第8章 平面向量（知识归纳+题型突破）（9题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第8章 平面向量（9题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 知识点03：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点04：向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点05：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 知识点06：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 知识点07：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点08：平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 知识点09：平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 知识点10：平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）任一向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 知识点11：平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 知识点12：两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 知识点13：向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 知识点14：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 03 题型归纳 题型一 平面向量的概念 例题1：（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 例题2：（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【答案】①③④ 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、相等向量 【分析】：与方向相同或相反；：与方向相同且模长相等；：与长度相等；：模长为0，与任意向量平行；单位向量：模长为1；若，则是的充分条件；若，则是的必要条件； 【详解】与平行则与方向相同或相反， 对于①：若，与方向相同，则；若，则与模长不一定相等，则与不一定相等，即①对； 对于②：若，与长度相等，与方向无关，则与不一定平行；若与平行，则与方向相同或相反，与模长无关，即②错； 对于③：若、的方向相反，则；若，则与方向相同或相反，即③对； 对于④：若或，则；若，则与方向相同或相反，即④对； 对于⑤：若与都是单位向量，则，方向不一定相同或相反；若，则模长不一定为1，即⑤错. 故答案为：①③④ 巩固训练 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段； ⑦任何一个非零向量都可以平行移动． 其中，假命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】相等向量、平面向量的概念与表示、向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的定义，相等向量的定义，向量的模，向量共线依次判断各命题即可. 【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若，方向不确定，则不一定相同，∴②错误； 对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，若，，，当时，不一定成立，∴⑤错误； 对于⑥，向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，∴⑥错误； 对于⑦，任何一个非零向量都可以平行移动，∴⑦正确； 综上，假命题是②③⑤⑥，共4个， 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·课后作业）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是 ． 【答案】②③/③② 【知识点】充要条件的证明、平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断. 【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误； 对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确； 对于③，若,，则，显然正确，故③正确； 对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确， 对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确. 故答案为：②③ 题型二 平面向量的线性运算　 例题1：（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论 【分析】在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F，则由共线定理得，，然后逐个验证即可. 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. 例题2：（23-24高一下·上海·单元测试）在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则 ． 【答案】. 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】先根据中点关系化简原式，然后根据重心的特点进行向量运算，由此求解出结果. 【详解】因为， 又因为为重心，所以， 所以， 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简的结果等于 . 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为： 2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可. 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 题型三 利用平面向量基本定理求参数 例题1：（2024高三·上海·专题练习）已知向量，不共线，实数，满足，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】相等向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由已知结合平面向量基本定理可求，，进而求出答案. 【详解】由，不共线，实数，满足， 得，解得，， 所以. 故选：A 例题2：（23-24高一下·上海·期中）在中，，，的平分线交于点．若，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、向量减法法则的几何应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由题意在中，，再由三角形的角平分线定理可得：，最后由分点恒等式将用，表示出来，从而求出和即可 【详解】因为在中，，，所以， 又因为的平分线交于点， 所以在中，由正弦定理可得：， 同理在中， 因为，， 所以， 则， 所以，，则 故答案为： 例题3：（23-24高三上·上海长宁·阶段练习）已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】8 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据三点共线可得，利用“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】如图，    因为，为的中点， 所以， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8. 故答案为：8 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在矩形中，为对角线的交点，为上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】以为基底，结合已知条件把用基底表示，由平面向量基本定理，求出的值即可. 【详解】    在矩形中，因为向量在向量上的投影向量为，所以， 又，所以， 所以，，得. 故答案为： 题型四 向量投影 例题1：（24-25高三上·上海·期中）已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为 . 【答案】1 【知识点】求投影向量 【分析】由投影数量的公式求解即可. 【详解】向量在方向上的数量投影为. 故答案为：1 例题2：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】在上的投影向量为. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用数量积来计算投影数量即可. 【详解】因为且向量，的夹角为 所以， 则在方向上的投影数量为：， 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知点，则在 方向上的投影为 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据向量在向量上的投影的定义求解. 【详解】因为，， 所以在 方向上的投影为, 故答案为： 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】由图形的几何性质，结合投影向量的定义即可得解. 【详解】连接，如图所示： ，则， 故且， 由圆的性质可知，， 则四边形为菱形， 设菱形对角线的交点为D， 则， 故在上的投影向量为． 故答案为：. 题型五 向量数量积　 例题1：（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则 . 【答案】1 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积的定义运算得解. 【详解】由题，. 故答案为：1. 例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在等边中，，点为边上的一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、数量积的坐标表示 【分析】取线段的中点，推导出，建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接，因为为等边三角形，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、，设点，其中， ，， 所以，， 当且仅当时，取等号，故的最小值为. 故答案为：. 例题3：（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25高三上·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量、二倍角的余弦公式 【分析】根据题意可画出示意图，易知与的夹角的余弦值，结合二倍角公式可求得与夹角的余弦值为，再根据向量数量积的定义即可得. 【详解】根据题意可知如下图所示： 过点作轴的垂线交轴于一点， 由在上的投影向量为可得，且， 设与的夹角为， 所以， 又因为，所以， 由二倍角公式可得； 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一·上海·随堂练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，若点P是线段BC上的动点（包括端点），则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系后，用向量的坐标运算进行求解即可. 【详解】连接交于点O，则正六边形被分为6个全等的等边三角形， 如图所示，以O为原点，所在直线为x轴，过O与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∵正六边形的边长为1，∴，，， ∵P是线段上的动点（包括端点）， ∴设，， ∴， ∴，， ∴， ∵，∴当且仅当时，的最小值为． 故答案为：． 题型六 向量模　 例题1：（24-25高三上·上海长宁·期中）已知，，，，，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】由数量积的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为，，，，， 所以 . 故答案为：. 例题2：（24-25高一·上海·随堂练习）设，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先求出，接着由向量模长公式结合两角差的余弦公式进行运算即可得解. 【详解】由题可得 所以 ， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 巩固训练 1．（2024辽宁朝阳）已知向量与的夹角为，，，则 . 【答案】6 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解. 【详解】由题意，向量与的夹角为，，， 所以， 所以, 故答案为：6 2．（23-24高三上·辽宁）已知向量，若，则 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐标，再求出，最后根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】解：因为，且， 所以，解得，所以，， 则，所以. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）已知向量的夹角为， 且，则 【答案】 【知识点】已知数量积求模、坐标计算向量的模、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据条件，利用模长的计算公式，得到，利用数量积的定义，得到，从而可得，即可求解. 【详解】由，得到，又向量的夹角为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 题型七 向量夹角 例题1：（24-25高二上·上海嘉定·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】要卖给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出，进而求出向量夹角. 【详解】由及，得，解得， 又，则，， 所以与的夹角. 故选：C 例题2：（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、向量夹角的坐标表示 【分析】根据夹角为钝角转化为数量积小于零且不共线即可. 【详解】因为夹角为钝角，所以且不反向共线， 所以即, 或不成立， 所以. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】由可得，两边平方先求出可求出，，的值，从而可得答案. 【详解】因为，，且，所以， 所以，即，解得 又，， ， ， 所以， 故选：D. 2．（23-24高一下·河南南阳）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答. 【详解】因为，，所以， 因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线， 所以且， 解得且，所以的取值范围为， 故答案为：. 3．（22-23高一下·北京密云·期末）已知向量． (1)若，求和； (2)若与平行，求实数的值； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)且 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）根据数量积的坐标运算及模的公式计算； （2）由向量平行的坐标表示列式求解； （3）根据向量夹角公式求解. 【详解】（1）当时，，又，所以， ，则. （2）因为与平行，所以，解得． （3）因为与夹角为锐角，所以且与不共线， 则且，解得的范围：且． 题型八 向量平行与垂直关系 例题1：（24-25高三上·上海·期中）已知，如果，那么实数的值为 . 【答案】4 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量的坐标表示即可. 【详解】由题意得，则. 故答案为：4. 例题2：（24-25高三上·上海·期中）已知，向量，，若，则实数的值是 . 【答案】3 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量垂直的坐标表示计算可得结果. 【详解】依题意可知，即， 解得. 故答案为：3 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知向量，，且，则 . 【答案】3 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直的坐标运算公式计算求参即可. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为：3. 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设向量，若，则 ． 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】由两向量垂直公式即可得到答案. 【详解】，， ，. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海浦东新·期中）若向量，，且，，三点共线，则 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由题意可得，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】由，，三点共线，向量， 得，即，解得. 故答案为：. 题型九 向量表示三角形的心　 例题1：（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、三角形的心的向量表示 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 例题2：（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， 由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 例题3：（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【知识点】三角形的心的向量表示、数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心 【分析】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 巩固训练 1．（23-24高三·山东济宁·阶段练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【知识点】三角形的心的向量表示 【分析】根据题意结合向量的线性运算以及三角形的性质分析判断 【详解】由题意，当时，如图 可知：点在边上的中线所在直线上，∴动点的轨迹一定通过的重心， 故选：A． 2．（23-24高一下·吉林·阶段练习）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得，故P为OA中点，进而可得面积比. 【详解】由O是△ABC的重心，得，而， 则，故， 所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点， 所以，， 所以△ACO与△CBP面积比为1:2. 故选：D 3．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【知识点】三角形的心的向量表示、垂直关系的向量表示、根据向量关系判断三角形的心 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 平面向量（9题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 知识点03：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点04：向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点05：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 知识点06：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 知识点07：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点08：平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 知识点09：平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 知识点10：平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）任一向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 知识点11：平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 知识点12：两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 知识点13：向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 知识点14：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 03 题型归纳 题型一 平面向量的概念 例题1：（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例题2：（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 巩固训练 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段； ⑦任何一个非零向量都可以平行移动． 其中，假命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高一下·上海·课后作业）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是 ． 题型二 平面向量的线性运算　 例题1：（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 例题2：（23-24高一下·上海·单元测试）在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则 ． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简的结果等于 . 2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 题型三 利用平面向量基本定理求参数 例题1：（2024高三·上海·专题练习）已知向量，不共线，实数，满足，则（    ） A．4 B． C．2 D． 例题2：（23-24高一下·上海·期中）在中，，，的平分线交于点．若，则 ． 例题3：（23-24高三上·上海长宁·阶段练习）已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 . 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在矩形中，为对角线的交点，为上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则 ． 题型四 向量投影 例题1：（24-25高三上·上海·期中）已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为 . 例题2：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为 . 巩固训练 1．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为 . 2．（24-25高三上·上海·期中）已知点，则在 方向上的投影为 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为 ． 题型五 向量数量积　 例题1：（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则 . 例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在等边中，，点为边上的一动点，则的最小值为 ．    例题3：（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 巩固训练 1．（24-25高三上·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则 . 2．（24-25高一·上海·随堂练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，若点P是线段BC上的动点（包括端点），则的最小值是 ． 题型六 向量模　 例题1：（24-25高三上·上海长宁·期中）已知，，，，，则 . 例题2：（24-25高一·上海·随堂练习）设，，则的取值范围是 ． 巩固训练 1．（2024辽宁朝阳）已知向量与的夹角为，，，则 . 2．（23-24高三上·辽宁）已知向量，若，则 ． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知向量的夹角为， 且，则 题型七 向量夹角 例题1：（24-25高二上·上海嘉定·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 巩固训练 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南南阳）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 3．（22-23高一下·北京密云·期末）已知向量． (1)若，求和； (2)若与平行，求实数的值； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 题型八 向量平行与垂直关系 例题1：（24-25高三上·上海·期中）已知，如果，那么实数的值为 . 例题2：（24-25高三上·上海·期中）已知，向量，，若，则实数的值是 . 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知向量，，且，则 . 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设向量，若，则 ． 3．（24-25高三上·上海浦东新·期中）若向量，，且，，三点共线，则 ． 题型九 向量表示三角形的心　 例题1：（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 例题2：（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 例题3：（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 巩固训练 1．（23-24高三·山东济宁·阶段练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．（23-24高一下·吉林·阶段练习）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 3．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$