是． 4．（25-26·江苏泰州·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 5．（25-26七年级·安徽六安·期末）数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，即可解答． 【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B， ∴线段的长为． 6．（25-26七年级·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 7．（25-26七年级下·全国·周测）有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得各数的立方根，直到输出值即可． 【详解】解：当输入的为时，其立方根为，它是有理数，返回继续运算；的立方根为，它是无理数，输出的值. 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根求解和无理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握其定义． 8．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 9．（25-26·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 10．（2022七年级下·重庆涪陵·竞赛）定义：是不大于数x的最大整数，如：，，．规定是x的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分；．则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先估算出的范围，得到和的范围，再结合题目给出的和小数部分的定义，分别求出，最后计算三者的和即可． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又 ，即 ． 二、填空题 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）请写出一个小于的无理数：______．（写出一个正确答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用算术平方根对无理数的大小进行估算，从而得到小于的无理数即可． 【详解】解：， ， 即为小于的无理数．（答案不唯一） 12．（22-23七年级下·吉林四平·期中）比较大小：__________（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．分别求得和，比较即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 13．（25-26七年级·山东淄博·月考）的算术平方根是________，的立方根是________，的平方根是________，的绝对值是________． 【答案】 9 / 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义，根据算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义求解即可． 【详解】解：，81的算术平方根是， 的立方根是， ，5的平方根是， 的绝对值是， 故答案为：9，，，． 14．（25-26·四川成都·期中）如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根，立方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．（25-26·四川成都·期末）规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，根据“最美实数”的定义，非零实数的算术平方根等于它的立方根，解得该实数为，代入表达式求． 【详解】解：设最美实数为，则，且， 两边六次方得， 即， 解得：或， 由于为非零实数， ， ， 解得：． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 三、解答题 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，． 正数：{                       ，…}； 有理数：{                       ，…}； 负数：{                       ，…}； 无理数：{                       ，…}． 【答案】正数：； 有理数：； 负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}； 无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}． 【分析】根据正数、有理数、负数、无理数的定义进行分类．正数是大于0的数；有理数是整数、有限小数或无限循环小数；负数是小于0的数；无理数是无限不循环小数． 本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数：； 有理数：； 负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}； 无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}． 18．（2025·湖北·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据绝对值的性质化简，然后根据实数的加减运算法则计算即可； 先根据算术平方根、立方根的定义计算，然后再根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 19．（25-26·江西吉安·期末）我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算． （1）先估算出所在的范围，进而作答即可； （2）先估算出所在的范围，进而求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴． 20．（25-26七年级·山东烟台·期末）已知某个数的平方根是和，且的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的立方根并判断其与的大小关系． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由平方根定义及算术平方根定义列式求解即可得到答案； （2）由（1）知，，代入求值后计算立方根，再比较与的大小关系即可得到答案． 【详解】（1）解：某个数的平方根是和， ， 解得； 的算术平方根是， ， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 则的立方根是， ， ． 【点睛】本题考查平方根定义、算术平方根定义、立方根定义、解一元一次方程、比较数的大小等知识，熟记相关概念是解决问题的关键． 21．（23-24九年级上·河南周口·月考）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 22．（25-26·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 23．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03实数及其运算8大重难题型+强化训练 题型1无理数 1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 2.无理数的判断方法 (1)定义是判断一个数是不是无理数的重要依据： (2)无理数不能写成分数的形式（两个整数的商）. 3.有理数与无理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数. (2)所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数)，而无理数不能写成分数的形式 (两个整数的商). 4.无理数的主要形式 (1)开方开不尽的数的方根，如：√2，，…； (2)圆周率π以及一些含有π的式子； （3）无限不循环小数. 1．（25-26七年级下·福建厦门·月考）下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·宁夏固原·月考）在实数，，，中，无理数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26·广东深圳·月考）有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 4．（25-26·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 题型2实数的概念及分类 1.实数的概念 有理数和无理数统称实数， 2.实数的分类 5．（25-26·河南南阳·月考）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 6．（25-26七年级·江西萍乡·期中）在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 7．（21-22七年级下·云南西双版纳·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 8．