第七章 三角函数（知识清单+6大易错训练）高一数学沪教版必修第二册

第七章 三角函数 清单01 正弦(余弦)函数图象 正弦(余弦)函数图象 1．正弦函数的图象叫做正弦曲线 函数 y＝sin x，x∈R 图象 2．余弦函数的图象叫做余弦曲线 函数 y＝cos x，x∈R 图象 “五点(画图)法” 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ，，(π，0)，，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，， (2π，1) 【特别提醒】“五点法”作图中的“五点”是指正弦、余弦函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． 正弦函数、余弦函数的周期 1．函数的周期性 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T )＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 【特别提醒】(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期． 正弦函数、余弦函数的奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象关于原点对称 图象关于y轴对称 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 (1)对称中心为(kπ，0)(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ＋，k∈Z (1)对称中心为(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ，k∈Z 与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 单调性 在[＋2kπ，]上单调递增，在[＋2kπ，]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减 最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 清单02 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象与正切函数 振幅、相位与初相 1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． 2．简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0． (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f ＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 【特别提醒】如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝－sin ，应先变成y＝sin ＝sin ． A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 3．A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 正切函数的图象 解析式 y＝tan x 正切曲线 对称中心 ，k∈Z 渐近线 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线 x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的 【特别提醒】画正切函数在区间内的简图，常用“三点两线”法，三点：，(0，0)，，两线：x＝－，x＝． 正切函数的单调性、值域 单调性 正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 值域 正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R 【特别提醒】正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性． 【易错01：图像平移变换出错】 没有掌握三角函数图象的平移变换和伸缩变化规律，进行图象变换时没有按照正确的变换，易出现不考虑ω值，，左右平移相反，不同名之间未转化的问题 【典例】 1．已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．要得到的图象，且使平移的距离最短，则需将的图象向______平移______个单位长度． 【针对训练】 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标______到原来的______（纵坐标不变），再向______平行移动______个单位长度． 3．要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【易错02：由图像求解析式中参数的值出错】 1、从图像中找周期，易出现T对应错误，需注意给出数值对应具体T. 2、由零点求解未知量是需注意对应的点0或π，通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数,需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入式子中. 【典例】 1．已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则 （    ） A． B． C． D． 2．函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个极值点，.则__________. 【针对训练】 1．如图为函数的部分图象，，为图象与轴的两个交点坐标，则（   ） A． B．0 C． D． 2．函数的部分图象如图，，则_____. 3．如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（   ） A． B． C． D．-1 4．函数的部分图象如图所示，其中，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【易错03：三角函数中的求参数范围的问题】 根据三角函数的性质（单调性、对称性、最值、周期性、极值以及零点等）求解参数的取值范围时，需合理转化各类关系式，不然易出现计算问题导致结果错误. 【典例】 1．已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．函数有零点，则实数的范围是_____ 2．若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是___________ 3．已知函数． (1)求图象的对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)时，有零点，求的范围． 4．已知函数的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间只有3个零点，求a的范围． 【易错04：求解单调区间不考虑正负】 计算正余弦函数的单调增（减）区间时，要保证A>0,ω>0才能直接利用正余弦的单调增（减）区间，否则要按照复合函数的单调性求解. 【典例】 1．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的单调递增区间为_____. 3．若函数的单调递减区间是__________. 4．已知函数，则的单调递增区间是_____. 【易错05：为考虑正切函数定义域范围】 正切函数值定义域为｛x|x＋kπ，k∈Z｝ 【典例】 1．函数的定义域为______________ 2．函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【针对训练】 1．函数的定义域是________． 2．函数的定义域为_____________． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【易错06：三角函数综合性质】 【典例】 1．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间和对称中心； (3)若恒成立，求的取值范围. 【针对训练】 1．已知函数，其中． (1)若的最小正周期为， ①求的单调递增区间； ②求时的值域． (2)若函数在区间上没有最值，求的取值范围． 2．已知函数． (1)求的最小值； (2)将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 3．若函数的部分图象如图所示 (1)求函数的解析式; (2)若当时，，求实数t的取值范围. (3)若关于x的方程有三个连续的实数根，且，，求a的值. 4．已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 1．下列区间中，函数是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 4．设函数在区间恰有四个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数()满足：．若函数在区间上单调，且，则______． 6．已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是______． 7．若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 8．要得到的图象，只要将的图象向___________平移___________个单位长度. 9．已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若存在使得成立，求的取值范围. 10．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式. (2)设函数. （i）求的单调递减区间； （ii）若，求的最大值与最小值. 11．已知． (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当时，求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的最大值和最小值，并写出所对应的取值． 12．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数m的取值范围； (3)若方程的解为，（），求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数 清单01 正弦(余弦)函数图象 正弦(余弦)函数图象 1．正弦函数的图象叫做正弦曲线 函数 y＝sin x，x∈R 图象 2．余弦函数的图象叫做余弦曲线 函数 y＝cos x，x∈R 图象 “五点(画图)法” 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ，，(π，0)，，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，， (2π，1) 【特别提醒】“五点法”作图中的“五点”是指正弦、余弦函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． 正弦函数、余弦函数的周期 1．函数的周期性 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T )＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 【特别提醒】(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期． 正弦函数、余弦函数的奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象关于原点对称 图象关于y轴对称 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 (1)对称中心为(kπ，0)(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ＋，k∈Z (1)对称中心为(k∈Z)； (2)对称轴x＝kπ，k∈Z 与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 单调性 在[＋2kπ，]上单调递增，在[＋2kπ，]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减 最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 清单02 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象与正切函数 振幅、相位与初相 1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． 2．简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0． (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f ＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 【特别提醒】如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝－sin ，应先变成y＝sin ＝sin ． A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 3．A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 正切函数的图象 解析式 y＝tan x 正切曲线 对称中心 ，k∈Z 渐近线 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线 x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的 【特别提醒】画正切函数在区间内的简图，常用“三点两线”法，三点：，(0，0)，，两线：x＝－，x＝． 正切函数的单调性、值域 单调性 正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 值域 正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R 【特别提醒】正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性． 【易错01：图像平移变换出错】 没有掌握三角函数图象的平移变换和伸缩变化规律，进行图象变换时没有按照正确的变换，易出现不考虑ω值，，左右平移相反，不同名之间未转化的问题 【典例】 1．已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】由求得，利用辅助角公式整理，再将整理成与相同结构，比较得到结果. 【详解】已知是的零点，因此， 代入得： ，即 ，解得， 所以 又 所以将向左平移个单位长度得到函数的图象， 2．要得到的图象，且使平移的距离最短，则需将的图象向______平移______个单位长度． 【答案】 右； 【分析】通过对比和的形式，根据平移原则确定平移方向和距离即可. 【详解】由题意，得，按照“左加右减，上加下减”的原则， 将向右平移，得， 当时，平移的距离最短，即将的图象向右平移个单位长度即可． 故答案为：右；. 【针对训练】 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】由函数图象平移法则即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得：，C正确， 故选：C 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标______到原来的______（纵坐标不变），再向______平行移动______个单位长度． 【答案】 扩大 2倍 左 【分析】利用诱导公式和三角函数的平移伸缩变换易得. 【详解】由 ． 故答案为：扩大，2倍，左，. 3．要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据函数图象平移变换求解即可. 【详解】因为， 所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选：B 4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】由函数和函数即可得解. 【详解】因为函数，又函数， 所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象. 故选：D 【易错02：由图像求解析式中参数的值出错】 1、从图像中找周期，易出现T对应错误，需注意给出数值对应具体T. 2、由零点求解未知量是需注意对应的点0或π，通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数,需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入式子中. 【典例】 1．已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将 代入， 得：； 于是：. 再将 代入， 得：， 由函数图象经过点， 得：， 由 (2) 得，代入 (1)： ， 两边乘以，得： ， 故：， 又由图象可知：，所以， 故，所以，， 故，解得：， 将 代入 (2)，得： ， 已知，所以： 2．函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个极值点，.则__________. 【答案】 【分析】根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得。 【详解】由图可知是“五点作图”的第一个最大值点， 所以且.. 显然，从到经过了的一个完整周期，其中. 则，, ,代入得. ... 故答案为：. 【针对训练】 1．如图为函数的部分图象，，为图象与轴的两个交点坐标，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据图象得到函数解析式，根据周期计算即可. 【详解】由图可知，，，则 所以，，， 解得，．因为，所以， 所以，， 所以． 2．函数的部分图象如图，，则_____. 【答案】 【分析】根据与轴交点求出，根据零点确定，求出函数解析式，然后根据对称轴与零点的距离求解. 【详解】结合题意， ，，所以， 过点，， 即，则， 所以， 因为，所以之间的对称轴为， 由图象可知，该对称轴与零点之间的距离为， 又因为，所以， 解得 . 3．如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（   ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【详解】由，可知，在处函数单调递减，则， 因为时相邻两解差的绝对值的最小值为， 所以，解得，则， 所以． 4．函数的部分图象如图所示，其中，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的图象过可得，再由过可得，再结合在上有2个零点可得. 【详解】因为函数的图象过， 所以，， 所以，即，取，得. 又由且，解得，所以. 所以，令，当. 所以函数在上恰有2个零点，得， 即，所以实数的取值范围为. 【易错03：三角函数中的求参数范围的问题】 根据三角函数的性质（单调性、对称性、最值、周期性、极值以及零点等）求解参数的取值范围时，需合理转化各类关系式，不然易出现计算问题导致结果错误. 【典例】 1．已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质并结合题意得到，再求出取得的最大值的横坐标，建立不等式组得到，最后确定即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得， 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上所述，得到，即，故D正确. 故选：D 2．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以， 又，得， 令，得， 所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为， 所以，解得， 综上所述，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可. 【针对训练】 1．函数有零点，则实数的范围是_____ 【答案】 【分析】根据条件，利用余弦的倍角公式得到，令，得到，令，，根据条件可知与有交点，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 令，则，令，得到，所以， 令，，当时，， 又因为函数有零点， 所以与有交点，则， 故答案为：. 2．若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是___________ 【答案】 【分析】化简得，由求得范围，根据条件与函数图象即可求解． 【详解】函数，， 所以当时，， 又在内存在最小值但无最大值， 结合图象可得， 解得. 故答案为： 3．已知函数． (1)求图象的对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)时，有零点，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由倍角公式及辅助角公式可得，再由正弦函数的性质，即可求解； （2）由正弦函数的性质，即可求解； （3）利用正弦函数的性质得时，的值域，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】（1）因为， 由，得到， 所以图象的对称中心为. （2）由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）当时，，，在上的图象如图所示， 因为有零点，令，得到，所以与有交点， 由图可知,. 4．已知函数的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间只有3个零点，求a的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图象相邻对称轴距离可得，由平移后为奇函数可得，据此可得答案； （2）由题可得时，，然后由题可得，最后由函数单调性可得答案； （3）由，可得，又注意到由，知可为，最后结合题意可得答案. 【详解】（1）设最小正周期为T，因图象两邻对称轴之间的距离是， 则，得；的图象先向右平移单位，再向上平移1个单 位，可得，因为奇函数， 则，结合，可得. 则； （2），则，注意到在上单调递增，在上单调递减，则. . 因，则. 即注意到函数在上单调递增， 则，则实数m的取值范围是； （3）. 因，则.令， 则或. 则使的值从小到大排列为： 因的图象在区间只有3个零点，则， 则. 【易错04：求解单调区间不考虑正负】 计算正余弦函数的单调增（减）区间时，要保证A>0,ω>0才能直接利用正余弦的单调增（减）区间，否则要按照复合函数的单调性求解. 【典例】 1．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式先将的系数化为正，再由正弦函数性质列不等式计算即可求得单调区间. 【详解】因为， 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为． 故选：C 2．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 令，解得， 所以函数的单调递减区间是． 【针对训练】 1．函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】解不等式，，可得出函数的递增区间. 【详解】因为正切函数的单调递增区间为，， 对于函数，由，， 解得，， 故函数的单调递增区间是，， 故选：B. 2．函数的单调递增区间为_____. 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性、定义域和余弦函数的单调性求解即可. 【详解】设，则在上是单调递减的， 因为，所以， 即①. 要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数的单调递减区间. 当时，单调递减， 此时，结合①式，可得. 所以原函数的单调递增区间为. 故答案为：. 3．若函数的单调递减区间是__________. 【答案】. 【分析】根据正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数，令， 要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间. 那么有，解得. 所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 4．已知函数，则的单调递增区间是_____. 【答案】 【分析】根据整体代换法，结合正弦函数单调性求解可得. 【详解】由，得， 又因为，所以的单调递增区间为 故答案为： 【易错05：为考虑正切函数定义域范围】 正切函数值定义域为｛x|x＋kπ，k∈Z｝ 【典例】 1．函数的定义域为______________ 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 2．函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】令可求得的范围，根据正切函数值域可求得定义域. 【详解】令，解得：，， 定义域为，. 故选：C. 【针对训练】 1．函数的定义域是________． 【答案】 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以函数的定义域是． 2．函数的定义域为_____________． 【答案】 【分析】根据正切函数的定义域求解即可. 【详解】要使函数有意义，自变量x的取值应满足， 得，∴函数的定义域为． 故答案为：. 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题可得，即得. 【详解】由题可得，解得， ∴函数的定义域为. 故选：A. 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，解不等式可得结果. 【详解】由函数由意义得， 所以，， 所以，， 所以函数的定义域是. 故选：D 【易错06：三角函数综合性质】 【典例】 1．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间和对称中心； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1); (2)单调增区间,对称中心; (3). 【分析】（1）根据的意义逐个求解即可； （2）根据正弦函数的单调性与对称中心代入求解； （3）根据换元法转化成二次函数在闭区间上的恒成立问题. 【详解】（1）由图可得，即，又，解得. 函数过点， 所以，则， 解得，又，则， 所以； （2）令， 得， 从而函数的单调递增区间为， 令，得， 从而函数的对称中心为. （3）因为，可得， 从而，令则， 则，恒成立 等价于，恒成立， 由于是关于的二次函数，函数图象开口向上，恒过定点， 由二次函数的图象性质可知，要使，恒成立， 只需，解得， 故的取值范围为. 【针对训练】 1．已知函数，其中． (1)若的最小正周期为， ①求的单调递增区间； ②求时的值域． (2)若函数在区间上没有最值，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式对原函数进行化简，根据余弦型三角函数的性质求解即可. （2）由函数在区间上没有最值得到在区间上单调，结合余弦型三角函数的性质及列不等式求解即可. 【详解】（1） . 因为的最小正周期为，所以，解得． 所以. ①令，解得． 所以的单调递增区间为. ②当时，，所以， 则. 故所求函数的值域为. （2）因为，可得 令，则函数在区间上没有最值， 即函数在区间上无最值， 因为函数的单调区间为， 则满足，解得， 因为，所以应满足，解得， 所以或. 当时，；当时，， 综上，实数的取值范围是. 2．已知函数． (1)求的最小值； (2)将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式，先化简函数的解析式，再求其最小值. （2）先根据函数的图象变换得到函数的解析式，再利用整体代换法求函数的单调递减区间. （3）设，把问题转化为方程在上有两个不同的实数根，再结合二次函数的零点分布求参数的取值范围. 【详解】（1）由， 所以（当即，时取等号）. （2）将的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象； 再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 由，，. 所以函数的单调递减区间为：，. （3）因为，， 所以可化为. 设，因为，所以，所以，即， 则，. 要使原方程在上有四个不同的实数根，等价于方程在上有两个不同的实数根. 设， 由. 即实数的取值范围为. 3．若函数的部分图象如图所示 (1)求函数的解析式; (2)若当时，，求实数t的取值范围. (3)若关于x的方程有三个连续的实数根，且，，求a的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦型函数的图象求得、，再由求得，即可得； （2）应用整体法求得，结合函数的值域及正弦函数的图象确定的范围，即可得； （3）根据已知有，令，再用表示出，结合对称性及求，即可得. 【详解】（1）由图知，且，可得，则. 由，则，，得，， 又，则，故； （2）由，则， 而，所以，， 结合正弦函数的图象有，可得； （3）由题意， 由，令，则， 当，则， 所以，，， 由，则，， 所以，，可得， 此时，，即； 当，则， 所以，，， 由，则，， 所以，，可得， 此时，，即； 综上， 4．已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 1．下列区间中，函数是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦函数的性质，画出函数的部分图像，结合图像，即可求解. 【详解】当时，可得，所以； 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 画出函数的部分图像，如图所示， 结合图像，可得函数在区间上单调递增. 故选：A. 2．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析四个选项中函数的奇偶性与在上的单调性即可. 【详解】对于A，，是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 对于B，，是偶函数，在上单调递减，不符合题意； 对于C，令，则，即， 所以定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 当时，，所以在上单调递增，符合题意； 对于D，令，则，即， 所以定义域为，关于原点对称，且， 所以为偶函数，当时，， 所以在上单调递减，不符合题意. 故选：C. 3．为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 4．设函数在区间恰有四个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用换元法将转化为形式，然后做出图像，根据已知条件判断范围即可. 【详解】由题意知，设，则，作的部分图像，如图所示， 要满足函数在区间恰有四个极值点和三个零点， 即满足函数在上恰有四个最值点和三个零点， 则，解得． 5．已知函数()满足：．若函数在区间上单调，且，则______． 【答案】 【分析】可利用辅助角公式将化为的形式，结合最大值点的性质求出，确定的表达式，因为，结合正弦型函数的对称性，进而求出的表达式，最后计算. 【详解】因为，由辅助角公式得， 其中，因为，则， 则，所以，易知以为对称中心， 根据题意函数在区间上单调，且， 则， 所以. 6．已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用换元法可得函数在上有且仅有4个零点，进而结合正弦函数的图像与性质即可得到答案． 【详解】由， 令，，当时，， 因为在上有且仅有4个零点， 即在上有且仅有4个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为． 7．若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不等式即可. 【详解】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，所以，， 由，得，则， 解得， 即关于的不等式的解集为. 8．要得到的图象，只要将的图象向___________平移___________个单位长度. 【答案】 左； . 【分析】利用诱导公式将化为正弦函数，再由三角函数平移规则即可得出结果. 【详解】， 若设， 则， ∴应向左平移个单位长度. 故答案为：左；. 9．已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若存在使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将整理成，由函数的图象关于直线对称得到，计算得到. （2）求出，，，由，得到的不等式，令，可得在上单调递减，从而求出的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）， 而， ， 函数的图象关于直线对称，， ， ， 即 因不恒为0，故需使，即. （2）， ， ， 故等价于（*）， ，， 故（*）即存在，使得成立， 令，， 函数和函数在上均单调递减， 在上单调递减，的最小值在处取得， 故，即的取值范围为. 10．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式. (2)设函数. （i）求的单调递减区间； （ii）若，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）最大值为，最小值为 【分析】（1）由图可知，根据周期求出，根据函数的最大值求出，将代入求出，即可得到答案； （2）（i）根据两角和的正弦公式及辅助角公式求出，结合正弦函数的单调性，整体代入求解即可得答案； （ii）利用换元法即可求得函数在上的最大值和最小值， 【详解】（1）设的最小正周期为，则，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又， 所以，即， 又，所以， 所以. （2）（i） ， 由，解得， 故的单调递减区间为. （ii）设， 因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，， 当，即时，， 故在上的最大值和最小值分别为和. 11．已知． (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当时，求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的最大值和最小值，并写出所对应的取值． 【答案】(1)最小正周期，对称轴方程是 (2) (3)时，函数具有最大值为1；时，函数具有最小值为 【分析】（1）根据正弦函数的周期性和对称轴方程，通过换元法求出对称轴方程即可； （2）根据正弦函数的单调增区间，运用换元法，求出函数在定义域上的单调增区间即可； （3）根据正弦函数的最值性质，运用换元法，求出函数在定义域上的最大值和最小值即此时的自变量的值即可. 【详解】（1），最小正周期， 令，则， ∴函数图象的对称轴方程是； （2）令， 则，故的单调增区间为； 时，， ∴在的单调增区间为； （3）由， 令，则， 当时，即时，； 当时，即时，； 故时，函数具有最大值，最大值为1； 时，函数具有最小值，最小值为． 12．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数m的取值范围； (3)若方程的解为，（），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图像的特点即可求出； （2）先求出函数的单调区间，再根据函数在区间上不单调列式即可； （3）先求出方程的解为，之间的关系，再利用三角函数的性质即可求出. 【详解】（1）由图可知，，，又，，故， 又函数图像过点，，即， 又，，故函数的解析式为. （2）令，解得， 令，解得， 故函数的单调递增区间为；单调递减区间为， 因为，当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为， 又函数在区间上不单调，故，所以的取值范围为. （3），即，，， 又，，即，故， 又，则， 故. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $