培优01 实数全章13种题型复习（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优01 实数 题型1 平方根的概念 核心思路：紧扣平方根的定义，明确以下关键点： 1. 平方根的本质：平方的逆运算； 2. 平方根的存在性：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根； 3. 与算术平方根的区别：算术平方根是平方根中的非负数。 1．（25-26八年级上·江西吉安·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·月考）下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解决本题的关键． 依据“负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根”的性质，找出选项中的负数即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根， ∴要找没有平方根的实数，需选择负数， 选项中只有是负数， 故选A． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 题型2 求平方根 核心思路： 1. 直接开平方：若a是完全平方数，直接写出其平方根； 2. 估算非完全平方数：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定平方根的范围； 3. 利用性质简化：若，则。 1．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 2．（25-26九年级下·江苏常州·月考）9的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 题型3 已知平方根求数 核心思路：若x是a的平方根，则（逆用平方根定义）。需注意： 1. 若已知a的平方根为±b，则； 2. 若已知a的算术平方根为b，则（算术平方根是非负的）。 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故选：A． 2．（26-27八年级上·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ． 【答案】1 【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列式计算． 【详解】解：由题意得：， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知正数m的两个平方根分别为和．求a的值和m的值． 【答案】a的值为2，m的值为9 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程可求得a的值，根据平方根的定义可求得m的值． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 答：a的值为2，m的值为9． 【点睛】本题考查平方根的定义和性质，平方根的定义：若一个数的平方等于a，则这个数叫做a 的平方根（或二次方根）．即若，则x是a的平方根，记作．平方根的性质：①正数有两个平方根，且互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．熟知上述相关内容是正确解答此题的关键． 题型4 利用平方根解方程 核心思路：将方程转化为的形式，再利用平方根定义求解（）。需注意： 1. 方程两边开平方时，要考虑正负两种情况； 2. 若右边为负数，方程无实数解。 1．（25-26七年级下·广西南宁·月考）求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先移项，再系数化为1最后开方即可； （2）先开方，再移项、合并同类项即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 两边都除以2得，， 由平方根的定义得，； （2）解：， 由平方根的定义得，， 解得或 ． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义，转化为两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 则或 或． 题型5 求算数平方根 核心思路：算术平方根是平方根中的非负数（记为），需注意： 1. 正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0； 2. 算术平方根的表示：。 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，故选A． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的定义及有理数的乘方运算，需根据相关定义和法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即的结果为非负， ∴对于选项A，是16的算术平方根，结果为4，而非，A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵表示的相反数，，∴，C错误， 不符合题意； ∵，∴D正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）______． 【答案】 2 【分析】根据算术平方根的定义，若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根. 【详解】因为， 所以. 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）化简：_____． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义计算． 【详解】解：∵， ∴． 题型6 算术平方根的非负性 算术平方根的结果一定是非负的（），常用来解决以下问题： 1. 求代数式的值：若，则； 2. 确定变量的取值范围：a必须非负。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的值分别是（    ） A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，牢记算术平方根的非负性是解题关键，利用算术平方根的非负性求解，即算术平方根的值恒为非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0． 【详解】∵算术平方根具有非负性， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 解得，， 故选：B． 2．（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）若，为实数，且满足，则________ ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握平方和算术平方根的非负性是解题关键．根据平方和算术平方根的非负性可求出和的值，再计算乘积即可． 【详解】解： ，，且 ， 且， 解得，， ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，利用非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分必须为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且 ， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：2 题型7 算是平方根的实际应用 核心思路：将实际问题转化为数学模型，利用算术平方根求解，常见场景： 1. 几何问题：如正方形面积求边长； 2. 测量问题：如两点间距离的测量。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用和长方形的面积计算，熟练掌握根据比例关系设未知数并列方程求解的方法是解题的关键．根据长与宽的比例关系设出未知数，再利用长方形的面积公式列出方程，求解后得到未知数的值，进而求出长方形的宽． 【详解】解：∵长方形长与宽之比为， ∴设长为，宽为（）． ∵长方形面积为，且长方形面积长宽， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 则宽为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：B． 3．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的剪拼与算术平方根的应用，熟练掌握剪拼前后图形面积不变，以及利用面积求正方形边长是解题的关键． 先计算阴影部分的面积，再根据剪拼前后面积不变，得出新正方形的面积，进而求出其边长． 【详解】解：∵每个小方格边长为1, ∴阴影部分面积， ∵剪拼后正方形面积与阴影部分面积相等， ∴新正方形面积为5， ∴新正方形边长为， 故选：D． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期末）竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 【答案】10 【分析】根据题意，将已知条件代入计算公式，求解算术平方根即可． 【详解】解：把，代入公式中，得 解得：米/秒，（负值舍去）． 题型8 立方根的概念 核心思路：紧扣立方根的定义（若，则x是a的立方根，记为），明确以下关键点： 1. 立方根的唯一性：任何实数都有唯一的立方根（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0）； 2. 与平方根的区别：立方根不需要考虑正负。 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东泰安·期末）在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，需根据算术平方根的定义（非负性）、立方根的定义和平方根的性质判断每个选项． 【详解】解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误； 选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确； 选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误； 选项D，∵，而的立方根为，∴D错误； 故选：B． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 【答案】（1）4或，（2） 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的相关概念及运算． （1）先计算的值，再由得出n的值，确定m和n的可能取值，再枚举所有m和n的组合，分别计算的结果； （2）先根据立方根的定义求出a的值，再计算的值，求其算术平方根得到b的值，进而计算的值，最后求得的立方根． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，， ∴的值为4或； （2）∵a是的立方根，b是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴． 题型9 求立方根 核心思路： 1. 直接开立方：若a是完全立方数（如8、27），直接写出其立方根； 2. 利用性质简化：； 3. 估算非完全立方数：找到与被开方数相邻的两个完全立方数，确定立方根的范围。 1．（2026七年级下·广西南宁·专题练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照一元一次方程的解法进行求解即可； （2）先移项再对方程两边开立方，然后按照一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （2）解：， 移项，得， 两边开立方，得， 解得． 2．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知是49的平方根，是的立方根，求的值 【答案】或 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义：若，则． 【详解】解：∵是49的平方根， ∴， ∵是的立方根， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 3．（25-26八年级上·山西太原·期末）27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数， ∴ 的立方根是． 4．（2026·安徽·模拟预测）计算：________． 【答案】 【分析】先算开立方，再算加法即可 ． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 题型10 立方根的实际运用 核心思路：将实际问题转化为数学模型，利用立方根求解，常见场景： 1. 体积问题：如正方体体积求棱长； 2. 物理问题：如密度、质量、体积的关系。 1．（25-26七年级上·浙江温州·期末）体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：体积为27立方分米的正方体的棱长为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 【答案】10 【分析】本题考查了正方体的棱长与体积的关系，解决本题的关键是熟练掌握正方体的棱长与体积的关系． 根据正方体的体积公式，体积扩大倍数与棱长扩大倍数的关系可通过立方根求解，由此可得结论． 【详解】解：设原正方体棱长为a，则体积为． 体积扩大为原来的1000倍，新体积． 设新棱长为，则， 因此． ∴棱长扩大为原来的10倍． 故答案为：10． 4．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式得到点、点的距离为，可知点表示的数为，根据“左减右加”可求的值； （2）先得到，，再根据非负数的性质计算即可； （3）根据相反数的定义得到，根据非负数的性质求出，求出的值，再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴点、点的距离为， ∵点关于点的对称点为点， ∴点表示的数为， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为， ∴； （2）解：， ，， ． （3）解：与互为相反数， ， ， ， 解得 ， 的立方根是． 题型11 平方根与立方根综合 核心思路：区分平方根与立方根的性质，避免混淆： 1. 平方根：正数有两个，负数没有；立方根：任何实数都有一个； 2. 符号表示：平方根是，立方根是； 3. 特殊值：，，，，无意义，。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； （2）解：， ， 的平方根是． 3．（24-25七年级下·广东湛江·月考）已知为81的算术平方根，为b的立方根，求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】本题主要考查的是平方根、立方根、算术平方根的性质，先根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再代入计算，再根据平方根的定义计算平方根． 【详解】解：∵已知为81的算术平方根，为b的立方根， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根为． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 题型12 平方根与立方根的规律探索 核心思路：通过计算几个具体的数值，寻找规律（如被开方数的小数点移动与平方根/立方根的小数点移动关系）： 1. 平方根的规律：若被开方数扩大100倍，平方根扩大10倍； 2. 立方根的规律：若被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍。 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【答案】B 【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴是将的小数点向右移动1位得到的， 根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位， ∴将的小数点向右移动2位，可得． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 _ _ 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【答案】4；40；规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位 【分析】先根据算术平方根的定义求出16和1600的算术平方根，再对比被开方数和算术平方根的小数点位置总结规律即可． 【详解】解：，， 被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位． 3．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）有一列数按如下规律排列：，，，，…，则第6个数是_____． 【答案】 【分析】先确定序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分母为的序号数次方，分子为序号数加上的算术平方根，即可得出第个数． 【详解】解：∵，，，，，…， 序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分母为的序号数次方，分子为序号数加上的算术平方根， 第个数为． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查与算术平方根有关的规律探索题．根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ， ． 原式 ． 故答案为：． 题型13 实数的混合运算 核心思路：遵循实数运算顺序（先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），注意以下要点： 1. 平方根与立方根的计算：先化简； 2. 绝对值的处理：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数； 3. 运算律的应用：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律。 1．（2024·重庆·模拟预测）计算：______． 【答案】/ 【分析】先根据绝对值的性质化简绝对值，再计算有理数的乘方，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·天津·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算立方根和乘方，再计算绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义求解即可； （2）先去括号，然后根据实数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】． 【分析】先分别化简算术平方根、绝对值、立方根，再按照实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 培优01实数 划重点·冲高分 题型07算是平方根的实际应用 题型01平方根的概念 题型08立方根的概念 题型02求平方根 题型09求立方根 题型03已知平方根求数 实数 题型10立方根的实际运用 题型04利用平方根解方程 题型11平方根与立方根综合 题型05求算数平方根 题型12平方根与立方根的规律探索 题型06算术平方根的非负性 题型13实数的混合运算 题型1平方根的概念 解题大 !核心思路：紧扣平方根的定义，明确以下关键点： 1. 平方根的本质：平方的逆运算； 平方根的存在性：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根； 3. 与算术平方根的区别：算术平方根是平方根中的非负数。 1. (25-26八年级上江西吉安·期末)16的平方根是() A.±4 B.4 C.-4 D.4 2.(25-26七年级下.全国·月考)下列各数一定没有平方根的是() A.-x B.-2x-1 C.x2 D.-2-x2 3.(25-26七年级上·山东烟台期末)若实数x没有平方根，则x可以是() A.-1 B.0 C.1.1 D.2 4.(25-26八年级上四川成都月考)下列说法： 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 ①0.4=0.2；②，1 4 V9-3 ,③4是16的平方根；④-5)2的算术平方根是5，⑤-32的平方根是3 ,其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型2求平方根 解题 核心思路： 1. 直接开平方：若a是完全平方数，直接写出其平方根： 2 估算非完全平方数：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定平方根的范围； 13. 利用性质简化：若a=b2,则√匠=。 儿。。。 1.(25-26七年级上全国期中)已知代数式(3a-b)2的值是4，则代数式6a-2b+5的值是() A.13 B.9 C.1 D.9或1 2.(25-26九年级下·江苏常州月考)9的平方根是 3.(25-26九年级上河南周口期中)若(a2+b2-2)2=64,则a2+b2= 4.(24-25七年级下全国期中)已知正实数x的平方根分别是n和n+a(a>0).若n2+(n+a)2=8,则 n+a的平方根为 题型3已知平方根求数 一币 解题大招 核心思路：若x是a的平方根，则a=x2(逆用平方根定义)。需注意： 11. 若已知a的平方根为士b,则a=(±b2=b2: i2.若已知a的算术平方根为b,则a=b2(算术平方根是非负的)。 1. (25-26八年级上河北保定·期末)已知一个正数a的两个不同的平方根分别是x+5和4x-15,则x的值 为() A.2 B. 20 3 C.7 D.49 2.(26-27八年级上陕西西安期末)一个正数的两个不同的平方根分别为4m-2与-1-m,则m的值为 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上江苏南京期末)已知数A=6-2x有平方根. (1)求x的取值范围： (2)数A的两个不同的平方根是a+1和2a-7,求A的值. 4.(25-26八年级上陕西西安期末)己知正数m的两个平方根分别为3a-3和1-2a.求a的值和m的值. 题型4利用平方根解方程 1解题大招 1核心思路：将方程转化为x2=a的形式，再利用平方根定义求解(x=±a,a≥0)。需注意： 11. 方程两边开平方时，要考虑正负两种情况； 若右边为负数，方程无实数解。 1.(25-26七年级下广西南宁.月考)求下列方程中x的值. (1)2x2-8=0; (2)x-1=64 2.(25-26八年级上江苏南京·月考)解方程 (1)2(x+1)2-49=1; (2)(2x-1)2=V16. 3.(25-26八年级上江苏盐城期末)解方程：(x-2)=3. 4.(25-26八年级上江苏准安·期末)解方程： (1)4x2-9=0; (2)(x-3)2=64 题型5求算数平方根 !解题大 |核心思路：算术平方根是平方根中的非负数（记为Va,a≥0），需注意： 1.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12. 算术平方根的表示√a:。 1.(25-26八年级上福建泉州月考)√16的值是() A.4 B.-6 C.8 D.-8 2.(25-26七年级上·浙江台州期末)下列计算正确的是() A.√16=±4 B.V-42=4 C.-22=4 D.（-2)2=4 3.(25-26八年级上广东深圳期中)√4= 4.(25-26九年级上福建漳州期末)化简：√4= 题型6算术平方根的非负性 解题 招 算术平方根的结果一定是非负的（√a,a≥0），常用来解决以下问题： 11. 求代数式的值：若Va+bl=0,则Va=0,bl=0; 2. 确定变量的取值范围：a必须非负。 1.(25-26八年级下·全国课后作业)若V1-x+√y+2=0，,则x,y的值分别是() A.1,2 B.1,-2 C.-1,2 D.-1,-2 2.(25-26八年级上海南海口期末)已知√a+2+b-=0,那么(a+b226的值为() A.-1 B.1 C.32026 D.-32026 3.(25-26八年级上四川成都期末)若a,b为实数，且满足(a+4)2+√b-3=0,则ab= 4.（25-26七年级上浙江绍兴期末)若实数x,y满足：|x-3+√y+1=0,则x+y的值为· 题型7算是平方根的实际应用 解题大招 核心思路：将实际问题转化为数学模型，利用算术平方根求解，常见场景： 11. 几何问题：如正方形面积求边长： 12 测量问题：如两点间距离的测量。 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26八年级下·全国课后作业)要画一个面积为20cm的长方形，使它的长与宽之比为5：2，则该长 方形的宽为() A.Icm B.2√2cm C./3cm D.√5cm 2.（25-26八年级上·河北石家庄·期末)如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， 则大正方形的边长为()· ① ① ③ ② ② ④ ③ 图1 图2 图3 A.√2 B.2 C.5 D.4 3.(25-26八年级上·重庆黔江·期末)若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪 开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是() A.√2 B.√5 C.2 D.5 4。(24-25八年级上四川眉山期末)竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：方= ,其中8为 2g 重力加速度，y为物体抛出时的初始速度，当g=10,h=5时，v= 米/秒. 题型8立方根的概念 解题大 ,核心思路：紧扣立方根的定义（若x=a,则x是a的立方根，记为a),明确以下关键点： 1. 立方根的唯一性：任何实数都有唯一的立方根（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立 方根是0)： 2.与平方根的区别：立方根不需要考虑正负。 1.(25-26八年级上·河南洛阳·期末)下列说法正确的是（) 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4的平方根是2 B.1的立方根是-1 C.任何一个实数都有两个平方根 D.任何一个实数都有一个立方根 2.(25-26七年级上山东泰安期末)在下列结论中，正确的是() B.x2是x的一个平方根 C.-x2一定没有平方根 D.√64的立方根是4 3.(25-26八年级上河南周口·月考)立方根等于它本身的数是() A.0 B.1 C.±1 D.0或±1 4.(25-26八年级上山东菏泽·期末)(1)若m2=(-7)2,n3=（-3),求m+n的值： (2)a是-27的立方根，b是√16的算术平方根，求a+b的立方根 题型9求立方根 解题大招 1核心思路： 1. 直接开立方：若a是完全立方数（如8、27），直接写出其立方根： 利用性质简化：云=a: 3 估算非完全立方数：找到与被开方数相邻的两个完全立方数，确定立方根的范围。 一一一一一一一一一一一一一一一一一 1. (2026七年级下·广西南宁，专题练习)求下列各式中x的值： (1)4x-2(3-x)=6; (2)(x+1)3-27=0. 2.(25-26八年级上，甘肃天水期中)已知x是49的平方根，y是-64的立方根，求x+2y-3的值 3.(25-26八年级上山西太原期末)27的立方根是() A.3 B.9 C.3 D.3V5 4.(2026安徽模拟预测)计算：-3+-27= 题型10立方根的实运用 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 w 解题 大招 核心思路：将实际问题转化为数学模型，利用立方根求解，常见场景： 1 体积问题：如正方体体积求棱长； i2. 物理问题：如密度、质量、体积的关系。 1.(25-26七年级上浙江温州期末)体积为27立方分米的正方体的棱长为() A.3分米 B.±3分米 C.9分米 D.81分米 2.(25-26八年级上·江苏宿迁·月考)一个棱长为6cm的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方 体容器时，还需再加水127cm3才满，求另一个正方体容器的棱长 3.(25-26八年级上·四川成都期末)一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的 倍。 4.(25-26八年级上贵州毕节期末)己知数轴上点A表示的数为√2，点B表示的数为1，点A关于点B 的对称点为点C,一只妈蚁从点C沿数轴向左爬行3个单位长度到达点D,设点D所表示的数为m, (1)m= (2)求2m-1-Vm-12的值： (3)在数轴上E,F两点分别表示实数e,f,且3e-2f与V3f+9互为相反数，求6e+5f的立方根 题型11平方根与立方根综合 解题大招 核心思路：区分平方根与立方根的性质，避免混淆： 01. 平方根：正数有两个，负数没有；立方根：任何实数都有一个： 12. 符号表示：平方根是±√a,立方根是a; 13. 特殊值：√6=0,0=0，=1，=1,1无意义，1=-1。 儿一。一一一一。一一-一一一一。一。一一。一。一一一一一 1. （25-26七年级下.全国课后作业)如果m=-a+5是a+5的算术平方根，n=-2ba+2b是a+2b的立 方根，求m-n的平方根， 2.(25-26七年级上山东济南期末)已知2a+1为9的算术平方根，2为5b-2的立方根. (1)求a、b的值： (2)求2a+b的平方根. / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25七年级下，广东湛江月考)己知2a-3为81的算术平方根，-2为b的立方根，求2a+b的平方 根 4.(25-26八年级上江苏连云港期中)己知5a+2的立方根是3，b-1的算术平方根是4. (1)求a、b的值： (2)求4a+b-1的平方根. 题型12平方根与立方根的规律探索 解题大招 」核心思路：通过计算几个具体的数值，寻找规律（如被开方数的小数点移动与平方根/位方根的小数点移 动关系)： 1.平方根的规律：若被开方数扩大100倍，平方根扩大10倍； ·2.立方根的规律：若被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍。 儿-一一-一一一一一一一一一一一一一。一一一”一 1.(25-26八年级上山东菏泽期末)已知√23.6=4.858，如果√=48.58，那么x的值是() A.2.36 B.2360 C.23600 D.236 2.（25-26八年级上·浙江绍兴月考)填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 a 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根√a的小数点的移动规律. 3.(2026七年级下黑龙江哈尔滨专题练习)有一列数按如下规律排列：_2,5,1,5，-6 Γ2’4 4 16 32 则第6个数是· 4.(25-26八年级上山东聊城期末)观察下列一组算式的特征及运算结果：①√1x5+4=√9=3，② √2×6+4=√16=4，③V3×7+4=√25=5，.，请根据规律计算 V1x5+4-√2×6+4+√3×7+4-√4×8+4+.+√2023×2027+4-V2024×2028+4的值为。 题型13实数的混合运算 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 w 解题大招 核心思路：遵循实数运算顺序（先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），注意以下要点： 11. 平方根与立方根的计算：先化简： 12. 绝对值的处理：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数； 运算律的应用：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律。 1. (2024重庆模拟预测)计算：2-3+(-1)= 2.(24-25七年级下·天津期中)计算： (1)5+-125+5-2: (2)-22+N2-5-V5+3-64 3.(2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习)计算 (1)5--62--27 (2)52+5-(5V2-2W5 4.(25-26八年级下湖南衡阳期末)计算：6+3-1-27. /