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 题型3实数的有关概念及性质 1.相反数 数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数 2.绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0. 即设a表示一个实数： 3.倒数 数a(a≠0)的倒数为 9．（25-26·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 10．（21-22七年级下·云南西双版纳·月考）4的平方根是________，绝对值是________，的相反数是________． 11．（24-25七年级下·宁夏固原·月考）若都是实数，且满足的关系为：，则的平方根是_________． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 题型4实数与数轴的综合应用 1.实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点是一一对应关系，即每一个实 数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数· 3.利用数轴比较实数大小的方法 先由表示实数a的点在数轴上的位置判断出a的取值范围，再根据各数的特征或采用特殊值法比较出几个数的大小； 3.含绝对值的式子的化简 ①根据点到原点的距离比较绝对值的大小： ②根据加、减法法则判断绝对值中各多项式的符号， ③根据绝对值的意义去掉绝对值符号，同时将各多项式作为整体用括号括起来， ④去括号时，括号前面有“一”号的，注意变号 13．（25-26七年级下·重庆丰都·月考）如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 14．（25-26七年级下·全国·月考）如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有_________个． 15．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 16．（25-26七年级·山东泰安·期末）探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 题型5无理数的估算问题 确定无理数的整数部分和小数部分的方法： 因为无理数是无限不循环小数，所以无法确定其小数部分具体的数值，只能用含整数部分的式子来表示解答这类问题，关键是要先估算整数部分，再用这个无理数减去整数部分，其结果就是小数部分. 17．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算的结果估计在（   ） A．1至2之间 B．2至3之间 C．3至4之间 D．0至1之间 18．（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 19．（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 20．（25-26·贵州贵阳·期中）（1）若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； （2）若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 题型6实数的混合运算 1.实数的运算法则 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质、运算律等同样适用. 2.实数的运算顺序 实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的· 21．（25-26七年级·山东淄博·期末）计算的结果是____． 22．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则____________． 23．（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）计算： (1) (2) 24．（24-25七年级·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 题型7实数与实际应用问题 实际问题中的实数运算，可以利用所给的数据或计算器进行，当问题中要求近似值时，在计算过程中要注意对结果精确度的要求， 25．（25-26·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 26．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 27．（25-26七年级·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 28．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 题型8实数的拓展创新与阅读理解问题 这类题目通常会提供一个你从未在课本上学过的与实数相关的新概念、新运算或新法则，然后要求你： 理解定义：读懂新规则。 模仿应用：按照定义进行简单的计算或判断。 拓展创新：运用新规则解决稍复杂的问题，或探索规律、进行证明。 核心能力：阅读理解、信息提取、类比迁移、逻辑推理 29．（18-19七年级下·安徽滁州·月考）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 30．（20-21七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 31．（25-26·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·云南西双版纳·期中）在实数，，0，3这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．3 3．（2026七年级下·四川泸州·学业考试）实数的整数部分是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26·江苏泰州·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（25-26七年级·安徽六安·期末）数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 7．（25-26七年级下·全国·周测）有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（    ） A．4 B． C． D． 8．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 9．（25-26·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 10．（2022七年级下·重庆涪陵·竞赛）定义：是不大于数x的最大整数，如：，，．规定是x的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分；．则（    ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）请写出一个小于的无理数：______．（写出一个正确答案即可） 12．（22-23七年级下·吉林四平·期中）比较大小：__________（填“＞”、“＝”或“＜”）． 13．（25-26七年级·山东淄博·月考）的算术平方根是________，的立方根是________，的平方根是________，的绝对值是________． 14．（25-26·四川成都·期中）如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________． 15．（25-26·四川成都·期末）规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 16．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 三、解答题 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，． 正数：{                       ，…}； 有理数：{                       ，…}； 负数：{                       ，…}； 无理数：{                       ，…}． 18．（2025·湖北·模拟预测）计算： (1)； (2)． 19．（25-26·江西吉安·期末）我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 20．（25-26七年级·山东烟台·期末）已知某个数的平方根是和，且的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的立方根并判断其与的大小关系． 21．（23-24九年级上·河南周口·月考）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 22．（25-26·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 23．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $