第八章 平面向量（知识清单+7大易错训练）高一数学沪教版必修第二册

该高中数学第八章平面向量知识清单系统梳理平面向量核心内容，涵盖向量概念与线性运算、数量积、坐标表示三大知识范畴，搭建从基础概念到运算规律再到坐标应用的递进式学习支架。 清单通过清单分类呈现知识体系，设“特别提醒”标注易混点如零向量特殊性，“易错专项”分析夹角范围等问题，配“针对训练”分层练习，培养数学思维与表达能力。助力学生自主梳理知识，教师可精准教学，提升复习效率。

第八章 平面向量 清单01 向量的概念和线性运算 1．向量的概念 (1)向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量． (2)数量：只有 大小 没有 方向 的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有 方向 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 起点 、方向 、长度 ． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作 ． (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示( 印刷用黑体a，b，c，书写时用 )． 【特别提醒】　(1)书写向量时带箭头． (2)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示． 向量的模、零向量、单位向量、相反向量、平行向量、相等向量 向量的模 向量的大小称为向量的 长度 (或称 模 )，记作 零向量 长度为 0 的向量，记作0 单位向量 长度等于 1个单位长度 的向量 平行向量(共线向量) 方向 相同或相反 的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量 平行 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量；向量a与b相等，记作a＝b 相反向量 与向量a长度 相等 ，方向 相反 的向量，叫做a的相反向量，记作 －a 向量加法的三角形法则 1．向量加法的定义 求 两个向量和 的运算，叫做向量的加法． 2．向量加法的三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝b，则向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ ．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 【特别提醒】　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”． 向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的 对角线 )就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是 零 向量或a，b是方向 相同 的非零向量时，等号成立． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝ b＋a ． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋ (b＋c) ． 3．对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋ 0 ＝ a ． 向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a－b．即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 【特别提醒】　两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点． 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量的 数乘 ，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|． (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝ 0 ． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a． 【特别提醒】　(1)数乘向量仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 向量的线性运算 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ (λμ)a ． (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa ． (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb ． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 2．向量的线性运算 向量的 加 、减 、数乘 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ λμ1a±λμ2b ． 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 【特别提醒】　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa． 清单02 向量的数量积 两向量的夹角 已知两个 非零 向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ( 0≤θ≤π )叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，向量a，b 同向 ； 当θ＝π时，向量a，b 反向 ； 当θ＝时，向量a与b 垂直 ，记作a⊥b． 【特别提醒】　两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b| ≤ |a||b|． (5)cos θ＝． 【特别提醒】　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0． (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． 投影向量：设a，b是两个非零向量，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投影向量． 向量数量积的运算律 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2 ． (2)(a－b)2＝ a2－2a·b＋b2 ． (3)(a＋b)·(a－b)＝ a2－b2 ． 清单03 向量的坐标表示 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2 不共线 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 【特别提醒】　(1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的． 平面向量坐标的相关概念 【特别提醒】　(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y)． (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同． 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 差 a－b＝ (x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝ (xB－xA，yB－yA) 平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝ (λx，λy) ，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 ． 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 ． 有向线段的定比分点坐标公式 若点P是直线P1P2上的一点，且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)． 特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式． 【特别提醒】　若＝λ，其中λ≠－1． (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上； (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上； (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上． 平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 ． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ． 向量模的坐标表示 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 ，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ (x2－x1，y2－y1) ，|a|＝． 平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝． (2)a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 ． 【特别提醒】　(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角． 【易错01：平面向量概念理解忽视零向量】 零向量的方向是任意的，零向量与任意向量平行；平行关系注意不要忽视了零向量 【典例】 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 2．下列命题中正确的是（   ）。 A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若，则 【针对训练】 1．给出下列命题： ①若，则； ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若，，则； ④若四边形是平行四边形，则，． 其中正确命题的序号是_____________． 2．下列说法中，正确的序号是_____________． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 3．下列说法正确的是___________.（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 4．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 【易错02：忽略向量共线时的同向还是反向】 向量的共线指方向相同，或者方向相反，与三点共线是有区别的，两个向量的共线在位置上可以是在同一条直线上的两个向量，也可以是两条平行线上的两个向量； 【典例】 1．已知，与同向且，则（   ） A． B．或 C．或 D． 2．设平面向量，，且，则使得向量与反向共线的坐标为________． 【针对训练】 1．已知非零向量满足，则（   ） A．同向 B．同向 C．同向 D．两两不共线 2．已知向量，，，若，反向共线，则实数的值为______． 3．已知向量，，在同一平面内，且，. (1)若，且与共线，求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向? 4．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 5．已知向量，，其中不共线，向量，若存在实数和，使与共线，那么实数和应该是什么关系？ 6．已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 【易错03：忽略数量积夹角范围】 1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合. 2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为） 【典例】 1．已知平面向量，．设，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【针对训练】 1．已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 2．设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 3．若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 【易错04：平面向量的基底问题】 在判断各组向量是否是平面向量的一组基底时，没有弄清基底的概念，易忽略了构成基底的一组向量必须是平面内一组不共线的向量这一核心条件.． 【典例】 1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 2．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【易错05：平面向量基本定理中参数问题】 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． 【典例】 1．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 2．在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 2．如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 3．如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 4．如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 5．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） (4)若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 【易错06：投影向量与数量的求法】 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题时要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序. 【典例】 1．已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 【针对训练】 1．已知向量，，则在上的投影数量为（   ） A． B． C．2 D． 2．已知，，当分别满足以下条件时，求在方向上的数量投影. (1)； (2)； (3). 3．已知向量是单位向量，，与同向. (1)求向量； (2)若向量，，求在上的投影向量. 4．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【易错07：平面向量中的三角形“四心”问题】 1、重心.常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 2、垂心.常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心. 3、内心.常见内心向量式：是的内心， 1、（或）其中，，分别是的三边、、的长， 2、，，则一定经过三角形的内心 4、外心. 常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 【典例】 1．点在所在平面内，下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若点是的重心，则 C．若，则 D．若为边长为2的正三角形，点在线段上运动，则 2．设的内心为，且满足，则的值是_____． 【针对训练】 1．已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在钝角三角形中，为钝角，为重心、外心、垂心、内心分别为、、、，（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知点在内，且是的垂心，若，则____． 4．已知为内一点，满足，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 5．如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 1．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在中，，，与交于，设，且，则为（    ） A． B． C． D． 3．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 4．设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 5．若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 6．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为________. 7．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 8．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 9．已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 10．已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 11．已知，，，设，，. (1)求； (2)若，求实数，的值； (3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 12．如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求：； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面向量 清单01 向量的概念和线性运算 1．向量的概念 (1)向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量． (2)数量：只有 大小 没有 方向 的量称为数量． 2．向量的表示 (1)有向线段 具有 方向 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 起点 、方向 、长度 ． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作 ． (2)向量的表示 ①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示( 印刷用黑体a，b，c，书写时用 )． 【特别提醒】　(1)书写向量时带箭头． (2)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示． 向量的模、零向量、单位向量、相反向量、平行向量、相等向量 向量的模 向量的大小称为向量的 长度 (或称 模 )，记作 零向量 长度为 0 的向量，记作0 单位向量 长度等于 1个单位长度 的向量 平行向量(共线向量) 方向 相同或相反 的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量 平行 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量；向量a与b相等，记作a＝b 相反向量 与向量a长度 相等 ，方向 相反 的向量，叫做a的相反向量，记作 －a 向量加法的三角形法则 1．向量加法的定义 求 两个向量和 的运算，叫做向量的加法． 2．向量加法的三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝b，则向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ ．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 【特别提醒】　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”． 向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的 对角线 )就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是 零 向量或a，b是方向 相同 的非零向量时，等号成立． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝ b＋a ． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋ (b＋c) ． 3．对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋ 0 ＝ a ． 向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a－b．即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 【特别提醒】　两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点． 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量的 数乘 ，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|． (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝ 0 ． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a． 【特别提醒】　(1)数乘向量仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 向量的线性运算 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ (λμ)a ． (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa ． (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb ． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 2．向量的线性运算 向量的 加 、减 、数乘 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ λμ1a±λμ2b ． 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 【特别提醒】　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa． 清单02 向量的数量积 两向量的夹角 已知两个 非零 向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ( 0≤θ≤π )叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，向量a，b 同向 ； 当θ＝π时，向量a，b 反向 ； 当θ＝时，向量a与b 垂直 ，记作a⊥b． 【特别提醒】　两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b| ≤ |a||b|． (5)cos θ＝． 【特别提醒】　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0． (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． 投影向量：设a，b是两个非零向量，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投影向量． 向量数量积的运算律 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2 ． (2)(a－b)2＝ a2－2a·b＋b2 ． (3)(a＋b)·(a－b)＝ a2－b2 ． 清单03 向量的坐标表示 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2 不共线 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 【特别提醒】　(1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的． 平面向量坐标的相关概念 【特别提醒】　(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y)． (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同． 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 差 a－b＝ (x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝ (xB－xA，yB－yA) 平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝ (λx，λy) ，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 ． 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 ． 有向线段的定比分点坐标公式 若点P是直线P1P2上的一点，且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)． 特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式． 【特别提醒】　若＝λ，其中λ≠－1． (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上； (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上； (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上． 平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 ． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ． 向量模的坐标表示 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 ，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ (x2－x1，y2－y1) ，|a|＝． 平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝． (2)a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 ． 【特别提醒】　(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角． 【易错01：平面向量概念理解忽视零向量】 零向量的方向是任意的，零向量与任意向量平行；平行关系注意不要忽视了零向量 【典例】 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 【答案】A 【分析】根据向量及共线向量的定义判断. 【详解】由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 2．下列命题中正确的是（   ）。 A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； 若，则，成立，但不一定成立，故B错误； 若，则四点可能共线，故C错误； 由相等向量的定义可知，D正确. 【针对训练】 1．给出下列命题： ①若，则； ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若，，则； ④若四边形是平行四边形，则，． 其中正确命题的序号是_____________． 【答案】②③ 【分析】由向量、相等向量的定义逐一判断. 【详解】①错误.向量由模长和方向共同确定，只有模长相等，不能得出向量相等； ②正确.相等向量是指长度和方向都相同的向量，若起点相同，则终点必然相同； ③正确.由相等向量的定义可知； ④错误. 若四边形是平行四边形，则，． 故答案为：②③ 2．下列说法中，正确的序号是_____________． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③ 【分析】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等， 所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同， 所以④错误. 故答案为：①③. 3．下列说法正确的是___________.（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③ 【分析】根据共线向量、相等向量、模长等的定义，逐一判断即可得出结论. 【详解】对于①，若，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 4．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 【详解】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 【易错02：忽略向量共线时的同向还是反向】 向量的共线指方向相同，或者方向相反，与三点共线是有区别的，两个向量的共线在位置上可以是在同一条直线上的两个向量，也可以是两条平行线上的两个向量； 【典例】 1．已知，与同向且，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，，利用模长可得，从而得解. 【详解】与同向， ，又， ，解得， . 故选：D. 2．设平面向量，，且，则使得向量与反向共线的坐标为________． 【答案】 【分析】由条件根据向量的模的坐标公式，向量共线的坐标表示列方程，得到和，联立求出或，检验，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】因为，设， 所以， 因为，，所以， 又向量与共线，， 所以，所以， 因为，所以， 所以，解得或， 检验，时，向量与反向； 时，向量与同向，不合题意. 故答案为： 【针对训练】 1．已知非零向量满足，则（   ） A．同向 B．同向 C．同向 D．两两不共线 【答案】B 【分析】将两边平方可得，，即，同向. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以，又， 所以，即，所以， 所以， 所以与同向. 故选：B. 2．已知向量，，，若，反向共线，则实数的值为______． 【答案】 【分析】首先利用平面向量的坐标运算求出，，再利用向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，，，所以，. 因为，共线，所以，解得，或. 又，反向共线，代入验证可知时为同向，舍去. 而满足条件，所以. 故答案为：. 3．已知向量，，在同一平面内，且，. (1)若，且与共线，求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向? 【答案】(1)或 (2)，与反向. 【分析】（1）设，利用向量模的坐标运算求得得，即可得解. （2）先利用线性坐标运算求得向量与向量的坐标，然后利用共线的向量坐标表示建立方程求得，并根据系数判断同向还是反向. 【详解】（1）与共线，则可设. ∵，∴，解得. 当时，；当时，. （2）因为，，所以，， 则由题意得，解得. 所以， 故此时与反向. 4．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 【答案】(1) (2) (3)，反向 【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果； （2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果； （3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解. 【详解】（1）由已知得， 因为. 所以 （2）若，即， 所以，即，解得， 即当时，. （3）若，即， 根据平面向量基本定理可得，解得， 此时与反向. 5．已知向量，，其中不共线，向量，若存在实数和，使与共线，那么实数和应该是什么关系？ 【答案】实数应满足的关系为 【分析】根据题意，求得，由与共线，得到，列出方程组，即可求得实数的关系式，得到答案. 【详解】由题意知，向量， 因为与共线，则应有实数，使，即， 所以，解得， 故存在实数，满足，使得与共线． 6．已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 【易错03：忽略数量积夹角范围】 1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合. 2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为） 【典例】 1．已知平面向量，．设，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积求夹角即可. 【详解】， 所以． 而， 所以，因此夹角． 2．设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设、的夹角为，根据求出的取值范围，利用区间的包含关系判断即可. 【详解】设、的夹角为，则， 因为、为非零向量，由可得，所以， 因为，所以“”“与的夹角为锐角”， 且“”“与的夹角为锐角”， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 【针对训练】 1．已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】分析可知且与不共线，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为、为互相垂直的单位向量，则，， 因为向量与的夹角为锐角， 则，解得， 且与不共线， 当与共线时，设，则，所以，解得， 故当与不共线，， 因此实数的取值范围是. 2．设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据数量积以及共线向量即可求解. 【详解】若，则，解得， 当与共线时，，则， 当时，，此时两向量方向相反， 故当与的夹角为钝角时，且， 故答案为： 3．若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 4．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，则且与不共线， 则且，解得且， 故答案为：. 【易错04：平面向量的基底问题】 在判断各组向量是否是平面向量的一组基底时，没有弄清基底的概念，易忽略了构成基底的一组向量必须是平面内一组不共线的向量这一核心条件.． 【典例】 1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以与不共线，所以能作为基底. 对于B，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解， 所以与不共线，所以能作为基底. 对于C，因为，所以和共线， 所以不能作为平面的一组基底. 对于D，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，与不共线，所以能作为基底. 2．给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合数量积的运算律，利用向量垂直条件逐项判断即可. 【详解】A选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； B选项， 当不与垂直时，该结果就不等于0，错误； C选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； D选项，因此这两个向量垂直，正确． 【针对训练】 1．如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【答案】C 【详解】选项A中，由平面向量基本定理知与共面，所以A项不正确； 选项B中，由平面向量基本定理知实数有且仅有一对，所以B项不正确； 选项C中，根据基底的定义知，不共线，若，则，所以C正确； 选项D中，由平面向量基本定理知实数一定存在，所以D项不正确． 2．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 【易错05：平面向量基本定理中参数问题】 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． 【典例】 1．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 2．在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得，，再由，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由平行四边形中，为的中点，可得为的中点， 可得，所以， 又由，可得， 因为点在上，且，可得， 又因为，则， 所以， 因为，所以，所以. 【针对训练】 1．如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知得出边长关系方法一：应用三点共线得出系数和计算求解；方法二：应用数量积公式及运算律计算求解. 【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 2．如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求解即得. 【详解】在中，，E为AC中点，得， 由，得，， 由点共线，点共线，得，解得， 所以. 3．如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 【答案】 【分析】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； 4．如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【详解】（1）因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 5．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） (4)若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证； （3）根据向量的线性运算表示，即可根据向量共线列式计算求解； （4）根据向量的线性运算表示，即可根据向量相等计算求解. 【详解】（1）由题意得， ，，， ； （2）证明：， 与平行，又与有公共点C， C，D，E三点共线； （3）， ． 与共线， 存在实数，使得， 即， 即． ，不共线，．解得； （4），， ， ， 所以，； 【易错06：投影向量与数量的求法】 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题时要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序. 【典例】 1．已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的投影向量公式进行求解． 【详解】向量在方向上的投影向量为． 故选：B 2．已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【分析】根据在方向上的数量投影的公式计算即可. 【详解】已知坐标平面上的三点，，， 所以，， 所以在方向上的数量投影为 . 故答案为： 【针对训练】 1．已知向量，，则在上的投影数量为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据在上的投影数量为，代入计算求解即可． 【详解】由在上的投影数量为． 故选：A． 2．已知，，当分别满足以下条件时，求在方向上的数量投影. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)0 (3)2 【分析】根据题意分别求出，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】（1）由，得或， 所以在方向上的数量投影为或. （2）由，得， 则在方向上的数量投影为. （3）由， 所以在方向上的数量投影为. 3．已知向量是单位向量，，与同向. (1)求向量； (2)若向量，，求在上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量同向列方程，由此求得. （2）根据向量垂直列方程求得，根据投影向量的知识求得在上的投影向量. 【详解】（1）设向量，. 是单位向量  ，解得， . （2），，解得， . ， ，. 在上的投影向量为. 4．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 【易错07：平面向量中的三角形“四心”问题】 1、重心.常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 2、垂心.常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心. 3、内心.常见内心向量式：是的内心， 1、（或）其中，，分别是的三边、、的长， 2、，，则一定经过三角形的内心 4、外心. 常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 【典例】 1．点在所在平面内，下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若点是的重心，则 C．若，则 D．若为边长为2的正三角形，点在线段上运动，则 【答案】B 【分析】根据平面向量的运算和平面向量基本定理，以及三角形的几何性质，列出向量之间的关系，判断各选项正误. 【详解】当时，可知为锐角，不能判断三角形形状，所以A错误. 如图所示，当点是的重心时，因为三角形重心为三条中线的交点， 所以，同理可得， 所以，所以B正确. 若，则，得， 可知，所以，所以C错误. 如图所示，取中点，连接，当为正三角形时， 所以点在线段上运动时，在上的投影为， 已知正三角形边长为2，则高， ，所以D错误    . 故选：B. 2．设的内心为，且满足，则的值是_____． 【答案】 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】如图，连接交于点，则， 于是． 又，因此 同理可得，， 所以． 由向量表示的唯一性可知，，所以． 故答案为：. 【针对训练】 1．已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件，利用表示，根据平面向量基本定理得出系数间的关系式，利用三角形面积公式得出所求比值为，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点， 则， 因为三点共线，所以可设， 设，则， 所以，即， 又因为为的重心，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 2．在钝角三角形中，为钝角，为重心、外心、垂心、内心分别为、、、，（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由在高线的延长线上可判断，对于、、，将转化为后根据、、的位置可判断何时取最大值. 【详解】对于垂心，设为边上的高，因为为钝角，故在的延长线上， 而，故，此时， 对于重心和内心，无论为何角，、都在三角形内部， 而， 故且， 设，则三点共线，且， 故共线且即. 对于外心，因为为钝角，故在的外部且在的异侧， 而， 故且， 设，则三点共线，且， 故共线且即. 故选：B. 3．已知点在内，且是的垂心，若，则____． 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 4．已知为内一点，满足，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求出，再延长交于点，由为的重心结合解直角三角形可得的值； （2）延长交于点，由余弦定理可得，结合为的重心可得，再由基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，而为锐角，故. 延长交于点，所以. 因为，所以为的重心，所以； 所以. （2） 设的对边分别为，延长交于点， 由（1）知，是的重心，所以为线段的中点，且. 因为为的中线，故， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 而，故， 故即， 所以. 在中，由余弦定理可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 5．如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可. 【详解】（1） ． （2） ．    1．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 若向量与均为非零向量， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 2．在中，，，与交于，设，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别设，，利用向量的运算法则，求得和，列出方程组，求得，得到，得出的值，即可求解. 【详解】因为，可得点在上，且，所以， 则， 又因为点在上，设，可得， 因为，可得点在上，且，所以， 则， 又因为点在上，设， 可得， 所以，可得，解得， 将代入，可得， 因为，所以，即为. 3．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 4．设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①③④，由定义和向量相关概念可得①错误，③④正确；对于②，举出反例； 【详解】对于①，，， 因为不共线，故与肯定不相等， 所以不成立，①错误； 对于②，不妨设，，， ， ， 故， ，， 而， ，， ， 故， ，②错误； 对于③，， 若，则， 又，故， 由于不共线，不共线，要想上式成立，非零向量需共线， 设，，由于恒成立，故，③正确； 对于④，，， 故 ， ， 而表示的平分线所在向量， 故点的轨迹所在直线过的内心，④正确. 5．若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得，再代入余弦的倍角公式即得. 【详解】因为，所以， 所以. 6．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为________. 【答案】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】在方向上的投影向量为. 7．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 8．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值. 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 9．已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， ，解得． （2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 10．已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模. （2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. （2）因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 11．已知，，，设，，. (1)求； (2)若，求实数，的值； (3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的坐标运算结合模长公式求解即可. （2）根据向量的坐标运算与表示，求得，结合，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，得到，设，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 由模长公式得. （2）因为，且， 所以，所以， 因为，所以可得，解得. （3）因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以，设，即， 得到，解得，即点的坐标为. 12．如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求：； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）由，分别求得和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解； （3）设，求得，根据，求得，再由，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：在仿射坐标系中，向量分别为同向的单位向量， 可得，且，所以， 因为向量，可得， 所以， 所以. （2）解：在仿射坐标系中，由， 可得，且， 所以， ，可得， ， 因为向量与的夹角为， 可得， 解得. （3）解：在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上， 设，其中，所以， 因为，点分别为中点，可得 又因为分别为中点，可得， 所以， 可得， 因为，所以，即，即， 又由向量，且， 所以， 因为，可得， 代入得， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $