第六章 三角（知识清单+9大易错训练）高一数学沪教版必修第二册

该高中数学三角知识清单系统覆盖任意角、弧度制、三角函数定义与性质、三角公式及解三角形等核心内容，搭建从基础概念到公式应用再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单通过易错点分类解析（如三角函数定义正负讨论、诱导公式应用错误）、记忆口诀（“一全二正弦，三切四余弦”）和针对训练题呈现知识体系，培养数学思维与应用意识，助力学生自主复习和教师精准教学。

第六章 三角 清单01 正弦、余弦、正切、余切 任意角的概念 1．角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．如图， (1)始边：射线的起始位置OA； 终边：射线的终止位置OB； 顶点：射线的端点O． (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 2．任意角 我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3．角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β． 4．角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β． 5．相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 弧度制的概念 1．度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度记作1 rad 2．弧度数的计算 【特别提醒】　一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 【特别提醒】　(1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则 (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形的面积公式：S＝αR2． 【特别提醒】　在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”． 任意角的正弦、余弦、正切、余切 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y. 锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义 ，， ，. 这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义. 这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切. 在任意角的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 【特别提醒】当（），即角的终边位于轴上，无意义；而当（），即角的终边位于轴上时，无意义. 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【特别提醒】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 任意角的正弦、余弦、正切、余切基本关系 [特别提示]　角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2α＋cos2α＝1中，角α是任意的角；在商数关系：tanα＝ 中，角α满足α≠＋kπ，k∈Z． 诱导公式 1.公式① sin(α+k·2π)=sin α(k∈Z)，cos(α+k·2π)=cos α(k∈Z)，tan(α+k·2π)=tan α(k∈Z). 2.公式② sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α. 3.公式③ sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tan α. 4.公式④ sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α. 【特别提醒】诱导公式①~④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+k∈Z. 5.诱导公式⑤ sin=cos α，cos=sin α. 6.诱导公式⑥ sin=cos α，cos=-sin α. 【特别提醒】诱导公式⑤~⑧的记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”，即±α±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. 清单02 常用三角公式 两角和与差的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β) (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β) 两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角 和的 正切 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角 差的 正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 辅助角公式 辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝， 根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝(a，b不同时为0)． 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α) tan2α＝．(T2α) 二倍角公式的变形 (1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2． 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝ 半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． 积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 清单03 解三角形 知识点1　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 余弦定理 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 【易错01：三角函数的定义不考虑正负】 已知坐标含参数时需注意分正负讨论. 【典例】 1．如果角的终边在直线上，则______ 【答案】 【分析】先求出，再由弦化切公式转化为进行求解； 【详解】因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 故答案为: 【针对训练】 1．已知角终边上一点，且，则___________． 【答案】2 【分析】利用正弦函数的定义求解. 【详解】由题意，解得（舍去）， 故答案为：2. 2．已知角的终边过点，且，则（   ） A． B．1 C．－1或1 D． 【答案】A 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】角的终边过点， 由三角函数的定义可知：， 化简得：，故， 故选：A. 3．（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 【答案】（1）若，则；若，则．（2） 【分析】（1）利用三角函数的定义进行求解即可； （2）利用任意角的余弦函数的定义，求得，即可求得的值. 【详解】（1）， ①若，则，角是第二象限角， 所以， 所以． ②若，则，角是第四象限角， 所以． 所以． 综上，若，则；若，则． （2）由题意知， 由三角函数定义得． 又． ，，. 所以． 【易错02：同角三角函数的基本关系中不考虑角的范围】 sina+cosa,sinacosa,sina-cosa三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，一定要注意角度范围，区分正负.【典例】 1．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理建立和的方程，结合平方关系，即可求得的值；通过平方关系和象限分析，即可求得的值；将和联立，求得和的值，根据商数关系即可求得的值；由平方差公式，可得，将和代入，即可求得的值. 【详解】已知，是方程的两根，则有， 又由， 得，解得，故A错误； 又，则，又，所以， 所以， 又，，所以，则，故B错误； 又，解得， 所以，故C错误； 所以，故D正确. 故选：D 【针对训练】 1．已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 【答案】A 【详解】因为，① 所以， 解得，又， 所以， 又， 所以，② 联立①②解得， 所以. 2．已知，，则______. 【答案】/ 【分析】根据条件确定，，再结合关系求结论. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：, 3．已知，则__________. 【答案】 【分析】求的平方，利用计算求解. 【详解】， . 故答案为：. 【易错03：诱导公式掌握不准确】 没有完全掌握各类诱导公式，对诱导公式记忆错误，使用错误的诱导公式导致结果错误. 【典例】 1．（1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （2）利用诱导公式及平方关系求解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由是第三象限角，得， 则，而， 于是， 所以. 【针对训练】 1．已知，则__________． 【答案】 【详解】， 因为， 所以， 因为， 所以. 2．化简的结果为____________. 【答案】 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】原式=. 3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则． 因为，所以， 所以. 【易错04：齐次式应用错误】 对于一次的分式，将分子分母同除以cosx，转化为tanx即可 对于asin2x+bsinxcosx+cos2x的求值，可看成分母是1，利用1=sin2x+cos2x进行代替后分子 分母同时除以cos2x，得到关于tanα的式子，从而可以求值. 【典例】 1．已知，则 （1）______． （2）______． 【答案】 1 1 【详解】（1）； （2） . 【针对训练】 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可求解. 【详解】题目已知，将分子分母同时除以（）， 则：. 故选：D. 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 【答案】A 【分析】根据题意，得到，把所求式化为“齐次式”，代入计算，即可求解. 【详解】由，可得， 则 3．角的终边上一点 (1)求：的值. (2)求：的值； (3)求：的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 (1)    根据三角函数定义得； (2)    根据齐次思想，分式上下同时除以，代入值即得结果； (3)    根据1的代换，化弦为切，代入值即得结果. 【详解】（1）因为角的终边上一点，所以； （2）对分式上下同时除以，所以， 由（1）可知，原式； （3）因为， 所以， 上下同时除以， 原式，由（1）可知， 原式. 【易错05：辅助角公式应用错误】 a sin α＋b cos α＝，对于辅助角公式，要注意俩式子之间正负. 【典例】 1．用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据辅助角公式进行化简得出结果； 【详解】（1） （2） 【针对训练】 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式和两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选：C 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和正弦公式展开，再利用辅助角公式和诱导公式化简即可求值. 【详解】由 ， 则， 故选：B 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 【易错06：两角和差公式应用的忽略范围】 由两角和差公式给值求值与给值求角一定要考虑角度范围，不然很容易出错. 【典例】 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件利用同角关系化简可得，由条件，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可. 【详解】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 【针对训练】 1．已知，且，则__________. 【答案】 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 所以. 故答案为： 2．已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可. （2）利用二倍角的正余弦公式化简得解. （3）确定角的范围，再利用和角的正切公式求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，得. （3）由，，得，由（1）知， 则，，， 所以. 3．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【详解】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 【易错07：忽略正弦定理边角互化的变形要求】 什么情况下边化角? （1）当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 （2）当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 （3）当每一项都是边时，直接采用边处理问题 （4）当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 【典例】 1．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，又由射影定理得， 所以，又， 所以， 由正弦定理得，所以， 由， 所以，又， 所以， 因为，则，所以， 故选：A． 【针对训练】 1．在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式化简即可. 【详解】由以及正弦定理，得， 所以. 因为，所以，所以. 故选：C 2．已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 【答案】2 【分析】先应用二倍角正弦公式结合两角和正弦公式化简，再应用正弦定理及三角形面积公式计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 故， 即， 所以， 又由正弦定理及三角形面积公式，可得， 又因为，所以，解得. 3．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则______. 【答案】 【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 4．在中，若A、B是锐角，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的面积是_________． 【答案】6 【分析】利用正弦定理把原式转化为，再利用三角恒等变换公式转化为，最后利用反证法说明即可得出答案. 【详解】，得， 根据正弦定理，可化为， 在中，根据，得， 所以，，于是原式可化为， 即．记为等式（*） 若，又A、B是锐角，则， 所以，， 即．又，因此等式（*）不成立． 若，又A、B是锐角，则， 所以，，即．又，因此等式（*）不成立． 若，则， 因此等式（*）成立．此时．所以的面积是． 故答案为：6 【易错08：判断三角形个数问题】 处理三角形中的个数问题时，尤其俩个解问题，一定要注意范围. 【典例】 1．在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】法一：利用正弦定理得到，再根据有两个解，即可得到且，从而得到，即可求出的取值范围；法二：作出图形，结合图形可得出角有两个解时，满足的不等式，进而可求得的取值范围. 【详解】法一：由正弦定理，则，因为角有两个解，又，所以且，所以， 即，解得，即. 法二：在中，，，如下图所示：    若使得角有两个解，则，即. 故答案为：. 【针对训练】 1．在中，角所对的边分别为已知，，若存在且唯一确定，则的范围是________． 【答案】或. 【分析】根据题意，结合正弦定理，分类讨论，即可求解. 【详解】由中，，，要使得存在且唯一确定， 当时，如图（1）所示，则满足； 当时，如图（2）所示，则满足. 故答案为：或.    2．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围. 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 3．在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 【答案】(1)(答案不唯一，满足即可) (2)(答案不唯一，满足即可) (3)(答案不唯一，满足即可) 【分析】（1）由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，使该三角形有唯一解. （2）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形两解. （3）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形无解. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得. （1）当时，，即，此时由唯一的解； 当时，可得，此时有唯一的解， 所以时，由唯一的解. （2）由（1）知， 当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角， 即角有两解，即当时，此时有两解. （3）由（1）知， 当时，此时，此时无解，即当时，此时无解. 【易错09：忽略一些关键条件】 处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角. 【典例】 1．已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得、，再由正弦定理得，进而有，应用三角恒等变换及正切函数的性质求边的范围. 【详解】由锐角中，则， 故，同理， 由三角形面积，则， 由正弦定理，则，故， 所以，而， 所以，则. 故选：C 【针对训练】 1．在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先由正余弦定理和同角的三角函数关系结合题意得到，再通过锐角三角形得到，故可得的范围，然后用余弦定理和三角形的面积公式变形，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】整理得， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， 在锐角中，有，则， 所以， 因为， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以 ， 设，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 2．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】根据余弦定理和较小两边大于第三边得到不等式组，解出即可. 【详解】因为为钝角，则最大， 则由题意得，解得. 故答案为： 3．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)的面积为 (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，再利用三角形的面积公式进行求解即可. （2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，再结合角的范围进行计算即可. 【详解】（1）根据题意，以及正弦定理可得， 因为 ，因为，所以， 所以，又，所以， 由余弦定理可得，可得， 即，因为，所以， 所以. （2）由正弦定理可得，因为，所以， 因为角为钝角，所以，可得，则，，即， 所以的取值范围为. 1．已知点在角的终边上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求解即得. 【详解】点在角的终边上，且，得， 解得，所以. 故选：B 2．已知角的终边经过点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义列方程求解. 【详解】由三角函数的定义，， 平方化简得，解得（负根舍去）. 故选：D 3．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，利用平方关系分析可知，利用平方关系可求出的值，再利用切化弦可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 因为，等式两边平方可得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此， 故选：A. 4．已知为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的定义求出，再利用齐次法求解. 【详解】由为角终边上一点，得， 所以. 故选：C 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，则， 于是. 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解. 【详解】在中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以. 7．设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则=________；=_______. 【答案】 【分析】先求得，然后由三角函数定义求得. 【详解】依题意，为第四象限角，其终边上的一个点是，则， ，解得，则 所以， . 故答案为:，. 8．角为的内角，且，则______ 【答案】 【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由两边平方得， ， . 故答案为： 9．已知，则__________. 【答案】 【分析】将转化为仅含的表达式，代入已知值计算. 【详解】因为，所以，则 故答案为： 10．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 11．已知． (1)化简 (2)若a是第二象限角，且，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助诱导公式计算后化简即可得； （2）利用同角三角函数基本关系计算可得，再利用诱导公式计算即可得； （3）利用诱导公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）a是第二象限角，且，， 则； （3），． 12．在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足， (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用面积公式以及余弦定理化简得，结合同角的三角函数关系即可求解； （2）在锐角三角形中可得，结合正切函数的单调性可得，利用正弦定理化简结合的范围即可求解. 【详解】（1）整理得， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， （2）在锐角中，有，则， 所以， 因为 因为，所以，所以， 所以，所以 13．在中，角A，B，C所对的边分别为，若 (1)若，求角； (2)若，，判断的形状； (3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围. 【答案】(1)或 (2)直角三角形 (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，化简可求的值，进而求出角； （2）由题意求得或，结合勾股定理即可得解； （3）根据余弦定理可求出的取值范围，进而求面积的取值范围. 【详解】（1） ， 即 又，即得 又或； （2）由题意， 因为， 所以，解得， 又因为， 所以或，因为，， 所以是以为直角的直角三角形； （3）角为钝角，， 由余弦定理得：， 角为钝角，，即， . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 三角 清单01 正弦、余弦、正切、余切 任意角的概念 1．角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．如图， (1)始边：射线的起始位置OA； 终边：射线的终止位置OB； 顶点：射线的端点O． (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 2．任意角 我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3．角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β． 4．角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β． 5．相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 弧度制的概念 1．度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度记作1 rad 2．弧度数的计算 【特别提醒】　一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 【特别提醒】　(1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则 (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形的面积公式：S＝αR2． 【特别提醒】　在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”． 任意角的正弦、余弦、正切、余切 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y. 锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义 ，， ，. 这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义. 这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切. 在任意角的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 【特别提醒】当（），即角的终边位于轴上，无意义；而当（），即角的终边位于轴上时，无意义. 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【特别提醒】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 任意角的正弦、余弦、正切、余切基本关系 [特别提示]　角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2α＋cos2α＝1中，角α是任意的角；在商数关系：tanα＝ 中，角α满足α≠＋kπ，k∈Z． 诱导公式 1.公式① sin(α+k·2π)=sin α(k∈Z)，cos(α+k·2π)=cos α(k∈Z)，tan(α+k·2π)=tan α(k∈Z). 2.公式② sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α. 3.公式③ sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tan α. 4.公式④ sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α. 【特别提醒】诱导公式①~④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+k∈Z. 5.诱导公式⑤ sin=cos α，cos=sin α. 6.诱导公式⑥ sin=cos α，cos=-sin α. 【特别提醒】诱导公式⑤~⑧的记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”，即±α±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. 清单02 常用三角公式 两角和与差的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β) (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β) 两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角 和的 正切 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角 差的 正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 辅助角公式 辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝， 根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝(a，b不同时为0)． 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α) tan2α＝．(T2α) 二倍角公式的变形 (1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2． 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝ 半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． 积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 清单03 解三角形 知识点1　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 余弦定理 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 【易错01：三角函数的定义不考虑正负】 已知坐标含参数时需注意分正负讨论. 【典例】 1．如果角的终边在直线上，则______ 【针对训练】 1．已知角终边上一点，且，则___________． 2．已知角的终边过点，且，则（   ） A． B．1 C．－1或1 D． 3．（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 【易错02：同角三角函数的基本关系中不考虑角的范围】 sina+cosa,sinacosa,sina-cosa三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，一定要注意角度范围，区分正负.【典例】 1．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 2．已知，，则______. 3．已知，则__________. 【易错03：诱导公式掌握不准确】 没有完全掌握各类诱导公式，对诱导公式记忆错误，使用错误的诱导公式导致结果错误. 【典例】 1．（1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 【针对训练】 1．已知，则__________． 2．化简的结果为____________. 3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【易错04：齐次式应用错误】 对于一次的分式，将分子分母同除以cosx，转化为tanx即可 对于asin2x+bsinxcosx+cos2x的求值，可看成分母是1，利用1=sin2x+cos2x进行代替后分子 分母同时除以cos2x，得到关于tanα的式子，从而可以求值. 【典例】 1．已知，则 （1）______． （2）______． 【针对训练】 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 3．角的终边上一点 (1)求：的值. (2)求：的值； (3)求：的值. 【易错05：辅助角公式应用错误】 a sin α＋b cos α＝，对于辅助角公式，要注意俩式子之间正负. 【典例】 1．用辅助角公式化简下列各式： (1)； (2). 【针对训练】 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【易错06：两角和差公式应用的忽略范围】 由两角和差公式给值求值与给值求角一定要考虑角度范围，不然很容易出错. 【典例】 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知，且，则__________. 2．已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 3．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【易错07：忽略正弦定理边角互化的变形要求】 什么情况下边化角? （1）当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 （2）当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 （3）当每一项都是边时，直接采用边处理问题 （4）当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 【典例】 1．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 3．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则______. 4．在中，若A、B是锐角，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的面积是_________． 【易错08：判断三角形个数问题】 处理三角形中的个数问题时，尤其俩个解问题，一定要注意范围. 【典例】 1．在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是_________. 【针对训练】 1．在中，角所对的边分别为已知，，若存在且唯一确定，则的范围是________． 2．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 【易错09：忽略一些关键条件】 处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角. 【典例】 1．已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为__________． 2．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，则的取值范围为_____________. 3．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 1．已知点在角的终边上，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 7．设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则=________；=_______. 8．角为的内角，且，则______ 9．已知，则__________. 10．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 11．已知． (1)化简 (2)若a是第二象限角，且，求的值． (3)若，求的值． 12．在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足， (1)求的值； (2)求的取值范围. 13．在中，角A，B，C所对的边分别为，若 (1)若，求角； (2)若，，判断的形状； (3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $